6.6函数图像的讨论
6.6 正弦函数的图象与性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数
【解析】 (1)y＝sin 2xcos 2x＝12×2sin 2xcos 2x＝12sin4x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 4 ＝π2 ，值域－21，12
(2)y＝sin(2x－30°)·cos 30°＋cos(2x－30°)·sin 30°＝sin(2x－30° ＋30°)＝sin 2x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 2 ＝π，值域[－1，1]
(2)最小正周期是 T＝2|ωπ|； (3)函数 y＝Asinωx 是奇函数．
学一学
例1 用描点法画出函数y＝sinx－2在区间[0，2π]上的简图，并求 它的最大值和最小值． 【分析】 作简图一般用“五点作图法”，即作出区间的五个四等分
点：0、π2 、π、3π 2 、2π对应的函数值所对应的点．由图象就可以看 出函数的最值了．
【融会贯通】 先填写下表，再画出下列函数 y＝2sinx 在区间[0，2π]
上的简图，并写出函数的最值．
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx y＝2sinx
【解析】 ∵当 sinx＝1 时，y＝2；当 sinx＝－1 时，y＝－2，
∴ymax＝2，ymin＝－2.
x
0
π π 3π
2
2
2π
sinx 0 1 0 －1 0
【解析】 最小正周期为 T＝2|ωπ|＝2π 3 ；当 sin3x＋π4＝1 时有最大值14.
8．函数f(x)＝bsinx－1，若f(2)＝1，则f(－2)＝___－__3__． 【解析】 f(x)＝bsinx－1，f(2)＝bsin 2－1＝1，得 bsin 2＝2.
f(－2)＝bsin(－2)－1＝－bsin 2－1＝－3.
例4 函数f(x)＝3－2sinx是(
高中数学函数图像总结
高中数学函数图像总结函数图像是高中数学中重要的内容之一，它能够帮助我们更直观地理解函数的性质和变化规律。
下面是关于函数图像的总结，总结从三个方面展开：基本性质、常见函数图像和绘制方法。
首先，我们来讨论一下函数图像的基本性质。
函数图像通常由一系列的点连成曲线或折线来表示，这些点表示函数的各个输入输出值。
函数图像的坐标系上，横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。
函数图像可以分为连续和非连续两类，连续函数图像上的任意两个点之间都是连线的，而非连续函数图像上的点之间存在间断。
在函数图像中，曲线的斜率表示函数的变化速率，斜率的正负表示函数的增减性，斜率的大小表示函数的斜率的大小。
接下来，我们来讨论一下常见的函数图像。
常见的函数图像有直线、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
直线函数图像是一条直线，它的一般方程为y=kx+b，其中k和b为常数。
二次函数图像是一个抛物线，它的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
指数函数图像是一条递增的曲线，它的一般方程为y=a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
对数函数图像是一条递增的曲线，它的一般方程为y=log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。
三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们都是周期性的曲线。
最后，我们来讨论一下函数图像的绘制方法。
函数图像的绘制可以通过描点、画线或使用计算机软件来完成。
描点法是通过取一些输入值，计算函数的输出值，然后在坐标系上标出这些点，再用直线或曲线将这些点连起来。
画线法是通过分析函数的性质和关键点，然后用直线或曲线将这些关键点连接起来。
使用计算机软件可以更快速和准确地绘制函数图像，通过输入函数的表达式，计算机可以自动绘制出函数的图像。
综上所述，函数图像是高中数学中重要的内容之一。
了解函数图像的基本性质、常见函数图像和绘制方法，可以帮助我们更好地理解和应用函数。
在学习和应用过程中，我们可以通过描点法、画线法或使用计算机软件来绘制函数图像，以更直观地展示函数的性质和变化规律。
多元函数微分学6.6隐函数的微分法
Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz
yz , z2 xy
z y
Fy Fz
xz z2 xy.
