高等代数环的定义与性质
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运算叫做加法，记为“+”。
2、 定义2：代数系统),;A (⋅+称为环，若1）（A ，+）是加群；2）代数系统);A (⋅适合结合律；3）乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。
3、 例子（1）),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都是环，均称为数环。
（2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (⋅+也是数环，称之为高斯整环。
（3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
（4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ⋅+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [⋅ = [αβ].（5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下：,A b ,a ∈∀αβ=0，则),;A (⋅+作成一个环，称之为零环。
（二）环的基本性质：（1）0x a a x =⇒=+。
（2）a x x a -=⇒=+0。
（3）c b c a b a =⇒+=+。
（4）nb na )b a (n +=+。
（ν为整数）（5）na ma a )n m (+=+。
（μ、ν为整数）（6）)na (m a )mn (=。
（μ、ν为整数）（7）,A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。
（8）ab )b (a b )a (-=-=-。
（9）ab )b )(a (=--。
（10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
（11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
（12）)ab (n )nb (a b )na (==。
(ν为整数)。
（13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则()k n k nk k n n b a C b a -=∑=+0（14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
环与域 高等代数中的抽象代数概念
环与域高等代数中的抽象代数概念高等代数是数学的一个分支，其中包括了许多抽象的代数概念。
在高等代数中，环与域是两个非常重要的概念。
本文将介绍环与域的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、环的定义和性质1.1 环的定义在抽象代数中，环是一个包含了加法和乘法两种运算的集合，同时满足一些基本的性质。
具体来说，一个环需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律和分配律。
1.2 环的性质在环的定义中，我们可以得到一些重要的性质：（1）加法运算满足交换律。
（2）乘法运算不一定满足交换律。
（3）环中存在一个乘法单位元素。
（4）任意元素都存在相反元素。
二、域的定义和性质2.1 域的定义域是一种广义的环，更加严格地定义了乘法运算。
具体来说，一个域需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律、存在单位元素。
（4）每个非零元素都存在乘法的逆元素。
2.2 域的性质与环相比，域更加严格，因此具有更多的性质：（1）加法运算和乘法运算都满足交换律。
（2）存在加法单位元素和乘法单位元素。
（3）每个非零元素都存在乘法逆元素。
（4）对于乘法运算满足消去律。
三、环与域的应用环与域作为抽象代数的基础概念，在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 线性代数线性代数中的向量空间和矩阵空间可以被看作是特定类型的环。
通过对环的研究，我们可以推导出许多线性代数中的重要结论和算法，例如矩阵的乘法、行列式的计算等。
3.2 代数几何代数几何研究的是通过代数方程和环的方法来研究几何问题。
环论在解析几何、射影几何等领域的研究中起着重要的作用，能够通过代数方法来描述和解决几何问题。
3.3 数论数论研究的是整数的性质和规律，而环论和域论在数论中扮演着重要的角色。
代数学中的环的理论与格的结构
代数学中的环的理论与格的结构代数学是数学的一个重要分支，研究代数结构及其性质。
环是代数学中的一个基本概念，它在代数学中扮演着至关重要的角色。
