初等模型 数学建模
数学建模
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q1
墙
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x y=y0 / s
• (4)模型求解：利用获取的数据资料，对模 型的所有参数做出计算(估计)。 • (5)模型分析：对所得结果进行数学的分析。 • (6)模型检验：将模型分析结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差，则应该 修改假设，再次重复建模过程。 • (7)模型应用：应用方式因问题的性质和建 模的目的而异
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变
什么是数学建模
数学模型与数学建模1、数学模型的概念数学模型其实是每个人都十分熟悉的．早在学习初等代数的时候我们就已经用建立数学模型的方法来解决实际问题了．当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的．例如所谓“航行问题”：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各若干?用x、y分别代表船速和水速，可以列出方程(x+y)*30=750，(x-y)*50=750实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型．列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题．方程的解x=20(公里／小时)，v=5(公里／小时)，最终给出了航行问题的答案．当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了，那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数)；用字母表示待求的未知量(x、y代表船速和水速)；利用相应的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学式子(二元一次方程)；求出数学上的解答(x=20，y=5)；用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20公里／小时和5公里／小时；最后还要用实际现象来验证上述结果．一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构．2、数学建模的概念需要指出，问题的重点往往不在于一个数学模型(Mathematical Model)是什么样子，而在于建立这个数学模型(MathematicalModelling)的全过程．数学模型和建立数学模型常简称为模型和建模．建立数学模型的全过程前面的航行问题大致描述了用建模方法解决实际问题的途径．一般说来这一过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1—1所示．图1—1表述(Fomulation) 是指根据建模的目的和掌握的信息(如数据、现象)，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来。
数学建模到底是学什么
数学建模到底是学什么？数学学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
该学科通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。
学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。
通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力，数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。
学习数学建模需要具备的基础知识：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
学习内容简述：数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、离散模型、线性规划模型、概率模型等模型的基本建模方法及求解方法。
学习内容详述：以建立不同的数学模型作为教学项目载体，每个项目分解为若干个学习任务：下面是整合两个版本的内容，供参考。
教学项目一：建立数学模型学习内容：（1）数学建模的历史和现状；（2）高职院校开设数学建模课的现实意义；（3）数学模型的基本概念；（4）数学模型的特点和分类；（5）数学建模的方法及基本步骤。
教学项目二：初等数学建模学习内容：（1）初等函数建模法：基本初等函数数学模型；常用的经济函数模型；（2）集合建模法：鸽笼原理；“奇偶效验”法；相识问题；（3）比例与函数建模法：动物体型模型；双重玻璃的功效模型；席位分配模型。
教学项目三：微分方程建模学习内容：（1）微分方程建模方法；（2）熟悉微分方程建模案例：Malthus模型；Logistic模型；具有收获的单种群模型；（3）经济增长模型；资金与劳动力的最佳分配；劳动生产率增长；（4）人口的预测和控制；（5）微分方程稳定性理论简介。
教学项目四：数学规划建模学习内容：（1）想行规划模型原理与案例：运输模型；食谱模型；河流污染与净化模型；合理下料模型；（2）非线性规划模型原理与案例：投资决策模型；武器分配模型；防洪优化问题；森林救火费用最小模型；（3）0-1规划模型原理与案例：饮料厂的生产与检修计划模型；指派问题模型；投资决策问题模型。
数学建模ppt课件-文档资料
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假 设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两 三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学 在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与 应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我 国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学 建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模 以平均年增长25%以上的速度发展。
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙 T 建模 热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞 赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名 大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。
数学建模的概念、方法和意义
2.1.2 数学建模的全过程
由于在数学建模的过程中都要对实际情况作出 由于在 数学建模的过程中都要对实际情况作出 一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是 一定的简化假设，所以对数学模型进行强健性分析是 很有必要的. 在学习数学建模课程的过程中， 很有必要的. 在学习数学建模课程的过程中，我们会 发现很多数学模型是强健的，也就是说， 发现很多数学模型是强健的，也就是说，虽然模型建 立在较强的假设上， 立在较强的假设上，假设对实际情况做出了较多的简 但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息， 化，但是模型解答已经符合或近似现实对象的信息， 已经获得预期的建模效果. 已经获得预期的建模效果
2.1.3 数学建模论文的撰写
（3）问题重述（restatement of the problem） ）问题重述（ ） ， 或者问题澄清（ ，或者引 或者问题澄清（clarification of the problem） 或者引 ） ， ：按照作者对问题的理解 言（introduction） 按照作者对问题的理解，陈述论 ） 按照作者对问题的理解， ： 文要研究的实际问题，包括背景和任务； 文要研究的实际问题，包括背景和任务； ：陈述 （4）问题分析（analysis of the problem） 陈述 ）问题分析（ ） ： 作者对实际问题的分析和提出的数学问题， 作者对实际问题的分析和提出的数学问题，陈述作者 为建立数学模型选择采用的数学方法，陈述建立数学 为建立数学模型选择采用的数学方法， 模型的动机和思路； 模型的动机和思路；
2.1.2 数学建模的全过程
数学建模（ 数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学 ） 模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、 解决实际问题的全过程 数学模型的建立 模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、 求解、分析和检验四大步骤 四大步骤（ 求解、分析和检验四大步骤（见下图）. 现实对象 的信息 检验 现实对象 的解答 分析 建立 数学模型 求解 数学模型 的解答
数学建模简介word文档-华南师范大学数学科学学院
1.1 关于数学建模一、数学、数学模型、数学建模的定义二、数学建模过程流程图三、数学建模的特点和分类四、数学建模的应用和现代科学五、历年全国和美国大学生数学建模竞赛六、如何学好数学建模七、数学建模的例子：火炮的射击、椅子能在不平的地上放稳吗、人中预报问题一、数学、数学模型、数学建模的定义数学――是一门研究数量关系和空间变化关系的学科数学模型――对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
数学建模――构造数学模型的过程，利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
例1：火炮的射击―――数学建模的大致全过程模型一：假设不考虑空气的阻力、重力影响――抛物运动模型二：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度成正比。
模型三：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
――适用于火炮的射击模型四：考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。
―――适用于卫星的发射。
二、数学建模过程流程图众多的因素（主要和次要）－－合理的假设――建立数学模型――用数学方法(或数学软件)求解模型――检验（得解与实际问题作比较）――修改完善模型。
上述数学建模过程可用流程图表述如下：三、数学建模的特点和分类数学建模是一个实践性很强的学科，它具有以下特点：1．应用领域广，如物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学、体育运动学等．而不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的模型是相同或相似的．这就要求我们培养广泛的兴趣，拓宽知识面，从而发展联想能力，通过对各种问题的分析、研究、比较，逐步达到触类旁通的境界．2．需要各种数学知识，应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，进行合理的抽象及简化的能力如微分方程、运筹学、概率统计、图论、层次分析、变分法等，去描述和解决实际问题．3．需要各种技术手段的配合，如查阅各种文献资料、使用计算机和各种数学软件包等．4．与求解数学题目的差别．求解数学题目往往有唯一正确的答案，而数学建模没有唯一正确的答案。
第二章 初等数学建模
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
赌场如战场，有胜亦有败。 例5 常胜的赌徒 ，那么赌徒到底至少要 。但 要做到长胜， 要做到长胜 赌场如战场，有胜亦有败
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显 k . = 2[ln(1−ξ )/ln q]+1 −1 然连输K次的概率为 q 因此开k次至少有一次赢 不难解出：QMIN k 的概率为 − q。不论“常胜的概率p0有多大，只 1 . k 要p0 >0且q <1,只要K充分大,必有 1− q > p0 。 即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。
是不是花6分钱 准可以得到 是不是花 分钱,准可以得到 粒红色的糖 分钱 准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到 粒白色的糖, 或者她花去 分钱准可得到2粒白色的糖 分钱准可得到 粒白色的糖 所以她需要花8分钱是吗 分钱是吗? 所以她需要花 分钱是吗 ---
如果出售机内有6粒红色的 粒白色 如果出售机内有 粒红色的,4粒白色 显然只要花4分钱即可 分钱即可. 显然只要花粒红色的 分钱即可 粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少 的,5粒蓝色的 琼斯夫人最多要花多少 粒蓝色的 如果琼斯夫人的孩子是三 钱? 胞胎 那该怎样呢 胞胎,那该怎样呢 那该怎样呢?
然应当把水池、 盘子大小相同， 然应当把水池、 ，你还应当调查 可见 ，假设条件 的提出不 ：盘子大小相同， 易回答了，当然， 易回答了，当然 假设我们了解到 空气等吸热的因 我们了解到： 假设我们了解到 仅和你 研的 洗过的， 洗过的，其后可能还会再用清水 （4） ，素都考虑进去，但餐馆老板的原 ） 均为瓷质菜盘， 是一 有关，素都考虑进去， 问题 有关每个盘子的洗涤时间 △T是一 、 还和 ，更换热水并非因为水太脏 你准备利用哪些知 识 一下一池水的质量是多少， 一下一池水的质量是多少，查一 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 冲洗， 冲洗 个常数。（ 。（这一假设甚至可以去掉 个常数。（这一假设甚至可以去掉 。 意只是想了解一下一池热水平均 准备建立什么样的模型以及你准 备研 一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 下瓷盘的吸热系数和质量等 盘子浸泡在热水中， 盘子浸泡在热水中，然后 。 水不够热了。 了，而是因为 水不够热了 不要） 清洗。 即在你提出假设时， 不要） 清洗。 ，即在你提出假设时， 大约可以洗多少盘子， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 究的深入程度有关， 究的深入程度有关 焉用牛刀？ 焉用牛刀？ 你建模的框架已经基本搭好了。 你建模的框架已经基本搭好了。
数学建模练习题
《数学建模与实验》练习题专题一 初等模型1、如图，矿物局拟自地平面上A 掘出一管道至地面下一点C 。
设AB 长m 600,BC 长m 240，地平面AB 是粘土，掘进费用m /5元，地平面以下是岩石，掘进费用是m /13元。
（1）建立掘进费用的数学模型； （2）采用什么掘法费用最省？2、某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），上下底半径为r ，高为h 。
若体积为V ，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍。
（1）建立用料A 的数学模型；（2）试问当r 与h 之比是多少时，用料最少？3、某大城市出租汽车行程不足km 4，车费11元；行程不足km 15，大于等于km 4部分时，每公里车费5.1元；行程大于等于km 15部分，每公里车费5.2元。
计程器每km 5.0计一次价。
例如：当行驶路程x (km )满足5.1212<≤x 时，按km 5.12计价；当135.12<≤x 时，按km 13计价；途中因红灯等原因停车等候，等候的时间每min 5.2计一次价，收费1元。
例如：等候时间t (min )满足55.2<≤t 时，按min 5.2计价；当5.75<≤t 时，按min 5计价。
（1）建立出租车行驶收费的数学模型；（2）若行驶km 13，停车min 4，应付多少车费？ （3）若行驶km 28，停车min 8，应付多少车费？4、设某商店以每件10元的进价购进一批衬衫，并设此种商品的需求函数p Q 280-=（其中，Q为需求量，单位为件；p 为销售价格，单位为元）。
问该商店应将售价定为多少元卖出，才能获得最大利润？最大利润是多少？5、某公司在生产中使用A 和B 两种原料，已知A 和B 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产U 单位的产品，这里226440328),(y x y x xy y x U --++=，并且A 种原料每单位的价值为10美元，B 种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的价值为40美元，求：（1） 生产公司利润的模型； （2） 该公司的最大利润。