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于是
2z xy
( z ) y x
y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx
Fy
dy dx
0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学设计
5.拓展延伸，提升能力
-设计富有挑战性的拓展题目，激发学生的求知欲，提升学生的数学思维能力。
-结合现实问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识。
6.关注情感，营造氛围
-关注学生的情感需求，营造轻松、愉快的学习氛围，降低学生对数学的恐惧感。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，我将设计不同难度的习题，帮助学生巩固所学知识，形成技能。
首先，我设计一些基础题，让学生独立完成，检验学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的基本概念和性质的掌握程度。然后，我逐步提高题目难度，让学生在练习中提高解题能力。
在练习过程中，我关注学生的解题方法，引导学生总结解题策略。对于学生在解题过程中遇到的问题，我及时给予解答，帮助学生突破难点。
（2）在实际问题中，如何将一元一次方程和一元一次不等式应用于求解？
5.思考题：请同学们思考以下问题，下节课分享自己的观点：
（1）一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在实际生活中的应用有哪些？
（2）如何运用所学知识解决现实生活中的问题？
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于拓展题和小组合作探究题，同学们可以互相讨论、交流，但需独立完成作业。
-掌握一元一次不等式的符号规则，如不等式两边加减、乘除同一正数时不等号方向的变化。
-学会使用数轴、区间表示不等式的解集，并能够通过图像直观理解不等式的解。
-能够将现实生活中的不等关系抽象为一元一次不等式，并求解。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重以下方法与过程：
1.通过情境导入、问题引导的方式，激发学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的探究兴趣。
函数及其图像函数及其图像重点难点妙招的方法
函数及其图像重点难点妙招的方法函数的表示法是高中数学的重要内容，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础。
函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，使学生更好地体会、领悟与理解数学思想方法（如数形结合、化归等）。
同时，数学是人类文化的一部分，函数的多种表示是丰富多彩的社会实际的要求，体现了人们观察世界的一种立场、观点和方法。
下面将从5个方面来阐述对这节内容的理解和设计。
一、教材分析教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。
在本节中，教材仍以引进函数概念时所用的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性。
解析法表示函数关系时，函数关系简明、清楚，便于用解析式来研究函数性质，体现了透过现象看本质的哲学思想。
列表法简洁明了，动态的变量采用静态的数据表示，“输入值”与“输出值”一目了然，体现出“动与静”的辩证关系。
图象法能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，表示出数学的美学意义和数形结合的数学思想。
在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举社会生活或其他学科中的例子，如银行里的利息表、列车时刻表、公共汽车上的票价表、邮资、出租车费，股市走向图等等，拉近与学生的距离，使学生感受到函数就在身边，感到亲切、自然，加深对函数表示法的理解。
教材还通过例子介绍了分段函数的特点及应用，要注意让学生尝试用数学表达式去表达实际问题。
二、教学目标①明确函数的三种表示方法，在了解函数三种表示方法各自优点、特征的基础上，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。
②通过具体实际，了解简单的分段函数，并能进行简单的应用，培养学生将实际问题抽象转化成数学问题，再去求解数学问题的能力。
③渗透数形结合思想方法，重视知识的形成发展过程，培养学生观察、分析、归纳、总结、表达能力与辩证唯物主义观点，进一步激发学生学习数学的兴趣。
三、学情分析与重、难点学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，但是对于各自的优点和不足，以及根据不同的实际情境来选择恰当的表示函数方法等方面，认识还不够深入、具体、清晰，有些地方甚至有错误认识，如用图像法时盲目地连点连线，以为函数都是可以写出解析式的等等。
函数图像高考知识点总结
