实数知识点总结及习题练习
知识点1实数的有关概念及习题
知识点1实数的有关概念一、实数定义：有理数和无理数统称为实数二、实数分类：1.按照正负分：正实数、0、负实数2.按照定义分：有理数、无理数3.有理数相关知识（1）有理数定义：整数和份数统称为有理数（2）整数可分为：正整数、0、负整数正整数和0成为非负整数；负整数和0成为非正整数（3）分数可分为正分数和负分数。
（4）分数都可化为有限小数或无限循环小数；反之有限小数或无限循环小数都可化为分数4.无理数的相关知识（1）无理数定义：无线不循环小数（2）无理数常见的几种类型a:含π的数，比如3π，π+2等b.开放开不尽的数C.有特殊规律的数，比如0.1001000100001........注意：有理数之间的加减乘除运算的结果一定是有理数。
有理数×无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 有理数÷无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数÷有理数的结果是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数+无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 无理数-无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。
举例____________________________________________________________________ 以上问题请学生自己举例进行验证。
实数知识点总结及习题练习
探究一由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围1．___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，x的取值范围是______________．2．需要列出不等式组为________________．x的取值范围是______________．3x的取值范围是______________．探究二根据非负数性质求未知数的值已知x、y为实数，且()2320y-=．1．()232y-都是非负数，()2320y-=，你能得到什么结论？_________________________________ _____________________________________ ___．2．由1，你能求出x y-的值吗？_________________________________ _____________________________________ ___．答案：1．≥，()2320y-≥，()2320y-=，∴0=，()2320y-=．2．由1得，10x-=，1x=；20y-=，2y=．∴121x y-=-=-．探究三平方根与简单的一元二次方程1．由21960x-=可得_______________，2．据1得，x是196的_______________，所以x=______________．3．由1，2的启示，请你试着求等式()2162810x+-=中的x值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．探究四由平方根的意义确定字母的值322a-和23a-都是m的平方根，求a和m的值．1．当322a-与23a-相等时，求a和m的值．______________________________________________________________________．2．当322a-与23a-互为相反数时，求a和m的值．_________________________________ ____________________________________．3．讨论总结：m的值为____________．探究五利用被开方数非负性求未知数的值已知x、y都是有理数，且3y=，求1x y+的平方根．1．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．2．表示3x-的_________________，则x的范围是______________．3．由1，2，得x=______________，y=_______________．4．讨论总结：1x y+的平方根是多少？_________________________________ ________________________________．探究六算术平方根与绝对值相综合题已知20090a a-=，求1a的取值范围是什么？_________________________________ _______________________________________．2．由1，你能将等式2009a a-=中的绝对值去掉吗？_________________________________ _____________________________________ _．3．由2，你能求出22009a-的值吗？_________________________________ _____________________________________ _．4．讨论总结：_________________________________ _____________________________________ _．探究七平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．2．设原正方形的边长为x cm，请你用x 表示盒子的容积．________________________________．3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________． 随堂反馈1．25121的平方根的数学表达式是（ ）A511=±B511=-C．511=D．511=±2．9的算术平方根是（ ） A ．3-B ．3C ．3±D ．813．当5x =-） A ．5B ．5-C ．5±D ．254．正方形M 的面积是正方形N 的面积的64倍，那么正方形M 的边长是正方形N 的边长的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．2倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．6．=则xy 的算术平方根为______________．7．代数式5-的最大值为______________．8．已知a，b满足310b a +--=，求25b a -的平方根．9．如果a为整数，的最大值及此时a 的值．10．已知21a -的平方根为3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．平方根跟踪练习（一）一、选择题1．下列各式中无意义的是（）A ．7-B ．7 C.7- D ．()27--2.41的算术平方根是（） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21±3.下列运算正确的是（）A ．33-= B ．33-=-C =D 3=-二、填空题4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.6.⑵=25___________;⑶()=-22________;=_______;⑸2=_______.7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：⑵x -5_______8．若20a -+=，则2a b -=_________．9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的_______倍. 10._______的算数平方根是它本身. 三、解答题11．求下列各数的算术平方根:⑴169 ⑵0.0256 ⑶24125⑷()22-12.要种一块面积为615.442m 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1．下列说法中不正确的是（）A.2-是2的平方根B.2是2的平方根C.2的平方根是2D.2的算术平方根是22．41的平方根是（） A.161 B.81 C.21 D.21± 3．“254的平方根是52±”，用数学式子可以表示为（）A.52254±= B.52254±=±C.52254=D.52254-=- 4．下列各式中，正确的个数是（） ①3.09.0=; ②34971±=;③23-的平方根是－3; ④()25-的算术平方根是－5; ⑤67±是36131的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个 5.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8或0D.4或－4 二、填空题6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为3，则m 的值是．8．16的平方根是.9．若411+-+-=a a b ，则ab 的平方根是. 三、解答题10．求下列各式的值:⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112± ⑷()21.0-- ⑸04.081.0- ⑹224041-。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
