高等数学第九章第十六讲二重积分计算习题课1

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高等数学(第三版)课件：二重积分的计算

D
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y

高数二重积分习题解答

高数二重积分习题解答第9章重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222222d d ,{(,)|}DV R x y x y D x y x y R =--=+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) 222d D a x y σ--，其中D 为222x y a +≤；(2)22()d Db x y σ+⎰⎰，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1)22232d π3Da x y a σ--=；(2)22232()d ππ3Db x y a b a σ+=-⎰⎰ 所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ．解答：(,)d DQ x y μσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答：d Dp g x ρσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1) 21()d DI x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；(2) 1ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3) 21sin ()d DI x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域；(4) 1e d xy DI σ=⎰⎰与22e d xy DI σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2；(4) 在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x y σ==+≤++⎰⎰； (4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故816ln 2ln 2I <<； (2) 由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π222sin()1x y ≤+≤，而等号不222ππ2I <<；(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故115150I <<；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为100251I << (4) 由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故14ππe 44I <<．所属章节：第九章第一节难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得222220011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r rσξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰．所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰；(2) 若(,)d 0Df x y σ=⎰⎰，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是1(,)d 0D f x y σ>⎰⎰，而1(,)d 0D D f x y σ-≥⎰⎰，所以11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0Df x y σ>⎰⎰，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节难度：二级(3) sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4)333301111(,)(,)(,)(,)x xyyxxyydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案 33111111d (,)d d (,)d yxx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5)1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分： (1) 22d Dx yσ⎰⎰，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成； (2) cos()d d Dx x y x y +⎰⎰，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3) d D xy σ⎰⎰，D 由抛物线y x =y =x 2围成；(4) d d Dxy x y ⎰⎰，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成； (5)sin d Dx y σ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2)0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (3)2711440026()355xxD xyd dx x ydy x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰；(4)22222411145(44)28y yDxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰； (5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)： (1) 10d (,)d yy y f x y x ⎰； (2) 21220010d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3) 2122d (,)d yy y f x y x --⎰⎰；(4) 222402d (,)d x x x x f x y y --⎰⎰；(5) 21101d (,)d x x x f x y y --⎰ (6)1320d (,)d y yy f x y x -⎰⎰解答：本题图略，建议画出 (1) 210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰；(2) 120(,)y y dy f x y dx -⎰⎰； (3) 14 2 0 1(,)(,)xxx xdx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰；(4) 2222111 14 24 0 011 1 0(,)(,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ----++⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 211110(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx +--+⎰⎰⎰；(6)2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级13．计算下列二次积分： (1) 1140d 1d yy x x -⎰⎰；(2) 23211d e d y x x y --⎰⎰；(3) ππ220sin d d yxy x x⎰⎰； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5)π122arcsin d cos 1cos d yy x x x +⎰⎰；(6)24212ππd d d d 22xxx x x x y x y y y +⎰⎰⎰⎰解答：(1) 31/1111444011116x ydy x dx dx x dy x x dx -=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰； (2)2223221241101(1)2y y y y x dx edy dy edx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x y xx dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 2222222002sin()2sin()[22cos()]4sin 4y xdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5)1sin 2222220arcsin 0cos 1cos cos 1cos sin cos 1cos xydy x xdx dx x xdy x x xdx πππ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )(221)33x π=-+=； (6)22422231211284sincos2222xy xxyxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分： (1) 222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰； (2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰； (3) 2222(1)arcsin d ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4)(||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2R DD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰；(4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级15．利用极坐标化二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰为二次积分，其中积分区域D 为：(1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2) 2π201d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4)3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5)π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分： (1) 22222d d ,:DR x y x y D x y Rx --+≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰； (3)22arctan d d ,:14,0,Dy x y D x y y y x x ≤+≤≥≤⎰⎰；(4)2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰； (5) arctan2222,:14,3yxDD x y x y x x y σ≤+≤≤≤+(6)22()d d Dx y x y +⎰⎰，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线3,3x y y x =所围成．解答：(1)cos 2222233322022114d d (1sin )()333R DR x y x y d R r rdr R d R ππθππθθθπ----=-=-=-⎰⎰⎰；(2)cos2223424440()4cos 28Dx y dxdy d dr a d a ππθπθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444244822cos (cos cos )332Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同． (5)arctan23342214yxDd e dr e e x y πππθπσθ==-+⎰⎰；(6)4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (23)8Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) πsin 220d (,)d (0)f r r a θθθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)af r r a θθθ<<⎰⎰；(4)π4cos 0d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1)arccosarccosd (,)d r aa ra r f r θθ-⎰⎰；(2) 2222πarcsin 210arcsin 2d (,)d r aa r ar f r θθ⎰⎰；(3) 0d (,)d aa rr f r θθ⎰⎰；(4)ππ244arccosd (,)d d (,)d aaa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：一级18．计算下列二次积分： (1) 222110d d x xy x y -+⎰；(2) 2210d d y yyy x x-； (3) 2222200d d x x x x y y -+⎰；(4)211223/201d )d x x x x y y ---+⎰．