函数图像高考知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，函数的概念在高中数学中有着很重要的地位。
函数的概念是传递和扩展我们数学知识，从而推广了我们对数学问题的认识，为我们更好地探求数学规律打下了坚实的基础。
函数的概念最早来源于19世纪的数学家勒贝格的研究成果，函数的概念对于我们学习数学中的其他知识将会起到很大的帮助。
下面来详细介绍一下函数的概念。
1、函数的定义函数是一种特殊的关系，他只有一个自变量，并且每个自变量都对应唯一一个因变量。
函数符号y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
函数的符号表示是：y=f(x)或y=y(x)，这里y表示因变量，x表示自变量，f表示函数名称，称为函数符号。
在函数y=f(x)中，x的取值范围称为定义域，y的所有可能取值构成的s称为值域，定义域与值域构成一个对应关系称为函数的定义域和值域。
定义域和值域的关系对函数的研究非常重要，这是我们学习函数的一个关键点。
只有知道了函数的定义域和值域，我们才能更好的对函数进行研究。
2、函数的图像函数的图像是指函数的自变量和因变量之间的关系所表现出来的几何图形。
函数的图像是我们理解函数的重要手段之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像在我们学习函数的时候起重要的作用，通过函数图像我们可以更好的理解函数的性质。
二、函数图像的性质函数图像有很多重要的性质，这些性质对于我们理解函数图像具有非常重要的作用。
下面我们来详细介绍一下函数图像的性质。
1、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
通过函数的奇偶性，我们可以更好的理解函数的性质。
2、函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定范围内具有重复的规律性。
如果函数的图像在一个固定的范围内有重复的特点，那么这个函数就具有周期性。
初中知识点归纳——函数图像篇
初中知识点归纳——函数图像篇函数图像是初中数学中的重要内容之一。
通过函数图像的形状、特点以及变化规律，可以深入理解函数的性质和作用。
本文将从函数图像的基本形状与分类、常见函数图像的特点及其变化规律等方面进行归纳与总结。
一、函数图像的基本形状与分类函数图像的形状可以分为线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等几种常见类型。
1. 线性函数图像线性函数的特点是图像为一条直线。
直线的斜率表示了函数的增减趋势，当斜率为正时，函数图像呈上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈下降趋势；斜率为0时，函数图像为水平直线。
2. 二次函数图像二次函数的图像通常为抛物线形状。
抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当二次项的系数为正时，抛物线开口向上；当二次项的系数为负时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还受到常数项的影响，常数项决定了抛物线的位置。
3. 指数函数图像指数函数的图像为指数曲线，呈现上升或下降的趋势。
指数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，指数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，指数曲线呈现下降趋势。
4. 对数函数图像对数函数的图像为对数曲线，也呈现上升或下降的趋势。
对数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，对数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，对数曲线呈现下降趋势。
二、常见函数图像的特点与变化规律1. 线性函数的特点与变化规律线性函数的图像为一条直线，具有以下特点和变化规律：（1）斜率决定了线性函数图像的倾斜程度和方向，斜率越大图像越陡峭，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。
（2）截距决定了线性函数图像与纵轴的交点位置，截距为正表示交点在纵轴上方，截距为负表示交点在纵轴下方。
2. 二次函数的特点与变化规律二次函数的图像为抛物线，具有以下特点和变化规律：（1）开口方向由二次项的系数决定，正系数表示抛物线开口向上，负系数表示抛物线开口向下。
（2）顶点是抛物线的最高点或最低点，在坐标系中的横坐标为顶点的x坐标，纵坐标为顶点的y坐标。
函数图象知识解析
