特殊三角形与动点问题
专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解(试题解析)
专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解【题型一】等腰三角形存在性（求坐标）【例1－1】（2020·山西太原期中）如图，平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为（0,2），（4,0），连接PQ．（1）若点M是x轴负半轴上的一点，且MQ=PQ，则点M的坐标为________．（2）若点M是y轴上的一点，且MP=MQ，则点M的坐标为________．【答案】（1）（4-0），（2）（0，-3）.【解析】解：（1）如图，MQ=PQ=∴点M的坐标为（4-，0）．（2）如图，设OM =x ，则MP 2=MQ 2，得：（x +2）2=x 2+42，解得：x =3故点M 的坐标为（0，-3）．【变式1－1】（2020·宿迁市期中）如图，已知点B 在数轴负半轴上，O 为原点，点A 在过O 且垂直于数轴的直线上，∠BAO ＝60°，AB ＝4，点C 在数轴上，当ΔABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，点C 表示的数为_________．【答案】4-或【解析】解：∵OA ⊥OB ，∠BAO =60°，AB =4，∴△OAB 为直角三角形，∠ABO =30°，∴OA =12AB =2，OB ==①当AB =AC 时，∵AB =AC ，OA ⊥OB ，∴OC = OB =∴点C 表示的数为：②当AB =BC 时，∵AB =BC =4，∴OC = OB + BC =4，∵点C 在数轴负半轴上，∴点C 表示的数为：4-；故答案为： 4-或【题型二】等腰三角形存在性（求时间）【例2－1】（2020·浙江杭州市期中）在Rt ABC 中，∠C =90°，8cm BC =，6cm AC =，在射线BC 上有一动点D 从点B 出发，以2cm /s 的速度匀速运动，若点D 运动()t s 时以点A ，D ，B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_________s ． 【答案】258，5，8. 【解析】解：①当AD =BD 时，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD 2=AC 2+CD 2，即BD 2=(8-BD )2+62，解得：BD =254cm ， 则t =BD ÷2=258秒； ②当AB =BD 时，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =10，t =AB ÷2=5 秒.③当AD=AB时，BD=2BC=16，t=BD÷2=8秒故答案为：258，5，8．【变式2－1】（2020·江阴月考）如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）求BD的长；（2）求运动时间t为多少秒时，PQB△为以BP为底的等腰三角形？【答案】见解析．【解析】解：（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=10.（2）过点Q作QS⊥FE于S，则PS=2t-t=t，在Rt△PSQ中，PQ2=62+t2，当QB=QP时，BQ=8-t，即62+t2=（8-t）2解得：t =74； 运动时间t 为74秒时，△PBQ 为以BP 为底的等腰三角形． 【题型三】等腰三角形存在性（动点往返运动）【例3－1】（2020·四川成都期中）如图，ABC 中，90,8cm,6cm C AC BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿A C B A →→→运动，设运动时间为(0)t t >秒．图1 备用图 备用图（1）若点P 恰好运动到BC 的中点，求t 的值．（2）若△CBP 为等腰三角形，求t 的值．【答案】见解析.【解析】解：在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6由勾股定理得：AB =10cm .（1）点P 的运动路程：AC +0.5BC =8+3=11，运动时间为11÷2=5.5 s . （2）①P 从A →C ，0<t <4时，此时∠C =90°，BC =CP 1=6，AP 1=2，t =1 s .②P 从C →B 时，4≤t ≤7，△CBP 不存在③P 从B →A 时，7＜t ≤12（i ）当BC =CP 2=6时，过C 作CH ⊥AB 于H ，由CH·AB=BC·AC得：CH=24 5由勾股定理得BH=18 5BP2=2BH=36 5t=（8+6+365）÷2=10.6 s.（ii）BC=BP3=6，t=（8+6+6）÷2=10 s.（iii）BP4=CP4，则∠2=∠B，由∠2+∠1=90°，∠B+∠A=90°得：∠1=∠A∴AP4=CP4，∴P4为AB中点，t=（8+6+5）÷2=9.5 s.综上所述，t的值为1s，10.6s，10s，9.5s．【变式3－1】（2020·青神县期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）出发3s后，求PB的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【答案】（1）13cm；（2）163秒；（3）11秒或12秒或13.2秒.【解析】解：（1）当t＝3时，则AP＝3，∵AB＝16cm，∴PB＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），（2）由题意，AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝163，出发163秒后△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，∴BC +CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11秒． ②当CQ ＝BC 时，如图所示，则BC +CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12秒． ③当BC ＝BQ 时，如图所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE =485， 由勾股定理得：CE =365， ∴CQ ＝2CE ＝14.4，∴BC +CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2秒． 综上所述，当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．【题型四】等腰三角形存在性（多动点）【例4－1】（2020·嵊州市期中）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，且4BC CD cm ==，1AB cm =，点P 以每秒0.5cm 的速度从点B 开始沿射线BC 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向终点D 运动．设运动时间为t 秒．（1）当2t=时，BP=______cm，CP=______cm．（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得ABP△与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（注：只求一种情况即可，并写出求解过程）（3）如图②，是否存在点P，使得ADP△是以AP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）1，3；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）t=2时，BP=1cm，∵BC=4cm，∴PC=BC－BP=3cm故答案为1，3．（2）①当BP=PC=2，AB=CQ=1时，△ABP≌△QCPt=2÷0.5=4 sV Q=0.25 cm/s.②当AB=CP=1，CQ=BP=3时，△ABP≌△PCQ，t=3÷0.5=6 s，V Q=0.5cm/s.（3）过点A作AH⊥CD于H，在Rt△ADH中，AH=BC=4，DH=CD-CH=CD-AB=3由勾股定理得AD=5，AD2=25，AP2=AB2+BP2=1+14t2，PD2=CD2+PC2=16+（4-12t）2①当AP=PD时，1+14t2=16+（4-12t）2解得t=31 4②当AP=AD时，1+14t2=25，解得t=．综上所述，满足条件的t的值为31 4．【变式4－1】（2020·浙江诸暨市期中）如图，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM=10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）a＝2；（2）t＝1，43，79；（3）a＝1或3或6或9．【解析】解：（1）当t＝2时，DB＝6，∵BM＝10，∴DM＝4，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即4＝2a，∴a＝2；（2）在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝6，t＝2；②当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，∵BC＝6，∴BD＝4，t＝43；③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，t＝79；综上所述：t＝1，43，79时，△DCA为等腰三角形；（3）△DMQ与△ABC全等，分两种情况：①若△DMQ≌△ABC，则MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，∵BM＝10，∴BD＝2或BD＝18，∴t＝23或t＝6，∴a＝9或a＝1；②若△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，∴BD＝4或16，∴t＝43或83，∴a＝6或3，综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝1或3或6或9．【题型五】直角三角形存在性（求坐标）【例5－1】（2020·上海奉贤区期末）已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．【答案】A.【解析】解：∵A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），∴AB 2=（4-1）2+（3-2）2=10，BC 2=（3-4）2+（-4-3）2=50，AC 2=（3-1）2+（-4-2）2=40， ∴BC 2=AB 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠A =90°，即该直角三角形的直角顶点为A ．故答案为A ．【例5－2】（2020·浙江开化县期中）如图，在ABC 中，6AB BC ==，点O 为BC 中点，点P 是射线AO 上的一个动点，且 60AOC ∠=︒．要使得BCP 为直角三角形，CP 的长为 ________．【答案】3或【解析】解：①当∠CPB =90°时，P 在线段AO 延长线时，∵点O 为BC 中点，∴AO =BO ，∴PO =BO ，∵∠AOC =60°，∴∠BOP =60°，∴△BOP 为等边三角形，∵AB =BC =6，∴BP =3，PC =.②当∠BPC =90°时，P 在线段AO 上，∵点O 为BC 中点，∴AO =BO ，∵∠CPB =90°，∴PO =BO =CO ，∵∠AOC =60°，∴△COP 为等边三角形，∴CP =CO =3.②当∠CBP =90°时，∵∠AOC =∠BOP =60°，∴∠BPO =30°，∴BP =在Rt △CBP 中，由勾股定理得：CP故答案为：3或【变式5－1】如图，平面直角坐标系中，点()0,3A 和()4,0B ；（1）在x 轴上求点C ，使得BA BC =，请求出点C 的坐标；（2）在y 轴上求点D ，使得90ABD ∠=︒，请求出点D 的坐标．【答案】（1）（-1，0）或（9，0）；（2）（0，-163）． 【解析】解：（1）由题意得：OA =3，OB =4，∠AOB =90 º，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5 ，△ABC 1是等腰三角形，AB =BC 1=5，OC 1=BC 1-OB =5-4=1，则C 1坐标为（-1，0）， △ABC 2是等腰三角形，AB =BC 2=5，OC 2=BC 2+OB =5+4=9，则C 1坐标为（9，0），则C 点坐标为（-1，0）或（9，0）.（2）设OD =x ，∠BOD =90º，在Rt △BOD 中，BD 2=OB 2+OD 2=16+x 2，由∠ABD =90°，AD =3+x ，由勾股定理得AD 2=AB 2+BD 2，即（x +3）2=25+16+x 2，解得x =163 则D 点的坐标为（0，-163）．【题型六】直角三角形存在性（求时间）【例6－1】（2019·河南平顶山月考）如图，AOB 90∠=，线段18OA m =，6OB m =，一机器人Q 在点B 处.（1）若BC AC =，求线段BC 的长.（2）在（1）的条件下，若机器人Q 从点B 出发,以3/min m 的速度沿着OBC ∆的三条边逆时针走一圈后回到点B ，设行走的时间为min t ，则当t 为何值时，OBQ ∆是以Q 点为直角顶点的直角三角形？【答案】（1）10m （2）6.8.【解析】解：(1) 设BC =x∵BC =AC∴OC =OA -CA =OA -BC =18-x在Rt △OBC 中由勾股定理得：62+（18-x ）2=x 2解得x =10即BC =10m .(2) 当BQ ⊥BC 时符合条件此时QC =3t -(OB +OC )=3t -(6+8)=3t -14，BQ =BC -QC =24-3t在Rt △OQC 中，由勾股定理得：OQ 2=OC 2-CQ 2=82-（3t -14）2，在Rt △OQB 中，由勾股定理得：OQ 2=OB 2-BQ 2=62-（24-3t ）2故82-（3t -14）2=62-（24-3t ）2解得：t =6.8则当t =6.8s 时，△OBQ 是以Q 点为直角顶点的直角三角形.