奇异值分解 图像压缩
奇异值分解的一些特性以及应用小案例

奇异值分解的一些特性以及应用小案例一、奇异值分解的特性1.唯一性:对于任意一个矩阵A,它的奇异值分解是唯一的。
也就是说,任意两个不同的SVD分解结果之间,只有奇异向量的顺序和奇异值的正负可能不同。
2.矩阵的逆和伪逆:对于一个非奇异矩阵A,它的逆可以通过对SVD 分解后的三个矩阵进行逆乘得到,即A的逆等于VΣ⁺U^T,其中Σ⁺是Σ的逆矩阵的转置。
当A是一个奇异矩阵时,可以用伪逆来表示它的逆。
3.奇异值与特征值的关系:对于一个方阵A,它的SVD分解与特征值分解存在一定的关联。
A的非零奇异值的平方等于A的非零特征值,而U 和V中的列向量分别是A的左特征向量和右特征向量。
二、奇异值分解的应用案例1.图像压缩:在图像处理中,SVD可以用于对图像进行压缩。
将图片矩阵进行SVD分解后,可以利用奇异值的特性,选择数值较大的奇异值,然后将较小的奇异值设为0,以达到降低图像质量的目的。
这样就可以减少图像所需的存储空间,同时避免图像失真过大。
2.推荐系统:在推荐系统中,SVD可以用于对用户和物品之间的隐含关系进行建模。
将用户-物品评分矩阵进行SVD分解,得到用户特征矩阵和物品特征矩阵,然后可以通过计算用户特征向量和物品特征向量之间的相似度,来预测用户对未评分物品的喜好程度,从而实现个性化的推荐。
3.语言模型:在自然语言处理中,SVD可以用于构建词向量的模型。
通过对大量文本数据进行SVD分解,可以得到一个降维后的向量空间,每个词语对应一个向量。
这些向量可以捕捉到不同词语之间的语义关系,例如可以用向量表示"男人"-"女人"的关系,从而进行词义相似度计算、文本分类、情感分析等任务。
以上是奇异值分解的一些特性以及应用案例的简要介绍。
奇异值分解具有唯一性、与特征值分解有一定的关系,可以用于矩阵的逆和伪逆计算。
在实际应用中,SVD被广泛用于图像压缩、推荐系统和语言模型等领域。
通过对SVD的理解和应用,可以在相关领域中提供强大的分析和建模能力。
奇异值分解及其应用

奇异值分解及其应用奇异值分解是一种常见的线性代数算法,它将矩阵分解为三个子矩阵的乘积:一个左奇异矩阵、一个奇异值矩阵和一个右奇异矩阵。
这种分解方法可以用于数据降维、数据压缩、信号处理、图像处理等领域,具有广泛的应用价值。
一、奇异值分解的定义在介绍奇异值分解之前,先来回忆一下什么是矩阵的秩。
矩阵的秩是指其行向量或列向量的极大无关组的向量个数。
如果一个矩阵A的秩为r,则可以写成以下形式:A = U * S * V'其中U是m x r的矩阵,S是r x r的对角矩阵,V是n x r的矩阵,'表示转置。
矩阵S上的对角线元素称为奇异值,它们按大小排列,用σ1, σ2, ..., σr表示。
由于奇异值矩阵是对角矩阵,因此可以忽略其中的零项。
这样,我们可以将矩阵A分解成三个子矩阵的乘积。
二、奇异值分解的意义奇异值分解的意义在于将矩阵的信息集中在奇异值上。
对于一个m x n的矩阵A,它有mn个元素,因此需要mn个数字来表示它。
但是,当A的秩较小时,可以用奇异值分解将其表示为r个左奇异向量、r个右奇异向量和r个奇异值的乘积,其中r是A的秩。
这样就大大减少了需要用来表示A的数字的数量。
奇异值分解还有另外一个重要的应用,就是在数据降维中。
假设有一个包含m条数据和n个特征的数据集,可以将这些数据按行排列成一个m x n的矩阵X。
但是由于数据可能存在噪声和冗余特征,因此需要将数据降维,以便更好地处理。
通过对X进行奇异值分解,可以得到其前k个奇异向量,它们是X所包含的信息的最主要部分。
然后,将原始数据乘以这k个奇异向量的转置,就可以得到一个k维向量,表示原始数据在最主要信息方面的投影。
这样就把原始数据从n维降到了k维,实现了数据降维。
三、奇异值分解的计算奇异值分解的计算通常使用迭代方法来求解。
其中一个比较常见的算法是Jacobi迭代法。
这种方法的基本思想是将矩阵A进行一系列相似变换,直到它变成对角矩阵。
当然,这个过程中会出现一些计算误差,因此需要对对角矩阵中接近零的元素进行特殊处理。
矩阵奇异值分解的实际应用

矩阵奇异值分解的实际应用
矩阵奇异值分解(SVD)在实际中有很多应用,下面是其中的一些例子:
- 图像压缩:SVD可以将图像的大小最小化到可接受的质量水平,从而在相同磁盘空间中存储更多图像。
它利用了在SVD之后仅获得的一些奇异值很大的原理,通过修剪三个矩阵中的前几个奇异值,可以获得原始图像的压缩近似值,人眼无法区分一些压缩图像。
- 数据降维:在大多数应用中,我们希望将高秩矩阵缩减为低秩矩阵,同时保留重要信息。
SVD可以实现这一目标,通过保留前r个较大的奇异值,来近似表示原始矩阵,从而达到降维的目的。
- 推荐系统:在推荐系统中,SVD可以用于计算用户和项目之间的相似度。
通过将用户和项目的矩阵进行奇异值分解,可以得到一个包含奇异值和左右奇异向量的矩阵。
这些奇异值和奇异向量可以用于计算用户和项目之间的相似度,从而为用户推荐类似的项目。
总之,矩阵奇异值分解在数据压缩、数据降维、推荐系统等方面都有重要的应用,它可以帮助我们从高维数据中提取关键信息,同时保持数据的重要特征。
使用奇异值分解进行图像去噪的技巧(九)

奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是一种常用的矩阵分解技术,它在数据处理、信号处理和图像处理等领域都具有广泛的应用。
其中,SVD在图像处理中的应用尤为突出,它可以帮助我们去除图像中的噪声,提高图像的清晰度和质量。
本文将介绍使用奇异值分解进行图像去噪的技巧,帮助读者更好地理解和应用这一技术。
首先,我们需要了解奇异值分解的基本原理。
奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程。
对于一个m×n的矩阵A,它可以被分解为三个矩阵的乘积:A=UΣV^T,其中U是一个m×m的正交矩阵,Σ是一个m×n的对角矩阵,V^T是V的转置,是一个n×n的正交矩阵。
奇异值分解的关键在于对矩阵A进行分解后,我们可以利用奇异值分解的性质来对图像进行去噪处理。
具体来说,我们可以通过保留前k个奇异值,将奇异值矩阵Σ中除了前k个奇异值外的其他奇异值设置为0,然后再进行逆变换,即A' = UΣ'V^T,其中Σ'是奇异值矩阵Σ中除了前k个奇异值外的其他奇异值设置为0后得到的新的奇异值矩阵。
通过奇异值分解去除图像中的噪声,实际上是通过保留较大的奇异值来保留图像中的主要信息,而丢弃较小的奇异值来去除噪声。
这是因为奇异值的大小代表了图像中包含的信息量,较大的奇异值对应的是图像中的主要信息,而较小的奇异值对应的是图像中的噪声。
因此,通过设置一个合适的阈值k,我们可以去除图像中的噪声,同时保留图像中的主要信息,从而提高图像的质量和清晰度。
在实际应用中,我们可以通过编程语言如Python或Matlab来实现奇异值分解进行图像去噪的技巧。
首先,我们需要将图像表示为一个矩阵,然后对这个矩阵进行奇异值分解,根据前面提到的方法来去除图像中的噪声。
这样,我们就可以得到去噪后的图像,提高图像的质量。
除了去噪之外,奇异值分解还可以用于图像压缩。
通过保留较少的奇异值,我们可以将图像的信息量减少到较小的规模,从而实现图像的压缩。
矩阵的奇异值分解与图像压缩-教案

教案矩阵的奇异值分解与图像压缩-教案一、引言1.1矩阵奇异值分解的背景与意义1.1.1矩阵奇异值分解的数学起源1.1.2奇异值分解在数据分析和工程领域的应用1.1.3矩阵奇异值分解与图像压缩的关系1.1.4奇异值分解在图像处理中的重要性1.2图像压缩的基本概念1.2.1图像压缩的定义和目的1.2.2图像压缩的必要性1.2.3常见的图像压缩技术1.2.4图像压缩技术的发展趋势1.3教学目标与结构安排1.3.1教学目标:理解奇异值分解和图像压缩的原理1.3.2教学结构:由浅入深,理论结合实际1.3.3教学方法:案例教学和互动讨论1.3.4教学评估:课后练习和项目作业二、知识点讲解2.1矩阵奇异值分解的数学基础2.1.1矩阵的特征值和特征向量2.1.2奇异值分解的定义2.1.3奇异值的计算方法2.1.4奇异值分解的性质和应用2.2奇异值分解与图像表示2.2.1图像的矩阵表示2.2.2奇异值分解在图像表示中的应用2.2.3奇异值分解对图像特征的提取2.2.4奇异值分解在图像去噪中的应用2.3图像压缩的基本原理和方法2.3.1图像压缩的基本原理2.3.2无损压缩和有损压缩2.3.3常用的图像压缩算法2.3.4图像压