函数图象知识解析【学习目标】1．目的与要求 通过实践与探索，回顾本章的知识点，巩固所学的知识，参与知识发现与形成的过程．2．知识与技能 体会实际问题与数学问题间的转化过程以及数形结合的数学思想方法，在实践和探索中感悟到方程、函数思想、类比、化归思想、待定系数法等诸多数学思想方法的妙用之处，提高思维能力.3．情感、态度和价值观 在实践与探索过程中，体验数学学习中“问题情境──建立模型───解释应用───回顾拓展”的过程，强化数学的应用与建模意识，提高自身素质及分析问题、解决问题的能力. 同时也能体会到我们所学的是“有用的”数学．【学习指导】数学宫殿本章知识回顾：变量与常量，函数及其有关概念；平面直角坐标系及其有关概念；点的坐标特征；函数的表示方法；一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质．解析法、列表法与图象法表示同一函数时各量的对应关系：解析法、列表法中自变量(的取值)对应着图象法中图象上某一点的横坐标(的值)，对应的函数(值)对应着图象法中图象上这一点的纵坐标(的值)．用变量、函数观点及其性质分析探索实际问题中的数量及其变化规律．例1 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，求y 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．思路与技巧 解这类题的关键是正确读图. 由图象可知：一次函数的图象过(60，6)、(80，10)两点，用待定系数法即可求得其解析式，再由图象可求出自变量的取值范围． 解答 设一次函数的解析式为y ＝kx+b ，则⎩⎨⎧=+=+1080660b k b k 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==651b k所以 651-=x y令y ＝0 ，则x ＝30根据图象可知，自变量的取值范围是x ≥30．例2 假定甲、乙二人在一次赛跑比赛中，路程S 与时间t 的关系，如图所示，那么可以知道：(1)这是一次_____________m 赛跑；(2)甲乙两人中先到达终点的是_____________；(3)乙在这次赛跑中的速度是_____________ m ／s ．思路与技巧 由图象可知，二人同时出发，图象最高点的纵坐标就是这次赛跑的路程1OOm ，最高点的横坐标就是甲、乙二人跑到终点各自所用的时间，甲用12s ，乙用12.5s ，所以甲先到达终点．要求乙的速度就用从图象上得到的乙的路程1OOm 除以乙用的时间12.5s ，得速度为8m ／s ．解答 (1)100 (2)甲 (3)8例3 利用函数图象解方程组⎩⎨⎧+=--=422x y x y 思路与技巧 y ＝-x-2与y ＝2x+4是两个一次函数，它们的图象有一交点，则该交点的横坐标与纵坐标都满足两函数关系式，即自变量和对应的函数值同时满足两函数关系式，而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解，于是画出两函数的图象，求出交点坐标，就得到了方程组的解．解答 在同—直角坐标系中画出两个一次函数的图象(如图)．两直线的交点为(-2，0)，所以方程组⎩⎨⎧+=--=422x y x y 的解是⎩⎨⎧=-=02y x例4 利用图象解不等式2x-4<0．思路与技巧 关键是构造一个与不等式2x-4对应的一次函数，这就是y ＝2x-4，然后通过观察一次函数的图象即可求解．解答 画出一次函数y ＝2x-4的函数图象(如图，这是示意图)．由图象可知，不等式2x-4<0的解集为：x<2．例5 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势．试用你所学的函数知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；的点在一直线上(草图由同学们自己完成)，也就是说表中的两个量可以近似地把y 看成是x 的一次函数，从而求得解析式，其余问题就不难了．解答 (1)设y ＝kx+b 经过点(2000，2520)、(2001，2330)，则⎩⎨⎧=+=+2330200125202000b k b k 解之得⎩⎨⎧=-=382520190b k所以y ＝-190x+382520可以验证 y ＝-190x+382520，过点(2002，2140)，所以 y ＝-190x+382520较好地反映了表中的变化趋势．故所求函数关系式为y ＝-190x+382520．(2)设x 年时，入学人数为1000人，由题意得-190x+382520＝1000x ＝2008答：从2008年起入学儿童人数不超过1000人．【探究活动】提出问题 已知函数y ＝kx ＋b 的图象，你会利用函数图象求不等式是kx-b<0的解集吗?探究准备 现有一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)及其图象与x 轴的交点(-3，0)，如图所示，求不等式kx-b<0的解集．探究过程 利用函数图象求不等式kx-b<0的解集，其关键就是构造—次函数y ＝kx-b ，并画出它的图象，找出图象与x 轴的交点坐标.设直线y ＝kx ＋b 交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线y ＝kx-b 交x 轴、y 轴于点A '、B '，则它们的坐标可用k 、b 表示为A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,k b 、B(O ，b). ()b B k b A -⎪⎭⎫ ⎝⎛',0',0,，由点的坐标特征可看出，点A 与A '关于原点对称，点B 与B '关于原点对称，此一次函数y ＝kx-b 的图象就可以画出了，就是直线B A ''，同时与x 轴的交点A '的坐标就是(3，0)．由图象可知，不等式是kx-b<0的解集就是x<3．探究评析 利用图象解—元一次不等式，关键是构造不等式所对应的—次函数．