本文将介绍代数学中环的理论以及与之相关的格的结构。
一、环的定义与性质在代数学中，环是一个集合，配上两种运算：加法和乘法。
具体来说，一个环需要满足以下性质：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素a和b，其和a+b以及积ab也必须属于该环。
2. 结合性：环的加法和乘法都要满足结合律，即对于任意的a、b 和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 加法单位元：环中存在一个元素0，满足对于任意的a，有a+0=0+a=a。
4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b=b+a=0。
5. 乘法单位元：环中存在一个元素1，满足对于任意的a，有a*1=1*a=a。
6. 分配律：对于任意的a、b和c，满足a*(b+c)=a*b+a*c和(b+c)*a=b*a+c*a。
二、环的例子在代数学中，有很多具体的环的例子。
下面我们介绍几个常见的环：1. 整数环：集合是整数集Z，加法和乘法运算分别是整数的加法和乘法。
整数环是一个典型的环。
2. 多项式环：集合是多项式的全体组成的集合，加法和乘法运算分别是多项式的加法和乘法。
多项式环也是一个环的例子。
3. 矩阵环：集合是所有n×n的矩阵的集合，加法和乘法运算分别是矩阵的加法和乘法。
矩阵环也是一个环的例子。
三、格的结构格是一个代数结构，它由一个偏序集合和两种运算组成：最大公约元运算和最小公倍元运算。
在代数学中，环和格是密切相关的。
给定一个环R，我们可以定义R的理想的集合为R的一个子集，满足以下性质：1. 对于任意的x和y属于该理想的元素，有x+y属于该理想。
2. 对于任意的x属于该理想的元素和r属于R中的任意元素，有rx和xr都属于该理想。
理想的集合可以构成一个格结构，其中最大公约元运算是交集，最小公倍元运算是并集。
820高等代数知识点总结
820高等代数知识点总结一、环与域环是代数学中一个非常重要的概念，它是一种代数结构，具有加法和乘法两种运算。
一个集合R满足以下条件时，我们称它为一个环：1. 对于R中的任意两个元素a和b，都有a + b和a × b也属于R；2. 对于R中的任意两个元素a、b和c，有结合律：(a + b) + c = a + (b + c)和(a × b) × c = a × (b × c)；3. 对于R中的任意两个元素a、b和c，有分配律：a × (b + c) = a × b + a × c和(b + c) × a =b × a +c × a；4. 存在一个元素0，对于任意元素a，有a + 0 = a；5. 对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = 0。
域是环的一个推广，它是一种具有加法、乘法和除法三种运算的代数结构。
一个集合F满足以下条件时，我们称它为一个域：1. 对于F中的任意两个元素a和b，都有a + b和a × b也属于F；2. 对于F中的任意两个元素a、b和c，满足交换律：a + b = b + a和a × b = b × a；3. 对于F中的任意两个非零元素a和b，有除法运算a/b也属于F，并且满足结合律和分配律。
二、群与环群是代数学中的一种抽象代数结构，它是一个集合G加上一个满足封闭性、结合律、单位元素和逆元素的二元运算构成的代数结构。
满足以下条件时，我们称它为一个群：1. 对于G中的任意两个元素a和b，都有a • b属于G；2. 对于G中的任意三个元素a、b和c，有结合律：(a • b) • c = a • (b • c)；3. 存在一个元素e，对于任意元素a，有a • e = a和e • a = a；4. 对于任意元素a，存在一个元素a^-1，使得a • a^-1 = e和a^-1 • a = e。
环的基本概念和性质
环的基本概念和性质环是一种非常基础的代数结构，它涉及了许多数学分支中的重要概念和方法。
其中，环的基本概念和性质是最为基础和重要的部分，被广泛应用于许多领域，如数论、几何、代数学等。
本文将从环的定义、基本性质、构造、同态等方面进行阐述，希望能够为读者提供一个全面而清晰的认识。
一、定义环是一个集合R，具有两个二元运算“+”和“×”，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个Abel群，其中“+”表示加法运算；2. R关于“×”封闭，即对于任意的a,b∈R，都有a×b∈R；3. “×”满足分配律，即对于任意的a,b,c∈R，都有a×(b+c)=a×b+a×c和(b+c)×a=b×a+c×a。
这就是环的基本定义。
其中第一点说的是集合R按照加法运算构成了一个Abel群，这表明加法是一个满足结合律、交换律、存在零元素和存在逆元素的运算。
第二点说的是集合R按照乘法运算封闭，这是乘法必须满足的条件。
