2.4平面向量的数量积 共49页
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
2014年人教A版必修四课件 2.4 平面向量的数量积
则 q =135.
问题1. 向量的数量积与向量的数乘有什么区别? 向量的数量积是向量还是数量? 向量的数乘是一个向量, 而向量的数量积是一个 数量, 是三个数量的乘积. 几何意义: | a | cosq 表示 a 在 b 方向上的投影 (如图), |OC | = | a |cosq . A a a 方向上的投影, | b | cosq 表示 b 在 D | OD | = | b | cosq . q 即 a b =|Байду номын сангаасa | | b | cosq B O C b =OC· OB =OD· OA.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.
两非零向量垂直 数量积为零.
练习: (课本106页) 2. 已知△ABC中, AB =a, AC =b, 当 a· b<0 或 a· b=0 时, 试判断△ABC的形状. 解: a b =| a | | b | cos A, 当 a b 0 时, cosA < 0, 则角A为钝角, ∴△ABC为钝角三角形. 当 a b = 0 时, cosA = 0, 则角A为直角, ∴△ABC为直角三角形.
练习: (课本106页) 3. 已知 |a|=6, e 为单位向量, 当 a、e 之间的夹角 q 分别等于 45、90、135 时, 画图表示 a 在 e 方向 上的投影, 并求其值. 解: 各图中的投影用OA表示. | a |= 6 (1) 当q =45º 时, | a |= 6 2 45º OA = | a | cos 45= 6 O 2 A e =3 2 . (1) O e (A) (2) 当q =90º 时, (2) OA = | a | cos 90=0. | a |= 6
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积是向量分析中的重要概念之一。
它是指两个向量之间的乘积，结果为一个标量。
在本文中，我们将探讨平面向量的数量积及其相关性质。
一、定义设有两个平面向量A⃗A⃗ = A⃗₁A⃗A⃗₁ + A⃗₁A⃗A⃗₂，A⃗A⃗ = A⃗₂A⃗A⃗₁ + A⃗₂A⃗A⃗₂，其中A⃗A⃗₁，A⃗A⃗₂，A⃗A⃗₁，A⃗A⃗₂为已知向量，A⃗₁，A⃗₁，A⃗₂，A⃗₂为实数。
那么，A⃗A⃗和A⃗A⃗的数量积定义为：A⃗A⃗·A⃗A⃗ = (A⃗₁A⃗A⃗₁ + A⃗₁A⃗A⃗₂)·(A⃗₂A⃗A⃗₁ + A⃗₂A⃗A⃗₂)二、数量积的计算方法根据数量积的定义，我们可以利用向量的坐标表示来计算数量积。
根据数量积的分配律、结合律和交换律，计算公式如下：A⃗A⃗·A⃗A⃗ = A⃗₁A⃗₂(A⃗A⃗₁·A⃗A⃗₁) + A⃗₁A⃗₂(A⃗A⃗₁·A⃗A⃗₂) +A⃗₁A⃗₂(A⃗A⃗₂·A⃗A⃗₁) + A⃗₁A⃗₂(A⃗A⃗₂·A⃗A⃗₂)其中，A⃗A⃗₁·A⃗A⃗₁，A⃗A⃗₁·A⃗A⃗₂，A⃗A⃗₂·A⃗A⃗₁，A⃗A⃗₂·A⃗A⃗₂为已知向量的数量积。
三、数量积的性质1. 乘积的交换律：A⃗A⃗·A⃗A⃗ = A⃗A⃗·A⃗A⃗2. 乘积的结合律：A⃗(A⃗A⃗·A⃗A⃗) = (A⃗A⃗A⃗)·A⃗A⃗ = A⃗A⃗·(A⃗A⃗A⃗)，其中A⃗为实数3. 平行向量的数量积：若A⃗A⃗与A⃗A⃗不共线，则A⃗A⃗·A⃗A⃗ = 04. 垂直向量的数量积：若A⃗A⃗与A⃗A⃗垂直，则A⃗A⃗·A⃗A⃗ = 0四、数量积的几何意义数量积的绝对值等于两个向量之间夹角的余弦值与两个向量的模的乘积。
即：|A⃗A⃗·A⃗A⃗| = |A⃗A⃗| |A⃗A⃗| cosθ其中，θ表示A⃗A⃗和A⃗A⃗之间的夹角。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
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(2)设a､b､c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:① (a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不 与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的 是________.
[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以 ①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第 三边知②正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘 法法则,所以④正确.所以正确命题的序号是②④.
(1) AB AC 0 k 6,
(2) AB CB 0 k 1, (3) AC CB 0 k 2 k 3 0, 由 0得方程无解. 答案:B
类型一
数量积的性质及运算
解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时 不能得到a=0,或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0.
