弹性力学第2章习题
弹性力学简明教程_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么就是均匀的各向异性体,什么就是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。
非均匀的各向同性体如:混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件与钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基与土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件与土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件与岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】(1)连续性假定:假定物体就是连续的,也就就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。
引用这一假定后,物体的应力、形变与位移等物理量就可以瞧成就是连续的。
因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示她们的变化规律。
完全弹性假定:假定物体就是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间就是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定:假定物体就是均匀的,即整个物体就是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都就是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定:假定物体就是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定:假定位移与变形就是微小的。
亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变与转角都远小于1。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
《弹性力学》习题库解读
例2.7.1
图示矩形截面水坝，其右侧受静水压 力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h
l 1, m 0
fx f y 0
x f x 0, f y p( x) p0 l
代入边界条件公式，有
y
l
C
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
xy y 0
0
x y y0 p( x) p0 l
例 2.6.3
沿 z 向均不变化，只有平面应力分量 x , y , xy ，且
仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是 平面应力问题。
例 2.1.2
（本章习题2－1） 如图2－14，试分析说明，在不受任何面力作 用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近 于平面应力的情况。
x 答：在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层 z Oy
2 2
B
0
°
1 0 (0 σ x ) 2
x
0
A
x 2 0
例 2.3.1
（1）求主应力的大小及方向
x 2 0 , y 0, xy 0
1 x y x y 2 xy 2 2 2
中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在 薄层内所有各点都有 z zx zy 0，只存在平 面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化，仅 为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。 图 2-14
例 2.1.3
如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
弹性力学习题库
（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力和正 应力。
l30o 1/ 2, m30o 3 / 2
px xl xym py xyl ym
px
2 2
30, py
1 2
0
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
n l2 x m2 y 2lm xy
n
1 2
30
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
x2 y2
f
(x)
(2)将 x代y 入平衡微分方程第二式
xy
3q0 h3l
x2 y2
f
(x)
y
y
xy
x
fy
0
y
2q0 h3l
xy3
f
(x) y
g(x)
例 2.3.1
例2.3.1：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的 受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的 大小及方向（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力 和正应力。
先求应力分量 x , y , xy ：
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
CB面上
y 0, xy 0
例 2.3.1
先求应力分量 x , y , xy ：
AB面上: 方向向量:
2
2
l45o 2 , m45o 2
y
C
0
30
O
° 0
n lm(σ y σx ) (l 2 m2 ) xy
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学第3版王光钦第二章习题解答
- 7 -第二章 弹性力学的基本方程和一般定理习题2-1 已知矩形截面杆件自由端受力P 的作用而发生横向弯曲，如图所示，梁的高度为h ，力P 的分布规律为)4(222y h J P p --=，不计体力，按材料力学方法求得应力分量为式中J 为截面惯性矩，试检查该应力分量是否满足平衡方程和边界条件。
解：1）将应力分量代入平衡微分方程 （1） （2）（3）考虑体力分量均为零，则由（1）式得左边===+-0JPy J Py 右边 题2-1图- 8 - 将应力分量代入平衡微分微分方程的（2）、（3），显然平衡微分方程满足。
2）应力边界条件 n m l T zx yx x x ττσ++= （4） n m l T zy y xy y τστ++= （5）n m l T z yz xz z σττ++=（6）这里必须注意：应力边界条件必须满足所有的边界，而不是仅仅求出待定常数。
下面考虑上边界 i ）上边界0,1,0===n m l ，0,0,0===z y x T T T将上式代入（4）、（5）、（6）式，得0)(2==hy yx τ 0)(2==h y y σ 0)(2==h y yz τ上式就是简化后的边界条件。
必须强调的是：在考察边界条件时，需将已知的边界坐标值代入表达式。
将应力分量代入上面三式，显然三式成立。
ii ）下边界0,1,0=-==n m l ，0,0,0===z y x T T T将上式代入（4）、（5）、（6）式，得0)(2=-=hy yx τ 0)(2=-=h y y σ 0)(2=-=h y yz τ将应力分量代入上面三式，显然三式成立。
- 9 -iii ）右边界0,0,1===n m l ，,0=x T )4(222y h J P T y --=0,=z T 应注意：所有的面力都是与坐标正向一致为正。
