第3章离散序列
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第3章 离散信号的时域和Z域分析
f1 (n) f2 (n) f2 (n) f1 (n)
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
f1 (n) [ f2 (n) f3 (n)] f1 (n) f 2 (n) f1 (n) f3 (n)
f1 (n) f2 (n) f3 (n) f1 (n) f2 (n) f3 (n)
任意序列可以利用单位脉冲序列及带时移 单位脉冲序列的线性加权和表示，
如图所示离散序列可以表示为
f (n) 3 (n 1) (n) 2 (n 1) 2 (n 2)
性质：它也具有抽样性，即
f (n) (n) f (0) (n) f (n) (n m) f (m) (n m) f (n) (n m) f (m) (n m)
2． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
这个序列在
n0 n0
n 0 时取值为1，n 0 时取值为0， 因此
称为“单位阶跃序列”。单位阶跃序列如图3所示。
u (n )
1
… －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 n
图 3 u(n)序列
它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶 跃函数u(t)，它也具有截取特性，即可将一个双 边序列截成一个单边序列。
例 设序列
求y(n)= x(n)*z(n) 。
解：
对应点相乘！ n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。 对应点相乘！ 0≤n≤4时，
4＜n≤6时，
6＜n≤10时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
4）卷积的性质 (1)代数定律：交换律、分配律、结合律
m 0 N 1
4．实指数序列
实指数序列是指序列值随序号变化刚好按
第3章-离散时间序列与Z变换1
第3章 离散时间序列及Z变换
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
3.1 离散时间信号--序列 序列 经典序列 序列旳运算 序列旳周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量旳信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化旳信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
3.斜变序列n u(n)
Z[n u(n)]=z1 +2z2 + +nzn +
可利用u(n)旳z变换
zn n=0
=
1 1z1
等式两边分别对z1求导，得
n(z1)n1 n=0
=
1 (1z1)2
= z2 (z 1)2
等式两边各乘z1 ，得到
n(z1)n =
z
n=0
(z 1)2
|z| >1
|z| >1
②旳收敛域 RX <|z|
0
n
RX < RX+ ①、 ②旳公共收敛域 RX < |z|< RX+
RX > RX+双边序列z变换不存在
例已知x(n) =c|n|， c为实数，求X(z) 。
cn 解：x(n)= c|n| =
cn
n<0 n0
1
X(z) = c|n| zn = cnzn + cnzn =X1(z) +X2(z)
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
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(k
)
k i0
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i
(k
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bk
k i0
a b
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(k
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b 1 a
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注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
第3章 离散信源
离散有记忆信源
•
离散有记忆信源：信源先后发出的消息符号之间彼此 依存、互不独立的。 - 这类信源的数学表示比较困难； - 现实存在的信源多是离散有记忆信源； - 离散有记忆信源又可分为：有限记忆信源（马尔可 夫信源）和无限记忆信源。
信源分类小结
离散无记忆信源
单符号的无记忆离散信源 符号序列的无记忆离散信源 符号序列的有限记忆信源 符号序列的无限记忆信源
编码器 消息 信号 信 道 干扰 干扰器 译码器 消息 信 宿
信 源
在实际通信中最常见的信源有话音、文字、图像、数据等。
离散信源的数学模型
离散信源的数学模型
• •
信源可以输出多个符号，每个符号以一定的概率出现。 因此可以用概率来描述信源。
X x1 P p( x ) 1
则信源的熵为
x2 1 4
x3 1 4
1 1 1 1 H ( X ) p( xi ) logp( xi ) log 2 log 1.5 2 2 4 4 i 1
比特/符号
3
3.3.2 离散无记忆信源的扩展信源及其熵
可以一个符号一个符号的来研究信源，但有时这样不能满 足实际应用的需要。 • 汉语：更多地考察的是句子，而不是汉字。 • 英语：更多地考察的是单词，而不是字母。 • 图像：更多地考察的是整幅图像，而不是单个像素。 所以，有必要研究N次扩展信源。
我 们、要、的、把、看、… 碗、机、水、书、框、…
• •
p(们)=0.01，p(碗)=0.01 p(们|我)=0.05， p(碗|我)=0.001
有限记忆信源和无限记忆信源
离散有记忆信源分为 • 有限记忆信源 • 无限记忆信源 有限记忆信源 • 当记忆长度为m时称这种记忆信源为m阶马尔可夫信源， 即信源每次发出的符号与前m个符号有关，与更前面的 符号无关。
new第三章离散时间系统的时域分析
3. 举例 • 例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程：