其中运用了整体思想、数形结合思想，构建新的数学模型，有利于培养创新思维能力．其中有一个知识点，不易掌握与灵活运用，那就是函数关系式中的自变量的值就是图象上某一点的横坐标，对应的函数值就是图象上这一点的纵坐标．例6 如图所示，直线521-=x y 与直线12+-=x y 的交点为(2，-1)，试根据图象回答：当x 取什么值时，21y y <？思路与技巧 本题要求x 取什么值时，21y y <，实质就是问：横坐标相同时，521-=x y 的图象上点的纵坐标小于12+-=x y 的图象上点的纵坐标的这些点的横坐标的范围是什么?过点(2，-1)作x 轴的垂线l ，由图象可知，直线l 左侧的部分满足这一要求．解答 由图象可知：当x<2时，21y y <【同步达纲练习】1.面积为2的△ABC ，—边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是图中的 ( )2．汽车开始行驶时，油箱内有油40L ，若每小时耗油5L ，则油箱内余油量Q(L)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为图中的 ( )3．直线y=x+1与直线y ＝2x-3的交点坐标是 ( )A ．(-2，-1)B ．(4，5)C ．(-4，-3)D ．(2，3)4．利用图象解不等式2x-1≤0，则 ( ) A.21>x B.21≥x C.21<x D.21≤x 5．若x k y =(k ≠0)，则其图象是 ( ) A ．直线 B ．射线 C ．线段 D.双曲线6．若y=mx+n(m ≠0)的图象如图所示，则不等式mx+n ＞O 的解集是 ( )A ．x>2B ．x<2C.x 为一切实数 D ．不确定7.在y=-2x ，xy 2=，y ＝-2x+1三函数中下列叙述不正确的是 ( ) A ．y ＝-2x 与y ＝-2x+1的图象互相平行B ．y ＝-2x 与y ＝-2x+1中y 随x 增大而减小C ．三函数中，y 都随x 增大而减小D ．直线y ＝-2x 可由y ＝-2x+1平移而得8．关于函数x y 6=，下列叙述不正确的是 ( ) A ．函数xy 6=的图象是轴对称图形 B ．函数xy 6=的图象是中心对称图形 C ．函数xy 6=的图象在一、三象限 D ．函数xy 6=中y 随x 增大而减小 9．点P(-m ，m+2)一定在下列哪个函数的图象，答 ( )A ．y ＝-x+2B ．y ＝x-2C ．y ＝x+2D ．y=-x-210．某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量x 与售价y 的关系如下表，则y 与x 的函数关系式为__________.11．观察下列各正方形图案(如图)，每条边上有n(n ≥2)个点，每个图案中点的总数是S ，按此规律推断出S 与n 的函数关系式为______________.12．如图所示，是某学校一电热淋浴水箱的水量y(L)与供水时间x(min)的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)在(1)的条件下，求在30min 时水箱有多少升水.13．已知直线x-2y ＝-k+6和x+3y ＝4k+1的交点在第四象限内．求非负整数k ．14．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间的关系近似地满足图所示的折线．(1)写出注射药液后每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4μg 时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效?这个有效时间有多长?(3)假若某病人—天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从6:00～20:00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好?15.某电子厂经过市场调查，发现某种计算器的供应1x (万个)与价格1y (万元)之间的关系如图所示的供应线，而需求量2x (万个)与价格2y (万元)之间的关系如图17—57所示的需求线．为了使市场达到供需平衡，请帮助计划一下，应生产这种计算器多少个?每个售价多少元?16．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费费用700元．请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多?自由落体运动的数学模型221gt h = 数学模型方法(mathematical modelling method)，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．什么叫数学模型呢?简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，在从数学角度来反映或近似反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的形式是多样的．它们可以是几何图形，也可以是方程、函数解析式等等．实际问题越复杂，相应的数学模型也就越复杂．怎样用数学模型方法研究实际问题呢?