高等代数下期模拟题四
湖北省2024届高三下学期四月模拟考试数学试题含答案
2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷（答案在最后）本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A.()15,12- B.0C.3- D.11-2.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞D.(⎤⎦3.下面四个数中，最大的是（）A.ln3B.()ln ln3 C.1ln3D.()2ln34.数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（m ，n +∈N ）则9a =（）A.9B.1C.8D.455.复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A. B. C.D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228B.210C.240D.2388.抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<.过A ，B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQS S =△△，则λ=（）A.2B.23C.3D.13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0B.4C.8D.1610.已知函数()()0,,22f x x t t ππωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则（）A.ωπ= B.53ωπ=C.()91f =D.()91f =-11.如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为74B.112DH =C.111128E ADH ABC A B C V --=D.,44EH ⎛∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数()ln 2ex x xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ~，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=______.14.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O 上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S .16.（15分）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b+=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，（1）证明：12BA BA ⊥；（2）设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值.参考公式：()()3322m n m n m mn n+=+-+17.（15分）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为3π，图1图2（1）如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；（2）如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ α∥，PQ n ⊥且PQ m ⊥，（i ）证明：直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .18.（17分）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，（1）若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；（2）记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数()n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(),M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y 均为正整数），（1）求()6ϕ和()15ϕ；（2）现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足()(),1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有()1,1a M xa -=，证明：若n x X ∈，则(),,dc x M M x n n ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又()11,ec M x n =，()22,e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.2221ln2e ex y -=+--（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则18n n a a n +=+，则()()()12818182n n n a a n a n n --=+-=+-+-()218121441a n n n =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+-=-+.……5分（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-：当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，在11b =时，()11n n S n -=-⋅；11b =-时，()1nn S n =-⋅.……13分16.（15分）（1）证明：当1a >时，1C 的离心率1e =，1a <时，1C 的离心率1e =；因为a b ≠==，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10a b >>>；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B x l y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=-，因此12BA BA ⊥；……4分（2）解：由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B I 与2C 的方程22211x y aa x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421a x a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P ax a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，……9分因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()()()()()()24334262422224443114331141111a a a a aaa a aa a f a a a a-+--+-++-+-===++'+，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<+，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∈+∞，因此()f a在a =且最大值为14f=，……14分因此PQ 最大值为max 322PQ ==.……15分17.