解答：(1)2222111221(1)24x x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ-+--===⎰⎰⎰⎰； (2)22211242000011264y yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ-===⎰⎰⎰；(3)2222cos 22232200816cos 39x x dx x y dy d r dr d ππθθθθ-+===⎰⎰⎰⎰；(4)2111223/2222110sin cos )(sin cos 1)22x xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ----++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节难度：二级19．计算下列二重积分： (1)22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}x y Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰； (3) ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰； (4)2||d d ,:{(,)|11,02}Dy x x y D x y x y --≤≤≤≤．解答：(1)222211max(,)1xyx y x y Dedxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)22232222221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)2211122205||2223x xDy x dxdy dx x ydy dx y x dy π-=-+-=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题： (1)22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成； (2) 22221d 1D x y x yσ--++，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (3) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4)d d Dxy x y ⎰⎰，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y xy x y x =≥+≥+≤．解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复． (2)2222222222000112(2)d 111218D Dx y x r d d rdr rdr x y y r r ππππσσθ----==-=++++⎰⎰⎰⎰⎰； (3)3222220()()14a xx aDx y dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分： (1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分； (2)22d d Dx y x y ⎰⎰，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 2222()d d Dx y x y a b +⎰⎰，D 是椭圆形闭区域22221x y a b +≤；(4) e d d x yDx y +⎰⎰，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形；参考答案：(1)π(1cos1)24-(提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)； (2) 7ln 23(提示：作变换,yxy u v x ==)；(3) 1π2ab (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)；(4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则16J r =，1222201sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换,y xy u v x ==，则12J v=， 2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰；(4) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =， 111111ed d 2x yuDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰．（原参考答案有误？）所属章节：第九章第二节难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2) D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7) D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1) 1e e 2-+-；(2)16；(3) 4；(4) 4π233+；(5) 5π7368+；(6) 25π8a ；(7) 18 解答：(1) 1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 20121111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3) 双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，2cos244048cos24DA dxdy d d ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰4π233+；(5) 221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰5π736+； (6) 曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 2622024cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰25π8a ； (7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1) Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2) Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成； (3) 2222{(,,)|11}x y z x y z x y Ω=+≤≤+--； (4) 222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤；参考答案：(1)163；(2) 14；(3) 7π6；(4) 8π3解答：(1) 22222201644243DV y dxdy dy y dx y dy =-=-=-=⎰⎰⎰； (2) 21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰； (3) 2122222207[(11)()](11)6DV x y x y dxdy d r r rdr ππθ=---+=-=⎰⎰⎰⎰； (4) 222222018(2)2214213xyD V x y dxdy d r rdr πππθπ=⋅-+-=--=⎰所属章节：第九章第二节难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级25．设f (x )连续，证明：222221()d d ()2d x y f x y x y f u u u +≤+=-⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则12J =，22222222222221211()()()()222u u x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u u du -----+≤+≤+===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bbbbbaaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰()()Df x f y dxdy=⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bb a af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()bbaaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小解答：曲线在(1，0)处的法线为1122y x c c=-，由对称性知所围图形面积为 21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c --==+⎰⎰，令0dA dc =，得唯一驻点6c = 又由于该实际问题的最小值存在，故当64c =263 所属章节：第九章第二节难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}333312(,),01,(,),10D x y y x y y D x y x y x x =-≤≤≤≤=≤≤--≤≤，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy=-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy=-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1()d f x x A =⎰，求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()d x yz v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1]解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1022213()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节难度：一级33．将三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：(1) 2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2) Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3) 22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4) Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域解答：(1) 22222220d d (,,)d RR x R x y RR x x y f x y z z ------⎰⎰⎰；(2) 222410240d d (,,)d x x y x x y f x y z z -++---⎰⎰⎰；(3) 22222211211d d (,,)d x x y x x y x y f x y z z ------+⎰⎰⎰；(4)110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节难度：二级34．计算下列三重积分： (1)d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是在平面z =x +2y 下放，xOy 平面上由y =x 2、y =0及x =1围成的平面区域上方的立体； (2) e d x y zv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是在平面x +y +z =1与三个坐标面围成； (3)sin()d d d x y z x y z Ω+⎰⎰⎰，其中 π{(,,)|0,0}2x y z x y z y Ω=≤≤≤≤- (4)d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中由曲面y 2+z 2=9与平面x =0、y =3x 和z =0所围成的空间立体； (5) 222d d d 1xyz x y z x y z Ω+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y z Ω=≥≥++≤； (6)d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由抛物面x =4y 2+4z 2与平面x =4围成参考答案：(1) 528；(2) e 12-；(3) π142-；(4) 278；(5) 0；(6)16π3 解答：(1)528；(2)e12-； (3) π142-；(4) 278；(5) 0；(6) 16π3所属章节：第九章第三节难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1) 计算三重积分sin d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+和平面z =π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x 2+y 2–z 2=R 2和平面z =0，z =H 围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的区域222{(,)|}D x y x y R =+≤，当垂直于x 轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,,)1xx y z Rρ=+，试求其质量； (4) 试求立体2222(,,)1x y x y z z a b Ω⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1) π2–4π；(2) 231ππ3R H H +；(3)3433R ；(4) 20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解答：(1)23sin d sin sin 4zD z v zdz dxdy z z dz ππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同 (2) 2223001()3zH H D V dv dz dxdy R z dz R H H πππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 2234(,,)(1)(1)3()33xRR R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz abππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．