【例6－2】（2020·达州市期中）如图1，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点O 重合，AC =4，BC =3，如图2，向右匀速移动Rt △ABC ，在移动的过程中Rt △ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为2个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若△OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt △ABC 在移动的过程中，能否使△OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）t =2或t =12；（2）t =98.【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，AB ， 由题意得，OC =2t ，当BO =BA 时，OC =CA ，即t =2，当AB =AO 时，2t =5-4=1，即t =12，当OB =OA t +4，解得，t =-716（舍）， 综上所述，当t =4或t =1时，△OAB 为等腰三角形；（2）△OAB 为直角三角形时，∠OBA =90°，则(2t )2+32+52=（2t +4）2，解得：t =98， 当t =98时，△OAB 为直角三角形． 【变式6－1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=25，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，AC•BD=AB•BC，∴BD=12，CD=9，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=252，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t =15，解得：t =152（秒）； ③BD =BC 时，过点B 作BF ⊥AC 于F ，同理可得：CF =9，则CD =2CF =18，∴2t =18，解得：t =9（秒）；综上所述，当t 为254或152或9秒时，△CBD 是等腰三角形． 【变式6－2】（2020·福建泉州月考）如图，ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，若动点P 从点C 开始，以每秒2个单位的速度按C A B C →→→的路径运动一周．设出发的时间为t 秒．（1）若t =2秒时，求△ABP 的周长．（2）若△BPC 是直角三角形，请直接写出时间t 的取值范围．（3）是否存在某一时刻t ，使得△BPC 为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：CP =2t ，t =2时，CP =4，∵AC =8，BC =6，∴AP =4，在Rt △BCP 中，BP =∵AB =10，∴△APB 的周长为：AP +AB +BP =（2）当∠BCP=90°时，点P在AC上，当点P与A重合时，t=4s∴t的取值范围为0≤t≤4；当∠CPB=90°时，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，∴CP·AB=AC·BC，∴CP=245，在Rt△APC中，由勾股定理得：AP=325，∴t=（8+325）÷2=365，综上所述：当△BPC为直角三角形时，0＜t≤4或t=365；（3）存在.①当CP=CB时，∵BC=6，∴CP=6，∴2t=6，解得：t=3s；②当CB=BP时，∵BC=6，∴BP=6，∵AB=10，∴AP=4，∴2t=12，∴t=6s；③当CP=PB时，如图所示：∴∠PCB=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠PCB+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP，∴AP=PC，∴AP=PB，∵AB=10，∴AP=5，∴2t=13，∴13=2t s；综上所述：当t=3s或6s或132s时，使得△PCB为等腰三角形．。
2020中考数学压轴专题：二次函数动点成特殊三角形问题(含答案)
2020中考数学压轴专题二次函数动点成特殊三角形问题（含答案）1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)134；【解法提示】∵二次函数y＝－13x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，∴b c=b c=--+⎧⎪⎨-++⎪⎩33016403，解得b=c=⎧⎪⎨⎪⎩134，(2)可能是，理由如下：∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°，∴∠DQO＝∠DCP，∴tan ∠DQO ＝AP PQ ＝tan ∠DCP ＝AO CO ＝34， ∵AP ＝t,∴PQ ＝43t ， 由勾股定理得：AQ 2＝AP 2＋PQ 2，即(t ＋3)2＝t 2＋(43t )2， 解得t ＝92或t ＝－ 98(舍去)， 根据题意，点Q 在线段OB 上，∴0≤t ≤4，∴不存在这样的t 值满足题意，即△APQ 不可能是直角三角形；（3）假设存在点M 使得△PMQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，过P 作PE ⊥x 轴于E ，过M 作MN ⊥PE 交PE 的延长线于点N ，第1题解图②∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，在△PMN 和△QPE 中，∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩PMN=QPE PNM=PEQ MP=PQ ，∴△PMN ≌△QPE (AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO AC ＝35， sin ∠CAO ＝OC AC ＝45， ∴AE ＝35t ，PE ＝45t ， ∴MN ＝45t ，EN ＝EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t －35t －45t ＝3－ 25t ， ∴x M ＝x E －MN ＝35t －3－45t ＝－15t －3， ∴点M 的坐标为(－15t －3，25t －3)，在x 轴下方， ∵点M 在抛物线上，∴－13(－15t －3)2－13(15t ＋3)＋4＝25t －3， 整理得t 2＋65t ＝225，解得t ＝－65＋52052或t ＝－65－52052(舍)， 综上，存在满足条件的点M ，此时运动时间t 为－65＋52052秒．2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第2题图解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3； (2)如解图，连接MA ，第2题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M (－1，2);(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (0，－6)和点C (6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B ，试判断△ABC 的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将C 、A 两点坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＋6b ＋c ＝0c ＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－5x －6；(2)当y ＝0时，则有：x 2－5x －6＝0，即(x ＋1)(x －6)＝0，∴解得x 1＝－1，x 2＝6(舍)，∴B (－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝2＝49，AC 2＝(6－0)2＋2＝72，AB 2＝(－1－0)2＋2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点P ，使得△P AC 是以AC 为底的等腰三角形理由：如解图，过线段AC 的中点M ，作AC 的垂线交抛物线于点P ，第3题解图直线MP 与抛物线必有两个满足条件的交点P ，∵A (0，－6)，C (6，0)，∴点M 的坐标为(3，－3)，且OA =OC ，∴直线MP 过点O ，设直线MP 的解析式为y ＝kx ，将点M (3，－3)代入得，k ＝－1，即直线MP 的解析式为y ＝－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x y ＝x 2－5x －6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－10y 1＝10－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋10y 2＝－2－10， ∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连接AC ，BC .(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图 解：(1)∵直线y＝－2x ＋10与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，∴A (5，0)，B (0，10)，设过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，把点A (5，0)和C (8，4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b ＝064a ＋8b ＝4， 解得⎩⎨⎧a ＝16b ＝－56， ∴抛物线的解析式为y ＝16x 2－56x ； ∵A (5，0)，B (0，10)，C (8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(2)如解图，连接AP ，AQ ，当P ，Q 运动t 秒，即OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，第4题解图在Rt △AOP 和Rt △ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝OA P A ＝QA， ∴Rt △AOP ≌Rt △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝103， ∵t <5，∴当运动时间为103秒时，P A ＝QA ； (3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为x ＝52， 设点M 的坐标为( 52，b )， 利用点的坐标可求得AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝(52)2＋(b －10)2， MA 2＝(52)2＋b 2， ∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当AB ＝MA 时，即125＝(52)2＋b 2， 解得b ＝±5192， 即点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)；②当AB ＝BM 时，即125＝(52)2＋(b －10)2，解得b ＝10±5192，即点M 的坐标为(52，10＋5192)或(52，10－5192)；③当MB ＝MA 时，即(52)2＋(b －10)2＝(52)2＋b 2，解得b ＝5，此时点A 、M 、B 共线，故这样的点M 不存在．综上所述，存在点M ，使以点A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(52，5192)或(52，－5192)或(52，10＋5192)或(52，10－5192)． 5. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；(3)点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第5题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∵△CEF∽△GEP∴EF＝22CF＝22(3－m), PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第5题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．6.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN的值最小，求出此时点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线经过点C (0，4)，A (4，0)，∴c=a a c=⎧⎨-+⎩41680，解得a=c=⎧-⎪⎨⎪⎩124， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92可得抛物线的顶点坐标为N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，－4)，连接C′N 交x 轴于点K ，则K 点即为所求点，第6题解图①设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把N ，C′两点坐标代入可得：k b=b=⎧+⎪⎨⎪-⎩924，解得k=b=⎧⎪⎨⎪-⎩1724， ∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4， 令y ＝0，解得x ＝817，∴点K的坐标为(817，0)；(3)存在．要使△ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论：①DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DF A＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°.此时，点F的坐标为(2，2)；由－12x2＋x＋4＝2得，x1＝1＋5，x2＝1－ 5.此时，点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)；②FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M.第6题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3， ∴F (1，3)．由－12x 2＋x ＋4＝3得，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.