让我们回顾一下意大利科学家伽利略(Galileo Galilei ，1564年～1642年，意大利物理学家、天文学家)研究自由落体运动的过程．16世纪80年代，比萨大学的青年数学教授伽利略对自由落体运动非常感兴趣．他通过对实际问题的反复观察实验，发现自由落体运动与物体的轻重无关．据说他曾从比萨斜塔上让两个质量不同的球同时下落，人们惊奇地发现它们同时着地．这样就推翻了已经被人们信奉了两千年之久的亚里士多德的旧落体定律—一物体下落的速度与它的质量成正比．否定了旧的落体定律之后，伽利略进一步研究自由落体的运动规律．他从理论和实验两个方面入手，发现下落的距离h 、下落的速度v 都随下落的时间t 变化．用现代的数学语言说，这就是函数关系式221gt h =，这里g 是物体重力加速度，g 21这个常数正是h 与2t 的正比例系数．221gt h =就是伽利略把自由落体运动加以抽象概括建立的数学模型． 伽利略是近代科学史上使用数学模型方法的先驱，从他为自由落体运动建立数学模型：221gt h =的过程，可以反映出数学模型方法解决问题的基本步骤．这些步骤用框图表示如下：参考答案1．C 2. B 3. B 4. D 5. D 6. B 7. C 8. D 9. A10. y=2.1x 11. S=4（n-1）12. （1）由图象可知，y 是x 的一次函数，且图象过（10，50），（50，150）两点，设y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=,50150,1050b k b k 解得⎩⎨⎧==,25,5.2b k 所以有y=2.5x+25（0≤x<50） （2）把x=30代入255.2+=x y ，得y=100.13. 由⎩⎨⎧+=++-=-,143,62k y x k y x 解得⎩⎨⎧-=+=,1,4k y k x ，所以交点坐标为（k+4，k-1）. 又因为交点在第四象限，所以⎩⎨⎧<->+,01,04k k 解得14<<-k ，又因为k 是非负整数，所以k=0.14. 当0≤t ≤1时，设t k y 1=，则6=t y k k 6,6.111=∴=∴⨯；当1<t ≤10时，设b t k y +=2，⎩⎨⎧+=+=∴,100,622b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,320,322b k ,32032+-=∴t y ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=∴.10132032,106t t t t y （2）当0≤t ≤1时，令y=4，即6t=4.32=∴t （或6t ≥4，32≥∴t ）；当0<t ≤10时，令y=4，即432032=+-t ，∴t=4(或4,432032≤∴≥+-t t ). ∴注射药液32小时后开始有效，有效时间长为：)(310324h =-. （3）设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液h t 1后，则()∴=∴=+-,4,43203211h t t 第二次注射药液的时间是：10:00. 设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液h t 2后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射射药液量之和，∴()43204323203222=+--+-t t ，解得()h t 92=，∴第三次注射药液的时间是：15:00。
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 苏科版数学八年级上册课件(共20张PPT)
示例：如图6.6－2 所示，
方程k1x+b1=k2x+b2 的解为x=a； 不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集为x ＞ a； 不等式k1x+b1<k2x+b2 的解集为x ＜ a.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 利用图像解法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为kx+b ＞ 0 或kx+b ＜ 0(k ≠ 0)的形式； 2. 画出函数图像，并确定函数图像与x 轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集.
y=kx+b 当y=4 时对应的自变量的值.
知1－练
感悟新知
解：把点(4，0)和(3，2)的坐标分别代入y=kx+b，
得 4k+b=0，解得 k=－2，
3k+b=2，
b=8， 即y= － 2x+8．
当y=4 时，－ 2x+8=4，解得x=2．
∴方程kx+b=4 的解为x=2．
知1－练
答案：B
感悟新知
感悟新知
知2－练
例 3 [三模·杭州] 如图6.6－3，已知函数y1=3x+b 和y2=ax
－3的图像交于点P(－ 2， － 5)，则根据图像可得不
等式3x+b ＞ ax－3 的解集是( )
A. x ＞ －2
B. x ＜ －2
C. －2 ＜ x ＜ 0
D. x ＞ 0
感悟新知
知2－练
解题秘方：求不等式3x+b ＞ax－3 的解集，就是看 当x 在什么范围时， 函数y1=3x+b 的图像在函 数y2=ax － 3 的图像上面.