所属章节：第九章第三节难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分： (1) 22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤；(2) 32()d d d x xy x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成； (3) 22d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--；(4) d d d y x y z Ω⎰⎰⎰，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+； (5)d xy v Ω⎰⎰⎰，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成解答：(1)2222222301()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3) 2239322240324d 2(9)5r x y v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-+==-=⎰⎰⎰⎰； (4) d d d 0y x y z Ω=⎰⎰⎰； (5)d 0xy v Ω=⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第四节难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分： (1)222ed x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中2222:x y z a Ω++≤；(2) 2222()e d x y z x v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分；卦限？(3)2d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是2201z x y ≤≤-- (5)222d x y z v Ω++，其中Ω是锥面π6ϕ=上方与上半球面ρ=2所围立体解答： (1)22222220e d sin 44(22)8aax y z r r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ++===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰； (3) 1222222322000221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰2(4ln 22ln 2)4π=--；(5)222223660d sin 8sin 4(23)x y z v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ++===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图： (1) 222222112223/211d ()d x x y x x yx y x y z -----++⎰⎰；(2) 222221100d d y x y x y y x z -++⎰；(3) 2222399222390d d x x y xx y x y z z -----++⎰；(4)2222239182220d )d y x y x yy x x y z z ---+++⎰⎰；参考答案：(1)8π35；(2) 196；(3)243π5；(4) 486(21)- 解答：本题图略(1) 用柱面坐标，222222221122121223/23461108d ()d 4()35x x y r xx y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ------++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，222222111222000011d d sin cos sin cos 4896y x y rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ-++===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，222239923222422390000243243d d sin cos sin 255x x y x x y z x y z z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-----++===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，222223918322224240486(21)d )d sin y x y x y y x x y z z d d dr ππθϕϕ---+-++==⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分： (1) 2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面222z x y =+z =0所围成； (2) ()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|111}x y z z x y Ω=≤≤--； (3) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成； (4)2222221d x y z v x y z Ω⎫++⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成； (5)2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分解答：(1) 用柱面坐标，22221sin 2202d 16(1sin )48z v d zdz d πθπΩθθθπ+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，2211101()d (sin cos )0r x y v d rdr dz πΩθθθ+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，21cos242041d 238r z v d zdz πθπΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1222224cos 222200611d []sin x y z v d d r r dr x y z r ππϕπΩθϕϕ⎫++=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 9243(ln3ln 2)π-=+-； (5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy 面上的投影222)23(R y x ≤+，在柱面坐标下积分区域可表示为2222 ,230 ,20 :ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩR R z R R R ，所以222232220R R R z dv d d dz πρρθρρ---Ω=⎰⎰⎰⎰ 5230322232248059])()[(312R d R R R R πρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，222202d zzRRR D D z v dz z dxdy dz z dxdy Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR z Rz z dz z R z dz ππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=．所属章节：第九章第四节难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积：(1) Ω由柱面x =y 2和平面z =0及x +z =1围成的立体； (2) Ω由抛物面z =x 2+y 2和z =18–x 2–y 2围成的立体；(3) Ω为圆柱体r ≤a cos θ内被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分解答：(1) 1311122008(22)15x xxV dv dx dz x x dz -Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（2）222318081r rV dv d rdr dz πθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）22cos 3332200424(1sin )(34)39a a r V dv d rdr a d a ππθθθθπ-Ω===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节难度：二级41．设Ω是Oxyz 坐标系中体积为V =5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20 V =100．所属章节：第九章第四节难度：二级42．计算三重积分2222223/22222221d d d x y z a b c x y z x y z a bc ++≤⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，2222223/22222322220081d d d 1sin 9x y z a b c x y z x y z abc d d r d abc a b c ππθϕρϕρπ++≤⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=， 222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++．所属章节：第九章第四节难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积参考答案：14解答：平面方程3632z x y =--，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4，72dA d σ=，7741422DA d σ==⨯=⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面面积解答：由对称性，设222z a x y =--22:,0D x y ax y +≤≥，则222dA a x y=--，cos 2222222442(2)a DA d dr a a x ya rπθθπ===----⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为cos2r θ=22211dA x y d r rdrd σθ=++=+，cos222404201193DA r rdrd d r rdr πθππθθ-=+=+=-⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D xy ≤+≤，22214414dA x y d r rdrd σθ=++=+，222011414(171755)6DA r rdrd d r rdr ππθθ=+=+=⎰⎰．所属章节：第九章第五节难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积参考答案：216π3a 解答：上半曲面方程2223z a x y =--投影区域为圆环域222:2D xy a +≤，222223333a adA a x ya rσθ==---，22212222332(33)33aDa a A rdrd d a a ra rπθθπ===--⎰；类似，下半曲面面积，222222220012(3)3a Da r a r A rdrd d a πθθπ++===⎰；所以所求总的曲面面积为21216π3A A a +=．所属章节：第九章第五节难度：二级49．求由圆柱面229x y +=、平面4y +3z =12和4y –3z =12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A ，另一块为侧面，面积记为2A ，整个立体的表面积122A A A =+．先计算1A ，由于对应曲面方程为443z y =-，40,3z z x y ∂∂==-∂∂，xy D 为投影区域，22513x ydA z z d σ=++=，所以15591533xyxyD D A dA d σππ===⋅=⎰⎰⎰⎰，再计算2A ，由于对应曲面方程之一为29y x =-20,9y y z x x∂∂==∂∂-，xz D 为投影区域，22219x z dA y y xσ=++=-，所以3822322489xzD A dA dx dz xπ-===-⎰⎰⎰⎰，。