（15分）（1）解：设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设CA b =，CB a =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为3π，且它们交于点C ，则3ACB π∠=，从而221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（a b =时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以22CH ab =≤，所以点C 到平面α的距离32h ≤，其最值为32；……5分（2）（i ）证：如图，过点P 作直线l n ∥，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又PQ α∥且DB α⊂，于是PQ DB ∥，又l n ∥，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为PQ n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又l m P = ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，则PH BD ⊥，又AD BD D = ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为3π，则直线m 与l 之间的夹角也为3π，则3APD π∠=，于是23PAH PDH APD ππ∠+∠=-∠=，即直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值23π；……11分（2）（ii ）解：因为BD ⊥平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又3APD π∠=，由（1）问同法算得332PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<，……15分18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；……1分i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x '>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,+∞上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……3分ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令10x >，20x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……5分若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……7分若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x >，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；……11分则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---……11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；……14分欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+=- -++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.……17分19.（17分）（1）解：6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8；……2分（2）证明：因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，……4分设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M x n ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p xkp s kp kp s kps s N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M xp M t p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M xp ϕ=，记()21n xN p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N x pq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；……8分i.0st ≠时，记(),cM x n c =，则()()()()1,,,k n ddcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),dM c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；ii.若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,ddcdc dcM c n M x n M k p n ==，又()11,dcM k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dcdeq M c n M p k n pk M pq xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,dcM M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：……11分（3）因为12231e e =+，所以12231e e xx +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111kk k k kk k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k kn n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x n x ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.……17分。
高等代数模拟试题
高等代数模拟试题一 选择题（每小题2分，共16分）1 哪个向量组是线性相关的? (A) P[x]中, 1 , 2n, ,,x x x .(B) 2 2P ⨯中, 任意5个矩阵A ，B ，C ，D ，E(C) 在次数≤2的全体多项式以及零多项式所成线性空间3[]P x 中, 1 , 22 1 , 1 x x +-.(D) 3P 中, 123(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)ααα===2在数域P 上 ,下列集合关于通常的加法和数乘是线性空间的有（ ） (1) {}(, 0 , ,0 , ),V a b a b P =∈ . (2) {}1212(, , ,)0n V a a a a a =+= (3) {} ()0n nV A Ptr A ⨯=∈=(4) {}()[] (0)0V f x P x f =∈=(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个3下述结论错误的是(A) [,]a b V C = 是实数域上的无限维线性空间. (B) {} n nV A P A A ⨯'=∈=是P 上(1)2n n +维线性空间. (C) {} n nV A P A A ⨯'=∈=-是P 上(1)2n n -维线性空间.(D) ,a b V a b P b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是P 上4维线性空间. 4．设V ＝3R ，123123(,,),(,,)x x x y y y αβ==，二元实函数是(,)'A αβαβ=，其中(A)101010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (B) 101010102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，(C)101000100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (D) 111110101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第1页选取上述那个矩阵A 能使V 成为欧氏空间。
5 设A , B ，C 都是n×n 矩阵，且0C ≠，那么(1) CAC ~ A 2C (2) 22~ CB B C (3) ~ CAB ABC (4) ~ CA AC (A) (1) , (2) , (3) , (4) 都正确 (B) (1) , (4) 正确 (C) (1) , (2) , (3) 正确 (D) 都不正确6 下列结论错误的是(A) 如果n 阶复数矩阵A 的最小多项式无重根，那么A 相似于一个对角矩阵 (B) 如果n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量，那么A 相似于对角矩阵 (C) 如果n 阶矩阵A 相似于一个对角矩阵，那么A 有n 个不同的特征值 (D) 相似矩阵有相同的特征值 7 能与对角矩阵相似的矩阵是(1) 实对称矩阵 (2) 满足220A A E --= (3) 幂等矩阵 (4) 102003a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(A) (1) , (2) , (3) (B) (1) , (2) , (3) ,(4)(C) (1) , (3) , (4) (D) (1), (2) 8 如果四个线性变换1234A A A A ,,,在标准正交基下的矩阵分别是(A)100010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (B)011011100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(C)00100⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭(D) 1000cos sin 0sin cos θθθθ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭那么（ ）不是正交变换。
