高考数学回归课本 三角函数
回归课本专题三角函数
回归课本专题 ———— 三角函数一.高考知识要点1、三角函数的有关概念：⑴. 弧长公式:r θ=λ 扇形面积公式:22121r r s θ==λ 1弧度(1rad)=180π度57.3≈o . ⑵、任意角的三角函数的定义:x y r x r y ===αααtan ,cos ,sin ,其中22y x r += 各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。
2、三角部分需要掌握的公式：⑴. 同角三角函数关系式：αααααcos sin tan ,1cos sin22==+ ⑵.三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m 令 ＝ ＝ 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：（１） 变角：化未知角为已知角 （2）变名：弦切互化 （3）变式：齐次式， ααcos sin b a +，三姐妹关系式注意：角不离值，值不离角3、三角函数的图象和性质：○1、正弦函数和余弦函数的图象 ○2sin ()y x x R =∈、cos ()y x x R =∈、)2(tan ππ+≠=k x x y 的性质：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性（包括对称轴和对称中心）○3、形如sin()y A x ωϕ=+的函数： （1）几个概念：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相； （2）“五点法”作函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象（将φϖ+x 看成整体，结合正弦函 数 的图像）（3）．由图象求)sin(ϕω+=x A y 解析式（4）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将 sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。
高考冲刺回归课本篇(二)
高考冲刺回归课本篇（二）一、基本知识篇 （四）三角函数1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点；正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x 轴的交点，但没有对称轴。
6.（1）正弦平方差公式：sin 2A －sin 2B=sin(A+B)sin(A －B);（2）三角形的内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；（3）三角形的外接圆直径2R=;sin sin sin Cc B b A a == （五）平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),λ为实数。
（1）向量式：a ∥b(b ≠0)⇔a=λb;（2）坐标式：a ∥b(b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2), （1）向量式：a ⊥b(b ≠0)⇔a ∙b=0; （2）坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ∙θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a ∙b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积； 4.设A （x 1,x 2）、B(x 2,y 2)，则S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：（1）若a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ∙b=x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=;（2）若a=(x,y),则a 2=a ∙a=x 2+y 2,22y x a +=;二、回归课本篇：1、下列各式能否成立？为什么？(A) cos 2x = 2 (B) sinx －cosx = 32 (C) tanx + 1tanx = 2(D) sin 3x = －π42、求函数y = lgcos (2x －π3)tanx －1的定义域。
新课标回归教材三角函数
新课标——回归教材三角函数1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3. 弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角1(rad)=0180π57.3≈,010.01745180π=≈(rad). 弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==.典例:已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.（答:22cm ）4.终边相同的角的表示:(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 典例:与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是25-,合536π-弧度.(2)α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z πα=∈. 典例:α的终边与6π的终边关于直线y x =对称,则α＝2,3k k Z ππ+∈. )) ) )}}}我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角α化成2,k k απθ=+∈Z ,[)0,2θπ∈ 或者是化成)360,,0,360k k Z αθθ⎡=⋅+∈∈⎣,这样只要判定θ是第几象限角就可以了.典例: (1)291033πππ-=-+,因为3π是第一象限角,所以293π-的终边也在第一象限; (2) 790236070=⨯+,因为70是第一象限角,所以790的终边也在第一象限. 5.α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定. 如图,若角α终边在第一(二、三、四)象限,则角2α的终边位于右图中标有数字1(2、3、4)区域.这个方法叫做等分象限法.典例:若α是第二象限角,则2α是第 一、三 象限角.6.任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan 0yx xα=≠.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.典例:(1)已知角α的终边经过点P(5,－12),则sin cos αα+的值为713-(2)设α是第三、四象限角,23sin 4m mα-=-,则m 的取值范围是32(1,)-; (3)若|sin |cos 0sin |cos |αααα+=,试判断cot(sin )tan(cos )αα⋅的符号（答:负）7.三角函数线的特征是:正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “与圆O 切在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.典例:(1)若08πθ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为tan sin cos θθθ<<;(2)若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为sin tan ααα<<;(3)函数lg(2sin y x =的定义域是2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈(1)平方关系:22sin cos 1αα+=;(2)商数关系:sin tan cos ααα=. 同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.解题方法总结(1)已知一弦值,求正切.通常是利用sin α=cos α=,然后利用sin tan cos ααα=求正切.要注意α的象限,分象限定符号.(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程组.方法二是利用一个推导公式直接求,公式221cos 1tan αα=+,222tan sin 1tan ααα=+,不过还是要注意开根号时的正负的确定.(3)解题中常用的三种技巧:一、切化弦;二、1的代换;三、分子分母同时除以cos α或者2cos α. (4)解题中常用的两组公式:222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+;222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=-.典例:(1)函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为大于0;(2)若022x π≤≤,cos2x 成立的x 的取值范围是3[0,][,]44πππ;(3)已知3sin 5m m θ-=+,42cos ()52m m πθθπ-=<<+,则tan θ＝512-; (4)已知tan 1tan 1αα=--,则sin 3cos sin cos αααα-+＝53-;2sin sin cos 2ααα++＝135;(5)已知sin200a =,则tan160等于 B A.C.;(6)已知(cos )cos3f x x =,则(sin30)f 的值为 －1 .10.三角函数诱导公式(2kπα+)的本质是:奇变偶不变(对k 而言,指k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:“负化正,大化小,化成锐角再查表”即:(1)负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<;(2)转化为锐角三角函数.典例:(1)97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为; (2)已知4sin(540)5α+=-,则cos(270)α-=45-,若α为第二象限角,则2[sin(180)cos(360)]tan(180)ααα-+-=+3100-. 