高等数学-第九章二重积分部分

b
dx
2(x) f(x,y)dy
a
1(x)
若D为Y –型区域
则 D f (x, y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y y2(x) D
oay1(x)b x
y x2(y) d
x1(y) c
o
x
例. 计算
sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0,
Dx
x所围成的闭区域.
1x2dx
x
dy00
1
1
yx
o D2 D1
1x
1 yx
2 3
例. 计算 I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
高等数学-第九章二重积分部分
第九章重积分知识总结
一. 二重积分的计算二. 三重积分的计算三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
y
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D = { ( x ,y ) |0 x ,0 y x }o x

《计算二重积分》课件

2 应用举例的涵盖面广泛
总结应用举例的广泛领域，展示二重积分在不同领域的实际价值。
3 推荐进一步学习的内容
提供有关二重积分的进一步学习资源，帮助学习者在此领域深入探索。
应用举例
计算图形面积
通过具体的例子，演示如何利用二重积分计算图形的面积，加深对二重积分应用的理解。
计算质心
探讨如何利用二重积分计算物体的质心，为实际应用提供有价值的解决方案。
计算物体的质量
展示如何通过二重积分计算物体的质量，为工程和科学领域提供实用的应用示例。
小结
1 二重积分的常用计算方法回顾
简要回顾所学习的二重积分计算方法，强化知识点，巩固理解。
《计算二重积分》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将详细介绍如何计算二重积分。通过讲解前置知识、计算方法和应用举例，帮助大家更好地理解和应用二重积分的概念。
前置知识
矩形和二重积分的定义
详细解释二重积分的定义和矩形的概念，为后续的计算方法打下基础。
二重积分的性质
介绍二重积分的性质，包括线性性、保号性和介值性，帮助我们更好地理解和应用二重积分。
计算方法
1
交错累次积分法
通过交错累次积分的步骤和计算示例，
极坐标变换法
2
讲解如何利用累次积分法计算二重积分。
介绍极坐标极坐标变换简化二重积分
的计算。
3
用对称性简化计算
探讨利用对称性简化二重积分计算的方
法，包括奇偶性对称、轴对称和中心对
变量代换法
4
称。
介绍变量代换法的步骤和计算示例，展示如何通过变量代换来求解二重积分。