2021年高三数学下学期第四次模拟考试 理(含解析)
2021年高三数学下学期第四次模拟考试 理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集，集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，，所以。
2. 复数等于（ ）A ． B. C. D. 【答案】C【解析】。
3.的展开式中，常数项等于（ ）A. 15B. 10C.D. 【答案】A【解析】，由得r=4，所以常数项为。
4．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若有“”，则不一定得到“”；反之，若有“”，则“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件。
5．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A【解析】若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8．，则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108，……，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所以做问卷C 的有12人．6．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A．24种 B．60种C．90种D．120种【答案】B【解析】先让CDE排列，共有种排法，再让AB插空，若AB相邻，则有种排法；若AB不相邻，则有种排法，所以不同的排法有24+36=60种。
高代题库试题与答案
高等代数（下）试题(10）一 填空题 （每小题三分共15分)1 A ，B 为n 阶可逆矩阵, C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。
2 A 为n 阶矩阵， A =21，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________。
4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。
5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。
二 单项选择题(每小题三分共15分）1 设A 是m n ⨯矩阵， B 是n ⨯m 矩阵，则（ ) (A) 当m 〉n 时,必有行列式AB ≠0 （B ）当m 〉n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n 〉m 时,必有行列式AB ≠0 (D)当n 〉m 时,必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵,且秩A=秩B ，则 （ ）(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。
(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等. （C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。
(D ） AB 的秩一定不超过C 的秩.3 设向量空间V 中含有r 个向量,则下列结论成立的是 （ ） （ A) r=1； （B ）r=2 ； （C ） r=m (有限数)； （D ） r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有( ）个基（ A ） １； （B ） n; (C) n!； （D ）无穷多.5 设向量空间W= {（a,2a,3a ） R a ∈}，则W 的基为： ( ）（A ） （ 1， 2, 3,） ； (B) （a ， a ，a ）； (C ） （ a ， 2a 3a) ； (D) (1 ，0， 0）， （0， 2 ,0）， （0 ,0， 3） 三 （15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-417 求X 四 （15分） 把二此型f （，x 2，x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。
高三数学下学期第四次模拟考试试题 理含解析 试题
内蒙古北方重工业集团第三中学2021届高三数学下学期第四次模拟考试试题理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.〕1.假设集合{}{11,|A x N x B x y =∈-≤==，那么A B 的真子集的个数为〔 〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】A 【解析】 【分析】 先求出AB 的交集，再根据求真子集个数公式求出，也可列举求出．【详解】{}{}11=0,1,2A x N x =∈-≤，{[]|=1,1B x y ==-，{}0,1A B =，所以A B 的真子集的个数为2213-=，应选A ．【点睛】有限集合{}12,,n a a a 的子集个数为2n 个，真子集个数为21n -．2.假设复数21iz =+，其中i 为虚数单位，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. z 的虚部为﹣i B. |z |=2C. z 表示的点在第四象限D. z 的一共轭复数为﹣1﹣i【答案】C 【解析】 【分析】把等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.【详解】∵()()()2121111i z i i i i -===-++-,∴z 的虚部为1-；|z |=z 表示的点的坐标为()1,1-,在第四象限；z 的一共轭复数为1i +.应选：C.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算,考察复数的根本概念与复数模的求法,考察复数的代数表示法及其几何意义,是根底题. 3.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像〔 〕 A. 向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 【答案】B 【解析】 因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，应选B 4.(),0,0xlgx x f x a b x ->⎧=⎨+⎩且()03f =，()14f -=，那么()()3f f -=〔 〕 A. ﹣1 B. lg3-C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得01134a b b a b -⎧+=+=⎨+=⎩，可解得a 、b 的值，即可得()3f -的值，进而可计算得答案．【详解】解：根据题意，()1,0,0xgx x f x a b x ->⎧=⎨+⎩且()03f =，()14f -=， 那么01134a b b a b -⎧+=+=⎨+=⎩，解可得122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，那么()3132102f -⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，那么()()()310lg101ff f -==-=-.应选：A【点睛】此题考察了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现安岳县)人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x 的值是2，那么输出v 的值是〔 〕A. 80B. 192C. 448D. 36【答案】B 【解析】由题意,该框图利用秦九韶算法计算变量v 的值,根据算法功能反复执行循环体计算即可. 【详解】初始：v =1， k =1； 第一步：v =1×2+21=4，k =2； 第二步：v =4×2+22=12，k =3； 第三步：v =12×2+23=32，k =4； 第四步：v =32×2+24=80，k =5； 第五步：v =80×2+25=192，k =6；因为此时5k >,故停顿循环,输出v 的值是192. 应选：B.【点睛】此题主要是考察了程序框图的循环构造,注意此题中的k 与v 值计算式子中的k 值相差1,容易出错.同时此题考察了学生的逻辑推理才能以及计算才能,属于根底题.6.对于实数m ，“12m <<〞是“方程2212x y m m -=--1表示椭圆〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程满足条件入手得出m 的取值范围,进而得出正确选项.