2015中环杯6年级答案

an an 1 an 3 a2 1 ；
这个递推式比较麻烦，化简一下：当 n 2k 时， a2 k a2 k 1 a2 k 3 a1 ，而
a2 k 2 a2 k 3 a2 k 5 a1 ，所以推出 a2 k a2 k 1 a2 k 2 ；当 n 2k 1 时， a2 k 1 a2 k a2 k 2 a2 1 ，而 a2 k 1 a2 k 2 a2 k 4 a2 1 ，所以推出 a2 k 1 a2 k a2 k 1 ；
2 ~ 84 中，完全平方数有 4 、 9 、 16 、 25 、 36 、 49 、 64 、 81 ，逐一检验，发现没有
满足条件的数，所以“中环数”的个位数只能是偶数，而且显然不可能是 0 ，接下来 分类讨论： （1）如果 N 的个位数为 2 ，也就是说 N 必须为质数，所以 N 2 ； （2）如果 N 的个位数为 4 ，则 N a3 或 ab ，检验所有以 4 结尾的数，发现 14 、 34 、
将两种情况总结一下，得到 an an 1 an 2 ，构成斐波那契数列，从而知道我们的答 案为 a12 144 二、动手动脑（本大题共 4 小题，每题 10 分，共 40 分）： 11. 如图所示，中心的立方体的棱长为 8，在其每个面的中心粘上一个棱长为 4 的立方 体，在所有棱长为 4 的立方体的露出面中心再粘上一个棱长为 2 的立方体。求：这个 立体图形的表面积
【答案】 1248 【解答】我们先不管中心立方体，先考察一个棱长为 4 的立方体带着 5 个棱长为 2 的立方体的表面积：每个棱长为 2 的立方体的一个面可以转移到棱长为 4 的立方体 上，所以整个图形的表面积为 5 42 5 4 22 80 80 160 。将其中的 4 4 16 的部分 转移到中心立方体上，所以最后答案为 160 16 6 6 82 1248 12. 若关于 x, y 的方程组
a 2 ，所以 b 0
分段： （1）当 x 2 时， x 2 5 x 2 x 8 x 2 5 x 2 x 8 5x 16 。由于
ab 111 abc 891 c 7 11
8. 下图是一个捕鱼网，这个网是由一个个节点与一条条绳索构建而成（两个相邻节点之 间都有一条绳索）。每次剪一刀，剪断其中的一条绳索，那么最多能剪______刀，使 得剩下的绳索还能连成一个整体（不会断成两部分或者多个部分）
【答案】 24 【解答】要使得剪的次数最多，那么留下的绳索越少越好。一共有 7 5 35 个节 点，为了使得所有节点还能连接起来，那么至少需要保留 35 1 34 条绳索。原先一 共有 6 5 4 7 58 条绳索，所以最多能剪 58 34 24 刀，最后构造如下：
74 满足要求；
（3）如果 N 的个位数为 6 ，则 N a5 或 a 2 b ，检验所有以 6 结尾的数，发现 76 满足要 求； （4）如果 N 的个位数为 8 ，则 N a7 或 a 3b 或 abc ，检验所有以 8 结尾的数，发现 78 满足要求； 综上所述，满足条件的“中环数”有 6 个 10. 将若干个自然数从小到 大排成一行，若满足下面两个条件，这样的排法称为“中环排法” （1）最左边的数为 0，最右边的数为 12，这行数至少有 2 个； （2）任意两个相邻的自然数中有且只有一个数为偶数（注意：0 也是偶数）； 那么，一共有________种“中环排法” 【答案】144 【解答】假设最右边的数为 n ，并设此时满足要求的排法有 an 个。我们先尝试一下
2. 方程
x 133 2 x 267 x 160 5 的解为________． 267 533 80
【答案】 x 400 【解答】观察法，首先 x 400 是方程的解，考虑到一元一次方程只有一个解，所以 答案就是 x 400
3. 9 个鸡蛋的价格为 11 元 a 分， 13 个鸡蛋的价格为 15 元 b 分，其中
0 a 100 ，那么一个 0 b 100
鸡蛋的价格为_______元_______分（注：本题不考虑“角”这个货币单位， 1 元 100 分） 【答案】 1 元 23 分 【解答】设一只鸡蛋的价格为 x 元，则
9 x 1100 a 。考虑到 0 a 100 ，所以 13 x 1500 b
x 4 y 5 3 x 2 y 60 ， 6 1 4 3 2 3 2 5 个圆 S 整个圆， 6 5 6
1 4
x 2 2t 。考虑到 x 、 y 都是正整数，所以 y 27 3t
x 2 2t 0 0 t 8 。我们要求的就是 x y 29 t 的最小值，当 t 取最大值的时 y 27 3t 0
第 15 届中环杯决赛试题解析（六年级） 一、填空题（本大题共 10 小题，每题 6 分，共 60 分）：
15 2 1 2015 17 3 54 0.4 1 3 1 3 31 计算： ________. 2014 2 1 1 2015 8 4 8 3
候， 29 t 达到最小，此时的最小值为 29 8 21 【说明】考察不定方程 7. 已知 0. a b 0. a b c