高等数学二重积分习题课

所以
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x

1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2

0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x

y
dy
1
1 x
0
x 1

0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e

e 2 x1 )dx

e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2

y2

重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2

y2

x2

y2,
求得曲线
z

2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D

高等数学教材二重积分答案

高等数学教材二重积分答案在进行高等数学学习的过程中，二重积分是一个非常重要的概念。

掌握了二重积分的求解方法以及相应的答案，对于我们理解和应用高等数学知识有着至关重要的作用。

本文将回答一些关于二重积分的题目，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 求解二重积分∬(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域为x^2+y^2≤1。

首先要确定积分区域，由于条件限制为x^2+y^2≤1，因此积分区域为单位圆。

接下来我们可以将此二重积分转换成极坐标下的积分形式。

当x和y用极坐标表示时，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为极径，θ为极角，那么根据雅可比行列式的性质，dx dy=r dr dθ。

现在我们将原来的二重积分改写成极坐标下的形式：∬(r^2) r dr dθ。

由于积分区域为单位圆，所以对于极径r，积分范围为0到1；对于极角θ，积分范围为0到2π。

将上述积分范围代入原式，得到二重积分的答案为：∫[0,2π]∫[0,1](r^3) dr dθ。

2. 求解二重积分∬(2xy-3x^2)dydx，其中积分区域为0≤x≤1，0≤y≤2。

根据题目给定的积分区域，可以直接进行二重积分的计算。

首先计算内层的y方向的积分，即对2xy-3x^2关于y进行积分，得到xy^2-3x^2y。

然后再对x进行积分，积分范围是0到1。

将上一步得到的结果乘以x的积分范围并进行积分，即∫[0,1] (xy^2-3x^2y)dx。

计算这一步的结果，得到(1/4)y^2-(3/4)y。

最后，将y的积分范围0到2代入上一步得到的结果进行积分，即∫[0,2] [(1/4)y^2-(3/4)y]dy。

将这一步的计算结果代入，得到最终的答案为(-11/2)。

通过以上两个例子的解答，我们可以看到在求解二重积分时，首先需要确定积分区域，然后根据积分区域的不同，选择合适的计算方法。

在一些情况下，我们可以将二重积分转换成极坐标下的形式，从而简化计算过程。

经济数学（二重积分习题及答案）

经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。

习题课二重积分的计算共28页文档

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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
习题课二重Leabharlann 分的计算11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

9山东专升本高等数学第九章二重积分.