【详解】由“方程2212x ym m -=--1表示椭圆“可得102012m m m m->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩,解得12m <<且32m ≠,所以“12m <<〞是 “方程2212x y m m -=--1表示椭圆〞的必要不充分条件.【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程及充分必要条件的断定.7.设圆222210x y x y +-++=关于直线1x y -=对称的圆为C ，那么圆C 的圆面围绕直线y x =旋转一周所围成的几何体的体积为〔 〕A. 4πB. 83πC.23π D.43π 【答案】D 【解析】 【分析】可求出直线恒过圆心，推知旋转体为球，求出球的半径，可求球的体积. 【详解】解：圆222210x y x y +-++=的HY 方程为()()22111x y -++=，那么圆心为()1,1-，半径为1， 设圆C 的圆心为(),a b ，那么111221111a b b a +-⎧-=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩解得00a b =⎧⎨=⎩，那么圆C 为221x y +=，其关于y x =对称，圆C 的圆面围绕直线y x =旋转一周所围成的几何体为球，半径为1，所以该球的体积为34433R ππ=. 应选：D.【点睛】此题考察旋转体的知识，直线与圆的位置关系，考察计算才能，空间想象才能. 8.函数()21cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，那么()f x '的图象大致是〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除,B D ，再根据02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，可排除C ，从而得到结果.【详解】由题意得：()1sin 2f x x x '=- ()()1sin 2f x x x f x ''-=-+=- ()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称可排除,B D又当2x π=时，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，可排除C 此题正确选项：A【点睛】此题考察函数图象的识别，考察对函数根底知识的把握程度以及数形结合的思维才能，关键是可以利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．9.一个几何体的三视图如下图，假设这个几何体的体积为205〔 〕A. 36πB. 64πC. 81πD. 100π【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的外表积．【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如下图：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以156205 3V h=⨯⨯⨯=解得25h=设四棱锥的外接球的半径为r，所以()(2222256r =++，解得92r =， 所以294812S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球， 应选：C【点睛】此题考察了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.10.,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=〔O 为坐标原点〕，直线,PA PB 的斜率记为,m n ，那么224nm +的最小值为〔 〕A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】B 【解析】由2PA PB PO += 有点O 为线段AB 的中点,设1122(,),(,)A x y P x y ,那么11(,)B x y -- ,所以21212121y y y y m n x x x x -+==-+， ,故2221212122212121()()()()y y y y y y mn x x x x x x +--==+-- ,由于点A,B,P 在双曲线上,所以222212121,144y y x x -=-= ,代入上式中,有2221222141()4y y mn y y -==- ,所以2244n m mn +≥== ,故最小值为4.选B. 点睛:此题主要考察了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,根本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段AB 的中点,再求出直线PA,PB 斜率的表达式, 算出mn 为定值,再由根本不等式求出最小值.11.在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB⋅⋅⋅==，那么sin :sin :sin A B C =〔 〕A. 9:7:8B.C. 6:8:7【答案】B 【解析】 【分析】设()0543AB BC BC CA CA ABt t ⋅⋅⋅===<，用数量积的定义求出各数量积，结合余弦定理，求出,,a b c 〔用t 表示〕，然后由正弦定理求得结论．【详解】设()0543AB BC BC CA CA ABt t ⋅⋅⋅===<， 所以5AB BC t ⋅=，4BC CA t ⋅=，3CA AB t ⋅=，即cos 5ac B t -=，cos 4ab C t -=，cos 3bc A t -=， 所以22210c a b t +-=-，2228b a c t +-=-，2226c b a t +-=-，解得a =b =c =所以sin :sin :sin ::A B C a b c == 应选：B.【点睛】此题考察平面向量的数量积，考察余弦定理和正弦定理．解题关键是用余弦定理表示出各边长．12.设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，那么实数t 的取值范围是〔 〕 A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，那么0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件.【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，那么()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选：C【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题，此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.()1,0a =，1b =，a 与b 的夹角为60︒，那么3a b +=______． 【解析】 【分析】可以求出||1a =，进而求出12a b =，进展数量积的运算即可求出2|3|13a b +=，从而得出|3|a b +的值． 【详解】解：||1,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，∴12a b =，∴222|3|6913913a b a a b b +=++=++=， ∴|3|13a b +=．【点睛】此题主要考察向量数量积的定义的应用，考察坐标法求向量的模，属于根底题．14.假设22cos a xdx ππ-=⎰，那么二项式6⎛⎝的展开式中含2x 项的系数是_________. 【答案】192- 【解析】 【分析】根据定积分计算出a 的值，然后根据二项式展开式的通项公式，计算出含2x 项的系数. 【详解】()2222cos sin |sinsin 222a xdx x ππππππ--⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰，所以二项式66=⎛⎛ ⎝⎝，其展开式的通项公式为()611632266212rrrr r r r C x x C x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32r -=，那么1r =，所以含2x 项的系数是()1611612192C --⋅⋅=-.故答案为：192-【点睛】本小题主要考察定积分的计算，考察二项式展开式中指定项系数的求法，属于根底题. 15.某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？〔用数字答题，lg 20.3010=，lg30.4771=〕 【答案】11 【解析】 【分析】设需要至少布置n 门高炮，那么1(10.2)0.9n -->，由此能求出结果．【详解】解：设需要至少布置n 门高炮，某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为， 要使敌机一旦进入这个区域后有以上的概率被击中，1(10.2)0.9n ∴-->， 解得10.3n >，n N ∈，∴需要至少布置11门高炮．