【精品】2015-2016年天津市五区县高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为13．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=18．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为直线y=2x+1，k=2，b=1，因为k＞0，则直线y=2x+1一定经过第一，三象限，又因为b＞0，则直线与y轴的正半轴相交，所以直线直线y=2x+1一定过第一，二，三象限，故不经过第四象限，故选：D．2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1【解答】解：“p：所有抛物线的离心率为1”为全称命题，￢p：“存在一条抛物线的离心率不为1“，故选：C．3．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可知几何体的下部为圆锥，上部为球，圆锥的底面半径为1，高为3．球的半径为1．∴V=+=．故选：A．4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x，∴f′（1）=2×1×e+1×e=3e，故选：C．5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵l⊥α，若m⊂α，则l⊥m，反之不成立，∴l⊥m是m⊂α的必要而不充分条件．故选：B．6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=【解答】解：因为双曲线=1的离心率为，所以=，所以1+=5，所以=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选：A．7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=1【解答】解：抛物线y2=2x的焦点为圆心坐标为：（），准线方程为：x=﹣，圆的半径为：1．圆的方程为：（x﹣）2+y2=1．故选：D．8．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定【解答】解：由题意可知，若M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a，由点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，即有|PF1|+|PF2|＞|MF1|+|MF2|，得出点P在椭圆外部，故选：A．9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AB中点D，BC中点E，连结SD、SE、DE，∵在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC，DE⊥BC，∴SE⊥BC，∴∠SED是二面角S﹣BC﹣A的平面角，且SD==，DE==，SD⊥DE，∴tan∠SED===．∴∠SED=60°．∴二面角S﹣BC﹣A的大小为60°．故选：C．10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由x3﹣ax2+1=0得x3+1=ax2，当x=0时，方程不成立，则方程等价为a=x+，设f（x）=x+，则f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=2，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当2＜x＜5时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，即当x=2时，f（x）去掉极小值f（2）=×2+==，则f（x）对应的图象为，当x=5时，f（5）=×5+=＜，∴若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是1个，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为6．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵对角线的长为，∴=，解得a=1，∴正方体的表面积S=6×12=6．故答案为：6．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=1．【解答】解：∵命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，∴a≥1，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，∴a≤1．∴a=1．故答案为：1．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是4x﹣4y+1=0．【解答】解：y=的导数为y′=，在点（，）处的切线斜率为k==1，可得在点（，）处的切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故答案为：4x﹣4y+1=0．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．【解答】解：∵直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，∴=2，∴k=．∵直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，∴a=．故答案为：．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=6|PF2|，可得|PF2|=a，又|PF2|≥c﹣a，即有a≥c﹣a，可得c≤a，即有e=≤，当P为双曲线的右顶点时，e取得最大值．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为…（1分）∴线段MF的中点为…（3分）∵线段MF的中点在抛物线C上，∴，∵p＞0，∴…（5分）∴抛物线C的方程为y2=x…（6分）（2）直线MF的方程为，即，…（8分）与y2=x联立消去y得，16x2﹣10x+1=0…（9分）解得或，…（10分）当时，；当时，，∴或∴…（12分）17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．【解答】解：（1）∵直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行，∴，…（3分）解得a=﹣4．…（5分）（2）设直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：3x﹣4y+6=0的距离为d，在直线l1上取点（0，﹣1），∴，…（7分）∴圆的半径为．…（8分）设直线l1与直线l的交点为A，由得A（﹣8，﹣7），…（9分）设直线l2与直线l的交点为B，由得B（2，3），…（10分）∵线段AB的中点就是圆心∴圆心坐标为（﹣3，﹣2），…（11分）∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+2）2=1，即x2+y2+6x+4y+12=0．…（12分）18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，…（1分）∴∠FBA就是异面直线BF与CD所成的角…（2分）∵BA⊥平面ADEF，AF⊂平面ADEF，∴BA⊥AF，…（4分）∵AF=1，，∴在直角△FBA中，…（5分）∴，∴异面直线BF与CD所成角的正弦值为．…（6分）证明：（2）∵BA⊥平面ADEF，DE⊂平面ADEF，∴DE⊥BA，…（7分）由已知DE⊥AF…（8分）∵BA，AF是平面ABF内的两条相交直线，…（9分）∴DE⊥平面ABF，…（10分）∵DE⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF…（12分）19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵点在椭圆C：上∴，∴2a2=3b2…（1分）∵b2=a2﹣c2∴2a2=3a2﹣3c2∴a2=3c2…（3分）∴椭圆C的离心率…（5分）（2）显然，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c…（6分）由（1）知b2=3c2﹣c2=2c2，∴椭圆C的方程为即2x2+3y2=6c2，显然点A在椭圆C内…（7分）设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），椭圆C的方程与直线l的方程联立消去y得（3k2+2）x2+6k（k+1）cx+3（k+1）2c2﹣6c2=0…（8分）∴…（10分）∵，∴∴3k（k+1）=3k2+2∴…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）令f′（x）=0，得或，…（2分）在附近，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴是函数f（x）的极小值点，极小值为…（4分）在附近，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴是函数f（x）的极大值点，极大值为…（6分）（2）令f′（x）＞0，得，∴函数f（x）的单调递增区间为…（7分）令f′（x）＜0，得或，∴函数f（x）的单调递减区间为，…（8分）∴根据（1）的结论，函数f（x）的图象大致如下： (10)∵函数g （x ）=a （x ﹣1）的图象恒经过点A （1，0），f （x ）的图象经过点B （0，﹣1），C （﹣1，0）∴直线AB 的斜率为1，AC 的斜率为0， ∵a 是经过点A （1，0）的直线的斜率， ∴可得所求a 的取值范围是0≤a ＜1， 此时唯一的整数为0．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。