第三点则表明乘法运算在加法运算之间具有分配律。
二、基本性质由于环是集合和运算的关系，因此我们可以从两方面来探讨环的基本性质，即关于集合和运算两个方面。
1. 关于集合方面，有以下性质：（1）环的元素个数可以有限，也可以无限；（2）零元素在环中是唯一的，表示为0；（3）任意一个非零元素都有唯一的逆元素；（4）环可以是交换的或非交换的。
其中，零元素在环中的唯一性保证了加法是有意义的，任意一个非零元素都有逆元素则表明乘法的可逆性。
2. 关于运算方面，有以下性质：（1）加法是满足结合律、交换律、存在零元素和存在逆元素的运算；（2）乘法是满足结合律和分配律的运算；（3）加法和乘法的交换律可以有，也可以没有；（4）对于任意元素a∈R，有a×0=0×a=0。
这些性质是环的基本性质，它们保证了环的存在和基本运算的合理性。
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（群），其运算叫做加法，记为“+”。
2、 定义2：代数系统),;A (⋅+称为环，若 ）（，）是加群；）代数系统);A (⋅适合结合律；）乘法);A (⋅对加法的分配律成立。
3、 例子（1）),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都是环，均称为数环。
（）、∈，－，则),];i [Z (⋅+也是数环，称之为高斯整环。
（）设是任一数环，则关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
（）所有模剩余类，则),;Z (n ⋅+是模剩余类环，这里＋，]b []a [⋅ （）设（，＋）是加群，规定乘法如下：,A b ,a ∈∀，则),;A (⋅+作成一个环，称之为零环。
（二）环的基本性质：（）0x a a x =⇒=+。
（）a x x a -=⇒=+0。
（）c b c a b a =⇒+=+。
（）nb na )b a (n +=+。
（为整数） （）na ma a )n m (+=+。
（、为整数） （）)na (m a )mn (=。
（、为整数）（）,A a ∈∀000=⋅=⋅a a 。
（）ab )b (a b )a (-=-=-。
（）ab )b )(a (=--。
（）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
（）j m i nj i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
（）)ab (n )nb (a b )na (==。
为整数。
（）若环中元a 、b 满足ba ab =，则()k n k nk k n nb a C b a -=∑=+0（）mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
（、为整数）（三）交换律与单位元：、定义：环R叫做交换环，若,R∀有b,a∈ab=ba定义：环R的元e称为单位元，若,R∀有a∈=ae=eaa约定：环R若有单位元，则记其单位元为，并称R为有的环。
第14讲 环的概念及例子
例4 令 f : M n1 (F) Mn(F) A n 1 A n 1 0 0 0
例5 令 h : Mn(F) M n1 (F), A n 1 α A n 1 β t 易知 h 保持加法运算. 但 h 不是环同态.
易知 f 是环同态.
f 是单同态: Ker( f )={0}. 同构＝同态＋双射 f 是满同态: Im( f )=T.
是ＨＲ上的一个基． I2=J2=K2= E． IJ=K= JI, JK=I= KJ, KI=J= IK.
作业：P89, 2,3,4.
定义1
命题1
设S是环R的子集, 1 ∈S. 若S关于R的运 算也是一个环,则称 S为R的子环,记SR.
设S是环R的子集, 则 SR a,b∈S 有 a b∈S, ab∈S, 且 1 ∈ S.
1) 基本运算 性质 a,b∈R 2) 3)
(a+b)= a b a0=0=0a ab=(a)(b)
乘法满足 交换律的 环叫交换 环.
例1 复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z 关于数的加法和乘法运算都是环。 数集关于数的加法和乘法运算作成的环，叫数环。 例2 域F上的全体多项式集合F[x]关于多项式
的加法和乘法运算是一个环.
例3 域F上的全体 n 阶方阵Mn(F)关于矩阵的加法和 乘法运算是一个环。
定 义
设R ,T都是环, 如果映射 f : R T a,b∈R 保持运算:
1) f(a+b) = f(a)+ f(b),
2) f(ab) = f(a) f(b),
则称 f 是 R 到 T 的一个同态。 f 的核: Ker( f )={a∈R: f(a)=0T} (R?).
f 的像: Im( f ) = { f(a): a ∈R } (T?).