故答案为：11．【点睛】此题考察概率的求法，考察n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，属于中档题．16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2b =，(()cos 24sin 1A B C +++=，点P 是ABC 的重心，且AP =，那么a =___________.【答案】【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得3A π=或者23A π=，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于c 的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.【详解】(()cos 24sin 1A B C +++=，(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得(22sin 4sin 0A A -+=，解得sin A =或者sin 2A =〔舍去〕， 0A π<<3A π∴=或者23A π=.又∵点P 是ABC 的重心，1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭2||23AP b ==， 整理得24cos 240c c A +-=. 当3A π=时，22240c c +-=，得4c =，此时214162242a =+-⨯⨯⨯，解得a = 当23A π=时，22240c c --=，得6c =， 此时214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得a =.故答案为：【点睛】此题主要考察了三角恒等变换，向量的数量积运算法那么、性质，余弦定理，属于难题. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．〔1〕求证：BD ⊥平面PAC ； 〔2〕求二面角E AF C --的大小．【答案】〔1〕见解析 〔2〕6π【解析】【详解】〔1〕PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥平面正方形平面〔2〕以A 为原点，如下图建立直角坐标系(0,0,0)(2,1,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)A E F AE AF ==，，设平面FAE 法向量为(,,)n x y z =，那么20{0x y x y z +=++= (1,2,1)n =-，(2,2,0)BD =-，·23cos 222?6||?,66n BD n BDE AF C θππθ===∴=--即二面角的大小为18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的局部每件提成8元．〔I 〕请将两家公司各一名推销员的日工资y 〔单位：元〕分别表示为日销售件数n 的函数关系式； 〔II 〕从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进展统计，得到如下条形图．假设记甲公司该推销员的日工资为X ，乙公司该推销员的日工资为Y 〔单位：元〕，将该频率视为概率，请答复下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，假如仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析. 【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80,y n n N =+∈.乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()()45,120,45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨>∈-⎩(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为X122 124 126 128 130记乙公司一名推销员的日工资为Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为∴125,136EX EY ==∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率〞，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 19.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且25a =，511a =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ： 〔2〕记n n n a b S n=-，求{}(1)nn b -的前n 项和n T . 【答案】〔1〕21n a n =+；22n S n n =+〔2〕(1)11nn T n -=-++【解析】 【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，根据通项公式列方程解得13,2a d ==，可得通项公式和前n 项和的公式；〔2〕求出111n b n n =++后，利用相邻两项抵消可得结果.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由25511a a =⎧⎨=⎩，得115411a d a d +=⎧⎨+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+.()12(24)222n n n a a n n S n n ++===+. 〔2〕221(1)11(1)1n n n a n n n b S n n n n n n n +++====+-+++. 1111111(1)1(1)12233411n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++-+++-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题考察了等差数列的通项公式根本量的运算，考察了等差数列的通项公式和求和公式，考察了数列的求和问题，属于中档题.20.椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D，且过点，P 是椭圆上异于C 、D的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． 〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】〔1〕22142x y +=〔2〕2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进展化简,同理可得m 的值. 【详解】解：〔1〕椭圆Γ过点,∴22211a b +=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．〔2〕方法1：由〔1〕知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k kk , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,那么00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】此题主要考察了根据椭圆中的定值问题求解根本量的方法,同时也考察了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题. 21.函数()(0)xf x ae a =≠，21()2g x x =. 〔1〕当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程：〔2〕假设()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕22y x =--；〔2〕3] 【解析】 【分析】〔1〕利用求导，分别求出两条曲线的切线方程.由题知两条切线重合，那么可列出方程组，解得两个切点的横坐标，从而求出切线方程；〔2〕求()()y f x g x =-的导函数，其零点即为极值点1x ，2x ，那么1212x x x x a e e ==.根据213x x ≥，可设21(3)x kx k =≥，解得1ln 1k x k =-，由此构造函数ln ()(3)1xh x x x =≥-，利用导函数求出()h x 的值域ln 3(0,]2，也即是1x 的范围.由11x x a e =构造函数ln 3()((0,])2x x x x e ϕ=∈，求出其值域，也即是实数a 的取值范围.