33 ，相同的字母代表相同的数字，不同的字母也可以代表相同的数 37
字（比如 a b 1 ），则 abc ________.
【答案】 447 【解答】 0. ab 0. abc
9. 如果一个自然数 N N 1 满足： N 的因数个数就是其个位数字，那么这样的 N 就称为 “中环数”（比如 34 2 17 ，所以它有 4 个因数，正好就是 34 的个位数字，所以 34 就 是一个“中环数”），在 2 ~ 84 中，一共有________个“中环数”
【答案】 6 【解答】如果一个数的因数个数是奇数的话，那么这个数必须是完全平方数。在
a x 1 b x2 3x 5 c x 3 d 0 就是
2 x 1 c x 3 d 0 2 c x 2 3c d 0 。由于这个方程有无数个解，所以
c 2 0 c 2 ，所以 x a 5 x c x d x 2 5 x 2 x 8 ，接下来零点 d 3c 2 0 d 8
▲ 若 n 1 ，只有 0，1 这种排法，所以 a1 1 ； ▲ 若 n 2 ，只有 0，1，2 这种排法，所以 a2 1 ；
▲ 若 n 3 ，只有 0，3 或者 0，1，2，3 这 2 种排法，所以 a3 2 ； ▲ 若 n 4 ，只有 0，1，4 或者 0，3，4 或者 0，1，2，3，4 这 3 种排法，所以
1 2a b c d e 1 8 d 2b c d e 2 1 c 4. 五个数 a, b, c, d , e 满足 ，则 a b c d e ________． 4 1 2c d e 4 b 2 2d e 6 a
1100 9x 1200 123 x 133 ；考虑到 0 b 100 ，所以 1500 13x 1600 116 x 123 ；对 123 x 133 、 116 x 123 取交集得 x 123 ，所以一
只鸡蛋的价格为 1 元 23 分 【说明】考察不等式组

33 ab abc 33 ab ，两边同时乘以 999 ，得 111 abc 891 。 37 99 999 37 11 ab 111 必须也是正整数，所以 11| ab 。其次 11
考虑到 abc,891 都是正整数，所以
891
ab ab 111 abc 110 abc ab0 abc a 4 ，结合 11| ab b 4 ，代入 11 11
a3 3 ；
感觉上，这就是一个斐波那契数列，接下来我们要证明这点： （1）当 n 为偶数时， n 前面的数可以是 n 1 、 n 3 、 、1，所以此时
an an 1 an 3 a1 ；
（2）当 n 为奇数时， n 前面的数可以是 n 1 、 n 3 、 、2 甚至不填，所以此时
【答案】 2 【解答】第一个方程乘以 8 、第二个方程乘以 4 、第三个方程乘以 2 、第四个方程乘 以 1 ，然后全部相加，从而推出 16a 16b 16c 16d 15e 30 a b c d ，所以
abcd e 2
【说明】考察方程组 5. 如图， ABC 是等边三角形， D, E, F 分别是三条边上的中点， AB 2 。所有圆弧的半 径均相同，那么阴影部分面积与 ABC 的面积之差（大减小）为________（答案保留
）
A
D
E
B
F
C
【答案】 【解答】设正三角形的面积为 S ，则阴影部分面积可以分为两大块：其中一大块就 是在 ABC 内部的阴影部分，另一大块就是三个 个圆。显然，在 ABC 内部的阴影 部分面积为 S 个圆，所以阴影部分总面积为： S 个圆 3 所以两者的面积之差就是整个圆，为 r 2 6. 从甲地到乙地的路只有上坡与下坡，上坡与下坡长度的数值都是正整数，单位是千 米。如果上坡的速度是 4 千米，下坡的速度是 6 千米，从甲地到乙地需 5 小时，则 甲、乙两地之间距离的最小值为_______． 【答案】21 【解答】设上坡的长度为 x 千米，下坡的长度为 y 千米，则 这个不定方程的通解为
1.
【答案】2015 【解答】
15 2 1 2015 17 3 54 0.4 1 3 1 3 31 2014 2 1 2015 1 8 4 8 3 2 3 5 20 54 31 5 15 3 8 4 9 3 5 20 54 31 5 3 8 36 5 3 5 20 54 31 3 5 3 28 20 91 31 28 4 5 7 13 31 5 13 31 2015 47