11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±;逆:sin cos )a b αααφ±=±,其中tan b a φ=.正:()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=;逆:cos sin )a b αααφ±=,其中tan baφ=.正:()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=;变:tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±.正:22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+;变:21sin 2(sin cos )ααα±=± 正:2222221tan cos22cos 112sin cos sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+;变:221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=(降角升幂公式),逆:221+cos21cos2cos ,sin 22αααα-＝＝(降幂升角公式);sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+(半角正切) 典例:(1)下列各式中,值为12的是 CA.sin15cos15B.22cos sin1212ππ- C.2tan 22.51tan 22.5- (2)命题P:tan()0A B +=,命题Q:tan tan 0A B +=,则P 是Q 的 C 条件.A 、充要B 、充分不必要C 、必要不充分D 、既不充分也不必要; (3)已知3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=,那么cos2β的值为725;(4)1sin10的值是 4 ;(5)已知0tan110a =,求0tan50的值(用a 表示)甲求得的结果是,乙求得的结果是212a a-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 甲、乙都对 . 12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★(1)巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,222αββααβ+=---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等. 典例:(1)已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是322;(2)已知02πβαπ<<<<,且1cos()29βα-=-,2sin()23αβ-=,求cos()αβ+的值239729-;(3)若,αβ为锐角,3sin ,cos ,cos()5x y αβαβ==+=-,则y 与x 的函数关系为43(1)55y x x =<<. (2)三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值sin50(13tan10)+= 1 ;(2)已知sin cos 21,tan()1cos23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值18(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.典例:(1)已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝; (2)ABC ∆中,tan tan tan A B A B +=,sin cos A A =则此三角形是 等边 三角形. (4)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式:21cos22cos αα+=,21cos22sin αα-=).典例:(1)若3(,)2αππ∈,sin2α;(2)2()5sin cos f x x x x =-)x R ∈的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈. (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同). 典例:(1)tan (cos sin )ααα-sin tan cot csc αααα+++= sin α;(2)求证:21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--; (3)化简:42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+= 1cos 22x . (6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等）典例:已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-=35.(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若 sin cos x x t ±=,则sin cos x x =212t -±,特别提醒:这里[t ∈;(2)若1(0,),sin cos 2απαα∈+=,求tan α的值.（答: ）; (3)已知2sin22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<,试用k 表示sin cos αα-的值（答）.(2)当函数2cos 3sin y x x =-取得最大值时,tan x 的值是2-;(3)如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ= －2 ; (4)求值:2223164sin 20sin 20cos 20-+︒=︒︒32 . 14.正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,,2π3,,22πππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连 接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周 期内的图象.如右图所示:15.正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数 cos ()y x x R =∈性质:(1)定义域R.(2)值域[]1,1-.对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1;当()322x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1;对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1.典例:(1)若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为32,最小值为12-,则a =12,b =1±;(2)函数()sin f x x x =（[,]22x ππ∈-）的值域是 [－1, 2] ;(3)若2αβπ+=,则cos 6sin y βα=-的最大值和最小值分别是 7 、 -5 ;(4)2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是 2 ,此时x =()12k k Z ππ+∈;(5)己知1sin cos 2αβ=,则sin cos t βα=的取值范围11[,]22-;(6)若22sin 2sin 2cos αβα+=,则22sin sin y αβ=+的最大值 1 、最小值2. 特别提醒 :在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?例如前面的关于求值域的一个运用！(3)周期性:①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π;②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=.典例:(1)若()sin 3xf x π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝ 0 ;(2)函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为π;(3)设()2sin()25f x x ππ=+,若12()()()()f x f x f x x R ≤≤∈恒成立,则12min ||x x -= 2 .(4)奇偶性与对称性:①函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;②函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最值点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象零点所在点.）典例:(1)函数5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是 偶函数 ;(2)已知函数3()sin 1(,f x ax b x a b =++为常数）,且(5)7f =,则(5)f -= －5 ;(3)2cos (sin cos )y x x x =+的对称中心和对称轴分别是(,1)()28k k Z ππ-∈、()28k x k Z ππ=+∈;(4)已知()sin())f x x x θθ=++为偶函数,求θ的值.（答:()6k k Z πθπ=+∈）(5)单调性:()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减;cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.16.形如sin()y A x ωϕ=+的函数:(1)几个物理量:A ―振幅;1f T=―频率（周期的倒数）;x ωϕ+―相位;φ―初相; (2)求sin()y A x ωϕ=+表达式:A 由最值确定;ω由周期确定;ϕ由图象上的特殊点确定.