第九章 立体几何复习课件6空间直线及平面间关系的综合训练
2020高考江苏数学(理)大一轮复习课件：第九章 第47课 直线与平面、平面与平面的平行
【备考策略】 1. 由于立体几何知识点、定理和方法较多，所以复习时主要从一条主线 “线线 →线面→面面”进行梳理和总结，即两个关系(平行与垂直)，其中包括三个平行(线线 平行、线面平行、面面平行)，三个垂直(线线垂直、线面垂直、面面垂直)． 2. 在复习时要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，体会 量与位置关系的变与不变，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者之间的内在联 系，体会到空间问题平面化(即转化与降维思想)．柱、锥、台之间的割与补，是处理 立体几何问题的重要手段，但此类问题在近几年并不多见，适当关注即可．
2. (必修 2P45 习题 9 改编)已知 α，β，γ 三个平面，α∥β，β∥γ，那么 α 与 γ 的位 置关系为___α_∥__γ __．
3. (必修 2P41 练习 1 改编)已知命题 p：平行于同一条直线的两个平面平行；命题 q：垂直于同一条直线的两个平面平行．那么真命题为____q____，假命题为____p____．
4. (必修 2P32 练习 2 改编)已知两条相交直线 a，b，若 a∥平面 α，那么直线 b 与平面 α 的位置关系是___平__行__或__相__交____．
【解析】直线 b 不能在平面 α 内．
5. (必修 2P32 练习 3 改编)如图，在三棱台 ABC－A1B1C1 中，A1B1 与平面 ABC 的 位置关系是____平__行______，AA1 与平面 BCC1B1 的位置关系是__相__交____，AC 与平面 ACC1A1 的位置关系是线__在__面__内__．
(例 3(1))
(1) 求证：BE∥平面 DMF； 【解答】如图(2)，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO.
空间直线与平面平面与平面之间的位置关系PPT课件
1.两个平面平行—— 没有一条公共直线.
a
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练习：
若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β
的
B
位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
【C．解重析合】由公理3知D，．α不与确β相定交．
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例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？ 画出图形表示你的结论.
判断直线与平面的位置关系关键在于——判断 直线与平面的公共点的个数.
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a α
a a
A
α
α
直线在平面α内 直线与平面α相交
直线与平面α平行
有无数个交点 a⊂α
有且只有一个交点 a ∩ α= A
无交点 a∥α
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下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
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答:有可能1条交线，也有可能3条交线.
（1）
（2）
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(3)
1.若直线a不平行于平面α，且 立的是（ B ）
A.α内所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交
则下列结论成
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2.平面α//平面β,且直线a在平面α内，下列四个 命题： ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内的无数条直线平行； ③a与β内的任一直线都不垂直； ④a与β无公共点. 其中错误命题的序号为__①___③_____.
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
第九章 立体几何9-3空间点、直线、平面之间的位置关系
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形． 设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面 ABD，
∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD， ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD. ∴EH、FG、BD三线共点．
如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、 CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于 N，RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K 三点共线．
解析：∵PQ∩CB＝M，∴M∈PQ，M∈CB，
∵PQ⊂平面PQR，CB⊂平面BCD，
∴M∈平面PQR，M∈平面BCD，
∴M是平面PQR与平面BCD的公共点，同理
由PQ∩DB＝N，及RP∩DC＝K知，N，K也
是平面PQR与平面BCD的公共点，∵平面
PQR与平面BCD不重合，∴M、N、K在平
面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K
重点难点 重点：①平面的概念与基本性质 ②空间直线、平面之间的各种位置关系 难点：①证明点共线、线共点、点线共面等 ②异面直线的判定
知识归纳 1．平面的基本性质 (1)连接两点的线中，线段最短；过两点有 且只有一条直线． (2)基本性质1：如果一条直线上的两点在一 个平面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内． 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面，即不共线的三点确定一 个平面． 基本性质3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有经过这个公共点
∴①真；
过M作ME∥DC，交CC1于E，∵DC∥AB， ∴ME∥AB；过M作MF∥A1D1，交AA1于F， ∵A1D1∥B1C1，∴MF∥B1C1，∴AB与 B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样 的平面MEF有且仅有一个，故选C. 答案：C
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
中职教育《立体几何(第一轮复习)》课件
l
a
Ma
b a
b
M
l
b
la
线不在多，重在相交
l b
2.直线和平面垂直的性质定理：
知识梳理
性质1
如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直 线垂直于平面的任意一条直线.