此时，点P 的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)； ③OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为2 2. 而OF ＝OD ＝2<22，∴在AC 上不存在点F 使得OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为(1＋5，2)或 (1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．7. 如图①，抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8与x 轴交于点A (－6，0)，点B (点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点P 为线段AO 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l 与抛物线交于点E ，连接AE 、EC .(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)连接AC 交直线l 于点D ，则在点P 运动过程中，当点D 为EP 中点时，求S △ADP ∶S △CDE ；(3)如图②，当EC ∥x 轴时，点P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G ，使△AEG 是以AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，说明理由．第7题图解：(1)∵点A (－6，0)在抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b )＋8，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋8，令x ＝0，得y ＝8， ∴C (0，8);(2)设点E (t ，－13t 2－23t ＋8)，∴P (t ，0)，∵点D 为EP 的中点，∴DP ＝DE ，D (t ，－16t 2－13t ＋4)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (－6，0)，C (0，8)，代入得：k b=b=-+⎧⎨⎩608，解得k=b=⎧⎪⎨⎪⎩438，∴直线AC 的解析式为y ＝43x ＋8，∵点D 在直线AC 上， ∴43t ＋8＝－16t 2－13t ＋4， 解得t 1＝－6(舍去)，t 2＝－4， ∴P (－4，0)， ∴AP ＝2，OP ＝4，∴S △ADP S △CDE ＝1212g g DP APDE OP ＝AP OP ＝12； (3)存在．如解图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，第7题解图①∵EC ∥x 轴， ∴EP ＝CO ＝8，把y ＝8代入y ＝－13x 2－23x ＋8，则8＝－13x 2－23x ＋8，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2， ∴P (－2，0)， ∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时， ∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠MEG ＝∠EAP ， 又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°， ∴△EMG ∽△APE ， ∴EM AP ＝MG EP， 设点G (m ，－13m 2－23m ＋8)(m ＞0)，则GN ＝MP ＝－13m 2－23m ＋8，∴EM ＝EP －MP ＝8－(－13m 2－23m ＋8)＝13m 2＋23m ，MG ＝PN ＝PO ＋ON ＝2＋m ， ∴13m 2＋23m 4＝2＋m 8，∴m ＝－2(舍去)或m ＝32，∴G (32，254)；(ⅱ)如解图②，当∠EAG ＝90°时，第7题解图②∵∠NAG ＋∠EAP ＝90°， ∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠NAG ＝∠AEP ， ∵∠APE ＝∠GNA ＝90°， ∴△GNA ∽△APE ， ∴GN AP ＝ANEP， 设点G (n ，－13n 2－23n ＋8)(n ＞4)，∴GN ＝13n 2＋23n －8，AN ＝AO ＋ON ＝6＋n ，∴2128 334+-n n＝68+n，∴n＝－6(舍去)或n＝112，∴G(112，－234)，综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，－234)．8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．第8题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，∴将A 、D 两点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －8＝036a ＋6b －8＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8； (2)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．设直线l 的函数表达式为y ＝kx ，∵点D (6，－8)在直线l 上，代入得6k ＝－8，解得k ＝－43， ∴直线l 的函数表达式为y ＝－43x ， ∵点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，即点E 的坐标为(3，－4)； (3)需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，第8题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5，E （3，-4）在直线ME 上，∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13， ∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5， 令y ＝0，解得x ＝15，∴点H 的坐标为(15，0)．又∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，第8题解图②∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8， ∴点C 的坐标为(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，又∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8，E （3，-4）在直线CE 上，∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43， ∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0， ∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB ON， ∴－m 8＝86，解得m ＝－323. 综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形． 9. 如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，过点B 作直线BC ⊥x 轴，交直线y ＝－2x 于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标，并判断顶点D 是否在直线y ＝－2x 上；(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点P (点A 除外)，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎨⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1； (2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1， 抛物线的顶点D 的坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a)， ∴x D ＝－－232×13＝1， y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43， ∴D (1，－43)． 把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2，∵－43≠－2， ∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.第9题解图∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得：y ＝－2×(－1)＝2，∴C (－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中得13x 2－23x －1＝2， 解得x 1＝10＋1，x 2＝－10＋1.∴P 1(10＋1，2)，P 2(－10＋1，2)．10. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第10题图解：(1)将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中得， ⎩⎪⎨⎪⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝OC 2＋OB 2＝22＋42＝25，∴sin ∠ABC ＝OC BC ＝225＝55； (3)存在，点P 坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)． 【解法提示】由抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋2得对称轴为直线x ＝32， ∴点D 的坐标为(32，0)． ∴CD ＝OC 2＋OD 2＝22＋（32）2＝52. ∵点P 在对称轴x ＝32上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝52，此时点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)； 当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ，第10题解图∵DG ＝2，∴PG ＝2，PD ＝4，∴点P 的坐标为(32，4)． 综上，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，52)或(32，－52)或(32，4)．。
一次函数中(特殊三角形)的存在性问题优秀教学设计
辅助策略：借助几何画板，使学生直观形象地观察、操作。
2、教法
演示法：通过几何画板演示两圆一中垂线和外K全等，使学生直观、形象的感知因动点的移动，在何时会出现等腰三角形和等腰直角三角形，思考在没有几何画板的时候，我们自己该如何作图，快速确定动点的位置。
《一次函数中特殊三角形的存在性问题》教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
（1）使学生体会定点与动点之间的关系，做到以静制动。
（2）通过数形结合，利用几何法和代数法求一次函数中特殊三角形的存在性问题。
2、过程与方法
（1）借助几何画板探究一次函数中特殊三角形的存在性问题，使学生初步形成正确、科学的分析解决问题的方法。
①设点：设点P（0，m）A（3，0），B（0，4）
②表示三条边：
③列方程：
三、小组讨论
已知A（2，0），B（0，4），在第一象限内是否存在一点P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
讨论目标：①这样的动点P可能有多少个？如何分类？
②你能不能画出等腰直角三角形？
等腰三角形可以是两条边相等或者两个角相等，在我们所学的知识中，是边好表示，还是角好表示呢？
探究一：用几何法确定动点的位置——两圆一中垂线
例1、已知，A（3，0），B（0，4），在y轴上是否存在一点P，使得△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
探究二：用代数法确定动点的位置——设点法
实验法：让学生自己动手、在探究过程中，自己发现动点的规律
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)