【详解】解：〔1〕2a =-时，()2xf x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，那么切线方程为11122()x xy e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，那么切线方程为22221()2y x x x x -=-由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，那么1202x x =⎧⎨=-⎩ ， 所以，公切线方程为22y x =--； 〔2〕21()()2xy f x g x ae x =-=-， x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=-，1212x x x x a e e ∴==， 令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，那么1ln 1k x k =- 令ln ()(3)1xh x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-， 又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0xt x x -'=<，那么()t x 单调递减， 2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤ ，易知()0h x >，1ln 3(0,]2x ∴∈ ， 令()x x x e ϕ=，1()x xx eϕ-'=，那么()x ϕ在(,1]-∞上递增，11(0,ln 3]6x x a e ∴=∈ 【点睛】此题考察了利用导数的几何意义求切线，利用导函数求函数的最值问题.其中屡次构造函数，利用导函数分析单调性，进而求最值是较大的难点，此题难度较大.〔选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.答题时,需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑〕22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔其中t 为参数〕．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．〔1〕写出直线1C 的极坐标方程；〔2〕设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】〔1〕sin()4πρθ+=2【解析】【分析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：〔1〕直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=〔2〕设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,那么212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM． 【点睛】此题主要考察了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考察了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-． 〔Ⅰ〕求m 的值； 〔Ⅱ〕0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b +≥．【答案】〔Ⅰ〕1m =；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与最小值相等列式可求出； 〔Ⅱ〕利用分析法，结合根本不等式，即可证明．【详解】〔Ⅰ〕由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m m m f x f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕0a >，0b >，且221a b +=， 要证331b a a b+≥， 只要证44b a ab +≥，即证()222222a b a b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤，即证(21)(1)0ab ab -+≤，即证21ab ≤，即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号．所以331 b aa b+≥．【点睛】此题主要考察了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合根本不等式进展证明是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2024年全国高考仿真模拟卷四数学
2024年全国高考仿真模拟卷四数学选择题：1. 下列哪个函数在整个实数范围内都是增函数？A) f(x) = x²B) g(x) = |x|C) h(x) = 1/xD) k(x) = x³2. 若a + b = 7，a - b = 3，那么a² - b²的值是：A) 16B) 20C) 24D) 253. 三角函数tanθ的定义范围是：A) (-∞, +∞)B) [0, 2π)C) (-π/2, π/2)D) (0, π)4. 若f(x) = 2x² - 3x - 2，则f(3)的值是：A) 4B) 9C) 10D) 115. 已知一个数列的通项公式为an = 2n² - 3n + 4，求该数列的首项是：A) 1B) 2C) 3D) 4填空题：1. 若f(x) = 4x - 1，求f(3)的值是（）。
2. 一个等差数列的公差为4，第5项是21，求第1项的值是（）。
3. 若sinα = 3/5，那么cosα的值是（）。
4. 求方程2x² - 5x + 2 = 0的两个根的和为（）。
5. 如果一条直线过点A(1, 2)和点B(3, 4)，求直线的斜率是（）。
应用题：1. 有一条铁路隧道，火车通过时，两端分别要响着两个灯。
第一个灯每128秒亮一次，第二个灯每150秒亮一次，求下一次两个灯同时亮的时间间隔。
2. 一个数比它的1/4大4，求这个数。
3. 甲、乙两地相距360km，两车同时从这两地相向而行，相遇后甲车行驶了3小时，乙车行驶了4小时，如果甲车的速度是60km/h，乙车的速度是40km/h，则求两车的相遇点距离甲地有多少公里？4. 一面积为30平方米的长方形花坛，宽是2米，求其长度。
5. 若sin(x+30°) = cosx，求x的值。
大学_高等代数模拟试题及答案
高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。
A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。
A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。
2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。
A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。
A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。
A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。
00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。
A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。
A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。
z104高等代数模拟试卷
高等代数试卷三一、 单项选择题（每小题3分，共30分）【 】1、A 为n 阶反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有 A ． 0;.0T T X AX B X AX ><C ．TX AX =0； D.不确定【 】2、一个实二次型可以分解成两个成比例的实系数一次齐次式之积,则它必有A.秩为2;B. 秩为0;C. 秩为2符号差为0;D. 秩为1 【 】3、S={},n n T A P A A ⨯∈=则S 的维数为22(1)(1).;.;..22n n n n A B C n n D n +-- 【 】4、实数域R 按通常加法,乘法构成有理数域Q 上向量空间,则由Q 上向量空间中的. .,;.,,,a b a b A a b Q B a b c d Q b a c d ⎧⎧⎛⎫⎫⎛⎫⎫∈∈⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪-⎝⎭⎭⎝⎭⎭⎩⎩ C.0,,;.000a c a a b c Q D a Q b ⎧⎧⎛⎫⎫⎛⎫⎫∈∈⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎭⎩⎩ 【 】5、若把同构的子空间称作一类,则n 维向量空间的子空间共分成.A.1类B. 2类C. n 类 D (n+1)类【 】6、已知方阵A 满足220A A E +-=，则A 的特征根只能是A. 