性质2
如果两条平行线中的一条与平面垂 直,那么另一条也与这个平面垂直.
a‖ b .
abຫໍສະໝຸດ ab知识梳理例1.空间四边形ABCD， AB AC，DB DC， 求证：BC AD.
第九章 立体几何
总复习
• 2015: 9分（选择题和填空题各一道） • 2016：10分（2道选择题） • 2017：13分（1道大题） • 2018：13分（1道大题） • 2019：13分（1道大题） • 2020：13分（1道大题）
知识结构
一.平面的基本性质 二.空间两直线的位置关系 三.直线和平面平行的判定和性质 四.直线和平面垂直的判定和性质 五.两个平面平行的判定和性质 六.两个平面垂直的判定和性质
第九章 立体几何
9.1 平面与直线
知识梳理
1 平面的基本性质
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在这个平面内．
.
A, B
Al, Bl
A
直线l
Bl
知识梳理
1 平面的基本性质
公理2
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过这个公共点的直线．
P . l且P l
第九章 立体几何
9.3 直线和平面垂直的 判. 定和性质定理
1.直线和平面垂直的判定
1.直线和平面垂直的定义：
如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂 直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。
《立体几何》PPT课件
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空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有 什么区别？ 提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观 察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观 察几何体而画出的图形.
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16
1.三视图如图的几何体是
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台
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()
17
解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱 与底面垂直. 答案：B
第七章 立体几何
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1
知识点
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1.认识柱、锥、台、球及其简单组
合体的结构特征，并能运用这些 特征描述现实生活中简单物体的 1.柱、锥、台、球及简单几
结构.
何体的直观图、三视图是
2.能画出简单空间图形(长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易
空间几何 组合)的三视图，能识别上述的
1.了解空间向量的概念，了解
空间向量的基本定理及其意
义，掌握空间向量的正交分
空间向量 解及其坐标表示.
及其运算 2.掌握空间向量的线性运算及
[理]
其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其
坐标表示，能运用向量的数
量积判断向量的共线与垂直.
1.空间向量的坐标 表示是用空间向 量解决空间平行 垂直、夹角的问 题的基础.
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22
答案：D
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23
4.如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体
共由
块木块堆成.
解析：由三视图知，由4块木 块组成. 答案：4
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24
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直
专题6 空间直线、平面的平行与垂直(知识点串讲)高一数学下学期期末考点大串讲(人教A版2019)
高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）专题6 空间直线、平面的平行与垂直【知识网格】【知识讲练】知识点一直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理文字语言__平面外__一条直线与此平面内的一条直线__平行__，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面__平行__例1.（2021·江苏高一课时练习）如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM//平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.【答案】存在，点M是线段AE的中点，证明见解析【解析】如图，当点M是线段AE的中点时，PM//平面BCE. 证明PM//CN，即得证.【详解】存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM//平面BCE.证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，则MN//AB且MN＝12 AB，又PC//AB且PC＝12AB，所以MN//PC且MN＝PC，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM//CN.因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM//平面BCE.【变式训练1-1】（2021·江苏高一课时练习）如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若AE BF BGCE FC GD==，则与平面EFGH平行的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】由AE BFCE FC=可得EF//AB.，由BF BGFC GD=可得FG∥CD，再由线面平行的判定定理可得结果【详解】∵AE BF CE FC =，∴EF //AB . 又EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ，∴AB //平面EFGH .同理，由BF BG FC GD=， 可证CD //平面EFGH .∴与平面EFGH 平行的直线有2条.故选：C【变式训练1-2】（2021·全国高一课时练习）已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊂α，b α⊂，且//a b ，求证//a α.【答案】证明见解析【解析】运用反证法，假设直线a 与平面α不平行，则由于a ⊂α，有a 与α相交，设a P α⋂=，推出矛盾可得证.【详解】证明：（反证法）假设直线a 与平面α不平行，则由于a ⊂α，有a 与α相交，设a P α⋂=，若点P b ∈上，则a b P =与//a b 矛盾.若点P b ∉上，则a 与b 是异面直线，这与//a b 相矛盾.于是假设错误，故原命题正确.即//a α.【规律方法】1.线面平行判定定理应用的误区(1)条件不全，最易忘记的条件是a ⊄α与b ⊂α．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．2．判定直线与平面平行的两类方法(1)用定义①用反证法说明直线与平面没有公共点；②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行．(2)用判定定理设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内．