二次函数的应用教学案例

二次函数的应用教学案例
一、教学目标
1.知识目标：学生能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题。

2.技能目标：培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题。

3.情感目标：经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。

二、教学重、难点
1.教学重点：把二次函数转化为方程的数学思想。

2.教学难点：把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题。

三、教学用具
多媒体
四、教学过程
（一）引入练习：
1.已知一次函数23+=x y ，当x = 时，1-=y 。

【设计意图】利用简单的一次函数，学生体验“已知函数值求自变量取值”的方法，为下面的练习做铺垫。

2.已知二次函数322--=x x y ，当1=x 时，y = ；当x = 时，5=y 。

【设计意图】在上一题基础上解决二次函数中的问题，由此总结二次函数与一元二次方程之间的关系。

（学生独立完成，体验二次函数与一元二次方程的联系，得出结论：）
（二）二次函数与一元二次方程：
（展示图片，联系实际，学生通过用自己做了解的交通常识来回答一系列问题，从而调动起学习的兴趣和解决问题的积极性，同时实现师生之间的互动。

）
情境：甲、乙两车在限速为40km/h 的湿滑弯道上相向而行时相撞。

事后勘察测得，甲车刹车距离为12m ，乙车刹车距离超过10m ，但小于12m 。

根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离甲S （m ）与车速x （m ）之间的关系为201.01.0x x S +=甲，乙车的刹车距离乙
S （m ）与车速x 之间的关系为x S 4
1=
乙； （先由学生独立思考，再分小组与同学交流意见，讨论“用什么来衡量甲、乙谁违章”，打开解决问题的窗口），即
求：⑴甲车刹车前的行驶速度？甲车是否超速？
⑵乙车刹车前的行驶速度？乙车是否超速？
【设计意图】联系实习生活，体现“二次函数与一元二次方程的联系”在实际生活中的应用。

利用交通事故案例，贴近生活，充分调动学生的积极性与学习兴趣，展开讨论，做出判断。

再独立解题。

c bx ax y ++=2一元二次方程 m c bx ax =++2二次函数
y=m
（学生独立计算结果，与同学交流计算结果，得到正确的结论，选代表回答问题。

）
解：根据题意可知：当12=甲y 时，1201.01.02=+x x 即：0121.001.02=-+x x
解得：40,3021-==x x （舍）
∴甲车刹车前的行驶速度是30km/h. ∵30<40 ∴甲车并不违章.
又∵124
110<<x ∴4840<<x ∴乙车违章. 说明：1.考虑到x 的实际意义，应舍去-40。

2.对于乙车的刹车距离是个取值范围，可做适当的提示引导。

（三）商场中的二次函数：
1.练习：某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元出售,那么每月可售出500
个,根据销售经验,售价每提高1元销售量响应减少10个:
(1)假设销售单价提高x 元,那么销售每个篮球所获得的利润是 元;这种篮球每
月销售量是 个.
(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出 最大利润,此时篮球的售价应定为多少元?
【设计意图】又一贴近生活实例，体验二次函数在市场中的运用。

在学生已练习的基础上，独立完成，并由学生分析，得出解决此类问题的基本模式：销售利润=（单价-进价）×销量 （学生独立审题、解答。

并板书问题（2）的解题过程。

请同学回答问题（1）的解题思路，由其他同学对解题思路与板书过程进行修改。

从而实现学生与学生之间的相互交流。

最后由教师总结此类题的解题模式与方法：）
销售利润=每件的利润×销量=（单价-进价）×销量
变式：某商场购进一种单价为40元的篮球,如果以单价50元出售,那么每月可售出500
个,根据销售经验,售价每降低1元，销售量相应增加10个；假设销售单价降低x 元,那么销售每个篮球所获得的利润是 元;这种篮球每月销售量是 个.
【设计意图】在原题目基础上进行变型，让学生体验同一类问题的不同问法，学会举一反三，熟练掌握此类问题。

2.(中考题）某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元,市场调查发现,在一段时间内,销
售量w(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在着如图所示的一次函数关系.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
(1)求w 与x 之间的函数关系式;
(2)求y 与x 之间的函数关系式;当x 取何值时,y 的值最大?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内
获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?
【设计意图】将此类问题的中考题进行简单变型，将一次函数与二次函数相结合，在相应提示下学生可以独立完成前两个问题。

由学生自己分析并讨论，第三问的解题方法，以及对解的取舍问题。

（前两问由学生独立解决，第三问带领学生一起分析。

）
解：（1）根据题意，设b kx w +=，因为图象经过（50，140），（100，40），可得：
⎩
⎨⎧=+=+4010014050b k b k 解得：⎩⎨⎧=-=2402b k 所以：w 与x 的函数关系式为：2402+-=x y
（2）由题意可知：()()240250+--=x x y
整理可得：1200034022-+-=x x y 配方得：()24508522
+--=x y 所以：当x=85时，y 有最大值，最大值为2450。

（3）当y=2250时，22501200034022=-+-x x 即：071251702=--x x
解得：95,7521==x x
因为公司要求x ≤90，所以x=75
即，公司要想获得2250元的销售利润，应该把单价定为75元。

（四）课堂小结：
1.二次函数与一元二次方程的关系。

2.商场中的二次函数，可用模式“销售利润=（售价-进价）×销售量”来解决，体现数学建模的思想。

五、教学反思
本堂课基本达到教学目标，重难点突出。

课堂教学紧凑，能够给学生独立思考与相互讨论的时间与空间，但课后发现还有许多不足：
1.体现出学生的薄弱点：对于二次函数顶点的求解过程不够熟练，需要加强练习。

需要加强对利润问题的练习。

2.对课堂气氛调动不够，学生因为紧张发挥的也不好，气氛有点呆板，不利于学生的积极学习。

应该多增加学生的活动，让学生气氛活跃起来，让整堂课讲的更有精神。

3.课堂上给学生讨论与交流的时间和空间不够，没有达到预期的效果。

4.对于学生课堂上出现的错误点出了，但点的不够透彻。