9⼭东专升本⾼等数学第九章⼆重积分.第九章⼆重积分【考试要求】1．理解⼆重积分的概念、性质及其⼏何意义．2．掌握⼆重积分在直⾓坐标系及极坐标系下的计算⽅法．【考试内容】⼀、⼆重积分的相关概念1．⼆重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个⼩闭区域σ1，?σ2，，?σn，其中?σi表⽰第i个⼩区域，也表⽰它的⾯积．在每个?σi上任取⼀点n(ξiη,i)，作乘积f(ξi,ηi?)σii（i=1,2, ,n），并作和∑f(ξ,η)?σiii=1．如果当各⼩闭区域的直径中的最⼤值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的⼆重积分，记作??f(x,y)dσ，即Dniii??f(x,y)dσ=lim∑f(ξ,η)?σDλ→0． i=1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)dσ叫做被积表达式，dσ叫做⾯积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，∑f(ξ,η)?σiii=1ni叫做积分和．说明：在直⾓坐标系中，有时也把⾯积元素dσ记作dxdy，⽽把⼆重积分记作f(x,y)dxdy，其中dxdy叫做直⾓坐标系中的⾯积元素．D2．⼆重积分的⼏何意义⼀般地，如果被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处f(x,y)≥0，的竖坐标，所以⼆重积分的⼏何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy⾯的下⽅，⼆重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但⼆重积分的值是负的．如果⽽在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在f(x,y)在D的若⼲部分区域上是正的，D上的⼆重积分就等于xOy⾯上⽅的柱体体积减去xOy⾯下⽅的柱体体积所得之差．3．⼆重积分的性质（1）设α、β为常数，则[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=α??f(x,y)dσ+β??g(x,y)dσ． DDD（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的⼆重积分等于在各部分闭区域上的⼆重积分的和．例如D 分为两个闭区域D1和D2，则??f(x,y)dσ=??f(x,y)dσ+??f(x,y)dσ．DD1D2（3）如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的⾯积，则．σ=??1?dσ=??dσDD（4）如果在D上，f(x,y)≤?(x,y)，则有f(x,y)dσ≤(x,y)dσ．DD特殊地，由于 -f(x,y)≤f(x,y)≤f(x,y)，故⼜有f(x,y)dσ≤??DDf(x,y)dσ．（5）设M、m分别是有 f(x,y)在闭区域D上的最⼤值和最⼩值，σ是D的⾯积，则mσ≤??f(x,y)dσ≤Mσ．D（6）（⼆重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的⾯积，则在D上⾄少存在⼀点(ξ,η)，使得f(x,y)dσ=f(ξ,η)?σ．D⼆、⼆重积分的计算（⼀）利⽤直⾓坐标计算⼆重积分1．X-型积分区域X-型积分区域是指积分区域D可以⽤不等式a≤x≤b，?1(x)≤y≤?2(x)来表⽰的闭区域，其中函数?1(x)、?2(x)在区间[a,b]上连续．此时⼆重积分可化为如下⼆次积分的形式：D2(x)f(x,y)dσ=??f(x,y)dy?dx，这个先对y、后对x的a(x)1b⼆次积分也常记作如下形式：f(x,y)dσ=?dx?Dab2(x)1(x)f(x,y)dy．2．Y-型积分区域Y-型积分区域是指积分区域D可以⽤不等式c≤y≤d，φ1(y)≤x≤φ2(y)来表⽰的闭区域，其中函数φ1(y)、φ2(y)在区间[c,d]上连续．此时⼆重积分可化为如下⼆次积分的形式：f(x,y)dσ=?Ddcφ2(y)f(x,y)dx?dy，这个先对x、后对yφ1(y)?dc的⼆次积分也常记作如下形式：f(x,y)dσ=?Ddy?φ2(y)φ1(y)f(x,y)dx．（⼆）利⽤极坐标计算⼆重积分要把⼆重积分中的变量从直⾓坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直⾓坐标系中的⾯积元素dxdy换成极坐标系中的ρdρdθ．这样⼆重积分从直⾓坐标变换为极坐标的变换公式如下：f(x,y)dxdy=f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ．DD假设积分区域D可以⽤不等式α其中?1(θ)、≤θ≤β，?1(θ)≤ρ≤?2(θ)来表⽰，?2(θ)在区间[α,β]上连续．此时极坐标系中的⼆重积分化为⼆次积分的公式为：f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=?Dβα??2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ?dθ．1(θ)?这个先对ρ、后对θ的⼆次积分也常记作如下形式：f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=?Dβαdθ??2(θ)?1(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ．【典型例题】【例9-1】计算??xydσ，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域．D解法1：积分区域D可看作X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x，故22xxydσ=?D4221dx?x132x?y?xxydy=??x??dx=?(-)dx 1122?2?1?xx?9=?-?= ． 4?18?8 解法2：积分区域D可看作Y2-型区域，1≤y≤2，y≤x≤2，故xydσ=?D421dy?2y2?x?y3xydx=??y??dy=?(2y-)dy 112?2?y222?y?9=?y2-= ． 8?18?【例9-2】求σ，其中D是由直线y=x、x=-1及y=1所围??D2成的闭区域．解：将积分区域D看作X-型区域，-1≤x≤1，x≤y≤1，故113221?11?2σ=?dx?=-??(1+x-y)?dx??-1x3-1??xD=-?122?x133(x-1)dx=-(x-1)dx=--x= ．-10333?4?021141说明：此题若把积分区域D看作Y1-型区域，-1≤y≤1，-1≤x≤y，就有yσ=dy，其中关于x的积分计算⽐较⿇D-1-1烦，所以此题把积分区域D看作X-型区域求解．【例9-3】求2，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围成的闭区域．xydσ??D解：将积分区域D看作Y-型区域，因抛物线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，故-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，xydσ=?D42-1dy?2yy+2?x2?1225?xydx=y?dy=??y(y+2)-ydy??-1-12?2?y2262y+21?y43y?452=?+y+2y-?= ． 2?436?-18说明：此题若把积分区域D看作X线x-型区域，则要⽤经过交点(1,-1)且平⾏于y轴的直=1把区域D分成D1和D2两部分，其中D1=(x,y)0≤x≤1,≤y≤{，D2=(x,y)≤x≤4,x-2≤y≤因此根据⼆重积分对积分区域的可加性，就有 {．