知识点二 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条__相交__直线与另一个平面__平行__，则这两个平面平行图形语言符号语言a ⊂β，b ⊂β，__a ∩b ＝P __，a ∥α，b ∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 例2.（2021·浙江高一期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面P AD ，2BC AD =，E 是PD 的中点．（1）求证：//BC AD ；（2）线段AD 上是否存在点N ，使平面//CEN 平面P AB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点N 是AD 的中点时满足题意. 证明见解析解.【解析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点N 是AD 的中点时，平面//CEN 平面PAB . 分别证得//EN 平面PAB 和//CN 平面PAB ，由面面平行判定定理可证得结论.【详解】（1）因为//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以//BC AD ； （2）存在，且当点N 是AD 的中点时，平面//CEN 平面PAB . 下面给出证明：因为E 、N 分别是PD 、AD 的中点，所以//EN PA ，又EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//EN 平面PAB .由（1）知，//BC AN ，又N 是AD 的中点，12BC AD =，所以BC AN =，所以四边形ABCN 是平行四边形，从而//CN BA ， 又CN ⊄平面PAB ，BA ⊂平面PAB ，所以//CN 平面PAB .又因为CN EN N =，所以，平面//CEN 平面PAB【变式训练2-1】（2021·全国高一课时练习）对于不重合直线a ，b ，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出//αβ的有___________.(填写所有正确的序号).①γα⊥，γβ⊥；②//αγ，//βγ；③//a α，//a β；④//a b ，a α⊥，b β⊥.【答案】②④【解析】由面面平行的判定方法逐个分析判断即可【详解】对于①，当γα⊥，γβ⊥时，α与β相交，或α与β平行；对于②，当//αγ，//βγ时，根据平行平面的公理得//αβ；对于③，当//a α，//a β时，α与β相交，或α与β平行；对于④，当//a b 时，若a α⊥，则b α⊥，又b β⊥，//αβ∴；综上，能推出//αβ的是②④.故答案为：②④.【变式训练2-2】（2021·全国高一专题练习）在正方体1111ABCD A BC D —中，E 是棱1BB 的中点．（1）求证：1//B D 平面ACE ．（2）若F 是棱1CC 的中点，求证：平面1//B DF 平面ACE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连BD ，使BD AC G ⋂=，连EG ，可得1//DB GE ，即可证明；（2）通过1//B F CE 证明1//B F 平面ACE ，再结合（1）即可证明.【详解】（1）连BD ，使BD AC G ⋂=，连EG ．∵ABCD 是正方形，BD AC G ⋂=，DG BG ∴=．又E 是1BB 中点，1B E BE ∴=，1//DB GE ∴，又1DB ⊄平面ACE ，GE ⊂平面ACE ，∴1//B D 平面ACE ．（2）∵E 是棱1BB 的中点，F 是棱1CC 的中点．1//B E CF ∴且1B E CF =，1B ECF ∴是平行四边形，1//B F CE ∴，又1B F ∴⊄平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，1//B F ∴平面ACE ，由（1）1//B D 平面ACE ，又111=DB B F B ⋂ ，∴平面1B DF //平面ACE ．【归纳总结】平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．知识点三 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线__平行__ 图形语言符号语言a ∥α，a ⊂β，__α∩β＝b __⇒a ∥b 作用 证明两直线__平行__例3. （2021·浙江高一期末）如图所示，已知P 是ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）设平面PBC 平面PAD l =，求证：//l BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用线面平行的性质定理证明；【详解】证明：（1）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得//NE AM 且NE AM =，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD .又因为平面PBC 平面PAD l =，所以//BC l .【变式训练3-1】（2021·江苏高一课时练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【解析】 先证明EF //平面ABCD ，再证明EF //GH ，即得证.【详解】由长方体的性质知，//EF AB ,EF ⊄平面ABCD ,AB ⊄平面ABCD ,所以EF //平面ABCD ，∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ABCD ＝GH ，∴EF //GH .又EF //AB ，∴GH //AB .故选：A【变式训练3-2】（2021·全国高一课时练习）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，过1A ，B ，1C 的平面与平面ABC 的交线为l ，则l 与直线11AC 的位置关系为__．【答案】平行【解析】利用线面平行的判定定理和线面平行的性质定理，即可判断出l 与直线11AC 平行．【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，11AC ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以11//AC 平面ABC ,又因为11AC ⊂平面11A BC ，且平面11A BC ⋂平面=ABC l ，所以11//AC l ．故答案为：平行【总结提升】(1)已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线．(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行．知识点四 平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理 文字 语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线__平行__图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒__a ∥b __ 作用 证明两直线平行 例4．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一期末（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D ，1D 分别为AC ，11AC 上的动点，若平面1//BC D 平面11AB D ，请问AD DC是否为定值.若为定值求出该值，若不是定值，说明理由.【答案】是定值1，理由见解析.