环、域及其扩张的定义及应用
环、域及其扩张的定义及应用数学中环和域是两种常见的代数结构，它们在各种领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对环、域及其扩张的定义及应用进行深入探讨。
一、环的定义环是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈R，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈R，使得对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+b=b+a=0。
其中，R表示环的集合，+表示环内的加法。
二、域的定义域是一个满足以下四条性质的代数结构：1.加法交换律：对于任意的a、b∈F，有a+b=b+a。
2.加法结合律：对于任意的a、b、c∈F，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零元存在：存在一个元素0∈F，使得对于任意的a∈F，有a+0=0+a=a。
4.加法逆元存在：对于任意的a∈F，存在一个元素-b∈F，使得a+b=b+a=0。
另外还需要满足以下两个性质：5.乘法交换律：对于任意的a、b∈F，有ab=ba。
6.乘法可逆性：对于任意的a∈F且a≠0，存在一个元素a-1∈F，使得aa-1=a-1a=1。
其中，F表示域的集合，加法和乘法分别用+和*表示。
三、环和域的应用环和域是代数学中最基本的概念之一，它们在生活中和各个学科中都有着广泛的应用。
在计算机科学中，环和域与计算机安全和编码有着密切的联系。
例如，加密算法中的密钥就采用了有限域的概念，而在编码理论中，环和域是研究编码和纠错技术的基础。
在物理学中，环和域的概念也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，对于一个系统的可观测量，其取值范围可以用一个域来描述。
在经济学中，环和域也有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，利用有限域可以实现数字签名和身份认证等安全技术。
总之，环和域作为代数学领域的基本概念，在各个学科中都有着广泛的应用。
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一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义:1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫做加法,记为“+”。
2、 定义2:代数系统),;A (⋅+称为环,若1)(A,+)就是加群;2)代数系统);A (⋅适合结合律;3)乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。
3、 例子(1)),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都就是环,均称为数环。
(2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (⋅+也就是数环,称之为高斯整环。
(3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。
(4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ⋅+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [⋅ = [αβ].(5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈∀αβ=0,则),;A (⋅+作成一个环,称之为零环。
(二)环的基本性质:(1)0x a a x =⇒=+。
(2)a x x a -=⇒=+0。
(3)c b c a b a =⇒+=+。
(4)nb na )b a (n +=+。
(ν为整数)(5)na ma a )n m (+=+。
(μ、ν为整数)(6))na (m a )mn (=。
(μ、ν为整数)(7),A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。
(8)ab )b (a b )a (-=-=-。
(9)ab )b )(a (=--。
(10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。
(11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。