专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、等腰三角形存在性问题例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．【答案】2.【解析】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4，BC=√42−22=2√3，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF=12BC=√3，BF=12AC=2，EF∥BC，由题意得：EP=t，BQ=2t，∴PF=√3-t，FQ=2-2t，①当PF =FQ 时，则√3-t =2-2t ， 解得：t =2-√3；②当PQ =FQ 时，过Q 作QD ⊥EF 于D ，则PF =2DF ， ∵BF =CF ，∴∠FBC =∠C =30°， 由上知，EF ∥BC ， ∴∠BFP =∠C =30°，则DF DQ ，PF ，-t 2-2t ）解得：t =611； ③当PF =PQ 时，∠PFQ =∠PQF =30°， ∴∠FPQ =120°，而在P 、Q 运动过程中，∠FPQ 最大为90°，所以此种情况不成立；故答案为：2-√3或611+． 例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，AB =5cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm /s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．（1）求BC边的长；（2）当∥ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当∥ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）在Rt∥ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，∥BC=4（cm）；（2）由题意知BP=t cm，∥当∥APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；∥当∥BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=32+（t-4）2，在Rt∥BAP中，AB2+AP2=BP2，即：52+[32+（t-4）2]=t2，解得：t=254，当∥ABP为直角三角形时，t=4或t=254；（3）如图所示，∥当AB=BP时，t=5；∥当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；∥当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=（4-t）cm，AC=3cm，在Rt∥ACP中，AP2=AC2+CP2，所以t2=32+（4-t）2，解得：t=258，综上所述：当∥ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=258．例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当∥ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．【答案】（8，4）或（52，7）.【解析】解：∥四边形OABC是矩形，B（8，7），∥OA=BC=8，OC=AB=7，∥D（5，0），∥OD=5，∥点P是边AB或边BC上的一点，∥当点P在AB边时，OD=DP=5，∥AD=3，由勾股定理得：P A=√52−32=4，∥P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO=PD，此时P（52，7）．故答案为：（8，4）或（52，7）．题型二、直角三角形存在性问题例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，∥B=90°，AC=60，∥A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF∥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：在ΔDFC中，∥DFC=90°，∥A=60°，DC=4t，∥DF=2t又∥AE=2t∥AE=DF；（2）能；理由如下：∥AB∥BC，DF∥BC，∥AE∥DF．又AE=DF，∥ 四边形AEFD为平行四边形．∥∥A=60°，AC=60，∥AB=30，BC∥AD=AC-DC=60-4t，∥平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD∥2t=60-4t，解得：t=10即当t=10时，四边形AEFD为菱形；（3）当t=7.5或12时，ΔDEF为直角三角形；理由如下：∥∥EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在RtΔAED中，∥CDF=∥A=60°，∥AD=2AE．即60-4t=4t，∥t=7.5∥∥DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∥∥ADE=∥DEF=90°．∥∥C=90°-∥A=30°可得：60-4t=t解得：t=12∥∥EFD=90°时，∥DF∥BC，∥点E运动到点B处，用了AB÷2=15秒，点D就和点A重合，点F也就和点B重合，点D，E，F不能构成三角形．此种情况不存在；综上所述，当t=7.5或12时，∥DEF为直角三角形．题型三、等腰直角三角形存在性问题例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt∥ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则∥OA的长为______；∥点B的坐标为______．（直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt∥ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA∥y轴，垂足为点A，作BC∥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt∥APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1，B(-2，1)；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）过点B作BE∥x轴于E，过点A作AF∥x轴于F，∥A（1，2），∥OF=1，AF=2，OA=√12+22=√5，∥∥AOB=90°，AO=OB，∥∥BEO∥∥OF A，∥BE=OF=1，OE=AF=2，∥B（-2，1）．故答案为√5，（-2，1）；（2）过点B作BH∥x轴于H，∥∥ACB=90°，AC=CB，∥∥BHC∥∥COA，∥HC=OA=4，BH=CO=1，OH=HC+CO=4+1=5，∥B（-5，1）．设直线AB的表达式为：y=kx+b，将A（0，4）和B（-5，1）代入得，b=4, -5k+b=1，解得：k=0.6，b=4，即直线AB的函数表达式为：y=0.6x+4．（3）设Q（t，2t-6），分两种情况：∥当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．∥∥AP1Q1=90°，∥∥AP1B+∥Q1P1M=90°，∥∥AP1B+∥BAP1=90°，∥∥BAP1=Q1P1M，∥∥AP1B∥∥P1Q1M，∥BP1=Q1M，P1M=AB=4，∥B（4，3），Q（t，2t-6），∥MQ1=4-t，BP1=BM-P1M=-2t+5，即4-t=-2t+5，解得：t=1∥BP1=-2t+5=3，此时点P与点C重合，∥P1（4，0）；∥当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．同理可证∥ABP2∥∥P2NQ2．同理求得P2（4，43）．综上，P的坐标为：P1（4，0），P2（4，43）．【刻意练习】1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=12-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．（1）直线y=x和直线y=12-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；（3）点P是y轴上一动点，且∥PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）联立y=x和y=12-x+2，得：4343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∥Q（43，43），故答案为：（43，43）；（2）在y=x中，当x=t时，y=t；在y=12-x+2中，当x=t时，y=12-t+2，∥E（t，-12t+2），D（t，t）．∥E在D的上方，∥DE=12-t+2-t=32-t+2．（3）当t>0时，∥当PE=DE时，32-t+2=t，解得：t=45，12-t+2=85，∥P点坐标为（0，85）．∥当PD=DE时，32-t+2=t，解得：t=45，∥P点坐标为（0，45）．∥当PE=PD时，即DE为斜边，∥32-t+2=2t，解得：t=47，∥P点坐标为（0，87）．当t＜0时，∥PE=DE和PD=DE时，得32-t+2=-t，解得t=4＞0（不符合题意，舍去）；∥PE=PD时，即DE为斜边，32-t+2=-2t，解得：t=-4，∥P点坐标为（0，0）．综上所述：当t=45时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，85）或（0，45）；当t=47时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，87）；当t=-4时，∥PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标是1．（1）求此一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式（k-3）x+b＞0的解集；（3）设一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点M，点N在坐标轴上，当∥CMN是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】见解析. 【解析】解：（1）当x =1时，y =3x =3， ∥点C （1，3），将A （-2，6），C （1，3）代入y =kx +b ，得：263k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∥直线AC 的解析式为：y =-x +4． （2）（k -3）x +b ＞0，即kx +b >3x ，由图象可知，当x <1时，y =kx +b 的图象在y =3x 图象的上方， ∥（k -3）x +b ＞0的解集为：x <1. （3）∥直线AB 的解析式为y =-x +4， ∥点M 的坐标为（0，4）， ∥OB =OM ， ∥∥OMB =45°．∥当∥CMN =90°时， ∥∥OMN =45°，∥MON =90°， ∥∥MNO =45°， ∥OM =ON ，∥点N 1的坐标为（-4，0）； ∥当∥MCN =90°时， ∥∥CMN =45°，∥MCN =90°， ∥∥MNC =45°，∥CN =CM ，∥MN CM =2， ∥点N 2的坐标为（0，2）． 同理：点N 3的坐标为（-2，0）； ∥当∥CNM =90°时，CM ∥x 轴， ∥点N 4的坐标为（0，3）．综上所述：当∥CMN 是直角三角形时，点N 的坐标为（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）2+0．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且∥ABM 是等腰直角三角形，求m 值；（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2k交AP于点M ，试证明PM PNAM-的值为定值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∥（a﹣2）20，∥a＝2，b＝4，∥A（2，0），B（0，4），设直线AB的解析式是y＝kx+b，得：204k bb+=⎧⎨=⎩，解得：k＝﹣2，b＝4，∥直线AB的函数解析式为：y＝﹣2x+4；（2）当m＞0时，分三种情况：∥如图，当BM∥BA，BM＝BA时，过点M作MN∥y轴于N，∥∥MBA＝∥MNB＝∥BOA＝90°，∥∥NBM+∥NMB＝90°，∥ABO+∥NBM＝90°，∥∥ABO＝∥NMB，∥∥BMN∥∥ABO，∥MN＝OB＝4，BN＝OA＝2，∥ON＝2+4＝6，∥M的坐标为（4，6），将（4，6）代入y＝mx得：m＝32；∥如图，AM∥BA，AM＝BA，过点M作MN∥x轴于N，∥BOA∥∥ANM，同理，得M的坐标为（6，2），m＝13；∥如图，AM∥BM，AM＝BM，过M作MN∥X轴于N，MH∥Y轴于H，则∥BHM∥∥AMN，∥MN＝MH，设M（x，x）代入y＝mx得：x＝mx，∥m＝1，m的值是32或13或1；当m＜0时，同理可得：m＝14-或32-或﹣2；（3）解：设NM与x轴的交点为H，过M作MG∥x轴于G，过H作HD∥x轴，HD交MP于D点，连接ND，由题意得：H（1，0），M（3，k），A（2，0），∥A为HG的中点，∥∥AMG∥∥ADH，由题意得：N点坐标为（-1，-k），P（0，-2k），∥ND∥x轴，N与D关于y轴对称，∥∥AMG∥∥ADH∥∥DPC∥∥NPC，∥PN＝PD＝AD＝AM，∥PM－PN=PM－PD=DM=2AM，即PM PNAM=2.4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt∥AOB中，∥A＝90°，∥AOB＝60°，OB＝，∥AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求∥CPQ的面积；（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，∥OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∥∥A ＝90°，∥AOB ＝60°，OB ＝ ∥∥B ＝30°，∥OA ＝12OB ，由勾股定理得：AB ＝3， ∥OC 平分∥AOB ，∥∥AOC ＝∥BOC ＝∥B ＝30°， ∥OC ＝BC ，在∥AOC 中，由勾股定理得：AO 2+AC 2＝CO 2，∥2+（3﹣OC ）2＝OC 2， 解得：OC ＝2， 即BC =2， ∥OC ＝2，BC ＝2．（2）如图，过点C 作CH ∥PQ 于H ，当t ＝1时，CQ ＝OQ ＝PC ＝PB ＝1， ∥PQ ∥OB ，∥∥CPQ ＝∥B ＝30°， ∥CQ ＝CP ．CH ∥QP ，∥QH ＝PH ，∥CH ＝12PC ＝12，AH ＝PH ，∥QP∥S ∥PQC ＝12•PQ •CH ＝12×12＝4．（3）∥ON ∥OB ， ∥∥NOB ＝90°， ∥∥B ＝30°，∥A ＝90°， ∥∥AOB ＝60°， ∥OC 平分∥AOB ， ∥∥AOC ＝∥BOC ＝30°， ∥∥NOC ＝90°﹣30°＝60°， ∥OM ＝PM 时， ∥MOP ＝∥MPO ＝30°，∥∥PQO ＝180°﹣∥QOP ﹣∥MPO ＝90°， ∥OP ＝2OQ ， 即2（t ﹣2）＝4﹣t ，解得：t ＝83，∥PM ＝OP 时，此时∥PMO ＝∥MOP ＝30°， ∥∥MPO ＝120°， ∥∥QOP ＝60°，不存在； ∥OM ＝OP 时，过点M 作MH ∥ON 于M ，由题意得：OP ＝OM =4﹣t ，∥MH =12（4-t ），OH （4-t ），∥OHM =∥OPM =75°， ∥∥HQM =45°，∥QH =HM =12（4-t ），∥OQ =QH +OH ，即12（4-t ）（4-t ）=t -2，解得：t ，综合上述：当t 为83或63+时，∥OPM 是等腰三角形．5. 【2019·潮州市期末】如图，在∥ABC 中，∥A =120°，AB =AC =4，点P 、Q 同时从点B 出发，以相同的速度分别沿折线B →A →C ，射线BC 运动，连接PQ . 当点P 到达点C 时，点P 、Q 同时停止运动. 设BQ =x ，∥BPQ 和∥ABC 重叠部分的面积为S . （1）求BC 的长；（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）请直接写出∥PCQ 为等腰三角形时，x 的值.【答案】见解析. 