【解析】连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，由平面1BC D ∥平面11AB D ，得到1BC ∥1OD ，1AD ∥1DC ，则四边形11ADC D 是平行四边形，根据111112C D A C =，得到11111122AD C D A C AC ===，从而可得1AD DC= 【详解】解：如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，由棱柱的性质，可知四边形11A ABB 为平行四边形，所以O 为1A B 的中点，因为平面1BC D ∥平面11AB D ，且平面11A BC ⋂平面111AB D DO =，平面11A BC ⋂平面11BC D BC =， 所以1BC ∥1OD ，所以1D 为线段11AC 的中点，所以111112C D A C =， 因为平面1BC D ∥平面11AB D ，平面11AAC C平面11BDC DC =，平面11AAC C 平面111AB D AD =， 所以1AD ∥1DC ，因为AD ∥11C D ，所以四边形11ADC D 是平行四边形，所以11111122AD C D A C AC ===， 所以1AD DC=，【变式训练4-1】（2021·全国高一课时练习）α､β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定//αβ的是（ ）A ．α､β都平行于直线l ､mB ．α内有三个不共线的点到β的距离相等C ．l ､m 是α内的两条直线且l β//，//m βD ．l ､m 是两条异面直线且//l α，//m α，l β//，//m β【答案】D【解析】根据面面平行的判定和性质，对选项逐个分析判断即可得解.【详解】对于A ，当a αβ=，////l m a 时，不能推出//αβ； 对于B ，当a αβ=，且在α内，在交线a 的一侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出//αβ；对于C ，当l 与m 平行时，不能推出//αβ；对于D ，l ，m 是两条异面直线，且//l α，//m α，l β//，//m β， α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得//αβ，故选：D.【变式训练4-2】（2021·全国高一课时练习）如图，已知平面α//平面β，若点P 在平面α，β之间(如图所示)，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α､β分别交于A ､C ，过点P 的直线n 与α､β分别交于B ､D ，且P A =6，AC =9，PD =8，求BD 的长【答案】24【解析】由面面平行的性质定理可得//AB DC ，则PA PB PC PD =，进而可求得BD . 【详解】设由相交直线,m n 确定的平面为γ，依题意可知AB αγ=，DC βγ=，因为//αβ，所以//AB DC ，则PA PB PC PD =，即6838BD -=，解得24BD =. 【总结提升】常用的面面平行的其他几个性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．知识点五直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的___垂面__.它们唯一的公共点P叫做__垂足__.图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条__相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__a∩b＝P__⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的__交点__叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过__垂足__和__斜足__的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角__，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于__0°__.因此，直线与平面所成的角的范围是__[0°，90°]__．例5. （2021·全国高一课时练习）如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．（1）求证：直线AE⊥直线A1D;（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．【答案】（1）证明见解析；（2）G点即为A1点.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DA1⊥平面ABC1D1，然后证得；（2）取CD的中点H，可证DF⊥平面AHE，得到DF⊥AE，进而AE⊥平面DF A1，从而判定G点即为A1点.【详解】（1）连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，所以DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，所以DA1⊥AE．（2）如图所示，G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH =H ，可证DF ⊥平面AHE ，所以DF ⊥AE ，又DF ∩A 1D =D ，所以AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG ．例6．（2021·全国高一课时练习）如图，边长为2的正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC BC ⊥，且AC BC =．（1）求证：AM ⊥平面EBC ；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出BC ⊥平面ACDE ，可得出AE BC ⊥，再证明出AM CE ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF ，证明出CF ⊥平面ABE ，可得出直线EC 与平面ABE 所成角为CEF ∠，计算出CF 、EF ，即可计算出tan CEF ∠，即为所求.【详解】（1）平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE平面ABC AC =，BC AC ⊥，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ACDE ， AM ⊂平面ACDE ，AM BC ∴⊥，因为四边形ACDE 为正方形，则AD CE ⊥，即AM CE ⊥，BC CE C =，所以，AM ⊥平面EBC ；（2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF ，AC BC =，F 为AB 的中点，则CF AB ⊥，四边形ACDE 为正方形，则AE AC ⊥，平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC =，AE ⊂平面ACDE ，AE ∴⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AE ⊥，AE AB A =，CF ∴⊥平面ABE ，所以，直线EC 与平面ABE 所成角为CEF ∠， AE平面ABC ，AB 平面ABC ，AE AB ∴⊥，226EF AE AF ∴=+=， 2211222CF AB AC BC ==+=， 在Rt CEF 中，90CFE ∠=，故23tan 6CF CEF EF ∠===， 因此，直线EC 与平面ABE 所成角正切值为3. 【变式训练5-1】（2021·全国高一课时练习）如图，A BCDE -是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组【答案】C【解析】由AB ⊥平面BCDE ，结合面面垂直的判定定理可得平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABD ⊥平面BCDE ，平面ABE ⊥平面BCDE ，而由四边形BCDE 为矩形，AB ⊥平面BCDE ，结合面面垂直的判定可得平面ABC ⊥平面ABE ，平面ACD ⊥平面ABC ，平面ADE ⊥平面ABE ，从而可得结论【详解】因为AB ⊥平面BCDE ，AB 平面ABC ，AB 平面ABD ，AB 平面ABE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABD ⊥平面BCDE ，平面ABE ⊥平面BCDE ，又因为四边形BCDE 为矩形，所以BC ⊥平面⇒ABE 平面ABC ⊥平面ABE ，同理可得平面ACD ⊥平面ABC .平面ADE ⊥平面ABE故图中互相垂直的平面共有6组.