将上式代入（4）、（5）、（6）式，得0)(==l x x σ)4(2)(22y h J P lx xy --==τ0)(==l x xz τ同样，在检验边界条件时，应该将l x =的值代入，显然三式成立。
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
第2章 弹性力学中的若干典型问题及基本解法的讨论
第2章 弹性力学典型问题及其基本解法
如果所分析的弹性体具有某种特殊的形状、并且所承受的 外力是某种特殊形式的外力，那么就可以把空间问题简化为相 对简单的典型弹性力学问题进行求解。这样的处理可以简化分 析计算的工作量，且所获得的结果仍然能够满足工程上的精度 要求。 本章首先对弹性力学的几个典型问题，包括平面问题、轴对 称问题和板壳问题进行分析和讨论，进一步总结和归纳弹性力 学的一般解法，包括位移法和应力法以及能量法。此外，还介 绍了机械结构强度与失效的基本理论。 平面问题 弹性力学的基本解法 强度失效准则
3 0
（2.8）
8
2.1.2 平面应变问题
平面应变问题的特征： （1）如图2-2所示，当物体z方向上的 尺寸很长； （2）物体所受的载荷（包括体积力） 平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长 度方向（z方向）变化，即物体的内在因
o y
素和外来作用都不沿长度方向变化，那
么这类问题称为平面应变问题。
ur r r ur , r
w , z
,
zr
w r
ur z
（2.15）
轴向位移w引起的应变分量为
r zr
（2.16）
17
2.2 空间轴对称问题 由此得到空间轴对称问题的几何方程：
ur r r u r r w z z z r u r w z r
r d d r r d r d d z r d d z 2 d r d z r r r 2 zr zr dz rd dz zr rd dr Krd drdz 0 z
5
清华大学_弹性力学_第二章_应力理论_习题答案
第二章知识点： （1）应力矢量()0limS FSνσ∆→∆∆其中，ν是S ∆的法向量（2）应力张量()()()111121321222323132333σσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中，()()()123,,σσσ 分别是123,,e e e方向的应力矢量，且()()()111122133121122223323113223333e e e e e e e e e σσσσσσσσσσσσ=++=++=++上式可以写为张量形式ij i j e e σσ=或者用正应力剪应力将应力张量写为x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）柯西公式（应力矢量和应力张量的关系）()νσνσ=⋅其中，ν是斜面的法向量，对于表面来说，就是外法向量。
可以将柯西公式写成如下形式()i i mj m j i mj i m j i mj im j i ij j e e e e e e e e νσνσνσνσνσδνσ=⋅=⋅=⋅== 即()i ij j νσνσ=这其实是三个式子，分量形式为()()()111122133112112222332231132233333++++i i i i i i νννσνσνσνσνσσνσνσνσνσσνσνσνσνσ==++====在表面上，所求出的()νσ就是外载荷。
（4）应力张量的转轴公式''''m n ij m i n j σσββ=证明如下：'''''''''''''''''''',ij i j m n m n i m i m j n j n ij m i n j m n m n m n m n ij m i n je e e e e e e e e e e e σσσββσββσσσββ====∴=∴=也可以将转轴公式写为矩阵形式[][][][]'Tσβσβ=其中，[]σ、[]'σ是坐标系变换前后的应力张量的分量，[]()'m i ββ=，'m i β是i e 在'm e上的分量，可以用如下公式计算()''cos ,m ii m e e β=（5）剪应力互等定理根据微元体的力矩平衡，可以得到 ,,yz zy xz zx xy yx ττττττ===也就是说ij ji σσ=应力张量是一个二阶对称的张量 （6）主应力由于应力张量是二阶对称的，所以可以将其对角化[][][]123Tσσβσβσ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦并且123,,σσσ从大到小排列，他们称为主应力，[]β是三个主应力的方向。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1是2－2是2－3按习题2－1剖析。
2－4按习题2－2剖析。
2－5在的条件中，将出现2、3 阶微量。
当略去 3 阶微量后，得出的切应力互等定理完整相同。
2－6同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的均衡微分方程都相同。
其差别不过在 3 阶微量（即更高阶微量）上，能够略去不计。
2－7应用的基本假定是：均衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大界限上，应分别列出两个精准的界限条件；在小界限（即次要界限）上，依据圣维南原理可列出 3 个积分的近似界限条件来取代。
2－9在小界限OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分界限条件相同，所以，这两个问题为静力等效。
2－10拜见本章小结。
2－11拜见本章小结。
2－12拜见本章小结。
2－13注意按应力争解时，在单连体中应力重量一定知足（1）均衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力界限条件（假定 ) 。
2－14赐教科书。
2－152－ 16赐教科书。
赐教科书。
2－17取它们均知足均衡微分方程，相容方程及x=0 和的应力界限条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18赐教科书。
2－19提示：求出任一点的位移重量和，及转动量，再令, 即可得出。
第三章习题的提示与答案3－1此题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件能否知足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力进而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2用逆解法求解。
因为此题中l>>h, x=0,l属于次要界限（小界限），可将小界限上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3见3-1例题。
3－4此题也属于逆解法的问题。
第一校核能否知足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
此题的应力解答如习题3-10 所示。
应力对应的面力是：主要界限：所以在界限上无剪切面力作用。
下界限没法向面力；上界限有向下的法向面力 q。
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本章小结： 本章小结：
体力、面力及应力的定义，注意区分内力和外力的 概念； 一点的应力状态可以由该点的6个坐标应力分量确定； 主应力的计算及主应力方向的确定，应力不变量的 表达式及意义； 最大剪应力的计算及所在位置的确定； 平衡方程的推导，它是弹性体内一点受力的平衡关 系。
第2章 习题讲解
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第2章 习题讲解
第Hale Waihona Puke 章 习题讲解第2章 习题讲解