2B.1C.2-D. –2和1 【 】7、设A~B,A,B 均可逆,下列推断中不正确的是 **.~;.~;.~;.~m mA AB B A BC kA lBD A B ''(m 为正整数)【 】8、线性变换33:,(,,)(,,0)R R x y z x y σσ→=的特征根为 A.0; B.1; C.-1和0 D.0和1【 】9、一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有 A.A 与B 相似 B. A 与B 合同 C. 秩()A =秩()B D. **A B = 【 】10、设123123(,,),(,,)a a a b b b αβ==为3R 中的任意向量,M 为3阶实矩阵,对3R 定义(,)M αβαβ'=.那么,使3R 作成欧氏空间的3阶矩阵M 是702011.041;.103213130A M B M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭301100.110,.020312003C M D M -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（每小题4分，共24分）1、 若把实n 级对称矩阵按合同分类，共有 类.2、 如果(),(),()f x g x h x 是向量空间[]P x 中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,则它们线性 关.3、 设3级方阵A 的特征值为1，-1，2，则*32A A E +-=4、 齐次线性方程组1230x x x ++=的解空间的一组标准正交基为5、在22P⨯中定义线性变换12()34X X σ⎛⎫=⎪⎝⎭,则σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵为6.110010002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为 ,进而知A 对角化.(能或不能)三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、实矩阵A,若存在方阵Q,使得A Q Q '=,则A 半正定.【 】2、若dimV=n,W 与U 是V 的两个子空间,且dimW+dimU=n, 则V=W ⊕U 。
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一、填空（每小题2分，共10分）
1.设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈ ，则V 是 维空间。
2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*
A B B +=
3．设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足______。
4．设矩阵A 满足条件2
560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号
内。
每小题2分，共20分）
1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量
（A ）2()A E + （B ）-3A （C ）*
A （D ）T
A 2．已知A ，
B 为同阶正交矩阵，则下列（ ）是正交阵。
（A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA
3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ ）
（A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1
A -的属于特征值1
λ
的特
征向量
（B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=
（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T
A 有相同的特征值
4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1
P A P -为（ ）。
（A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵
（B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ ）时，0a A b c ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是正交阵。
（A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则
（A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B =
8. 3
R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为
121012111A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
则基在123,2,ααα下的矩阵为（ ）
（A ）141011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （B ）141044121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （C ）1211012111⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭
（D ）242024222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。
（A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值
（C ）必存在正交矩阵P ，使1
P AP -成为对角矩阵
（D ）A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的
10． 设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（）
（A ）A 与B 有相同的特征值 （B ）A 与B 有相同的特征向量 （C ）A 与B 与同一矩阵相似 （D ）A 一定有n 个不同的特征值
三、计算题（每小题8分，共64分）
1.设n 阶矩阵 (2)n ≥
1111
111
11A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵
2．已知向量(1,,1)T k α=是矩阵211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的逆矩阵1
A -的特征向量，求常数k 。
3．设 4维空间的两组基为
（A ）123452002100,,,00830052αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（B ）123410010210,,,00210001ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1）求基（A ）到（B ）的过渡矩阵
2）求向量123462ββββ=+-在（A ）下的坐标。
4．设 123,,ααα为线性空间的一组基，线性变换T 在基123,,ααα下的矩阵为
121110101-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
α在基123,,ααα下的坐标为(1,2,3)-，求T α在基123,,ααα下的坐标。
5．设矩阵1114335A x
y -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，已知A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1
P AP -为对角阵
6．设矩阵101020101A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵2()B kE A =+，其中k 为实数，求对角阵Λ，使B 与Λ
相似，并求k 为何值时，B 为正定阵
7．已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为8，2，2，对应特征值2λ=的特征向量为12(1,1,1),(1,1,0)T T X X ==-，求：
（1）8λ=对应的特征向量3X ；（2）问A 是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵A ，并求出矩阵P ，使1
P AP A -=。
8．将二次型222
1231231223(,,)2322f x x x x x x x x x x =++--化为标准型，并写出变换矩阵。
四、证明题（6分）
设A 是3阶方阵，A 有n 个互异的特征值其123,,λλλ，对应的特征向量依次为123,,ααα。
令123βααα=++，证明：2,,A A βββ线性无关。