故选：C.【变式训练5-2】（2021·全国高一课时练习）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AA 1，AB 1∩A 1B =M ．求证：A 1B ⊥平面MAC ．【答案】证明见解析【解析】依题意可得1A B AM ⊥，1AC AA ⊥，即可得到AC ⊥平面ABB 1A 1，由线面垂直的性质得到1AC AB ⊥，即可得证；【详解】证明：因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AA 1，A 1B ∩AB 1=M ，所以A 1B ⊥AM ，AC ⊥AA 1，因为AB ∩AA 1=A ，所以AC ⊥平面ABB 1A 1，1AB ⊂平面11ABB A所以AC ⊥AB 1，因为AM ∩AC =A ，,AM AC ⊂平面MAC所以A 1B ⊥平面MAC ．【总结提升】1.线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．2.求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．知识点六平面与平面垂直的判定1．二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个__半平面__所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的__棱__，这两个半平面叫做二面角的__面__图示平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于__棱__的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的__平面角__图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥lOB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]规定二面角的大小可以用它的__平面角__来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是__直角__的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为__α－l－β__.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角__P－l－Q__2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作__α⊥β__．(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的__横边__垂直．如图所示．(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的__垂线__，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，__l⊂β__⇒α⊥β作用判断两平面垂直例7. （2021·浙江高一期末）把边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD折成60的二面角，此时点A到直线BC的距离是（）A ．aB ．62aC ．33aD ．154a 【答案】D 【解析】 取BC 中点O ，连接AO ，然后根据AD 为BC 边上的高以及二面角的相关性质得出60BDC ∠=，则BCD △是正三角形，4a BO ，再然后根据AC AB =得出AO 长度即点A 到直线BC 的距离，最后根据22AO AB BO =-即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像，取BC 中点O ，连接AO ，因为AD 为BC 边上的高，所以CD AD ⊥，BD AD ⊥，则BDC ∠即为二面角的平面角，60BDC ∠=，因为ABC 是正三角形，所以CD BD =，BCD △是正三角形，2a BC =，4a BO ， 因为AC AB =，O 是BC 中点，所以AO BC ⊥，AO 长度即点A 到直线BC 的距离， 22221516a a AO AB BO a . 故选：D.例8．（2021·全国高一课时练习）如图，已知△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，AB ⊥BD .平面ABC ⊥平面ABD ，点E 与点D 在平面ABC 的同侧，且CE ∥BD ，BD =2CE .点F 为AD 中点，连接EF .求证:平面AED ⊥平面ABD .【答案】证明见解析【解析】首先根据已知条件证得EF ⊥平面ABD ，然后即可证出平面AED ⊥平面ABD【详解】证明 取AB 的中点O ，连接FO ，CO ，因为点F 为AD 中点，所以FO ∥BD 且FO =12BD ， 因为CE ∥BD ，BD =2CE ，所以FO ∥CE 且FO =CE ，所以四边形FOCE 为平行四边形，所以CO ∥EF .因为点O 为AB 的中点，且△ABC 为等边三角形，所以CO ⊥AB又因为AB ⊥BD ，平面ABC ⊥平面ABD ，且平面ABC 平面ABD=AB所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥CO ，又AB ∩BD =B ，所以CO ⊥平面ABD ，又CO ∥EF ，所以EF ⊥平面ABD ，因为EF ⊂平面AED ，所以平面AED ⊥平面ABD .【变式训练6-1】（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥DABC 中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有___________(写出全部正确命题的序号).①平面ABC ⊥平面ABD ；②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ；④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .【答案】③【解析】由等腰三角形三线合一的性质可得BE AC ⊥，DE AC ⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ，然后利用面面垂直的判定定理可得平面ABC ⊥平面BDE ，平面ACD ⊥平面BDE【详解】因为AB CB =，且E 是AC 的中点，所以BEAC ⊥，同理有DE AC ⊥，因为BE DE E ⋂=，,BE DE ⊂平面BDE .所以AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为：③.【变式训练6-2】（2021·全国高一课时练习）在矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 是AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，得到如图所示的四棱锥-P BCDE ．（1）若平面PDE ⊥平面BCDE ，求四棱锥-P BCDE 的体积；（2）若PB PC =，求证：平面PDE ⊥平面BCDE ．【答案】（1）22（2）证明见解析．【解析】（1）先证明线面垂直得锥体的高，再求体积.（2）先证线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直.【详解】（1）如图所示，取DE 的中点M ，连接PM ，由题意知，PD PE =，PM D E ∴⊥，又平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面BCDE DE =，PM ⊂平面PDE ，PM ∴⊥平面BCDE ，即PM 为四棱锥-P BCDE 的高．在等腰Rt PDE 中，2PE PD AD ===，122PM DE ∴==， 而梯形BCDE 的面积11()(24)2622S BE CD BC =+⨯=⨯+⨯=， ∴四棱锥-P BCDE 的体积11262233V PM S =⨯⨯=⨯⨯=．（2）取BC 的中点N ，连接PN 、MN ，则BC MN ⊥，PB PC =，BC PN ∴⊥，MN PN N =，MN 、PN ⊂平面PMN ，BC ∴⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，BC PM ∴⊥，由（1）知，PM DE ⊥，又BC 、DE ⊂平面BCDE ，且BC 与DE 是相交的，PM ∴⊥平面BCDE ，PM ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面BCDE ．