xydσ=??xydσ+??xydσDD1D2=?dx01xydy+?dx14x-2xydy．由此可见，此题把积分区域D看作X-型区域来计算较为繁琐．x22y=x所围成y=Dy=x【例9-4】计算，其中是由直线、dxdy2??Dy的闭区域．解：将积分区域D看作Y2-型区域，1≤y≤，y≤x≤y2，故2yx?x?xdxdy=?dx=2dy 221yy13yyDy23y2=1yy1?yy-2-)dy=?-?= ． 333?52?15-xe??D2452【例9-5】计算-y2dxdy，其中D是由中⼼在原点、半径为a（a>0）的圆周所围成的闭区域．解：将积分区域D表⽰为极坐标，0≤-xe??D2ρ≤a，0≤θ≤2π，故 2-y2?1?dxdy=?dθ?e-ρρdρ=??-e-ρ?dθ000?2?02πa2π2a2π1-a2-a2=(1-e)?dθ=π(1-e) ． 022222，其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成ln(1+x+y)dσ??【例9-6】计算D的在第⼀象限内的闭区域．解：将积分区域D表⽰为极坐标，0≤π01ρ≤1，0≤θ≤π2，故π01222222ln(1+x+y)dσ=dθln(1+ρ)ρdρ=dθln(1+ρ)d(D00122??1ρπ??ρ2ρ?2? =?dρln(1+ρ)?-?022?21+ρ?02?ρ22)ρ3=ln2-?ρ 20421+ρππ1ρ(1+ρ2)-ρ=ln2-?ρ 20421+ρππ1ρ=ln2-?(ρ-)dρ 20421+ρ1ππππ?ρ212?=ln2-?-ln(1+ρ)? 42?22?0=1π4ln2-π11(-ln2)=(2ln2-1) ． 2224σ，其中D是圆环形闭区域1≤x2+y2≤4．π【例9-7】计算D解：将积分区域D表⽰为极坐标，1≤ρ≤2，0≤θ≤2π，故2211Dσ=?dθ?ρ?ρdρ=2π?ρ2dρ 02πρ3?8114π=2π??=2π(-)=333?3?1【例9-8】交换下列⼆重积分的积分次序．1．2 ．?21dy?lny0f(x,y)dx ．-型区域，1≤y≤2，0≤x≤lny．将此积分区域看解：由题意，积分区域D为Y 成X-区域，可得0≤x≤ln2，ex≤y≤2，故交换积分次序后2．21dy?lny0f(x,y)dx=?ln20dx?xf(x,y)dy ． e2?dx?012-xxf(x,y)dy ．-型区域，0≤x≤1，x≤y≤2-x．将此积分区域解：由题意，积分区域D为X 看成Y-区域时，该区域需⽤直线y=1分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,0≤x≤y}，D2={(x,y)≤y≤2,0≤x≤2-y}，故交换积分次序后12-x1y22-y?dx?0xf(x,y)dy=?dy?f(x,y)dx+?dy?0010f(x,y)dx ． 3．?dx122-xf(x,y)dy ．-型区域，1≤x≤2，2-x≤y≤解：由题意，积分区域D为X积分区域看成Y次序后-型区域，可得0≤y≤1，2-y≤x≤1+11?dx122-xf(x,y)dy=?dy?02-yf(x,y)dx ．4．?π0dx?sinxx2-sinf(x,y)dy ．解：由题意，积分区域D为X分区域看成Y-型区域，0≤x≤π，-sinx≤y≤sinx．将此积2-区域时，该区域需⽤直线y=0（即x轴）分成D1和D2两部分，其中D1={(x,y)0≤y≤1,arcsiny≤x≤π-arcsiny}， D2={(x,y)-1≤y≤0,-2arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序后πdx?sinxx2-sinf(x,y)dy=?dy?1π-arcsinyarcsinyf(x,y)dx+?dy?-10π-2arcsinyf(x,y)dx．【历年真题】⼀、选择题1．（2008年，3分）设D：x2+y2≤1，则??dxdy等于（）Dx3y3+C （B）+C （C）π（D）2π（A）33解：⼆重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的⾯积，⽽积分区域D为圆域x2+y2≤1，故??dxdy=π?12=π．选项（C）正确．D2．（2006年，2分）交换积分次序dx10f(x,y)dy=（）101（A）-10dy01f(x,y)dx （B）?dy?00f(x,y)dx（C）-1dy?f(x,y)dx （D）?0?f(x,y)dx解：原积分区域为X域，得-1≤-型区域，0≤x≤1，≤y≤0，将其看作Y-型区y≤0，0≤x≤dx010f(x,y)dy=dy-100f(x,y)dx．选项（A）正确．ydxdy=（） 3．（2005年，3分）设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则??D1+x（A）ln2 （B）2+ln2 （C）2 （D）2ln2 解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原⼆重积分化成两个定积分的乘积的形式，故12112yydxdy=?dx?dy=?dx??ydy ??00001+x1+xD1+x22?y?4?=?ln(1+x?=ln2?=2ln2．选项（D）正确．??0?2?2??01⼆、计算题1．（2010年，5分）求⼆重积分成的闭区域．解：画出积分区域，将其看成X2x2??Dx，其中D是由y=1，y=x2，x=2所围y-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2，故⼆重积分 2x222xx2??=dx=xlnydx=2xlnxdx=lnxd(x) 111111yDy 222=?x?lnx??1-?1?x2?3xdx=4ln2-??=4ln2-． 2?2?12，其中D是由抛物线y=x及直线y=x-2所围xydσ??22．（2009年，5分）计算成的闭区域．解：画出图形，抛物线分区域看作YDy2=x与直线y=x-2的交点坐标为(1,-1)和(4,2)，将积-型区域，-1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则⼆重积分2-1??xydσ=?Ddy?2yy+2y2+4y+4y4xydx=?y(-)dy -1222436??11y4yy453252=?(y+4y+4y-y)dy=?++2y-?=． -122?436?-1822 3．（2007年，5分）计算所围成的闭区域． 2cosydxdy，其中D是由直线x=1，y=2与y=x-1??D解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y-型区域，0≤y≤2，1≤x≤y+1，则⼆重积分??cosydxdy=?dy?2D02y+11cosy2dx11=ycosy2dy=siny2=sin4． 0?2?02224．（2006年，4分）求2，D由x=0，y=1，x=y（y>0）围成． edxdy??xyD解：画出图形，将积分区域看作Yxyy2xy-型区域，0≤y≤1，0≤x≤y2，则⼆重积分 1xyy2??eD1dxdy=?dy?0y110??1edx=??ye?dy=?(yey-y)dy 00??0y1121y?y?11y1=?yd(e)-?ydy=?ye-edy-=e-e-?20?0??02=2． 00??0 5．（2005年，5分）计算⼆重积分域的公共部分．解：画出图形，积分区域为半圆域，故⽤极坐标，其中0≤θπ2coθs2222，D为x+y≤2x与y≥0两个区xydxdy??D≤π2，0≤ρ ≤2cosθ，故??xydxdy=?dθ?222D0022ρ2cosθ?ρsinθ2?ρdρρ?=?2sin2θcos2θ??0?6?0π62cosθπdθ=?2(1-cos2θ)cos2θ?032cos6θdθ3 32π327531π97531π=?2(cos8θ-cos10θ)dθ= (-?) 303864221086422327531π17π． ==3864221048。