缩的性能评估三、教学内容3.1矩阵奇异值分解的计算步骤3.1.1矩阵奇异值分解的算法流程3.1.2编程实现矩阵奇异值分解3.1.3奇异值分解算法的优化3.1.4奇异值分解在图像处理中的具体应用案例3.2奇异值分解在图像压缩中的应用3.2.1基于奇异值分解的图像压缩算法3.2.2奇异值分解在图像压缩中的优势3.2.3奇异值分解在图像压缩中的具体应用案例3.2.4奇异值分解在图像压缩中的未来发展3.3图像压缩技术的实际应用3.3.1图像压缩在数字通信中的应用3.3.2图像压缩在多媒体存储中的应用3.3.3图像压缩在遥感图像处理中的应用3.3.4图像压缩在医学图像处理中的应用四、教学目标4.1理论知识目标4.1.1掌握矩阵奇异值分解的基本原理4.1.2理解奇异值分解在图像压缩中的应用4.1.3学习图像压缩的基本概念和方法4.1.4了解图像压缩技术在现实生活中的应用4.2技能目标4.2.1能够使用编程工具实现矩阵奇异值分解4.2.2能够运用奇异值分解进行图像压缩4.2.3培养分析和解决图像压缩相关问题的能力4.2.4提高数据处理和算法优化的技能4.3思想与价值观目标4.3.1培养对数学和图像处理领域的好奇心和探索精神4.3.2强调团队合作在解决复杂问题中的重要性4.3.3增强对技术应用在现实世界中影响的认识4.3.4培养批判性思维和创新意识五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1矩阵奇异值分解的数学理论5.1.2奇异值分解算法的实现和优化5.1.3图像压缩算法的理解和应用5.1.4图像压缩性能的评估和改进5.2教学重点5.2.1矩阵奇异值分解的基本概念和计算方法5.2.2奇异值分解在图像表示和压缩中的应用5.2.3常见图像压缩算法的比较和分析5.2.4图像压缩技术的实际应用案例5.3教学策略5.3.1采用直观的图示和实例讲解复杂理论5.3.2通过编程实践加深对算法的理解5.3.3利用案例分析帮助学生掌握图像压缩的应用5.3.4设计小组讨论和项目作业以促进知识内化六、教具与学具准备6.1教师准备6.1.1教学PPT或幻灯片6.1.2图像处理软件和编程环境6.1.3相关教材和参考资料6.1.4实际图像压缩案例和数据集6.2学生准备6.2.1笔记本电脑或平板电脑6.2.2编程软件(如MATLAB、Python等)6.2.3相关数学和图像处理基础知识6.2.4对图像压缩技术的基本了解6.3教学环境准备6.3.1多媒体教室或在线教学平台6.3.2稳定的网络连接6.3.3投影仪和音响设备6.3.4白板或写字板七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入图像压缩的实际问题7.1.2回顾矩阵奇异值分解的相关知识7.1.3提出本节课的学习目标和内容7.1.4激发学生对图像压缩技术的兴趣7.2知识讲解与演示7.2.1详细讲解矩阵奇异值分解的原理7.2.2演示奇异值分解在图像压缩中的应用7.2.3介绍图像压缩的基本方法和算法7.2.4分析图像压缩技术的优缺点7.3实践操作与讨论7.3.1学生分组进行编程实践7.3.2指导学生使用奇异值分解进行图像压缩7.3.3组织小组讨论和问题解答7.3.4分享和评价各组的实践成果7.4.2强调奇异值分解在图像压缩中的重要性7.4.3布置课后作业和项目任务7.4.4提供进一步学习和探索的建议八、板书设计8.1矩阵奇异值分解的原理8.1.1矩阵奇异值分解的定义8.1.2奇异值分解的计算步骤8.1.3奇异值分解的性质和应用8.2图像压缩的基本概念和方法8.2.1图像压缩的定义和目的8.2.2无损压缩和有损压缩8.2.3常用的图像压缩算法8.3奇异值分解在图像压缩中的应用8.3.1奇异值分解在图像表示中的应用8.3.2奇异值分解在图像压缩中的优势8.3.3奇异值分解在图像压缩中的具体应用案例九、作业设计9.1理论知识作业9.1.1解释矩阵奇异值分解的原理9.1.2比较无损压缩和有损压缩的优缺点9.1.3分析奇异值分解在图像压缩中的应用9.2编程实践作业9.2.1使用编程工具实现矩阵奇异值分解9.2.2运用奇异值分解进行图像压缩9.2.3分析和评估图像压缩的性能9.3案例分析和小组讨论9.3.1分析一个实际图像压缩案例9.3.2小组讨论奇异值分解在图像压缩中的未来发展9.3.3提出改进图像压缩算法的建议十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1学生对矩阵奇异值分解的理解程度10.1.2教学方法和教学内容的适用性10.1.3教学难点的解决情况10.2拓展延伸10.2.1探索奇异值分解在其他领域的应用10.2.2研究最新的图像压缩技术和算法10.2.3阅读相关的学术论文和资料重点关注环节的补充和说明:1.矩阵奇异值分解的原理:这是本节课的理论基础,需要通过图示和实例讲解来加深学生的理解。