【总结提升】1.证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直．(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．2..求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．3．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE 为二面角A －BC －D 的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．知识点七 直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一个平面的两条直线__平行__ 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒__a ∥b __ 图形语言作用 证明两直线平行例9. （2021·全国高一课时练习）已知平面//αβ，a 是直线，则“a α⊥”是“a β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 根据充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的性质判断可得出结论.【详解】充分性：因为平面//αβ，若a α⊥，由线面垂直的性质可知a β⊥，充分性成立；必要性：因为平面//αβ，若a β⊥，由线面垂直的性质可知a α⊥，必要性成立.因此，“a α⊥”是“a β⊥”的充要条件.故选：C.【变式训练7-1】（2021·全国高一课时练习）已知直线m ，b ，c 和平面α，下列条件中，能使m ⊥α的是（ ）A ．m ⊥b ，m ⊥c ，b ⊥α，c ⊥αB ．m ⊥b ，b ∥αC ．m ∩b ＝A ，b ⊥αD ．m ∥b ，b ⊥α【答案】D【解析】根据线面垂直的性质定理及判定定理一一判断可得；【详解】解：对于A ：m ⊥b ，m ⊥c ，b ⊥α，c ⊥α，则m 与α可能平行或m α⊂，故A 错误；对于B ：m ⊥b ，b ∥α，则m 与α可能平行或相交或m α⊂，故B 错误；对于C ：m ∩b ＝A ，b ⊥α，则m 与α可能平行或相交或m α⊂，故C 错误；对于D ：由线线平行及线面垂直的判定知选项D 正确．故选：D【变式训练7-2】（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能判定平面α与平面β平行的条件可以是___________.(写出所有正确条件的序号)①α内有无穷多条直线都与β平行；②α内的任何一条直线都与β平行；③直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α；④a α⊥，b β⊥，//a b .【答案】②④【解析】利用平面与平面的位置关系判断.【详解】当α内有无穷多条直线都与β平行，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故①不正确.当α内的任何一条直线都与β平行时，则平面α内必有2条相交直线和平面β平行，据面面平行的判定定理，平面α与平面β平行，故②正确.当直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α时，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故③不正确. 当a α⊥，b β⊥，//a b 时，可证a β⊥，这样，平面α与平面β都和直线a 垂直，故平面α与平面β平行，故④正确.综上，②④正确，①③错误，故答案为：②④.【总结提升】1.当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化2.要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用． 线面垂直性质判定线线垂直．知识点八 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面__垂直__符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l __a ⊂α____a ⊥l __⇒a ⊥β 图形语言作用 证明直线与平面垂直例10. （2021·全国高一课时练习）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）P A⊥底面ABCD；（2）BE//平面P AD；（3）平面BEF⊥平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由面面垂直的性质定理可得；（2）证明四边形ABED为平行四边形得BE//AD，然后由线面平行的判定定理可得；（3）由(1)的线面垂直得P A⊥CD，再底面四边形中垂直证明CD⊥平面P AD，得CD⊥PD，从而可证明CD⊥平面BEF，然后得证面面垂直．【详解】证明：（1）因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.（2）因为AB//CD，CD=2AB，E为CD的中点，所以AB//DE，且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE//AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE//平面P AD.（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.又P A∩AD=A，所以CD⊥平面P AD，PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD//EF.所以CD⊥EF.EF BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又因为CD⊥BE，EF∩BE=E，,因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．【变式训练8-1】（2021·全国高一课时练习）已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（）A．异面B．相交但不垂直C．平行D．相交且垂直【答案】C【解析】根据面面垂直的性质，α⊥β，n在 内且垂直于交线，所以n⊥α，即可得解.【详解】因为α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.故选：C.【变式训练8-2】（2021·全国高一课时练习）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（）A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【答案】C【解析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由面面垂直的性质，可得线面垂直BD⊥平面AA1C1C，进而得到线线垂直.【详解】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，。
