数学建模示例--价格竞争问题

数学建模期中考试
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价格竞争问题
问题提出：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。

一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。

我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。

那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？解：
（1）问题分析：加油站的利润主要来自汽油的销售价和销售量。

在这场价格战
中，乙加油站降价销售主要受以下三个因素影响：①甲加油站汽油降价的幅度；
②乙加油站降价的幅度；③两站之间汽油销售价之差。

（2）模型假设：①汽油的正常销售价格保持常数不变；②（1）中的三个因素对已加油站销售的影响是线性的。

（3）模型的建立：
映入符号：
P：汽油正常销售价格（元/升）
L：降价前乙加油站的销售量（升/日）
W：汽油的成本价（元/升）
a：因素①对乙加油站汽油销售影响的比例常数
b：因素②对乙加油站汽油销售影响的比例常数
c：因素③对乙加油站汽油销售影响的比例常数
x：乙加油站的销售价格（元/升）
y：甲加油站的销售价格（元/升）
根据问题的假设和模型的假设，可以得到乙加油站的利润的函数为：f(x,y)=(x-W)[L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y)] 这里的（a，b，c>0）
（4）模型的求解：
当y确定时，f(x,y)=(x-W)[L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y)]是关于x的二次函数。

利润此函数求出R(x,y)的最大值点为：
x0= (L-P*a+P*b+W*b+W*c+a*y+c*y)/(2*b+2*c)
也就是说，当甲站把汽油的价格降到y元时，乙站把它的汽油价格定为x0时，可以使得乙站获得最高利润。

附：已上是建立的数学模型，下面用Matlab求解
（5）模型检验:
令L=2000，P=4，W=3，y分别取3.4、3.5、3.6、3.7、3.8、3.9。

这里参数a、b、c的数值难以给出。

因为经济学的现象是难以通过试验来实现的。

我们无法要求任何一个加油站频繁调整它的销售价格来统计不同价格下的销售量。

因此下面的a、b、c的取值只是虚拟的数值，取a=b=1000,c=4000。

附：下面用Matlab求解
>> f1=subs(f,x,x0)
>> f2=subs(f1,{L,P,W,a,b,c},{2000,4,3,1000,1000,4000})
>> x1=subs(x0,{L,P,W,a,b,c},{2000,4,3,1000,1000,4000})
>> y=3.9:-0.1:3.4;
>> x=y/2 + 17/10;
>> f3=(y/2 - 13/10).*(2500*y - 6500)
>> plot(y,f3)
表1：乙站的最优销售价及其利润y x f(x,y)
3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.65
3.60
3.55
3.5
3.45
3.4
2112.5
1800.0
1512.5
1250.0
1012.5
800.0
表1列出了甲站降价0.1、0.2、0.3元时，乙站的最优销售价格。

注意到价格竞争前的利润是（4—3）2000=2000。

这表明上述模型，双方的价格下降也可能会使乙站的利润提高，但随着甲站降价幅度的增大（即y变小），甲乙双方的利润都会有较大幅度的下降。

这就是说，降价销售往往会导致“两败俱伤”。