随机矩阵奇异值分解算法在图像处理中的应用效果评估

随机矩阵奇异值分解算法在图像处理中的应用效果评估随机矩阵奇异值分解(Randomized SVD)算法是一种用于矩阵分解的快速、高效的方法。
在图像处理中,该算法被广泛应用于图像压缩、图像恢复、图像聚类等多个领域。
本文将对随机矩阵奇异值分解算法在图像处理中的应用效果进行评估。
一、随机矩阵奇异值分解算法介绍随机矩阵奇异值分解算法是一种非确定性算法,通过引入随机噪声来加速奇异值分解的过程。
它通过选择一个适当的随机矩阵对原始矩阵进行采样,并利用采样的结果来近似原始矩阵的奇异值分解。
相比传统的奇异值分解算法,随机矩阵奇异值分解算法在保持精度的同时,大大降低了计算复杂度,提高了运行效率。
二、随机矩阵奇异值分解算法在图像压缩中的应用效果评估在图像处理中,图像压缩是一项关键技术,能够通过减少图像数据的冗余信息来减小图像文件的大小。
使用随机矩阵奇异值分解算法进行图像压缩可以有效地降低计算复杂度,提高图像压缩的速度和效率。
同时,由于随机矩阵奇异值分解算法在保持精度的同时可以实现较高的压缩比,因此在图像质量方面也取得了较好的效果。
三、随机矩阵奇异值分解算法在图像恢复中的应用效果评估图像恢复是指在图像受损、缺失或降质的情况下,通过一系列的算法和处理手段,恢复出图像的原貌。
随机矩阵奇异值分解算法通过对图像进行分解,可以提取出图像的主要特征,从而在图像恢复过程中起到关键作用。
实验结果表明,随机矩阵奇异值分解算法在图像恢复方面具有较高的成功率和较好的恢复效果。
四、随机矩阵奇异值分解算法在图像聚类中的应用效果评估图像聚类是指将具有某种相似性的图像归为一类的过程。
随机矩阵奇异值分解算法可以通过对图像的奇异值分解来提取图像的特征,进而实现图像的聚类。
实验结果表明,随机矩阵奇异值分解算法在图像聚类方面具有较好的效果,并且在处理大规模图像数据时,具有较高的计算效率。
五、结论随机矩阵奇异值分解算法在图像处理中的应用效果得到了有效的验证。
奇异值分解在图像压缩中的实际案例分析(Ⅲ)

奇异值分解在图像压缩中的实际案例分析图像压缩在数字图像处理中占据着非常重要的地位,它可以大大减小图像文件的大小,从而节省存储空间和传输带宽。
奇异值分解(SVD)是一种常用的图像压缩方法,通过对图像矩阵进行分解,保留最重要的信息,从而实现压缩。
本文将通过一个实际案例来探讨奇异值分解在图像压缩中的应用。
案例分析:使用奇异值分解进行图像压缩假设我们有一张大小为500x500像素的彩色图像,我们希望对其进行压缩以节省存储空间。
首先,我们将图像转换为灰度图像,得到一个500x500的矩阵A。
然后,我们对矩阵A进行奇异值分解,得到三个矩阵U、Σ和V。
接下来,我们要确定保留多少个奇异值。
一般来说,保留的奇异值数量越多,图像的质量就越高,但压缩效果就越差。
相反,如果保留的奇异值数量较少,图像的质量会下降,但压缩效果会更好。
在实际应用中,我们需要在图像质量和压缩比之间进行权衡,选择一个合适的奇异值数量。
假设我们选择保留100个奇异值,然后我们可以用这100个奇异值和对应的矩阵U和V来近似重建原始图像。
具体来说,我们可以使用下面的公式来计算重建的矩阵A’:A’ = UΣV*其中,U是一个500x100的矩阵,Σ是一个100x100的对角矩阵,V*表示V 的转置。
将A’转换为图像,我们就得到了压缩后的图像。
通过实际操作,我们可以发现,虽然我们只保留了100个奇异值,但使用奇异值分解重建的图像质量仍然非常不错,并且文件大小大大减小。
这说明奇异值分解在图像压缩中具有很好的效果。