第九章二重积分习题课_

D
第九章二重积分习题课
二.二重积分的计算
f ( x, y)dσ
D
化二重积分为二次积分或累次积分
根据积分区域D的图形和被积函数f (x,y)的特点选择坐标系选择积分限选择积分次序计算累次积分
第九章二重积分习题课
二.二重积分的计算
(一)二重积分在直角坐标系下的计算
f ( x, y)dxdy dx
x 0
1
y
f ( x )dx f ( y )dy ,
思考题
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，并设求
I dx f ( x ) f ( y )dy 0 f ( x )dx x f ( y )dy，
1 1

1
0
dx f ( x ) f ( y )dy .
x
1
2 2 y x 0 , y x 0, 将积分区域看作 X型, 解
则积分限为 0 x 1, x 2 y x ,
x
6 . 55
D
y d dx
0
1
x
2
x
x ydy
0
D
1
第九章二重积分习题课
5.改换下列二次积分的积分次序:
(1)
解

1
0
dy
y y
f ( x , y )dx
（5 ）

π
0
dx
sin x
x sin 2
f ( x , y )dy
解
X型
0 1
Y型,
f ( x, y )dx dy
0 1 πarctany arcsiny

dy

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《高等数学》课程课时教案
课题名称
第十六讲二重积分的计算习题课1
课次
16
授课日期
2014/04/21
2014/04/18
授课班级
会计
化工-热电
授课地点
13会计
13热电
教学目标
与
教学要求
熟练掌握二重积分的计算方法。
重点难点
及
解决办法
重点:1、画积分域；
2、选择积分次序；
3、解题步骤。
解决办法:多举例子，学生多动手做。
难点：更换积分次序。
解决办法:举典型例子。
教学设计
引课10min
一、例题30min
例1
解法一
解法二（学生练习）
注：
例220min
Hale Waihona Puke 解题步骤：例320min解题步骤
思考题：10min
总结：1、计算二重积分的步骤；10min
2、两种方法。
课后作业
思考题
教学反思