答案：A
对函数图象的深入理解
（一）对函数图象的深入理解在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗.因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法.怎样做函数的图象基本方法：列表描点作图法.常用的函数图象变换有：1．平移变换：将的图象向左（）或向右（）平移个单位可得.：将的图象向上（）或向下（）平移个单位可得.2．对称变换：作关于轴的对称图形可得.：作关于轴的对称图形可得.3．翻折变换：将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴的上方，其他部分不变即得.：此偶函数的图象关于轴对称，且当时图象与的图象重合.例1：做出下列函数的图象：（1）；（2）.答：（1）将的图象左移1个单位，得到函数的图象；（2）将的图象左移1个单位，得到函数的图象，再将的图象向下平移一个单位得到函数的图象.（二）常见简单函数求值域的方法：最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一.函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起.函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的.本小节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用.1.基本初等函数在特定区间上的最值（或值域）问题.解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值（或值域）.2.一些简单的复合函数的最值问题.解决这类问题的方法通常有：（1）通过作出函数图象变成第1类问题；（2）通过换元法转化成第1类问题；（3）利用平均值定理求最值；（4）通过对函数单调性进行讨论进而求出最值.其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识（导数的方法在后面相应章节复习）.（5）转化成几何问题来求解.例2：求下列函数的最值.（1）求函数的最大最小值；（2）求函数的最大最小值；（3）求函数的最大最小值；（4）求函数的最小值；（5）求函数的最小值.略解：（1）利用图象变换的知识作出函数的图象（如右图），观察在区间上函数值的取值情况，得函数的最大值为4，最小值为1.（2）设，因为，所以，于是，原函数最大最小值问题转化为求函数的最大最小值问题.用例1作图观察的方法，可得最大值为，最小值为.（3）解可得，即函数的定义域为.设，则，由，，可得，由，，可得.所以，函数的最大值为，最小值为.（4）解可得，即函数的定义域为.设，则，由，，可得，由，，可得.所以，函数的最小值为.（5）因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，函数的最小值为.（三）函数与方程1.如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.函数零点的几何意义：如果是函数的零点，则点一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与轴的交点为.2.零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，而且，则这个函数在区间[a，b]上至少有一个零点.这也是二分法的依据.注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件. 这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下.如果可以画出函数的图象（这时判断函数零点的方法将是非常直观的），如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点.3．用二分法求函数零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D内取一个闭区间，使得；第二步、求中点及其对应的函数值，即求以及的值，如果，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步。
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（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是
曲线和坐标轴的交点；
由 f (x)
1
x2
e2
算出曲线上一些点的坐标；
2π
1
M1 (0,
), 2π
M2 (1,
1
1
e 2 ),
2π
M3 (2,
1 e2 ) 2π
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
综合上述讨论结果，可描绘函数 f (x)
解：（1）函数定义域为 (,1) (1, )
（2）无奇偶性，无周期性；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区
间与拐点；
f (x) x2 (x 3) , 2(x 1)3
f (x) 3x (x 1)4
令 f (x) 0 ，得 x 0 与 3，令 f (x) 0 ，得 x 0 ，
lim sin x 1 x0 x
x 0不是函数曲线的渐近线.
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f (x) 正 0 正
负0
正
f (x) 的单调性 递增
递增
递减
递增
f (x)
负 0正
正正
正
f (x) 的图形 凸 拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x 1；斜渐近线 y 1 x 1 2
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是
x
0
0,1
1
f (x)
0
负
f (x) 的单调性
单调减少
f (x)
负
负
0
f (x) 的图形 极大值点 凸
拐点
1,
负 单调减少
正 凹
（4）讨论曲线的渐近线； 因为 lim f (x) 0 ，所以 y 0 是曲线的水平渐近线．
x
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2π
1
x2
e2
f (x) 0 ； 当 x 1时， f (x) 0 .