第六章 实数知识点总结含答案
第六章 实数知识点总结含答案一、选择题1．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 223 5 8 12 17 236 9 13 18 2410 14 19 25 15 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（ ）A ．425B ．426C ．427D ．4282．下列说法中正确的是（ ）A ．若a a =，则0a >B ．若22a b =，则a b =C ．若a b >，则11a b> D ．若01a <<，则32a a a << 3．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．下列一组数2211-8,3,0,2,0.010010001 (7)223π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个 5．若a ，b均为正整数，且a >b <+a b 的最小值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6 6．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 7．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．设n 为正整数，且nn+1，则n 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．89．4的平方根是（ ）A ．2B ．2±C ．±2D ．2 10．在实数227-、9、11、π、38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．12．64的立方根是___________．13．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．14．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．15．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．16．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 17．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若＜，并且定义新运算程序仍然是52）⊕3=___．18．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 2x y +的值为______．19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如89914*=，那么*(*16)m m =__________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．观察下列三行数：(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数)(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54a 2) 22．阅读理解： 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 23．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， 14）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n ，4n ）=x ，则（3n ）x =4n ，即（3x ）n =4n所以3x=4，即（3，4）=x ，所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)24．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式81c c <+． （1）求,,a b c 的值．（2）求2232a b c ++的平方根．25．观察下列解题过程：计算231001555...5+++++解：设231001555...5S =+++++①则23410155555....5S =+++++②由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (54)-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++26．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．（1）请直接写出最小的四位依赖数；（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q n p n++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝2222++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题解析：寻找每行数之间的关系，抓住每行之间的公差成等差数列，便知第20行第一个数为210，而每行的公差为等差数列，则第20行第10个数为426，故选B.2．D解析：D【分析】根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可．【详解】 若a a =则0a ≥，故A 错误；若22a b =则a b =或=-a b ，故B 错误；当0a b >>时11b a<，故C 错误； 若01a <<，则32a a a <<，正确，故答案为：D ．【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．3．C解析：C【分析】设这个数为x, 根据题意列出关于x 的方程,求出方程的解即可．【详解】解：设这个数为x ，根据题意得：3x x =，解得：x=0或-1或1，共3个；故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．C解析：C【分析】根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.【详解】 解：2211-8,3,0,2,0.010010001...7223π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有：0.010010001...2π，(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个 故选：C【点睛】本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方0.1010010001…，等. 5．B解析：B【分析】的范围，然后确定a 、b 的最小值，即可计算a +b 的最小值．【详解】23．∵a a为正整数，∴a的最小值为3．12．∵b b为正整数，∴b的最小值为1，∴a+b的最小值为3+1=4．故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．6．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．7．B解析：B【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】n的值．【详解】∴89，∵n n+1，∴n=8，故选；D．【点睛】9．B解析：B【分析】【详解】2，．故选：B．【点睛】10．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有 共2个．故选B．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．二、填空题11．、、、．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为：53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．12．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】，8的立方根是2，8故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．13．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】解：＝8，＝2，2的算术平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】82，2，．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．15．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a ※b=ab+b ，b ※a=ab+a ，若 a=b ，两式相等，若 a≠b ，则两式不相等，所以②错误； 方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a ※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※（b ※c ）=a ※(b×c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．