(3)函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法:①“五点法”—设X x ωϕ=+,令X ＝0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法.(4)函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系:①sin y x =的图象上各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象;②()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象; ③()sin y x ωϕ=+图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得sin()y A x ωϕ=+图象;④sin()y A x ωϕ=+图象上各点向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ωϕ=++的图象.特别注意 :由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω单位.典例:(1)函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？（答:2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）;(2)要得到函数cos()24x y π=-的图象,只需把函数sin 2xy =的图象向 左 平移2π个单位;(3)(现在考纲不作要求)将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--);(4)若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k的取值范围是.(5)研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法:类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.典例:(1)函数sin(2)3y x π=-+的递减区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈;(2)12log cos()34x y π=+的递减区间是33[6,6]()44k k k Z ππππ-+∈;(3)设函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象关于直线23x π=对称,它的周期是π,则( C )A 、1()(0,)2f x 的图象过点 B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、5()(,0)12f x π的图象的一个对称中心是 D 、()f x 的最大值是A; (4)对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论, 其中正确结论是 ②④ .①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线12x π=成轴对称;③图象可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到; ④图像向左平移12π个单位,即得到函数2cos2y x =的图像. (5)已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间的距离为3π,那么此函数的周期是π 17.正切函数tan y x =的图象和性质:(1)定义域:{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;(3)周期性:π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定.(只作了解即可)典例:(1)2sin ,sin y x y x ==,|tan |y x =的周期都是π.(2)sin y x =cos x +的周期为2π.(3)1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+的周期都是2π;(4)tan y x =奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈.特别提醒 :正切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.(5)单调性:正切函数在开区间()(,)22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调性.18.三角形中的有关公式:(1)内角和定理:三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===(R 为三角形外接圆的半径). 注意:①正弦定理的一些变式:()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R== 2c R=;()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.(3)余弦定理:2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三角形形状.(4)面积公式:111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++(其中r 为三角形内切圆半径).海伦-秦九韶公式 S 其中2a b cp ++=.典例:ABC ∆中,若22222sin cos cos sin sin A B A B C -=,判断ABC ∆的形状（答:直角三角形）.特别提醒 :(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性:所以有,,sin()sin ,sin cos 22A B CA B C A B C π++=-+==;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.典例:(1)ABC ∆中,A 、B 的对边分别是 a b 、,且A=60, 4a b =,那么满足条件的ABC ∆A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定（答:C ）; (2)在ABC ∆中,A ＞B 是sin sin A B >成立的 充要 条件;(3)在ABC ∆中,(1tan )(1tan )2A B ++=,则2log sin C ＝12-;(4)在ABC ∆中,若()(sin sin a b c A B +++sin )3sin C a B -=,则C ∠＝60; (5)在ABC ∆中,若其面积222S =则C ∠=30;(6)在ABC ∆中,60, 1A b ==,,则ABC ∆;(7)在△ABC 中,21,cos 32B C a A +=则=13,22b c +的最大值为92; (8)在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是06C π<≤;(9)设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠=,且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=,求A ∠（答:45）．19.求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值）.特别提示:要尽量利用已知条件精确地确定角所在的范围.典例:(1)若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值34π;(2)ABC ∆中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠＝3π; (3)若02αβγπ≤<<<且sin sin sin 0αβγ++=,cos cos cos 0αβγ++=,求βα-的值（答:23π）.。
高考数学回归课本基础总复习三角函数
三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x，正割函数se c α=xr ,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co sα；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s inα, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α,co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
高考数学回归课本必修四部分
第一章 三角函数（上）一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ）A .43-B .34- C .43 D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________。
3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。
4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。
5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。
三、解答题1．已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 且παπ273<<，求ααsin cos +的值．2．已知2tan =x ，求xx xx sin cos sin cos -+的值。
高考数学考前30天回归课本知识技法精细过(4)：三角函数