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用点 x 1把[0, ) 分为[0,1] 和[1, ) 两个区间， 曲线在这两个区间上的单调性、凹凸性列表讨论如下：
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第六节
第三章
函数图形的描绘
（Plot of Functional Graph）
水平渐近线 一、曲线的渐近线 铅直渐近线
斜渐近线
二、函数图形的描绘
三、小结与思考练习
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一、曲线的渐近线（Asymptote of Curve)
点 x 1处， f (x) 间断。
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点 x 0,1,3 把定义域分为 (,0],[0,1),(1,3],[3, ) 四个区间，曲线在各部分区间内的单调性、凹凸性列 表讨论如下：
x
(,0) 0 (0,1) 1 (1,3) 3
(3, )
例如， y arctan x, 有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
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2. 铅直渐近线（垂直于x 轴的渐近线）
如果曲线 y f (x) 有
lim f (x) 或 lim f (x) ，
xc
xc
则称直线 x c 为曲线 y f (x) 的铅直渐近线。
例如，
y
1
,
(x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条:
x 2, x 3.
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3. 斜渐近线
如果曲线 y f (x) 有
lim[ f (x) (ax b)] 0 或 lim[ f (x) (ax b)] 0 (a 0) ，
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内容小结
1. 曲线的渐近线
水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线
2. 函数图形的描绘（主要步骤）
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思考与练习
两坐标轴 x 0， y 0是否都是函数 f ( x) sin x x
的渐近线？
解：lim sin x 0
x x y 0是曲线的渐近线.
x x
x
x
b lim[ f (x) ax] lim[x ln(e 1) x]
x
x
x
lim
ln(e
1) x
1
lim
ln(e
t)
1
x
1
t 0
t
x
1
lim e t 1
1 t 0
e
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例 2 求曲线 f (x) 2(x 2)(x 3) 的渐近线． x 1
在中学数学中，我们学过用“五点法”来画函数的图形
但“五点法”有着固有的局限性不，能准确地画出函数的图形。 在高等数学中， 我们学会了利用函数的导数来确定函
数的单调区间和极值点； 学会了利用函数的二阶导数来 确定函数的凹凸区间及拐点……
知道了这些知识后，我们就能较准确地描绘出函数 的图形。
为了更准确地描绘函数的图形， 我们再来学习一个 概念 —— 渐近线， 然后，再来研究函数图形描绘的基 本步骤和技巧！
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解 D : (,1) (1,).
lim f ( x) , x1
lim f ( x) ,
x1
x 1 是曲线的铅直渐近线.
又lim f ( x) lim 2( x 2)( x 3) 2, x x x x( x 1)
提示：（1）水平渐近线公式
lim f (x) b 或 lim f (x) b
x
x
（2）铅直渐近线公式
lim f (x) 或 lim f (x) ，
xc
xc
（3）斜渐近线公式
f (x) a lim
x x
b lim[ f (x) ax]. x
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例 2 作出函数 f (x)
1
x2
e2
的图形．
2π
解：（1）函数定义域为(, )
（2）函数是偶函数，故函数图形关于 y 轴对称；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区
间与拐点；
f (x)
1
x2
xe 2 , f (x)
1
x2
e2
2π
在[0, ) 上的图形， 最后，利用图形的对称性，
便可得到函数在 (,0] 上的图形。
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y
M1
1
o
( x)
1
x2
e2
2
M2 M3
1
2x
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例 3 作出函数 f (x) x3 的图形． 2(x 1)2
曲线和坐标轴的交点；
(1, 1), 8
(0, 0),
(1 , 1), (2, 4), 24
(3, 27 ) 8
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
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y
4 3 2
1
2 1 O 1 2 3 x
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将 a 代入 lim[ f (x) (ax b)] 0 ，得
x
b lim[ f (x) ax].
x
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例1
求曲线
f
(x)
x
ln(e
1 x
), ( x
0)的渐近线.
解 因为 a lim f (x) lim ln(e 1) 1
lim[ 2(x 2)(x 3) 2x]
x
x 1
lim 2( x 2)( x 3) 2x( x 1) 4,
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
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f (x) 2(x 2)(x 3) 有两条渐近线，如下图 x 1
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二、函数图形的描绘
描绘函数的图形可按下列步骤： （1）确定函数的定义域；
（2）确定函数的奇偶性、周期性； （3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间 与拐点； （4）讨论曲线的渐近线； （5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点； （6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．