16．【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 17．【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】(⊕2)⊕3=⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关 解析：【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．2)⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴，，故答案为：3．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟解析：3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴25,8x y ==-，∴=，故答案为：3．【点睛】 本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．19．+1【分析】首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．【详解】m*（m*16）=m*（+1）=+1．故答案为：+1．【点睛】此题考查实数的运算，解题的关键是要【分析】首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．【详解】m*（m*16）=m*）=m*5=．．【点睛】此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6479<<<<23<< ∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783【分析】第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。
实数知识点总结及练习题
复习：实数知识点总结一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。
记作a x ±=性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。
记作3a x =性质：（1）立方根号里的数是任意实数（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同例 1、8的立方根是 ；327-＝ .2、=-3343 ，=-3343 ，则33433a3、37-的相反数是 .4、=33a ，()=33a .三、实数分类⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。
（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0（3）绝对值：设a 表示一个实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 000 a a a a a a例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：()2,2,3.0,1010010001.0,125,722,0,123-----•π 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；2、2-的绝对值是，11-的绝对值是 .3+的相反数是，-的相反数的绝对值是 .4、计算：22322+-测试题：一、选择题：1、实数38 2π 34 310 25 其中无理数有（）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个2、如果162=x ，则的值是（）A 、 4B 、 -4C 、 4±D 、 2±3、下列说法正确的是（）A 、 25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2C 、 8.0的立方根是2.0D 、65是3625的一个平方根 4、下列说法其中错误的有（ ）个⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数⑷两个无理数的和还是无理数 （5）两个无理数的积还是无理数A 、 3B 、 1C 、 4D 、 25、如果x x -=2成立的条件是（）A 、0≥xB 、0≤xC 、0>xD 、0<x6、下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a -互为相反数C 、3a 与3a -是互为相反数D 、a 与a -相等 7、b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b - 8、16的平方根是（ ） A. 4 B. -4 C. 4± D. 2±9、下列说法：① 任意一个数都有两个平方根； ② 3的平方根是3的算术平方根 ； ③ -125的立方根是5±； ④23是一个分数； ⑤ 32-无意义。
八年级上册实数知识点及练习
第四章实数一、实数1、实数的定义：有理数和无理数统称实数。
2、分类：正有理数有理数0 有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数二、无理数1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：（1）所有开方开不尽的方根。
（2）化简后含有π的数。
（3）无限不循环小数。
3、无理数的小数部分的表示一个无理数减去整数部分，差就是小数部分。
如：√2的整数部分是1，因此√2的小数部分就是√2−1；π的小数部分就是π−3.三、实数与数轴上的点的对应关系1、实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数。
【提醒：任意两个实数之间都有无数个有理数和无数个无理数。
】2、利用实数与数轴的对应关系解题例、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则√(a+b)2+a的化简结果为。
四、实数大小的比较方法1、一般方法（1）性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数；两个负数相比，绝对值大的反而小。
（2）数轴比较法：右边点表示的数总比左边点表示的数大。
（3）差值比较法（4）商值比较法2、特殊比较法（1）平方法（2）倒数比较法3的大小：。
例、比较2，√5，√7五、平方根、算术平方根1、平方根的概念：如果x2=a，那么x 叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0.（3）负数没有平方根。
3、平方根的表示方法正数a的算数平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根，可以用“−√a”表示，故正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根号a”.4、平方根与算术平方根的联系（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是该数的算术平方根。
（2）相同点：只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.5、开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫作被开方数。
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实数知识点总结平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
