高等代数下期模拟题四

一、填空（每小题2分，共10分）

1.设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈ ，则V 是 维空间。

2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*

A B B +=

3．设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足______。

4．设矩阵A 满足条件2

560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号

内。每小题2分，共20分）

1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量

（A ）2()A E + （B ）-3A （C ）*

A （D ）T

A 2．已知A ，

B 为同阶正交矩阵，则下列（ ）是正交阵。

（A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA

3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ ）

（A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1

A -的属于特征值1

λ

的特

征向量

（B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=

（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T

A 有相同的特征值

4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1

P A P -为（ ）。 （A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵

（B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ ）时，0a A b c ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

是正交阵。 （A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则

（A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B =

8. 3

R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为

121012111A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

则基在123,2,ααα下的矩阵为（ ）

（A ）141011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （B ）141044121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （C ）1211012111⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭

（D ）242024222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。

（A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值

（C ）必存在正交矩阵P ，使1

P AP -成为对角矩阵

（D ）A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的

10． 设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（）

（A ）A 与B 有相同的特征值 （B ）A 与B 有相同的特征向量 （C ）A 与B 与同一矩阵相似 （D ）A 一定有n 个不同的特征值

三、计算题（每小题8分，共64分）

1.设n 阶矩阵 (2)n ≥

1111

111

11A ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵

2．已知向量(1,,1)T k α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的逆矩阵1

A -的特征向量，求常数k 。

3．设 4维空间的两组基为

（A ）123452002100,,,00830052αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（B ）123410010210,,,00210001ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1）求基（A ）到（B ）的过渡矩阵

2）求向量123462ββββ=+-在（A ）下的坐标。 4．设 123,,ααα为线性空间的一组基，线性变换T 在基123,,ααα下的矩阵为

121110101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

α在基123,,ααα下的坐标为(1,2,3)-，求T α在基123,,ααα下的坐标

。

5．设矩阵1114335A x

y -⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪--⎝⎭

，已知A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1

P AP -为对角阵

6．设矩阵101020101A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，矩阵2()B kE A =+，其中k 为实数，求对角阵Λ，使B 与Λ

相似，并求k 为何值时，B 为正定阵

7．已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为8，2，2，对应特征值2λ=的特征向量为12(1,1,1),(1,1,0)T T X X ==-，求：

（1）8λ=对应的特征向量3X ；（2）问A 是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵A ，并求出矩阵P ，使1

P AP A -=。