高中数学必修一第九章直线平面简单几何体(B)(第课)直线与平面垂直公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：9．4直线和平面垂直 (一)教学目的： 1理解直线与平面垂直的定义； 2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程； 3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平面垂直”的判定定理而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求，必须具备条件“a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝B ，b ⊂α，c ⊂α”才能得到结论“a ⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a ⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容教学过程：一、复习引入： 1观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=，//a αaαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂=⇒二、讲解新课： 1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足③ a ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有a ⊥m利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即 若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α已知：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n求证：l ⊥α分析：在α内平移m ，n ，使它们都通过点B ，这时m ，n 仍保持和l 垂直过点B 作任一条不与m ，n 重合的直线g ，如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ，那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直，即l 垂直α为此，我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA ′，于是m ，n βαm l都是线段AA ′的垂直平分线，它们上面的点到A 、A ′的距离相等 如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等，那么g 也是AA ′的垂直平分线，于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ，过点E 在α内作不通过点B 的直线，分别与m ，n 相交于点C 、D ，容易证明△ACD ≌A ′CD ，进而又可证明△ACE ≌△A ′CE于是EA=EA ′，g ⊥l一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：,m n ''是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ''⊥⊥，求证：l α⊥证明：过点B 作//,//m m n n ''∵,l m l n ''⊥⊥ ∴,l m l n ⊥⊥，过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧分别截取BA BA '=，∴,m n 都是AA '的垂直平分线，∴,AD A D AC A C ''==，在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别与,m n 相交于点,C D ，∴ACD A CD '∆≅∆，∴ACD A CD '∠=∠，又AC A C '=，∴ACE A CE '∆≅∆，∴AE A E '=∴a l ⊥，∴l α⊥．三、讲解范例：例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a ∥b,a ⊥α 求证：b ⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线 αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a // 本题的作用：要证b ⊥α，没有办法？而已知a ∥b ，只需证a ⊥α即可，在证题时起转移作用，但具体要证a ⊥α还需其他方法例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面α和一点P求证：过点P 与α垂直的直线只有一条mb a α证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A （或P ）若另一直线PB α⊥，设,PA PBa αβ= ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β所以过点P 与α垂直的直线只有一条例 3 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m =====∴2222226810AB BC AC +=+== 2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠=即,AB BC AB BD ⊥⊥又∵,,B C D 不共线 ∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；例4 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥求证：AP 在α内证明：设AP 与l 确定的平面为β如果AP 不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l ⊥α，∴l ⊥AM又AP ⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l ，这是不可能的所以AP 一定在α内例5 求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知:P ∉α求证:过点P 有且只有一个平面β∥αEB A 证明:过平面α外一点P 作直线⊥l α,再过点P 作平面β,使⊥l β,则α∥β.因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直,而过点P 与l 垂直的平面是唯一的,所以过点P 且与α平行的平面只有一个.指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.例6 已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，求证：BC AD ⊥证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ，∵,AB AC DB DC ==，∴,AE BC DE BC ⊥⊥， ∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥．四、课堂练习：1．选择题（1）“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 （ ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）（A ）l ⊂α （B ）l ⊥α （C ）l ∥α （D ）l ⊂α或l ∥α答案：（1）B (2)D2．填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条） （不能） 拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6答案：是.假若有两个平面,αβ过点A 都于l 垂直，过这条公共垂线l 作一个不经过两平面,αβ的交线的平面γ，γ与,αβ分别相交于直线,,a b ab l A =且,l a l b ⊥⊥，,,l a b α⊂，从而有a b ，此与a b A =矛盾. 如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是 8求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等 通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面五、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l 垂直于平面α，那么l 就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
数学基础模块(下册)第九章 立体几何
【课题】9。