实数（平方根）单元习题练习思维启动如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？综合探究探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围1．2x 中被开方数为___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，x 的取值范围是______________．21x x -________________．x 的取值范围是______________．3x 的取值范围是______________． 答案：1．2x ，非负数，20x ≥，0x ≥．2．10,0.x x -≥⎧⎨≥⎩01x ≤≤．3．1x >-．探究二 根据非负数性质求未知数的值已知x 、y ()2320y -=．1()232y -都是非负数，结合已知()2320y -=，你能得到什么结论？_________________________________________________________________________． 2．由1，你能求出x y -的值吗？_________________________________________________________________________．答案：1．∵0≥，()2320y -≥()2320y -=，∴0=，()2320y -=．2．由1得，10x -=，1x =；20y -=，2y =．∴121x y -=-=-． 探究三 平方根与简单的一元二次方程 1．由21960x -=可得_______________，2．据1得，x 是196的_______________，所以x =______________． 3．由1，2的启示，请你试着求等式()2162810x +-=中的x 值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．答案：1．2196x =． 2．平方根，14x =±．3．由()2162810x +-=，得()281216x +=，∴924x +=±，∴14x =或174-．探究四 由平方根的意义确定字母的值322a -和23a -都是m 的平方根，求a 和m 的值．1．当322a -与23a -相等时，求a 和m 的值．______________________________________________________________________． 2．当322a -与23a -互为相反数时，求a 和m 的值．_____________________________________________________________________． 3．讨论总结：m 的值为____________．答案：1．32223a a -=-，得19a =，3223192235a -=⨯-=，2335a -=，2351225m ==．2．322230a a -+-=，得5a =，32235227a -=⨯-=-，232537a -=⨯-=，()227749m =-==．3．m 的值为1225或49．探究五 利用被开方数非负性求未知数的值已知x 、y 都是有理数，且3y =，求1x y +的平方根．13x -的_________________，则x 的范围是______________．23x -的_________________，则x 的范围是______________． 3．由1，2，得x =______________，y =_______________． 4．讨论总结：1x y+的平方根是多少？_________________________________________________________________． 答案：1．算术平方根，3x ≥． 2．算术平方根，x ≤3． 3．3x =，3y =． 4．∵14381x y+==，∴1x y +的平方根为9±．探究六 算术平方根与绝对值相综合题已知2009a a -=的值．1可以得出a 的取值范围是什么？________________________________________________________________________．2．由1，你能将等式20092010a a a -+-=中的绝对值去掉吗？_______________________________________________________________________． 3．由2，你能求出22009a -的值吗？_______________________________________________________________________． 4．讨论总结：求2200915a -+的值．_______________________________________________________________________． 答案：1．∵20100a -≥，∴2010a ≥．2．原式变形为20092010a a a -+-=，即20102009a -=． 3．220102009a -=，220092010a -=．4．22009152010152025a -+=+=，∴220091545a -+=．探究七 平方根的实际应用一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm 2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm 2，求原正方形的边长是多少？1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm ．2．设原正方形的边长为x cm ，请你用x 表示盒子的容积．________________________________．3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．_________________________________________________________________________． 答案：1．6． 2．()266x -．3．()266150x -=，()2625x -=，65x -=±．∴11x =或1x =（舍去）．即原正方形的边长为11cm ． 随堂反馈1．25121的平方根的数学表达式是（ ）A 511=± B 511=- C 511= D ．511=± 2．9的算术平方根是（ ） A ．3-B ．3C ．3±D ．813．当5x =- ） A ．5B ．5-C ．5±D ．254．正方形M 的面积是正方形N 的面积的64倍，那么正方形M 的边长是正方形N 的边长的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．2倍5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．6=xy 的算术平方根为______________．7．代数式5-的最大值为______________．8．已知a ，b 310b a --=，求25b a -的平方根．9．如果a 的最大值及此时a 的值．10．已知21a -的平方根为3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7．5-8．∵0≥，310b a --≥，310b a --=，0=，1a =-；310b a --=，310b a --=，∴2b =-．∴259b a -=，25b a -的平方根为3±． 9．∵a 为正数，∴2929a -≤5．的最大值为5，此时a 的值为4．10．由题意，得219,3116.a ab -=⎧⎨+-=⎩解得5,2.a b =⎧⎨=⎩∴29a b +=，2a b +的平方根为±3．平方根跟踪练习（一）一、选择题1．下列各式中无意义的是（） A ．7- B ．7 C.7- D ．()27--2.41的算术平方根是（） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21±3.下列运算正确的是（）A ．33-= B ．33-=-C=D3=-二、填空题4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.6.⑵=25___________;⑶()=-22________;=_______;⑸2=_______.7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围：⑵x -5_______8．若20a -=，则2a b -=_________．9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n 倍，它的边长变为原来的_______倍. 10._______的算数平方根是它本身. 三、解答题11．求下列各数的算术平方根:⑴169 ⑵0.0256 ⑶24125⑷()22-12.要种一块面积为615.442m 的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π取3.14）平方根跟踪练习（二）一、选择题1．下列说法中不正确的是（）A.2-是2的平方根 B.2是2的平方根 C.2的平方根是2 D.2的算术平方根是2 2．41的平方根是（）A.161B.81C.21D.21± 3．“254的平方根是52±”，用数学式子可以表示为（）A.52254±= B.52254±=± C.52254= D.52254-=- 4．下列各式中，正确的个数是（） ①3.09.0=; ②34971±=;③23-的平方根是－3; ④()25-的算术平方根是－5; ⑤67±是36131的平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个 5.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（）A.8B.0C.8或0D.4或－4 二、填空题6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．7.如果正数m 的平方根为3，则m 的值是． 8．16的平方根是.9．若411+-+-=a a b ，则ab 的平方根是.三、解答题10．求下列各式的值:⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112±⑷()21.0-- ⑸04.081.0- ⑹224041-跟踪练习一答案一、选择题 1．C ． 2．C ． 3．A ． 二、填空题 45．0.96．3；5；2；－4；3 7．x ≥0；x ≤5 8．19．2；3 10.0和1 三、解答题 11．13；0.16；75；2 12．14跟踪练习二答案一、选择题1．C 2．D3．B4．A5.C二、填空题6．36 7．48.23或-3 9．2或-2 三、解答题10．⑴15⑵-0.02⑶7 2⑷-0.1⑸0.7⑹9。