【解析】解：（1）过点A 作AD ∥BC 于D ，∥∥A =120°，AB =AC =4， ∥∥B =∥C =30°，∥AD =12AB =2，BD∥BC =2BD（2）当0<x ≤4时，点P 在线段AB 上，如图，过点P 作PN ∥BC 于点N ，在Rt ∥PBN 中，BP =BQ =x ，∥B =30°， ∥PN =0.5x ， S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x ×12x =14x 2，当4<x P 在线段AC 上，过点P 作PN ∥BC 于点N ， BQ =AB +AP ， ∥BQ =x ，AB =AC =4，∥AP =BQ -AB =X -4，PC =AC -AP =8-x ， 在Rt ∥PCN 中，∥C =30°， ∥PN =12PC =4- 12x ， S =S ∥BPQ=12×BQ ×PN =12×x （4- 12x ） =14x 2+2x当＜x ＜8时，点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 的延长线上，过点P 作PN ∥BC 于点N ，S=12×BC×PN=12×（4-12x）=.综上所述，S=()(()22104412448x xx x xx⎧<≤⎪⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩（3）∥当点P在AB上，点Q在BC上时，∥PQC不可能是等腰三角形；∥当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，此时x；∥当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，此时x6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，∥DPQ是等腰三角形？【答案】（1）8-t；10-2t；（2）（3）见解析.【解析】解：（2）∥四边形PQDC为平行四边形，∥QD=PC，即8-t=10-2t，解得：t=2.（3）∥∥DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∥DQ=PQ或DP=PQ，∥DQ=PQ，过点Q作QH∥BC于H，则BP=2t，AQ=BH=t，PH=t，QH=AB=6，∥DQ2=PQ2，（8-t）2=62+t2，解得：t=74；∥DP=PQ，过点P作PM∥AD于M，则QM+AQ=BP，即822tt t-+=，解得：t=85，综上所述，当t为74或85秒时，∥DPQ是等腰三角形.7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，∥P AE为等腰三角形.【答案】见解析.【解析】解：∥ABCD为矩形，AB=8，AD=4，∥∥D=90°，∥CE=5，∥DE=CD-CE=3在Rt∥ADE中，由勾股定理得：AE=5，（1）当AP=AE时，即8-t=5，解得：t=3；（2）当PE=AE时，过点E作EF∥AB于F，则PF=AF=5，EF=4，由勾股定理得：PF=3，AP=2PF=6，∥BP=t，则AP=8-t=6，解得：t=2;(3)当PE=P A时，过点E作EF∥AB于F，∥BP=t，∥AP=8-t，BF=CE=5，PF=5-t，由勾股定理得：PE2=EF2+PF2，∥42+（5-t）2=（8-t）2，解得：t=236，综上所述，当t为2秒、3秒或236秒时，∥P AE为等腰三角形.8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt∥ABC中，∥ACB＝90°，∥A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，过点F作FD∥AB交AC于点D．若∥AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到∥A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的∥D1BF为等腰三角形，求出t值．【答案】见解析.【解析】解：∥如图，当BF＝BD1＝6时，在Rt∥BF1D1中，BF1＝∥AA1＝FF1＝6﹣∥t＝3∥如图，当D1F＝D1B时，易知AA1＝FF1＝F1B＝3，可得t＝32．∥如图，当FD1＝FB＝6时，可得AA1＝FF1＝t综上所述，满足条件的t 的值为332 9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A (0,8)，B （4,0），AB 的垂直平分线交y 轴与点D ，连接BD ，M (a ，1)为第一象限内的点.（1）求点D 坐标；（2）当S ∥DBC =S ∥DBM 时，求a 的值；（3）点E 为y 轴上的一个动点，当∥CDE 为等腰三角形时，直接写出点E 的坐标.【答案】见解析..【解答】解：（1）设D 点坐标为（0，m ），由题意知，CD 是线段AB 的垂直平分线，∥AD =BD ，∥（8-m ）2=m 2+42，解得：m =3，即D 点坐标为（0,3）.（2）由（1）知，AD =5， ∥S ∥BDA =12×5×4=10， ∥S ∥DBC =12S ∥BDA =5， ∥S ∥DBC =S ∥DBM ，即S∥DBM=5，求得直线BD的解析式为：y=-34x+3，当y=1时，x=83，∥12×（a-83）×3=5，解得：a=6（3）设E点坐标为（0，x），设C点坐标为（n，t）则n=2DCASAD△=2, t=4，即C点坐标为（2,4），∥D（0,3），则CD2=5，DE2=（x-3）2，CE2=4+（x-4）2，∥当CD=DE时，5=（x-3）2解得：x x=3；∥当CD=CE时，5=4+（x-4）2解得：x=5或x=3（舍）；∥当DE=CE时，（x-3）2=4+（x-4）2解得：x=112，综上所述，当∥CDE为等腰三角形时，E点坐标为（0，，（0，3，（0,5），（0，112）.。
2020中考数学 二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题(含答案)
2020中考数学 二次函数培优专题：动点成特殊三角形问题（含答案）1. 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（1）由抛物线22y ax bx =++过点(3,0)A -，(1,0)B ， 则0932,0 2.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴二次函数的关系表达式为224233y x x =--+．（2）点1(2,1)Q -，2(1,1)Q --，3(2,3)Q ，4(3,1)Q ．2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(0,2)A ，点(1,0)C -，如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点作轴，垂足为，∵ ； ∴；又∵；，∴ ∴，； ∴点的坐标为(3,1)-；（2）抛物线经过点(3,1)B -，则得到，解得， ∴抛物线解析式为； （3）方法一：①若以为直角边，点为直角顶点；则可以设直线交抛物线于点，由题意，直线的解析式为：1122y x =--，解得舍 ∴1(1,1)P -． 过点作轴于点，在中，∴，∴为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，交抛物线于点，由题意，直线AF 的解析式为212,2.11222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得114,4.x y =-⎧⎨=⎩（舍）222,1.x y =⎧⎨=⎩ 过点2P 作2P N y ⊥轴于点N ，在2Rt AP △中，2AP =yxA (0,2)C (-1,0)BOB BD x ⊥D 90,BCD ACO ∠+∠=︒90ACO OAC ∠+∠=︒BCD CAO ∠=∠90BDC COA ∠=∠=︒CB AC =BCD CAO △≌△1BD OC ==2CD OA ==B 22y ax ax =+-1932a a =--12a =211222y x x =+-AC C BC 211222y x x =+-1P BC 211,2211 2.22y x y x x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩113,1.x y =-⎧⎨=⎩221,1x y =⎧⎨=-⎩1P 1PM x ⊥M 1Rt PMC △1CP =1CP AC =1ACP △AF BC ∥211222y x x =+-2P 12,2y x =-+2AP AC ∴=. 2ACP ∴△为等腰直角三角形.综上所述，在抛物线上存在点使是以为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形1ACP △，过点作，∵1=，，；∴1MPC DBC △≌△ ∴==2，∴==1，可求得点1(1,1)P -；经检验点1(1,1)P -在抛物线使得1ACP △是等腰直角三角形；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作，且使得，得到等腰直角三角形2A C P △，过点作，同理可证2AP N △≌CAO △；∴==2，==1，可求得点(2, 1)经检验点(2, 1)也在抛物线上，使得2ACP △也是等腰直角三角形．3. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形．（1）当OJ 为直角边时，90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．若90KOJ ∠=︒，则K 与A 或B 重合， ∴1(3,0)K -，2(1,0)K ．若90KJO ∠=︒，则45KOJ ∠=︒， 分别作COB ∠与COA ∠的角平分线交抛物线于两点，即为3K ，4K ，直线3OK 与直线4OK 解析式分别为y x =-、y x =分别与抛物线解析式联立，12(1,1)(2,1).P P -ACP △AC BC 1P 1PC BC =1P 1PM x ⊥轴CP BC 1MCP BCD ∠=∠190PMC BDC ∠=∠=︒CM CD 1PM BD 211222y x x =+-2AP CA ⊥2AP AC =2P 2P N y ⊥轴2NP OA AN OC 2P 2P 211222y x x =+-可得3K坐标为⎝⎭，4K坐标为⎝⎭． （2）当OJ 为斜边时，45KOJ ∠=︒，K 点坐标同上34K K ，． 综上所述，所求的点K 坐标为1(3,0)K -，2(1,0)K ，3K ⎝⎭，4K ⎝⎭. 线段OJ 可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当OJ 为直角边时，又存在两种情况：90KJO ∠=︒或90KOJ ∠=︒．因此，共有6种情况．4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标．NN备用图（1）21212y x x =-+-；（2）M的坐标是(12)-、(12)+、(4,1)-、(2,3)-、(2,7)--．5. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C ．①当AC =②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（0t >），同时将直线:3l y x =沿y 轴正方向平移t 个单位．平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B ．当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得''A B P △为以''A B 为直角边的等腰直角三角形?（1）证明：令，则．22=(2)8(2)a a a -+=+△． ∵，∴．∴>0△． ∴方程有两个不相等的实数根．∴抛物线与x 轴有两个交点．（2）①令，则，解方程，得． ∵A 在B 左侧，且，∴抛物线与x 轴的两个交点为(,0)A a -，(2,0)B ．∵抛物线与y 轴的交点为，∴(0,2)C a -． ∴．在中，，．可得．∵，∴． ∴抛物线的解析式为．②依题意，可得直线的解析式为，'(2,0)A t -，'(2,0)B t +，．∵为以为直角边的等腰直角三角形，∴当时，点的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --．∴．解得或．当时，点的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-．∴．解得或（不合题意，舍去）．综上所述，或．0y =2(2)20x a x a +--=0a >20a +>2(2)20x a x a +--=0y =2(2)20x a x a +--=122x x a ==-，0a >C 2AO a CO a ==，Rt AOC△222AO CO +=22(2)20a a +=2a =±0a >2a =24y x =-l '3y x t =+4A B AB ''==A B P ''△A B ''90PA B ''∠=°P 3(2)4t t -+=52t =12t =90PB A ''∠=°P 3(2)4t t ++=52t =-12t =-52t =12t =6. 如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ． （1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．（1）抛物线解析式为2424455y x x =-+-，令0y =，即24244055x x -+-=，解得1x =或5x =，∴A (1, 0)，B (5, 0)．如答图1所示，分别延长AD 与EM ，交于点F ． ∵AD ⊥PC ，BE ⊥PC ，∴AD ∥BE ， ∴∠MAF =∠MBE ．在AMF △与BME △中， MAF MBE MA MB AMF BME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)AMF BME △≌△，备用图∴ME MF =，即点M 为Rt EDF △斜边EF 的中点， ∴MD ME =，即MDE △是等腰三角形． （2）答：能．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，∴对称轴是直线3x =，M (3, 0)； 令0x =，得4y =-，∴(0,4)C -．MDE △为等腰直角三角形，有3种可能的情形： ①若DE ⊥EM ，由DE ⊥BE ，可知点E 、M 、B 在一条直线上， 而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线PC 与y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若EM ⊥DM ，如答图2所示： 设直线PC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ． 