高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（四）第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记4个知识点1．角的分类(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角．(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即β＝⑤________________.2．象限角(1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角的度量制有：⑪________制，⑫________制．(3)换算关系：1°＝⑬________rad,1 rad＝⑭________.(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为⑮________，扇形面积公式为⑯________________________.4．任意角的三角函数有向线段○32________为正弦线个易误点1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.三、技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.3. 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 4. 三角函数定义应用策略(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．(2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．5．三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦．6．三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小．(2)解三角不等式(方程).参考答案①正角②负角③零角④象限角⑤k·360°＋α(k∈Z)⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z}⑦{α|2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z}⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}⑨{α|2kπ＋3π2＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}⑩半径⑪角度⑫弧度⑬π180⑭⎝⎛⎭⎫180π°⑮l＝|α|r⑯S＝12lr＝12|α|r2⑰y⑱x⑲yx⑳正○21正○22正○23正○24负○25负○26负○27负○28正○29负○30正○31负○32MP○33OM○34AT第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式一、必记3个知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：①________________.(2)商数关系：②________________.2．三角函数的诱导公式1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 三、技法1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值. 3. 同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.4. 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，可将分子、分母同时除以cos 2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的分式求解.5. 在同角三角函数的基本关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin α·cos α很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．如本题中，易知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－15x －1225＝0的两个实数根，解方程可求出sin θ和cos θ.6. 同角三角函数式化简过程中常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的； (2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低次数，达到化简的目的.参考答案①sin 2α＋cos 2α＝1 ②tan α＝sin αcos α ③－sin α ④－sin α ⑤sin α ⑥cos α⑦cos α ⑧－cos α ⑨cos α ⑩－cos α ⑪sin α ⑫－sin α ⑬tan α ⑭－tan α ⑮－tan α ⑯0 ⑰12⑱32 ⑲32 ⑳12 ○211 ○2232 ○2312 ○24－12 ○25－32 ○260 ○2733 ○28 3 ○29－3 ○30－33第三节 三角函数的图象与性质一、必记2个知识点 1．周期函数 (1)周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f (x )就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．三、技法1. 求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.2. 三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的值域．(2)化一法：化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.3.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．4．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.参考答案①f (x ＋T )＝f (x ) ②T ③最小正数 ④最小正数 ⑤{y |－1≤y ≤1} ⑥{y |－1≤y ≤1} ⑦R ⑧⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⑨⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π ⑩[(2k －1)π，2k π] ⑪[2k π，(2k ＋1)π] ⑫⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π ⑬π2＋2k π ⑭－π2＋2k π ⑮2k π ⑯π＋2k π ⑰奇函数 ⑱偶函数 ⑲奇函数 ⑳(k π，0)，k ∈Z ○21⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ○22⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z ○23x ＝k π＋π2，k ∈Z ○24x ＝k π，k ∈Z ○252π ○262π ○27π第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用一、必记3个知识点1．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.三、技法1. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值.2. 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 3. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)具有周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得对称中心坐标． 利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴方程.参考答案①|φ| ②1ω ③1ω ④|φ|ω ⑤A ⑥A ⑦0 ⑧π2 ⑨π ⑩3π2 ⑪2π ⑫2πω⑬1T ⑭ω2π第五节 三角恒等变换一、必记3个知识点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.(1)2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.(3)降幂公式：cos 2α＝⑧________________.sin 2α＝⑨________________.二、必明2个易误点1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．三、技法1. 三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.2. 三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用3. 利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的角变换技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. (4)特殊角的拆分：7π12＝π3＋π4，5π12＝π4＋π6，π12＝π3－π4. 4.(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“考点一”第2题.5. 三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.6. 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．(2)利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期． (3)根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间.特别注意：常见方法与技巧：1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2 α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范：1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．参考答案①cos αcos β－sin αsin β ②sin αcos β＋cos αsin β ③tan α＋tan β1－tan αtan β ④tan α－tan β1＋tan αtan β⑤2sin αcos α ⑥cos 2α－sin 2α ⑦2tan α1－tan 2α⑧1＋cos 2α2 ⑨1－cos 2α2第六节 正弦定理和余弦定理一、必记3个知识点1．