错源一
利用点平移与向量平移设置陷阱
【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将 后所得向量的坐标是()
A B 按向量a=(1,2)平移
A.(1,7)
B.(2,-5)
C.(10,4)
D.(3,-3)
[错解]因为A(3,7),B(5,2),所以 A B =(2,-5),
将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x′=2+1=3,y′=-5+2=-
a、 b
| a | | b | 可知,求两个向量的夹角
关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用
是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.
[解]解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a·b+b2,所
以a·b= 1 a2.
2
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2|a|2+2×
⑤设a x1, y1,b x2, y2 ,则a b x1x2 y1y2 0.
【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?
[分析]利用|a|= a a及a⊥b⇔a·b=0即可解决问题.
[答案]②④
类型二
利用数量积解决长度、垂直问题
解题准备:常用的公式与结论有:
① a 2 a2 a a或 a a a a2 ;
②| a b | (a b)2 a 2aob b2 ;
③若a x, y,则 a x2 y2 .
其中①③两个公式应用广泛,需重点把握. ④a b a b 0(a,b均为非零向量);
x1x2 y1y2 . x12 y12 x22 y22
(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 |a|= (x1x2)2(y1y2)2, 这就是平面内两点间的距离 公式.
(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a•b=0 x1x2+y1y2=0.
|a|2| b|2,| ab|2a2 2a bb2, 所以x12 y12 x22 y22 x12 y12 x22 y22 2x1x2 2y1y2, 即x1x2 y1y2 12(x12 y12).
所 以 | a b |2 (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
由 于 0≤ ≤180, 所 以 30.
[反思感悟](1)求两个向量的夹角,需求得a•b及|a|,|b|或得出 它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].正确理解 公式是关键.
(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选 择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答 此类题目显得更加简捷和直观.
[解]由已知,a·b=4×8× ( 1 ) =-16. (1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 2
=16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|= 4 3 . ②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162.
∴|4a-2b|= 1 6 .3
1
|a|2
2
=3|a|2,
所以|a+b|= 3 |a|.
设a与a+b的夹角为θ, 则cosθ= a (ab)
a2
1a2 2
3,
| a|| ab| 3| a|2 2
由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.
解法二:设a (x1, y1),b (x2, y2), 由a b |ab|得,
(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0. 16k-16(2k-1)-2×64=0, ∴k=-7.
类型三
利用数量积解决夹角问题
解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角 公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.
[剖析]上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.
[正解]a 32,53 1,2,设Px,y为yf x的图象
上任意一点,平移后的对应点为P(x,y),由平移公式得
xyxy12,,则xyxy12,,将它们代入yf x中,得y2 f x1,习惯上将上式中的x,y写作x,y,即y2f x1,
答案:B
2.(2019·重庆)已知向量a,b满足a•b=0,|a|=1,|b|=2,则|2ab|=( )
A.0
B. 2 2
C.4
D.8
解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8,故 |2a-b|= 2 2 ,选B.
答案:B
5.(2011福 建 福 州 质 检 )直 角 坐 标 系 xO y中 ,AB(2,1),AC (3,k),若 三 角 形 A B C 是 直 角 三 角 形 ,则 k的 可 能 值 的 个 数 是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解 析 : AB AC CB (1,1 k ),
2.若a、b、c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量,就没 有这样的性质,即若向量a､b､c满足a·b=a·c(a≠0),则不 一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同 时乘以一个向量.
【 典 例 1 】 1 已 知 A B C 中 ,|A B | 5 ,|A C | 4 ,|B C | 3 ,
3,故
按A B向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.
[剖析]平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关
系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式.
[正解]因向量平移后仍与原向量相等. 故 A B A B(2 , 5 ),故选B. [答案]B
错源二
利用平移前后的解析式设置陷阱
[剖析]上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象 平移的定义可知,图象的平移就是将图象F上所有点按照同 一方向,移动同样长度,得到图象F′.此处它只需按照同一方 向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.
[正解]设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它
在函数y=2x的图象上的对应点为P′(x′,y′),由平移公式
2.①cosa,b|aa||bb|;②设aa1,a2,bb1,b2,
则cosa,b a1b1a2b2 . a12a22 b12b22
3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.
【典例3】已知a､b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b
的夹角. [分析]由公式cos<a,b>=
(4)cosθ=
|
a a
b || b
. |
(5)|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b•a.(交换律) (2)(λa)·b=λ(a•b)=a•(λb).(数乘结合律) (3)(a+b)·c=a•c+b•c.(分配律)
6.平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则cosθ=
则 A B B C B C C A C A A B 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ .
[解 析 ] 由 已 知 可 得 B C C A ,故 原 式 A B B C C A A B A B (B C C A ) |A B |2 2 5 .
[答案]-25
故选A.
[答案]A
错源三
利用平移方向设置陷阱
【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象, 那么a=________.
[错解]因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将 y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0); 又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移 6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).
x
2 1
y
2 1
x
2 2
y
2 2
2x1x2
2y 1y 2
3
(
x
2 1
y
2 1
)
,
故 3 x12 y12 .