(12))ab (n )nb (a b )na (==。
(ν为整数)。
(13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则()k n k nk k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。
(μ、ν为整数)(三)交换律与单位元:1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈∀有ba ab =定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈∀有a ea ae ==约定:环R 若有单位元,则记其单位元为1,并称R 为有1的环。
性质:设R 就是有1环,则(1)若{}001==R ,则;(2)若P 不仅含一个元,则1≠0.2、 定义5:R 为有1环,a 、,ba ab ,R b 1==∈则称b 为a 的逆元,记为1-a 。
性质:有1环的所有可逆元关于乘法构成群。
二、 整环、除环、域(一)整环1、 定义:设R 为环,a 、R b ∈,若,b ,a 00≠≠ 但0=ab ,则称α为P 的一个左零因子,β为P 的一个右零因子。
定理1:在一个无左零因子的环里,两个消去律都成立;反之,若一个环里有一个消去律成立,则该环无零因子。
推论:环中,若有一消去律成立,则另一消去律也成立。
2、定义:无零因子的有1交换环称为整环。
3、例子(1)A=⎪⎭⎫ ⎝⎛0101、B=⎪⎭⎫ ⎝⎛1100分别就是全阵环M 2(P)的左右零因子。
(2)整数环Z 就是整环;(3)实数域P 上的多项式环P[ξ]就是整环;(4)证明左逆元不就是零因子。
(二)除环与域1、定义:一个至少包含一个非零元的有1环R 中,若R 的任一非零元都有逆元,则称R 为除环(或体)。
交换除环称为域。
2、 基本性质:1)除环无零因子。
2)R 为除环⇔R 有1,且R a ∈≠∀0都可逆。
3)R 为除环,则{}0\R R *=关于乘法作成一 个群,反之也然。
4） R 为除环,则0≠∈∀a ,R b ,a ,方程αξ=β, ψα=β在P 中各有唯一解。
5)R 为域,α、β0≠∈a ,R ,则方程αξ=β,ψα=β在P中各有唯一解,且解相同,记为商的形式ab 。
在域中,商有如下性质: (1)bc ad dc b a ,d ,b =⇔=≠≠则00; (2))d ,b (bdbc ad d c b a 00≠≠+=+; (3))d ,b (bdac d c b a 00≠≠=⋅。
3、 环、整环、除环、域的隶属关系:环P的特征记为Xηαρ(P)定理2:无零因子环的特征或为无限大,或为素数。
推论:整环、除环、域的特征或无限大,或就是素数。
四、子环、环的同态(一)子环1、子环的概念与例子定义1:设∑就是环P的一个非空子集,若∑对于P的两个运算也作成环,则称∑为P的子环,而P为∑的扩环。
特别,可相仿得到子体、子域的概念。
2、子环的判别定理定理1:∑为环P的非空子集,以下四条等价: （1）∑为P的子环;（2）S⇒+-0;∈且∀∈ab,bS∈ac,c,b,aS(3) S+⇒∀;b,a∈∈-S,aaba,b(4) S⇒∈∀。
-,babaSb,a∈定理2:设{0}⎺K 就是体(域)Φ的非空子集,以下四款等价:（1） K 就是Φ有子体(域);（2） K ,K ∈∈10且K d ,c ,ab ,b a K d ,c ,b ,a ∈-+⇒∈≠∀-10;(3) K c ,ab ,b a K c ,b ,a ∈-⇒∈≠∀-10;(4) K ab ,K b a b ,K b ,a ∈∈-⇒≠∈∀-10。
3、环与子环关于交换律、零因子、单位元的情形:1） 关于交换律:① 交换环的子环必就是交换环;② 非交换环的子环可能就是交换环,也可能就是非交换环。
2） 关于零因子:① 无零因子环的子环无零因子;② 有零因子环的子环可能有零因子,也可能无。
3） 关于单位元的例:① Θ、Z 的单位元都为1,这里Z ⊂Θ、② ⎪⎭⎫ ⎝⎛1 00 1 为M 2(P)的单位元,而 R a 0 00 a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=S 的单位元为)R (M S ,20 00 1⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛. ③Z 的单位元为1,但Z 的子环偶数环却无单位元.④⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=z b a, b 00 a R 对运算⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛d b 0 0 c a d 00 c b 00 a , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 ac d 00 c b 00 a 作成环,但P 无单位元,而 z a 0 00 a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=S 为P 的子环,∑有单位元⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 1. ⑤P 为偶数环,{}z n 4∈=n S 为P 的子环,P 与∑都无单位元.(二)环的同态以下总设);;R (•+、);;R (•+就是代数系统。
1、环的同态基本性质:定理1:设 P 就是环,P R ,则R 也就是环,而且 (1)00=)(ϕ;(2)R a ),a ()a (∈∀-=-ϕϕ;(3)若P 为交换环,则R 也就是交换环;(4)若P 有1,则)(1ϕ为R 的单位元。
定理2:设P 、R 都就是环,P R ,则P 就是整环(体、域)⇔R 就是整环(体、域)。
1、 关于零因子与特征的例:(1)ν为合数,[]z a ,a a :∈∀→ϕ,则()•+,;z ()•+,;z n ,而ζ无零因子,n z 有零因子; (2)规定),d b ,c a ()d ,c ()b ,a (++=+),bd ,ac ()d ,c )(b ,a (= 则(){}z b ,a b ,a R ∈=就是环,且有零因子.令a )b ,a (:→ϕ,则P Z,但Z 无零因子。
（3） π为素数,ϕ同 (1) ,则ZZ ∏, 且Xηαρ(Z)+∞=,但Xηαρ(Z ∏)=∏。
3、挖补定理:引理:若存在代数系统),;A (•+到集A 的一个双射ϕ,则可在A 上规定代数运算,使A A 。
定理3(挖补定理)设∑就是环P 的子环,∑＇就是∑在P 中的补集,S 就是另一环。
若φ=S 'S I ,且∑～S ,则存在S 的扩环R 使R R ≅。
五、理想定义:环P 的一个非空子集Θ叫做P 的一个理想子环,简称理想,如果(ι) α、βQ b a Q ∈-⇒∈;(ιι) αQ ar ,ra R r ,Q ∈⇒∈∈。
任何一个环都至少有两个理想:环本身,称为环的单位理想;以及{}0,称为该环的零理想。
定理1:除环只有零理想与单位理想。
定理2:P 就是一个环,R a ∈,则 Y=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈∈+++∑=m i i i i i Z n ,N m ,R t ,s ,y ,x na at sa ay x 1就是P 的一个理想。
定义:定理2中的Y 称为由α生成的P 的一个主理想,记为(α)。
定理3:设α为环P 的元,那么（1） 若P 为交换环,则（2） (α)=｛ρα+Z n ,R r na ∈∈｝;（3） 若P 为有1环,则(α)={};R y ,x ay x i i i i ∑∈ （4） 若P 为有1交换环,则(α)={}R a ra ∈。
定理4:m 21a ,a ,a Λ为环P 的元,则()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑=i m i i i a s s M 1就是P 的理想。
定义:定理4中的M 称为由m a ,a ,a Λ21生成的理想,记为(m a ,a ,a Λ21)。
六、剩余类环、同态与理想若Θ为环P 的理想,则(Θ;+)就是(P;+)的不变子群,那么商群[]{}R a a Q /R ∈= ,其中 []{}Q x x a a ∈+=为R a ∈所在的陪集,并称[]a 为P 的一个模Θ剩余类。
显然,()R b ,a ,Q b a Q b a ∈∀∈-⇔≡定理1:P/Θ对于运算[α]+[β]=[α+β] , [α][β]=[αβ],R b ,a ∈∀作成一个环,且P ～P/Θ,这里Θ为环P 的一个理想。
定义:称P/Θ为环P的模Θ的剩余类环。
定理2:P、R都为环,且P R,则κερϕ为P的一个理想,且P/κερϕR≅.定理3:环P～R,则（ι）P的一个子环(理想)∑的象S就是R的子环(理想);（ιι）R的一个子环(理想)S的逆象∑就是P的子环(理想)。
七、最大理想定义:一个环P的一个不等于P的理想Θ,若P没有其它包含Θ的理想存在,则称Θ为P的一个最大理想。
即,若N为P之一理想,且QN⊃,那么必N=P,则称理想Θ为P的最大理想。
Λεμμα1:Θ为环P的一个理想,P/Θ除零理想与单位理想外不再有理想,当且仅当Θ为最大理想。
Λεμμα2:若有1交换环P除了单位理想与零理想外没有其它理想,则P就是域。
定理:设Θ为有1交换环P的一个理想,则P/Θ就是域⇔Θ为最大理想。