正弦定理①____________________，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a b c ＝②______________________；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，③________；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝④________等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理a 2＝⑤________________，b 2＝⑥____________________，c 2＝⑦________________________.余弦定理可以变形为：cos A ＝⑧________________，cos B ＝⑨____________________，cos C ＝⑩________________.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .二、必明2个易误点1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、技法1.解三角形(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧3.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.4. 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.参考答案①asin A＝bsin B＝csin C＝2R②sin A sin B sin C③c＝2R sin C④c2R⑤b2＋c2－2bc cos A⑥a2＋c2－2ac cos B⑦a2＋b2－2ab cos C⑧b2＋c2－a22bc⑨a2＋c2－b22ac⑩a2＋b2－c22ab第七节解三角形应用举例一、必记5个知识点1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线①________时叫仰角，目标视线在水平视线②________时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指③__________________，即东北方向．3．方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45° .(3)其他方向角类似．4．坡角坡面与④________的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α(i 为坡比，α为坡角)． 二、必明1个易误点易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．三、技法1. 测量问题中距离问题的解法(1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题．(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解.2. 求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.3. 求解角度问题应注意(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.4. 平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.参考答案①上方 ②下方 ③北偏东45° ④水平面。
三角函数教材回归
高考数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结四、三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k kαθπ=+∈Z，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25- ；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k kαθπ=+∈Z.（3）α终边与θ终边关于x轴对称⇔2()k kαθπ=-+∈Z.（4）α终边与θ终边关于y轴对称⇔2()k kαπθπ=-+∈Z.（5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k kαπθπ=++∈Z.（6）α终边在x轴上的角可表示为：,k k Zαπ=∈；α终边在y轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2kk Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线xy=对称，则α＝____________。
（答：Zkk∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||l Rα=，扇形面积公式：211||22S lR Rα==，1弧度(1rad)57.3≈ .如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(,)x y是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r=>，那么s i n,c o sy xr rαα==，()tan,0yxxα=≠，cotxyα=(0)y≠，secrxα=()0x≠，()csc0ryyα=≠。
高考数学 最后回归基础知识 三角函数
三角函数一、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式。
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 21212==θ。
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．）:3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(±=±（2）二倍角公式①αααcos sin 22sin =；②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③ααα2tan 1tan 22tan -= （3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22ααα=；②辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+（ϕ由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅. 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈ 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 5、解三角形Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 2是ABC ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
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练习3--三角函数
1．函数)6
52tan(
3π-=x y 的最小正周期是________ 2．函数)4πtan(-=x y 的定义域是________ 3．下列函数中，同时满足：①在（0，
2π）上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )
A ．y =tan x
B ．y =cos x
C ．y =tan 2x
D ．y =|sin x |
4．函数)4
π3cos(2-=x y 的对称中心和对称轴分别是________ 5．函数y=sin(2x+π6
)的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象向_______平移_____单位得到 6．已知)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π
=x 时有最大值21，9
4π=x 时有最小值2
1-
，则函数的解析式为________ 7．函数221cos 21sin ++=x x y 在区间]2,2[ππ-的最小值是________ 8．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是________
9．已知θ为第二象限角，225sin
sin 240,θθ+-=则cos 2θ的值为________ 10．已知==-
∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π________ 11．函数)3
3sin(51π-=x y 的定义域是____ _____，值域是________，周期是______，振幅是______，频率是________，相位是 ，初相是________。
12．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为 。
13．=0
330sin 。
14．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 。
15．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
16．1)6cos()(--
=πωx x f 的最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 。
17．方程2cos 14x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
在区间(0,)π内的解是 。
18．函数1)321sin(
2)(++=πx x f 的单调增区间为 当=x 时，函数)(x f 有最小值是 。
19．函数)2
sin()2cos()(x x
x f -+-=π在),0[π上的减区间是 。
20．函数)sin(ϕω+=x A y )02,0,0(<<-<<->ϕπ
ωπA 在一
个周期的区间上的图象如图，则A ＝ ，ω＝ ， ϕ＝ 。