在ADM △与NEM △中，135EMN DMA EM DM ADM NEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ADM NEM △≌△， ∴MN MA =．抛物线解析式为224244164(3)5555y x x x =-+-=--+，故对称轴是直线3x =，∴M (3, 0)，2MN MA ==，∴N (3, 2)．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点N (3, 2)，(0,4)C -在抛物线上， ∴324k b b +=⎧⎨=-⎩，解得2k =，4b =-，∴24y x =-．将24y x =-代入抛物线解析式得：242424455x x x -=-+-，解得：0x =或72x =，当0x =时，交点为点C ；当72x =时，243y x =-=．∴7,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为7,32⎛⎫⎪⎝⎭．（3）答：能．如答题3所示，设对称轴与直线PC 交于点N ．与（2）同理，可知若MDE △为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M ． ∵MD ⊥ME ，MA ⊥MN ，∴∠DMN =∠EMB ． 在DMN △与EMB △中， 45DMN EMB MD MB MDN MEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)DMN EMB △≌△， ∴MN MB =． ∴(3,2)N -．设直线PC 解析式为y kx b =+，∵点(3,2)N -，(0,4)C -在抛物线上，∴324k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得23k =，4b =-，∴243y x =-．将243y x =-代入抛物线解析式得：2242444355x x x -=-+-，解得：0x =或316x =，当0x =时，交点为点C ；当316x =时，25439y x =-=-，∴315,69P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，MDE △能成为等腰直角三角形，此时点P 坐标为315,69⎛⎫- ⎪⎝⎭．7. 在如图的直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． （1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，在ACD △和BAO △中，由已知有90CAD BAO ∠+∠=︒， 而90ABO BAO ∠+∠=︒，∴CAD ABO ∠=∠，又∵90CDA AOB ∠=∠=︒，且由已知有CA AB =，∴ACD BAO △≌△，∴1CD OA ==，2AD BO ==，∴点C 的坐标为(3,1)-（2）①∵抛物线2122y x ax =-++经过点(3,1)C -，∴2113322a -=-⨯++，解得12a =∴抛物线的解析式为211222y x x =-++.②i ）当A 为直角顶点时，延长CA 至点1P ，使1AP AC AB ==， 则1ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形，如果点1P 在抛物线上，则1P 满足条件，过点1P 作1PE x ⊥轴， ∵1AP AC =，1EAP DAC ∠=∠，190PEA CDA ∠=∠=︒ ∴1EP A DCA △≌△，∴2AE AD ==，11EP CD ==,∴可求得1P 的坐标为(1,1)-，经检验1P 点在抛物线上，因此存在点1P 满足条件；ii ）当B 点为直角顶点时，过点B 作直线L BA ⊥，在直线L 上分别取23BP BP AB ==，得到以AB 为直角边的等腰直角2ABP △和等腰直角3ABP △，作2P F y ⊥轴于点F ，同理可证2BP F ABO △≌△ ∴22P F BO ==，1BF OA ==，可得点2P 的坐标为(2,1)--，经检验2P 点在抛物线上，因此存在点2P 满足条件． 同理可得点3P 的坐标为(2,3)-，经检验3P 点不在抛物线上．综上：抛物线上存在点1(1,1)P -，2(2,1)P --两点，使得1ABP △和2ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形．8. 如图，一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线243y x bx c =++的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使得PMN △是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）∵一次函数44y x =--的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴(1,0)A -、(0,4)C -把(1,0)A -、(0,4)C -代入243y x bx c =++得∴，解得 xyCAB O4034b c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩834b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ （2）设M 、N 的纵坐标为a ，由B 和C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：443y x =-，则4,4a M a --⎛⎫⎪⎝⎭，312,4a N a +⎛⎫⎪⎝⎭， ①当90PMN ∠=︒，4MN a =+，PM a =-，因为PMN △是等腰直角三角形，则4a a -=+，则2a =-，即P 点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90PNM ∠=︒，PN MN =，同上，2a =-，即P 点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭；③当90MPN ∠=︒，作MN 的中点Q ，连接PQ ，则PQ a =-，又PM PN =， ∴PQ MN ⊥，则2MN PQ =，即：42a a +=-，解得：34a =-，即P 点的坐标为(23, 0)．248433y x x =--9. 如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联． （1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++；③221y x x =++与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点，B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =时，2211212y x x =-++=-++=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上，∴抛物线①、②有关联； （2）点C 是y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中的B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF CAH △≌△，∴，，点的坐标为(2,1c c +-，当点在抛物线211:(1)28C yx =+-上时，211(21)28c c -=++-，解得：．②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中点，过点作轴的垂线，垂足为，同理可得：点的坐标为(2,1)c c --+，当点在抛物线211:(1)28C y x =+-上Oyx1CF AH ==2BF CH c ==+B B 1c ='B 'B y D 'B 'B时，211(21)28c c +=--+-，解得：．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中点的坐标分别为：1(0,1)C，2(0,3C +，3(0,3C -.10. 如图，抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．存在符合条件的P 点，由(0,3)C ，(1,0)M -，∴CM①当CM CP =时，1(1,6)P -；②当MC MP =时，2(P-，4(1,P -；③当PC PM =时，连接3CP ，过C 作对称轴的垂线，由勾股定理可得3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述，符合条件的点P 的坐标为1(1,6)P -，2(1,P -，3513P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，4(1,P -．11. 已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．（1）请直接写出A 、B 的坐标：A 、B ；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）如图，点D 的坐标为(2,0)，点(,)P mn 是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ． 3c =+3c =-C①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．（）由，易知，2()CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-， 2()OC OA AB OA =-，可求， ∴(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C可设解析式为(1)(4)y a x x =+-，将点(00)C ，代入，可求． ∴．（2）①，， 提示：直线的解析式为设(,)E x y ，利用勾股定理和点(,)E x y 在直线BC 上，可得两个方程组分别可求和． ②过作x 轴的垂线，交于，易求的解析式为，且，故故，当时，，．x1OA =4OB =12a =-213222y x x =-++1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24855E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34E ⎛-⎝BC 122y x =-+()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩2E 3E D PC M PC 22n y x m -=+2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+52m =25=8CDP S 最大值△52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，12. 已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D . 若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．（1）用含b 的代数式表示m ，n 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由．（1）如图，作BE x ⊥轴，由题意可得(0,)A b ，,)(0b C - ∵抛物线的顶点(,)B m n 在2(0)y x b b =-+>上， ∴2n m b =-+，(,2)B m m b -+在矩形ABCD 中，OC OB =，∴22OC OB = 即：222(2)b m m b =+-+ ∴(54)0m m b -=∴10m =(舍去)，245m b =∴325n m b b =-+=-∴45m b =，35n b =-；（2）存在，有4个点：47,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，49,55b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，416,515b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，413,55b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13. 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得BCQ △为直角三角形？存在符合条件的Q 点，所有符合条件的点Q 如图所示： 由(1,4)D -，(0,3)C 可知，DC CB ⊥， ∴1Q 坐标为(1,4)-由(3,0)B -，(0,3)C 易得，2BQ 的解析式为3y x =--，联立可得 2233y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩解得25x y =⎧⎨=-⎩或30x y =-⎧⎨=⎩（舍） 可得2Q 坐标为(2,5)-；设23(,23)Q a a a --+，所以22(1)(2)1BQ CQ k k a a ⋅=-+--=-，解得3Q，4Q 综上所述，Q 的坐标为1Q (1,4)-，2Q (2,5)-3Q ，4Q .14. 抛物线333842y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）当直线l 过点(4,0)E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.y CABxO（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为(4,0)20A B -、（，）. （2）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即两个点M ；以AB 为直径的圆如果与直线l 相交，那么就有两个点M ； 如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了. 连结GM ，那么GM ⊥l ， 在Rt EGM △中，3GM =，3GE =，∴4EM = 在1Rt EM A △中，AE =8，113tan 4M A M EA AE ∠==，∴16M A =∴点1M 的坐标为(4,6)-，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+根据对称性，直线l 还可以为334y x =+.15. 如图，经过x 轴上(1,0)A -、(3,0)B 两点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交y轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D ．（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若90BCD =︒，请确定抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使BDQ △为直角三角形?如果能，请求出Q 点坐标；如果不能，请说明理由．（1）设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-. 则2223)(1)4(x a x a y a x --=--=.则点D 的坐标为(1,4)D a -，点C 的坐标为(0,3)C a -.（2）过点D 作轴于，如图1所示，则有.∴.∴. ∴，（舍去）.∴.抛物线的解析式为.DE y ⊥E DEC COB △∽△DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++（3）①如图2，若为，作轴于，轴于.可证. 有， 点坐标2(,23)k k k -++，. 化简得，即(3)(23)0k k -+=.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. ②如图3，若为.延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为. DM 所在的直线方程为.则与的解为（舍），，得交点的坐标为.③若90BQD ∠=︒，容易证明此种情况不成立所以满足题意的点另有两个：.图2图2图1DBQ ∠90︒QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ =Q 242323k k k =---22390k k --=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BDQ ∠90︒DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM =12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，。
中考动点问题题型方法归纳
图（3）B图（1）B图（2） 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA ﻩ运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标. 提示:第(2）问按点P 到拐点Ｂ所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类－－---①O Ｐ为边、OQ 为边，②ＯP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。
2、如图，AB 是⊙O 的直径,弦B Ｃ＝2cm,∠ABC=60º． （1)求⊙O 的直径；(2）若D 是A Ｂ延长线上一点,连结CD,当B Ｄ长为多少时,ＣＤ与⊙O 相切;（3）若动点E 以2ｃm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1ｃm/s 的速度从B 点出发沿B Ｃ方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF,当t 为何值时,△BEF 为直角三角形．提示:第（3)问按直角位置分类讨论3、如图，已知抛物线33)1(2+-=x a y （0≠a )经过点(2)A -，0,抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． (1）求该抛物线的解析式;(2）若动点P 从点O 出发，以每秒１个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形?（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和２个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长．提示：发现并充分运用特殊角∠DAB ＝6０° 当△ＯP Ｑ面积最大时，四边形B ＣPQ 的面积最小。
中考—动点产生的相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形问题 含答案
一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。
专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解基础巩固+技能提升(解析版)
专题07 基础巩固+技能提升【基础巩固】1. （2020·江苏苏州期中）如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，13AB =，5AC =，动点P 从点B 出发沿射线BC 运动，当APB ∆为等腰三角形时，这个三角形底边的长为________．【答案】24或13．【解析】解：由勾股定理得：BC=12①当AB=AP 时，如图，BP=2BC=24；②当BA=BP 时，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：==③当PA=PB 时，此时P 点在线段AB 的垂直平分线上，AB=13故答案为：24或13．2．（2020·浙江宁波期中）老师请同学在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你计算剪下的等腰三角形的面积．【答案】见解析.【解析】解：①如图，AE=AF=10cm，S△AEF=50 cm2.②如图，AE=EF=10∴BE=AB-AE=6在Rt△BEF中，由勾股定理得：FB=8，S△AEF=40 cm2③如图，AE=EF=10∴DE=AD-AE=7，DF=S△AEF cm23．（2020·山东烟台期中）Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？【答案】4或12.5.【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2=AB2∴BC=8，（1）当∠AP1B=90°时，P1在C处，即BP1=8，∴t=8÷2=4（s）；（2）当∠BAP2=90°时，则BP2=2t，则CP2=2t-8在△ACP2中，由勾股定理得：AC2+CP22=AP22∴62+（2t-8）2=AP22在△BAP2中，由勾股定理得：AB2+AP22=BP22∴AP22= BP22- AB2=(2t)2-102∴(2t)2-102=62+（2t-8）2解得：t=25 4．综上所述，当t为4或254时，△ABP为直角三角形.4．（2020·仪征市月考）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，CD=AB=9，DE=CD-CE=3，∵AD=4，∴AE=5（2）①由题意知，BP=t，AP=9-t，过E作EF⊥AB于F，则EF=AD=4，AF=DE=3，当AE=PE时，F是AP中点，AP=2AF=6，BP=3,即t=3当AE=AP时，BP=4，t=4当PE=AP时，PE2=AP2，即PF2+EF2=AP2，（6-t）2+42=（9-t）2，解得：t=6.5综上所述，当t=3或4或6.5时，△APE是等腰三角形.②当∠APE=90°时，EP⊥AP，AP=3，BP=6，t=6当∠AEP=90°时，AP2=AE2+PE2，AP2=AE2+ EF2+ PF2（9-t）2=52+42+（6-t）2，解得：t=2 3当t为6或23时，△PAE为直角三角形.5.（2019·广东深圳宝安期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC=cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．【答案】（1）6；（2）t=313s或t=5s；（3）2.5s或3s或6s 或185s．【解析】解：（1）根据勾股定理得：AC=6cm，故答案为：6；（2）①点P在AC边上，且AP平分∠ABC时，过P作PD⊥AB于D，则PD=PC，∠PDB=∠ACB=90°，设PC=xcm，则AP=（6-x）cm，DP=PC=xcm，∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠DBP=∠CBP，∵BP=BP，∴△PDB≌△PCB∴BD=BC=8cm，∴AD=AB-BD=10-8=2cm，在Rt△ADP中，由勾股定理得，AP2=AD2+DP2，∴（6-x）2=22+x2，解得x=83，∴PC=83，∴2t-18=83，∴t=31 3；当点P与B重合时，则2t=10，t=5，综上所述，t=313s或t=5s；（3）①当AP=AC=6cm，则2t=6，此时t=3s；②当PA=PC时，过P作PD⊥AC于点D，则AD=3，PD=4，∴AP=5，∴2t=5，此时t=2.5s；③当PC=AC=6cm，（i）点P在BC上时，则BP=8-6=2cm，此时t=6s，（ii）点P在AB上时，则AC=CP=6cm，过C作CE⊥AB，则AE=PE=t，∵S △ABC =12AB·CE=12AC·BC ∴12×10·CE=12×6×8 ∴CE=245∴185， 此时t=185s. 综上所述，在运动过程中，当t 为2.5s 或3s 或6s 或185s 时，△ACP 为等腰三角形． 6．（2019·渠县月考）如图，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC ，动点P 从点C 出发，按C A B C →→→的路径运动，且速度为2cm ，设运动时间为(s)t ． （1）求ABC 的面积；（2）求AC 边上的高BD 的长；（3）当t 为何值时，APC △的面积为29.6(cm )；（4）当点P 在BC 边上运动时，若PCD 是等腰三角形，请求出满足条件的t 的值．【答案】见解析.【解析】（1）解：过A 作AH ⊥BC 于H ．∵AB=AC ，∴BH=CH=3cm ，∴AH=4cm ，∴S=6×4÷2=12cm 2；（2）由BC·AH=AC·BD 得：BD=245cm ； （3）由（2）知，AB 边上的高等于AC 边上的高，均为245cm ， 当P 在AB 边上时，由△ACP 面积为9.6知， AP=29.6245⨯=4，此时t=（4+5）÷2=4.5 当P 在BC 上时，PC=29.64⨯=4.8 t=（6-4.8+10）÷2=5.6故当t 为4.5s 或5.6s 时，△APC 的面积为9.6cm 2；（4）当点P 在BC 上时，PC=16-2t ，AD=1.4①当CD=CP 时，∵CD=5-1.4=3.6cm ，∴16-2t=3.6，∴t=6.2s ；②当PD=PC 时，∵PD=PC ，∴∠C=∠PDC ，∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°，∴∠PBD=∠PDB ，∴PC=PB=3，∴16-2t=3，∴t=6.5；③当DP=DC 时，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵DP=DC ，DH ⊥PC ，∴PH=CH=8-t ，∵DH= 2.88BD DC BC⋅=cm ， ∴CH=5425cm ， ∴8-t=5425，解得t=14625． 综上所述，满足条件的t 的值为6.2或6.5或14625． 7. 已知在Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，CD 为AB 边上的高．动点P 从点A 出发，沿着ABC 的三条边逆时针走一圈回到A 点，速度为2cm/s ，设运动时间为t ．（1）求CD 的长；（2）当P 在AB 边上运动，t 为何值时，ACP 为等腰三角形？【答案】（1）4.8cm ；（2）8.4或9或9.5或6s ．【解析】解：（1）∵AC=6cm ，BC=8cm ，∠ACB=90°，∴AC 2+BC 2=AB 2，∵CD为AB边上的高，∴AC•BC=AB•CD，∴CD=4.8cm；（2）①当点P在AB上，CA=CP时，在Rt△ADC中，AD=3.6，∴DP=AD=3.6(s)，则t=(6+8+10﹣3.6×2)÷2=8.4，②当AC=AP时，t=(24﹣6)÷2=9(s)，③当PA=PC时，过P作PH⊥AC于H，则AH=CH=3，HP12BC=4，由勾股定理得，AP=5，t=(24﹣5)÷2=9.5(s)，④当点P在BC上，CP=AC=6，t=12÷2=6(s)，故当t=8.4或9或9.5或6s时，△ACP为等腰三角形．8．（2020·河南南阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】（1）8cm；（2）4或254；（3）5或8或258．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2，解得：t＝254，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝254；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以（2t）2＝62＋（2t−8）2，解得：t＝25 8，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝25 8．9.（2019·四川师范大学附属中学期中）如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．以点A为原点，分别以AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立坐标系．（1）求出点B、E、F的坐标．（2）在x轴上是否存在点G，使AFG是以AF为腰长的等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，AD∥BC，∠ABC=∠C=∠ADC=90°∴B（0，-8），由折叠性质知AD=AF=10，DE=EF，CF=4在Rt△ABF中，由勾股定理知BF=6∴F（6，-8）设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5∴DE=EF=5E （10，-5）（2）①当AF=AG 时，AG=AF=10，则G （10,0）或（-10,0） ②当AF=FG 时，过F 作FH ⊥x 轴于H ， ∵AF=GF∴AH=GH=6，AG=12， G （12,0）综上所述，符合题意的G 点坐标为（10,0）或（-10,0）或（12,0）．【技能提升】1. 如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的“勾股分割点”已知点M ，N 是线段AB 的“勾股分割点”，若2AM=，3MN =，则BN 的长为__________．【解析】解：当BN 是斜边时， ∵AM ＝2，MN ＝3，∴BN当MN 为斜边时， ∵AM ＝2，MN ＝3，∴BN ，2．（2020·泰州市月考）如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°．（1）画AB的垂直平分线DE交AC、AB于点D、E（保留作图痕迹，作图痕迹请加黑描重）；（2）求∠A的度数；（3）若AC＝6cm，求AD的长度．【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）2.【解析】（1）分别以A，B为圆心，大于12AB为半径画弧；（2）∵BA＝BC，∠B＝120°，∴∠A=∠C=30°；（3）过点B作BM⊥AC，连接BD，∵AC＝6cm，∠A=30°，∴AM=3，AB=2BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴DM=AM-AF=3-BD，在Rt△ABM中，由勾股定理得4BM2=BM2+9，解得同理，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD=2.3．已知在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当ABP为等腰三角形时，求t的值.【答案】（1）；（2）16或5．【解析】解：（1）根据题意，得BP=2t，PC=16﹣2t=16﹣2×3=10，AC=8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得：AP===（2）在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，=+==85，根据勾股定理，得AB64256320①若BA=BP，则解得②若AB=AP，∵AB=AP，∠ACB=90°，∴BC=CP=16，则BP=32，即2t=32，解得t=16；③若PA=PB，PA=PB=2t，则（2t）2=（16-2t）2+82，解得t=5.4．（2020·信阳市期中）（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，∠ACB＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=______，BC=_______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，-4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标【答案】（1）AC＝DE，BC＝AE；（2）9；（3）（1.5,2.5）或（-2.5，-1.5）.【解析】解：（1）∵△ABC≌△DAE，∴AC＝DE，BC＝AE；（2）过A作AE⊥CD于E，∵AC＝AD，∠CAD＝90°∴AE=DE=CE∴AE,设AE=DE=CE=x,则x∴x ，x∴AB 2=（x ）2+x 2=36解得：x 2=18-9∴△ABC 的面积=12BC·AE=12x)x=(1+2)x 2=9 （3）分两种情况：①过点A 作AC ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，如图3所示：则∠C ＝90°∵点A 坐标为（﹣1，﹣4） ∴AD ＝1，OD ＝CE ＝4， ∵∠OBA ＝90° ∴∠OBE ＋∠ABC ＝90° ∵∠ABC ＋∠BAC ＝90° ∴∠BAC ＝∠OBE ∴△ABC ≌△BOE ∴AC ＝BE ，BC ＝OE ， 设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ∴AC ＝BE ＝x ＋1，∴CE ＝BE ＋BC ＝x ＋1＋x ＝OD ＝4， ∴x=1.5,x+1=2.5 ∴点B 坐标(1.5，2.5)，②过点A 作AC ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ， 同理可得：点B 坐标（-2.5，-1.5）.综上所述，点B 坐标（1.5,2.5）或（-2.5，-1.5）.5．（2020·河南南阳期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，M 在AC 上，且6cm AM =，过点A （与BC 在AC 同侧）作射线AN AC ⊥，若动点P 从点A 出发，沿射线AN 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．（1）经过_________秒时，Rt AMP △是等腰直角三角形？（2）经过_________秒时，△AMP ≌△CBM ？判断这时的BM 与MP 的位置关系，说明理由．（3）经过几秒时，PM AB ⊥？说明理由．【答案】（1）6；（2）2，位置关系见解析；（3）见解析. 【解析】解：（1）当△AMP 是等腰直角三角形时， AM=AP=6，t=6 s 故答案为6.（2）当△AMP ≌△CBM 时，∠AMP=∠CBM ，CM=AP=AC-AM=2，t=2 故答案为2.∵∠CBM+∠CMB=90°，∠AMP+∠CMB=90° ∴∠BMP=180°－（∠AMP+∠CMB ）=180°-90°=90° ∴BM ⊥MP.（3）当PM ⊥AB 时，如图，设交点为O，∠OAP+∠OPA=90°，∠OAM+∠OAP=90°∴∠OAM=∠OPA又AM=BC=6，∠PAM=∠ACB∴△AMP≌△CBA∴AP=AC=8，t=8 s6．（2019·盐城市期中）如图1，在平面直角坐标系中，点B（8，0），点C（0，6），点A 在x轴负半轴上，且AB＝BC．（1）求点A的坐标；（2）如图2，若点E是BC的中点，动点M从点．A．出发．．以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B匀速运动，设点M的运动时间为t（秒）；①若△OME的面积为2，求t的值；②如图3，在点M的运动过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（-2，0）；（2）①23或103；②t=6，M（4，0）或t＝334，M（254，0）．【解析】解：（1）∵点B（8，0）、C（0，6），∴OB＝8，OC＝6，∴BC＝10∵AB＝BC＝10，∴OA＝2，∴A（−2，0）．（2）①过E作EH⊥OB于H，∵在Rt△BOC中，点E为边BC的中点，∴OE=BE又∵EH⊥OB∴H是OB的中点∴EH＝12OC=12×6=3当点M在点O的左侧时，OM＝2−t，∴12×(2−t)×3＝2，∴t=23；当点M在点O的右侧时，OM＝t−2，12×(t−2)×3＝2，∴t=103；②当点M在AO上，即0≤t＜2时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；当t＝2时，点M运动到点O，△OME不构成三角形，当点M在OB上，即2＜t≤10，当∠OME＝90°时，∵OE＝BE，∴OM＝12OB=12×8=4，∴t−2＝4，∴t＝6，M（4，0）；当∠OEM＝90°时，作EH⊥OB于H，52+（t-6）2+32=（t-2）2∴t=334，M（254，0）．综上所述，符合要求时t＝6，M（4，0）或t＝334，M（254，0）．7.（2020·吉林长春期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为．（2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．（3）连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE 是等腰三角形．【答案】（1）5；（2）t＝3；（3）①当t=23或t＝6；②当t＝3或4或296．【解析】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，∴CD=AB=4，CD⊥BC，∵CE=3，在Rt△DCE中，DE=5（2）在长方形ABCD中，AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCE=∠B=90°．∴当BP＝CE时，△ABP≌△DCE，∴t＝3．（3）①当∠PDE=90°时，在Rt△PDE中，PD2=PE2-DE2，在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2，∴PE2-DE2=PC2+CD2．∴(9-t)2-52=(6-t)2+42．∴t=23．当∠DPE=90°时，此时点P与点C重合，∴BP=BC=6．∴t＝6．综上所述，当t=23或t＝6时，△PDE是直角三角形．②（i）当PD=DE时，∵PD=DE，DC⊥BE，∴PC=CE=3，∵BP=BC-PC=6-3=3,∴t=3，（ii）当PE=DE=5时，∵BP=BE-PE=BC+CE-PE=6+3-5=4，∴t=4，（iii）当PD=PE时，∴PE=PC+CE=PC+3，在Rt△PDC中，PD2=CD2+PC2，∴（PC+3）2－42=PC2，解得：PC=7 6∵BP=BC-PC=6-76=296，∴t=29 6综上所述，当t＝3或4或296时，△PDE是等腰三角形．8.（2020·常州武进区月考）如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC．(1)求OB的长；(2)如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)；①若OME的面积为1，求t的值；②如图③，在点M运动的过程中，OME能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）2；（2）t的值为23或43；（3）t=3，OM=4或t=338，OM=254．(1)∵OA=8，OC=6，∴由勾股定理得：=10 ∵AB=AC=10，∴OB=2，(2)过E作EH⊥OA于H，∵在Rt△AOC中，点E为边AC的中点，∴EO=EA=5，∵EH⊥OA，∴OH=AH=4，由勾股定理得：EH=3.当点M在点O的左侧时，OM=2−2t，∴12×(2−2t)×3=1，∴t=23；当点M在点O的右侧时，OM=2t−2，∴12×(2t−2)×3=1，∴t=43；综上所述，若△OME 的面积为2，t 的值为23或43. ②当点M 在OA 上，即1<t<5时，当∠OME=90°时，∵OE=AE ，∴OM=12OA ， ∴2t −2=4，∴t=3，OM=4；当∠OEM=90°时，过E 作EH ⊥OA 于H ，∵OE 2+EM 2=OM 2，EM 2=EH 2+MH 2，∴52+（2t-6）2+32=（2t-2）2，∴t=338，OM=254； 综上所述,符合要求时t=3，OM=4或t=338，OM=254． 9.（2020·浙江杭州期中）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P 的运动时间为t ．连结AP ．（1）当5t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 做DE AP ⊥于点E ，在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？【答案】（1）10；（2）16、5；（3）5或11.【解析】解：（1）根据题意，得BP=2t ，PC=16-2t=16-2×5=6，AC=8， 在Rt △APC 中，由勾股定理，得AP=10.（2）在Rt △ABC 中，AC=8，BC=16，由勾股定理，得AB=若AB=BP ，则2t=t=若AB=AP ，则2t=32，解得t=16；若AP=BP ，BP 2=AC 2+CP 2，则（2t ）2=（16-2t ）2+82，解得t=5．（3）若P 在C 点的左侧时，连接DP ，∵S △ACP =S △ADP +S △DCP ， ∴12×AC×CP=12×AP×DE+12×CP×DC ， ∴4CP=32AP+32CP ， ∴5CP=3AP ，设AP=5a ，CP=3a ，∵AP 2=CP 2+AC 2，∴25a 2=9a 2+64，∴a=2，∴CP=6，∴BP=BC-CP=16-6=10，∴t=10÷2=5；若P在C点的右侧，连接DP，同理，CP=6，∴BP=CP+BC=6+16=22，∴t=22÷2=11当t为5或11时，能使DE=CD．10.（2020·盐城市期中）如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q？【答案】见解析．【解析】解：（1）△ABC是直角三角形．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AC2＋BC2＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）①当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，②当点P在AB上时，（i）若BP＝BC＝6，则AP＝4，t＝（8＋4）÷2＝6秒；（ii）若CP＝CB＝6，过C作CM⊥AB于M，则12×AB×MC＝12×BC×AC，1 2×10×MC＝12×6×8，解得MC＝4.8，由勾股定理得：PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，∴AP＝2.8，t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，解得t；②当点P在AB上，点Q在BC上时，当P运动到A点时，t=4，此时=当Q 运动到B 点时，t=6，PQ=10-2×（6-4）=6，不符合题意；③当点P 、Q 均在AB 上运动，且点P 在点Q 的左侧时（6≤t ＜8），24−2t −t ，解得:t ＝243； ④当点P 、Q 均在AB 上运动，且点P 在点Q 的右侧时（8＜t≤9），2t ＋t −24，解得t ＝243，∵t ＝243+>9，舍去．综上所述，当t 秒，P 、Q ．。
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特殊三角形与动点问题
1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形？并说明理由．
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式。
3、已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．
4、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
5、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。