y(n) ay(n 1) x(n)
• 解：y(0)=ay(-1)+1=1 • y(1)=ay(0)+0=a • y(2)=ay(1)+0=a2 • • y(n)=ay(n-1)+0=an • y(n)=ay(n-1)+0=anu(n)
n y(n) 0.45(0.9) u(n) 0.5u(n) 自由响应 强迫响应
• 零输入响应和零状态响应
用边界条件求系数
C1
5
1
, C2
n
5
1
最终解
1 1 5 1 1 5 y ( n) 5 2 5 2
n
例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解 • 解(有重根)
差分方程特解的形式 • • • • • • • • • 激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an [sin(bn)或 an[C1sin(bn)+C2cos(bn)] cos(bn)]
– 常系数线性差分方程(递归关系式) – 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程
例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。
信号分析与处理(第3版)-第3章part1(时域分析)
14
五、离散信号的描述-序列的表示方法
• 集合表示法：
{x(n)}={……, 0，1，2，3, 4，3，2，1，0，……}
n=0
n值规定为自左向右逐一递增
• 公式表示法： x(n) 4 n , n 3
x(n)
• 图形表示法：
4
3
2 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n
15
1、单位脉冲序列
奈奎斯特（Nyquist）频率： s 2m
10
2、由抽样信号恢复原连续信号
• 取主频带 X () ：
• 时域卷积定理： X () X s ()H ()
xs (t) x(nTs ) (t nTs ) n
h(t )
c
Sa( ct )
x(t) xs (t) * h(t)
n
c
x(nTs
• 频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频 谱X()分别延拓到以±s， ±2s ……为中心的
频谱，其中s为采样角频率
• 频谱的幅度乘上了因子1/Ts，其中Ts为采样周 期
9
二、时域采样定理
对于频谱受限的信号x(t)，如果其最高频率分量为 ωm，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢 复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频 率应满足ω s ≥ 2ωm
• 预习内容：
• 离散信号的频域分析
• 实验1：信号的采样与恢复
34
•即
y(n) {1,1,4,23,32,13,34,21,5,20} 32
7、两序列相关运算
• 序列的相关运算被定义为
xy (n) x(m) y(n m) m
• 可以用卷积符号“＊”来表示相关运算
xy (n) x(n) * y(n)
第3章 离散序列
1、定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域
2、收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x n Z n M
三、一些序列的收敛域
（1）、预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x n Z ，在 Z Z 0收敛，那么，满足
x
0
n
双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，即左边 序列和右边序列之和。
X ( z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
1
x ( n) z n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx
第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx
序列相乘
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2), , x(n) y(n), }
序列权乘
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2), ax(n), }
第二节 离散时间信号序列
序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
第二节 离散时间信号序列
单位抽样序列
(n) 1 ,
0 , n0 n0
δ (n) 1
x(n) nu(n)
单位阶跃序列
1 , u(n) 0 , 斜变序列 n0 n0
u(n) 1
o
n
…
o
x(n)
1
2
3
4
5
n
x(n) nu(n)
… -3 -2 -1 0 1 2 3 n
2、收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x n Z n M
三、一些序列的收敛域
（1）、预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 x n Z ，在 Z Z 0收敛，那么，满足
x
0
n
双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，即左边 序列和右边序列之和。
X ( z)
n
x ( n) z n x ( n) z n
n0
n
1
x ( n) z n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx
第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx
序列相乘
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2), , x(n) y(n), }
序列权乘
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2), ax(n), }
第二节 离散时间信号序列
序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
第二节 离散时间信号序列
单位抽样序列
(n) 1 ,
0 , n0 n0
δ (n) 1
x(n) nu(n)
单位阶跃序列
1 , u(n) 0 , 斜变序列 n0 n0
u(n) 1
o
n
…
o
x(n)
1
2
3
4
5
n
x(n) nu(n)
… -3 -2 -1 0 1 2 3 n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
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第二节 离散时间信号序列
卷积和性质 ❖ 交换律
y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
❖ 结合律
y(n) x(n) h1(n)h2(n) x(n) h1(n) h2(n)
两个线性时不变系统的级联可以交换次序，等效为一个新的线性时不变系统
❖ 分配律
y(n) x(n) h1(n) h2 (n) x(n) h1(n) x(n) h2 (n)
第二节 离散时间信号序列
❖ 序列相关
互相关函数 rxy (m) x(n) y(n m) n
自相关函数
rx (m) x(n)x(n m)
❖序列自相关性质 n
与卷积进行比较
1） 若x(n)是实信号，则rx (m)为实偶函数
若x(n)是复信号，则
共轭
rx
(m)与rx
(m)对应序列互为
2）rx (m) 在m=0达到最大值 3）若x(n)是能量有限信号，当m趋于无穷时，有
❖ 在实际中的离散系统都是因果系统，因此它对应的 Z变换为单边Z变换。
第三节 Z正变换
❖ 我们也可以从拉普拉斯变 换导出Z变换
X
(s)
x(nTs )est dt
n
x(nTs )
(t
nTs ) estdt
x(nTs ) (t nTs )est dt
x(nTs )esnTs X (esTs )
❖因果系统和非因果系统 或者 h(n) 0, n 0
输出只取决于当前的输入和过去的输入
❖ 本章讨论仅限线性时不变系统，实际应用中研究因 果稳定的系统。
第二节 离散时间信号序列
时间信号又称时间序列，是按一定 次序排列的一组数。
❖单位抽样序列
(n) 1 ,
0 ,
n0 n0
❖单位阶跃序列
u(n)
一、离散系统的定义
离散（时间）系统是指输入输出都是时间序列的系
统。输入 x(n) 又称为激励，输出 y(n) 又称为响应。
二、离散系统的分类
离散时间系统可以用变换（运算）T[ ]来表示。 ❖ 线性离散系统和非线性离散系统
T[a1x1(n) a2x2 (n)] a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)] a1y1(n) a2 y2 (n)
1 0
, ,
n0 n0
❖斜变序列x(n) nu(n)
单位阶跃序列常用来表示定义域
δ(n)
1
x(n) nu(n)
o
n
u(n)
1
…
o 1 23 4 5 n
x(n)
…
-3 -2时间信号序列
x(n)
❖正弦序列
x(n) Asin（ n )
振幅、初始相位角、数字角频率，是周期序列吗？
y(n) x(n n0 ) 正整数，右移，负整数，左移
❖ 序列折叠：将原序列以纵轴为对称轴进行折叠
y(n) x(n)
❖序列卷积（离散卷积或卷积和 ）表征了系统响应
y(n)与激励x(n)和单位冲激响应h(n)的关系 。
y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m h(n)反转延迟，再与x(n)进行序列相乘，并求和
线性离散系统的零状态响应
n
第一节 离散时间系统
❖ 时不变离散系统和时变离散系统 x(n) y(n)则x(n k) y(n k) 满足时不变，否则时变
系统的输入在时间轴上有个平移，输出也产生同样的时间上的 平移
❖稳定离散系统和非稳定离散系统
❖ 有界输入产生有界输出，或者： | h(n) | n
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2),, x(n) y(n),}
❖ 序列权乘
序列的每一项都乘于权系数
a{x(n)} {ax(n)} {ax(0), ax(1), ax(2),ax(n),}
第二节 离散时间信号序列
❖ 序列延时：对序列进行一定的移位。可以表示为
n
则
n
z esTs e( j )Ts eTs e jTs
令：
r eTs
Ts
z re j
❖ 是离散系统和离散信号的圆周频率，单位为 rad. 是连续系统和连续信号的角频率，单位为 rad/s。
X (z) x(n)(re j )n [x(n)r n ]e jn
n
n
Z变换存在的条件是：
| x(n)r n |
n
X
(
z)
|
ze
j
x(n)(re j )n [x(n)]e jn
n
n
单位圆上的Z变换变成了离散序列的傅立叶变换。
lim
m
rx
(m)
0
延迟到无穷元处的序列与自身的相关性为零
第三节 Z正变换
在离散信号和系统中，Z变换的运算方法与拉普拉斯类似，可 以将问题从时域转换到复频域进行分析和处理。
一、Z变换的定义
❖双边Z变换 X (z) Zx(n) x(n)z n n
❖单边Z变换 X (z) Z x(n)u(n) x(n)zn n0
《信号分析与处理》课程
第三章 离散时间序列及其Z变换
重点内容:离散时间系统和序列，序列的Z变换及其性质，Z 变换和傅立叶变换的关系.
第一节 离散时间系统 第二节 离散时间信号序列 第三节 Z正变换 第四节 Z反变换 第五节 Z变换的性质 第六节 Z变换与拉普拉斯变换的关系 第七节 离散信号的Z变换
第一节 离散时间系统
T[ ak xk (n)] T[ak xk (n)] akT[xk (n)] ak yk (n)
k
k
k
k
y(n) T[x(n)] T[ x(k) (n k)] x(k)T ( (n k)]
不满足这个关系 的离散系统为非 线性离散系统
k
k
x(k)h(n k) x(n) h(n)
…… n
❖矩形脉冲序列
GN (n)
1 , 0 n N 1
GN (n) 0 ,
1
n 0或n N 1
…
❖单边指数序列
o 12 3
矩形脉冲序列的等间隔抽样
N-1 n
x(n) anu(n)
x(n)
1
指数函数信号的等间隔抽样
……
❖ 任意时间序列：任意连续时间信号的等间隔采o 样 1 2 3 N n
x(n) x(k) (n k) 离散信号的时域分解
第二节 离散时间信号序列
二、序列的基本运算
❖ 序列加减
各序列同序号的数值对应相加减
x(n) y(n) {x(0) y(0), x(1) y(1), x(2) y(2),,
x(n) y(n),}
❖ 序列相乘
各序列同序号的项对应乘积所组成的序列