1 平面的基本性质【教学目标】知识目标:（1)了解平面的概念、平面的基本性质；(2)掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面"时要向学生指出：（1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；（2）有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字;(3）画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了;（4）画两个相交平面，一定要画出交线；(5）当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并且不被其他平面遮住的地方；(6）在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思,一是存在性，即“存在一个平面”;二是唯一性，即“只存在一个平面"．故“确定一个平面"也通常说成“有且只有一个平面”。
【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．（90分钟）【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间＊揭示课题9。
1 平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面(图9−1(1)）、窗户的玻璃面（图9−1(2））、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征:平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．(1） (2）图9−1介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面的一部分．我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面．通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母αβγ、、、来表示不同的平面．如图9−2，记作平面α、平面β．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析过 程行为 行为 意图 间 也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来命名，如图9−2（1）中的平面α也可以记作平面ABCD ,平面AC 或平面BD ． 【说明】根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面，如圆、三角形等．当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°,横边画成邻边的2倍长（如图9−2(1））．当平面正对我们竖直放置的时候，通常把平面画成矩形(如图9−2（2））．仔细 分析 关键 语句记忆20*巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -（如图9−3）的6个面1． 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -,也可以简记作正方体1A C .图9−3 说明强调 引领讲解观察 思考 主动通过例题进一步领会αABC Dβ（2）图9−2（1）过程行为行为意图间果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内．此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l．记作lα⊆．画直线l在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部(如图9−5）．引领分析理解带领学生分析42＊创设情境兴趣导入【观察】观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．质疑思考带领学生分析45*动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9−6）．此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线．平面α与平面β相交,交线为l，记作lαβ=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指不重合的两条直线．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图9−5过程行为行为意图间画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））。
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参考答案：
2、A
3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判 断下列各组直线是否垂直？ （ 1 ） AA 1 与 BC ；（ 2 ） AB 1 与 CD ；（ 3 ） A 1 B1与AD。
参考答案：
3、（垂直 （2）不垂直 （3）垂直
练习9.4.2
1、选择题： （1）下列四个命题中正确的是（ B ） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一平面的两条直线平行；③ 垂直于同一条直线的两条直线平行；④ 垂直于同一平面的两条直线平行。 A．①②④ B．①④ C．① D．①②③④
参考答案：
1、（1）B
（2）一条直线l与平面α内两条直线m， n都垂直，则（ D ） A．l⊥α B．l在α内 C．l∥α D．l与α关系不确定 （3）垂直于三角形两边的直线与三角 形所在的平面的位置关系是（ A ） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．不能确定
参考答案：
1、（2）D 1、（3）A
2、如图，已知ABCD是正方形，P是平面 ABCD外一点，且PA=PC，PB=PD，O是AC 与BD的交点。求证：PO⊥平面ABCD。
高教版中职数学基础模块教学课件
第九章 立体几何
第六单元复习专题
教师 姜永齐
综合训练
练习9.4.1
1、填空题： 如果空间两条直线a和b所成的角等于 ____，那么称这两条直线互相垂直， 记为______。
参考答案：
2、选择题： 给出下列命题： ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线平行 或异面；③经过空间任意一点有且仅 有一条直线与已知直线垂直。 其中正确命题个个数为（ A ） A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
2、因为AB是圆O的直径，C是圆上 点；所以AC⊥BC 又因为PA垂直于圆O所在的平面， BC在圆O所在的平面；所以PA⊥BC
3、已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜 边上的高，以AD为折痕使 BDC成直角， 如图所示．求证：(1)平面ABDC⊥平面 BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2) BAC＝ 60 ．
参考答案：
2、因为ABCD是正方形，所以O 是AC与BD的中点 在△PAC中，PA=PC，则PO⊥AC； 在△PBD中，PB=PD，则PO⊥BD； 因为AC与BD相于点O，且AC与BD 均在平面ABCD中， 所以PO⊥平面ABCD
练习9.4.3
D
参考答案：
1、（1）D
D
参考答案：
1、（2）D
2、如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于 圆O所在的平面，C是圆上任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC
参考答案：
3、(1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC， 所以AD⊥平面BDC， 因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面 ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
参考答案：