总结奇异值分解是一种非常有效的图像压缩方法,通过适当选择保留的奇异值数量,我们可以在保证图像质量的前提下大大减小图像文件的大小。
在实际应用中,奇异值分解已经被广泛应用于图像压缩、图像识别和图像去噪等领域。
相信随着科学技术的不断发展,奇异值分解在图像处理领域的应用会变得更加广泛和深入。
奇异值分解在信号处理中的实际案例分析(七)

奇异值分解在信号处理中的实际案例分析奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一种重要的矩阵分解方法,被广泛应用于信号处理、数据压缩、模式识别等领域。
在本文中,我们将通过几个实际案例来探讨奇异值分解在信号处理中的应用。
案例一:图像压缩图像压缩是SVD在信号处理中的一项重要应用。
通过对图像矩阵进行奇异值分解,可以将图像信息压缩到较小的空间中,从而实现图像的压缩和存储。
以一张512x512大小的灰度图像为例,我们可以将其表示为一个512x512的矩阵A。
通过对矩阵A进行奇异值分解,可以得到三个矩阵U、S、V,其中U和V是正交矩阵,S是对角矩阵。
我们可以对S矩阵保留其中较大的奇异值,而将较小的奇异值置零,从而实现图像的压缩。
通过这种方式,我们可以将图像信息压缩到较小的空间中,实现图像的高效存储和传输。
案例二:音频信号处理在音频信号处理领域,奇异值分解也被广泛应用。
通过对音频信号矩阵进行奇异值分解,可以实现音频信号的降噪和压缩。
以一段音频信号为例,我们可以将其表示为一个时间-频率矩阵。
通过对该矩阵进行奇异值分解,可以得到三个矩阵U、S、V,其中U和V是正交矩阵,S是对角矩阵。
我们可以对S矩阵保留其中较大的奇异值,而将较小的奇异值置零,从而实现音频信号的降噪和压缩。
通过这种方式,我们可以实现音频信号的高效处理和传输。
案例三:图像去噪除了图像压缩外,奇异值分解还可以应用于图像去噪。
在实际应用中,图像通常会受到各种噪声的影响,从而降低图像的质量。
通过对图像矩阵进行奇异值分解,可以实现图像的去噪。
通过保留较大的奇异值,而将较小的奇异值置零,可以有效去除图像中的噪声,从而提高图像的质量。
综上所述,奇异值分解在信号处理中具有重要的应用价值。
通过对信号矩阵进行奇异值分解,可以实现信号的压缩、降噪等功能。
在实际应用中,奇异值分解已被广泛应用于图像压缩、音频信号处理、图像去噪等领域,为信号处理领域带来了许多重要的应用价值。
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一、方法与原理
本部分主要对基于奇异值分解的图像压缩的数学理论基础和压缩的基本思路 进行阐述。
(1) 、理论基础
1.奇异值的定义:设 A Crmn (r 0) , AH A 的特征值为:
1 2
则称 i i (i 1, 2,
r r 1
n 0
A i ui vi
i 1 r
(3)
(2) 、图像压缩基本思路
由于大得奇异值对图像的贡献大,小的奇异值对图像的贡献率小,所以可以 从 r 个奇异值中选取前 k(k<r)个生成矩阵近似表示图像 A . 即取:
Ak i ui vi
i 1 k
(4)
用 Ak 近似表示图像 A . 存储图像 A 需要 m n 个数值,存储图像 Ak 需要 (m n 1)* k 数值,若取
5
1
k
就可以达到压缩图像的目的。 称
m*n m n 1
(5)
CR
为压缩比。
m*n (m n 1 ) k *
(6)
二、实现步骤
1.实验数据来源: 本实验所需图片是 matlab 自带图片 cameraman.tif。调用 matlab 自带函数读取 图片,获取图片的描述矩阵,为 256*256 阶的 8 为方阵。本实验主要对 A 进行奇 异值分解,用一个更小阶的矩阵来描述 A ,从而达到实验目的。 2.实验过程: (1)提取图像 cameraman.tif 数据,将图片读入 matlab 中,存储的是数据矩阵 并 设 为 A , 将 数 据 转 换 为 double 型 , 以 适 应 svd 函 数 的 要 求 , 运 用 函 数 进行图像的奇异值分解, 分别得到对角奇异值矩阵 S 为 256*1 型, [U , S ,V ] s vd( A ) 以及 U 左奇异值矩阵为 256*256 型, V 右奇异值矩阵为 256*256 型。提取奇异值 作为行向量,绘制奇异值曲线如下:
基于奇异值分解的图像压缩与实现
摘要: 本文从奇异值分解的基本原理出发,详细阐述了基于奇异值分解的
图像压缩的原理和方法。用 matlab 编程实现了该方法对图片的压缩,最后对该方 法对实验图片的压缩效果进行讨论与总结,可以看出该方法对于压缩图像奇异值 衰减较快的图片是较为有效的。
关键字:奇异值分解 图像压缩
Байду номын сангаас
图 1 奇异值曲线
(2)利用分解后的矩阵重构原矩阵 A 的近似矩阵 Ak ,并进行数据格式转换。 设置压缩数 k,试验中分别是指 k=20,40,60,80,100,120;利用 svds 函数将选择 k 之 后的新矩阵进行重构得到 Ak ,重构后需的矩阵需进行数据类型转换,转换为 unit8
2
类。原始图像(图 2)和重构后的图像(图 3)输出如下:
图像压缩方法是较为有效的。
4
附 录
基于奇异值分解的图像压缩 Matlab 程序
clear,clc infile='C:\Documents and Settings\Administrator\My Documents\juzhenfenxi\cameraman.tif'; A=imread(infile); % 读取图像 imshow(A);xlabel('原始图像'); A=double(A); %数据格式转换 [U,S,V]=svd(A); % 对数据进行奇异值分解 S=diag(S); % 提取奇异值组成列向量 figure; plot(S);xlabel('奇异值曲线'); figure; k=20; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(231);imshow(im);xlabel('k=20'); k=40; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(232);imshow(im);xlabel('k=40'); k=60; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(233);imshow(im);xlabel('k=60'); k=80; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(234);imshow(im);xlabel('k=80'); k=100; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(235);imshow(im);xlabel('k=100'); k=120; [U,S,V]=svds(A,k); im=uint8(U*S*V'); subplot(236);imshow(im);xlabel('k=120');
图2
图 3
三、实验结果分析:
(1)由于大的奇异值对图像的贡献率大,小的奇异值对图像的贡献率小。而 且我们从奇异值曲线可以看出,奇异值衰减很快,只有前面 50 个奇异值较大,后 面的奇异值较小,这为我们用较少的奇异值重构原图像而不会带来大的失真成为 可能。
3
(2)压缩数 k 越小,需要保存的数据越少,但重构后的图像与原始图像相差 越大;k 越大,需保存的数据越多,重构后的图像与原始图像越接近。从图 3 可 以看出,k=20 时,重构图像与原始图像相差较大,当 k=80 时,重构图像与原始 图像基本相似。 m*n (3)当 k=80 时,图像的压缩率 CR =1.59.所以用基于奇异值分解的 (m n 1)* k
(1)
, n) 是 A 的奇异值;规定零矩阵 0 的 n 个奇异值都是 0.
2.奇异值分解定理: 设 A Crmn (r 0) , 则存在 m 阶酉矩阵 U 和 n 阶酉矩阵 V , 使得 0 H (2) A U V 0 0 其中矩阵 diag ( 1 , 2 , , r ) ,而数 1 , 2 , , r 是矩阵 A 的所有非零奇异值, 称(2)式是矩阵 A 的奇异值分解. 若 U 写成 U (u1 , u2 , , um ) 的形式, V 写成 V (v1 , v2 , , vn ) 的形式,则(2) 式可写成如下形式: