KdV-Burgers方程的级数解

（Ⅳ＝州＋１，…，ｐ），。‘１们，０＝一∑ｎ耀 ｒ＋日＝２
（４７）
ａ按＝万１Ｉｒ毛９ Ｎ毛＋Ｉ（ｒ－１）ｋｃ…一，歪ｑ＋ｌ。 ［（ｒ＋ｓ—１）ａ。船＋ｐ—ｓ）ｐｂ鼎］｝
２）若Ｐ＜ｇ，当左、右级数的次数Ｎ Ｓ ｑ时， 仍用前面的公式计算．当Ｎ＞Ｐ时有
。｝叠１＝一∑。拶
州１，０１＝－；｛，篓。［ａ（ｒ＋ｓ－１）ａ黔盼叫圳
的．本文根据定性分析，给出行波解“（（）在两个区域‘＜０和（＞０的级数解，利用两个级数 解在对接点处（＝０的连接条件得到了完整的级数解．此种方法无需求中间级数解，也无需解 非线性代数方程组，且在对接点处精确满足对接连续条件．
由定性分析知【３１“，方程（１）存在唯一有界行波解ⅡＥ ｃ２（咒），且有两个奇点Ａ（Ａ一扩Ｆ＝磊，０） 和同协＋、／＾２—２ｃ，０），其有界行波解存在以下三个类型的解：
ｕ（（）：面（（）＋＾＋狐Ｆ瓦
（７）
占面”（（）一ｐ在’（（）＋：铲＋、／五ｒ二—互忑＝０
（８）
杀ｕ＋（０）＝嘉“－（０），ｉ＝０，１
（１０）
我们将采用Ａｄｏｍｉａｎ算子分解法给出情形１）和２）的级数解㈨】．这里，将方程（５）和（８）
Ｌｌ“＝６“”一心’一（ｖ々而）ｕ１
２‘霉ｍｊ 脚ⅣＬ２（ｕ 。Ｈ＝５ｕｕ）㈤：－Ｉ¨ｍｔｕ）＇－：ｔ－１ｉ。：壹Ａ ｌ
《２。）
冀中
口＋１
ｔ＋１
∑∑ｃ蛐啦。
∑ ∑出）艘。
毋｝一—羔！三！塑兰一—；：：一： ｝＋ｑ＝ｐ－－１辑＝ｌ
’
２｛６（ｒ＆）２一，ｕｒｋ＋、朋２—２ｃ） ２６ｋ（ｒ一１）（ｒｋａ一女１）
《２ｔ）
万方数据 Ｐ＝１，２，·，．，ｒ＝２，３，·一，Ｐ十１
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力
学
学
报
２０００年第３２卷
上式中的系数ｃ∥，ｒ’Ｐ均为≥０的正整数且有ｒ≤Ｐ＋１．又式（１９）一（２１）中的系数ｃｉ驯∞＝
当口２—４６￣／ｉｒ＝磊＜０时，奇点Ｂ为焦点．其行波解为鞍．焦异宿轨道或振荡型级波解，
数，即—— 此时右级数的形式仍如式（２０）所示．计算公式也同样适用，其线性算子如的特征根为共轭复
０＂１，２：。士ｉ口：—＃ｉ—ｉｘ—／４—６ｖ石伊—－—２ｃ一－＃２
（３８）
若将系数取为共轭复数，其右级数仍有式（２４）的形式．类似上节的讨论，此时其左级数的零次
近似为
Ｕ—ｆｌｏ）＿ｅｃ＊ｅ…ｒａ（ｏ。）ｃｏｓ芦（＋础ｓＩｎ卢（）
（３９）
由式（１５）和（１７）可以得左级数解
＝
∞∑脚 州∑一
或写成对称的形式
一ｕ
件 铀 毗 一。 ㈨＂ ∞ 印 ＋ ㈤叩
一 邮０ ＋ ＾ 十
一＝
件
ｅ
《 蟛㈣
ｓ）口（＋６鼎ｓｉｎ（ｒ—ｓ）卢ｃ）＋Ａ＋Ｖ辱－２ｃ
（４０）
∞∑删 卅∑簧
其系数有以下的递推关系
第３２卷第２期 ２０００年３月
力 学学 报
ＡＣＴＡ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡ ＳＩＮＩＣＡ
Ｖ０１．３２，ＮＯ ２ Ｍａｒ ２０００
ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的级数解
谈骏渝 范镜泓
（重庆大学应用数学系．工程力学系，重庆４０００４４
摘要给出ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的有界行波解的精确级数解，采用Ａｄｏｍｉａｎ算子分解法分别求 得二个区域（＜０和ｅ＞０的级数解，然后利用对接连续荣件构成整体级数解所得级数解 能精确满足对接连续条件，并由此得到确定级数的系数递推公式，无需解非线性高阶代数方程 纽．与某些精确解及其它方法比较，计算简捷且在对接点处是收敛的对某些非线性波动现象 的研究．可作为计算和分析的数学依据．
关键词ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ方程，ｊ亍渡解，级数解，Ａｄｏｍｉｍｌ算子分解法
言
众所周知，许多非线性波动问题可归结为以下的ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程吣
毗＋ｕｕＴ一／ＩＵｚｚ＂４－ｄｕ…＝０
（１）
考虑方程（１）的行波解，即
“扛：ｔ）＝ｕ扛一她＋ｃＤ）＝４（０，（＝ｚ—Ａｔ＋（０
将式（２）代入式（１），并积分一次，有
ｍ）
万方数据
第２期
谈骏渝镩：ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的级数解
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令ｕ＝∑ｕ。我们有
掣掣 掣矿 ‰ “
ｍ
峨訾 如 ｂ
毗
幻畸可
砰可 垫瞄
（１３）
一屯尹联甸枷萨五。争。｝
（１４）
口。＋ｌ＝一三ｆ１Ａ。＋“妒＋１１， 件２ ０ Ｊ
２，…）．注意式（１２）有掣＝ｏ，∞２ 式中工ｆ１为缸的逆，ｎ有厶“护’＝ｏ（ｐ＝。１１１
对ｓ＞Ｐ（ｓ＝ｐ＋１，…，ｑ）次近似有
∑ｃ｛？＋ｃｉ譬．＋出；＝ｏ
ｉ＋ｊ＝２
ｆ３６１
Ⅲ∑忙
毋 口 ＋
Ｃ
即Ｊ
＋口
Ｃ ¨徊
十 口 Ｃ 如仉
Ｉｌ ０
Ｓ ＝ ｐ ＋１ ｐ ＋ ２
于是可得
毋１，０】－－－击睡陋州， １）一。】剞｝ （３７）
址去（，势叫ａ· 慨】ｃ兽｝，ｓ＝ｐ＋１，ｐ＋２， 、ｌ，叫
２振荡型激波级数船
∑（ｒ＋加。蝌＋（ｒ—ｓ）卢６蝌＋ａ。端＋卢６端＝∑（ｒｋ）ｃ妒＋ｋｃＰｌ ｌ
由此求得
ｐ＋１
ｃＰ’ Ⅲ∑ｍ 申 ｎ镏＝一∑ｎ船
（４６）
［（ｍ叫。ｎ瓣”～…”ｂ（Ｐ。１） 小∑Ⅲ ｂ 计舟 ＝ １．一口ｐ ，●Ｊ（【
１）七ｃｐ 州∑ｋ
同样，式（３．７）中的ｃＰ可取ｃｃｏｊ＝ｕ￣／甭—：琵，０＜ｕ＜２，于是由以上各式即可求得级数的系 数及级数的各欢近似．在以上各式中，对所有的系数Ⅱ船及６蝌，ｐ，ｎｓ均为太于０的正整数且
＝
州∑：ｌ 妒ｐ ＋ ≯ ＝ ０
ｆ３０）
捌 牡 ０ ｎ ＋ 观 ｋ
卅∑忙小∑咿
卅∑㈤ ¨ 巩 叽』ｑ 计丹
ｊ０ ＝
ｄ 拙 计 ＋ “
、● ●、， ●Ｊ
于是可求得
ｐ＋１
ｃ掣＝一∑ｃ｛９
蜘击｛一》ｍ∥＋。》州川胁嘲） （３１）
捌＝击隆＿１）叫ｍ ｐ∑＋ｌ［（ｉ－１）。。＋ｊ也】。材｝
邯Ｃｏｏ）＝出艺磐（３２） ｉ＋ｊ＝２
（４８）
Ｎ＝Ｐ＋１，Ｐ＝２，··，ｑ
＿：，。＋Ｂｉ。＝ｄ２［ｐ＋ｓ一１）２ａ２＋（ｒ—ｓ一１）２卢２】＋（ｒ＋ｓ—１）２０２＋ｐ—ｓ＋１）２卢２
（４２）
Ｒ增：一；∑∑ｔ＋ｌ［Ⅱ斑。（。翌。，…＋。婴。一。）＋６魁。（６掣。一。一６坦。，…）］ 。ｅ＋ｑ２ｐ—ｌ ｍ＋ｎ＝ｌ
ｓ艘＝一；∑∑［ｎ魁。（自型。．…一６型。．～）＋６羰。（ｎ埋。．…＋。坦。，…）］ ｔ＋ｑ＝ｐ－－１ ｔｎ＋，仁１
』
（２６）
ｃ端＋嘏＋Ａ＋狐巧：＝ｃｉ∞＋Ａ一以哂－１
叩蠕＋一ｚ硎＝女ｃ（０】
』
（２７）
由此求得
ｃ黔去［（一。 韶＝击［（ｍ
篙
ｆ２８１
当Ｐ≥Ｉ时，我们取
万方数据
砧（ｏ）＝珥（ｏ）＝０，晖（ｏ）＝《（ｏ），Ｐ＝１，２
（２９）
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谈骏渝等：ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的级数解
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即
剞 ｃ ∽“ ＋ ㈤。＿ ＋
１）旷＞４ｄ以２—２ｃ，行波解为鞍－结异宿轨道或单调型激波解；
１９９８—０ 万３—方１３数收据到第一稿，１９９８－１２—１４收到修改稿
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２）ｐ２（嘶￣／耵＝—五，行渡解为鞍．焦异宿轨道或振荡型激波解； ３）ｐ＝０，孤立波解． 本文主要讨论情形１），２）及正耗散ｐ＞０和正色教Ｊ＞０的情形，此时点且是鞍点，点且 是不稳定的结点或焦点．
１单调型激波级数解
我们将分（＞０和（＜０的两种情形进行讨论．对（∈（０，＋ｏ。）的情形，作变换
ｕ＋（（）＝西（（）＋＾一￣／＾２—２ｃ
（４）
将式（３）化为
扼“（（）一∥（（）＋；＿２一狐（面＝０
（５）
其无穷远处的条件为
西（（）＿÷０，才（（）－４ ０，（－÷＋。。
（Ｂ）
这里，记ｕ（（）＝“＋（（）（（＞０）． 对（∈（一ｏｏ，０）的情形，此时我们记“（（）＝ｕ一（（），作变换
～‘Ｊ Ｊ
其中对所有的系数ｃ别，有≈，ｊ，Ｐ为≥０的正整数，且有Ｉ＋ｌ≤Ｐ＋１，式（２３）一（２５）中的系数 ｃｉ％和剞为待定系数．
由此．我们即可求得左右行波解．为了构成整体级数解，其左右级数解还需满足对接连续
条件（１０）．为此，当Ｐ：０时，我们取
矗ｉ。’＋＾＋、／ｉ瓦＝西ｌ。’＋Ａ—ｖ压瓦１
（面∽’（ｏ）＝（面∽’（ｏ）
∞∑脚 ｒ卅∑＊ 蜊 ｅ 口 伽
＋＾ ｝
（２４）
式中系数之间具有推推关系
口＋ｌ
∑ ∑出ｋ啦。．…
ｃ鼎 ２ｐ（ｔＯ＂１＋８０＇２）２一＃（ｒｏｔ＋ｓａ２）＋￣／ｘ啊
∑ ∑ｃ璺！。啦。一。
一丽２ 【 ｄ（ｒ而ａ＋ｌ兰ｓａ２２）＋岸（菁ｒ＋ｂ１ｓ—一）ａｌａ：＝２ 一ｔ｝一再ｓ口Ｏ＂；碉Ｉ’，。ｓ。＋一２，…”’一…”…１伊…Ⅵ’，…
。蝌＝笔等掣，蜘笔等笋
㈣，
其中 万方数据
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．４，、。＝６【盱＋ｓ）２ｄ２～ｐ—ｓ）２卢２］一ｐ（ｒ＋ｓ）ｏ＋ｖ巧而＝
Ｊ［ｐ＋ｓ一１）２ａ２一（ｒ一８＋１）（ｒ—ｓ一１）芦２］
Ｂｒ．ｓ＝２６（ｒ２—８２）ｎ卢一ｐ（ｒ—ｓ）卢＝２６ｐ—ｓ）（ｒ＋ｓ一１）卢
Ｊ
由于解具有平移性，可取４０’＝ｕ∥Ｆ＝琵，且０＜ｕ＜２为任一给定实数．于是有
ｃ‰ （ｕ一２）ａ２一ｕ叫、／五百巧
ｉｆ２一ｆｆｌ
这样，由式（２１），（２３），（２５），（２ｓ），（３１）及（３２）即可逐次求得级数的所有系数且满足对接连续条 件，从而对于给定的（值可计算出ｕ（（）的值．
我们指出，本文的方法还适用于左、右级数取不同次近似的情形．设左级数取ｇ次近似，