微分方程幂级数解法
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法
5
4
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、可降阶的一些方程类型
2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。 、 的方程， 阶方程。
实质： 并以它为新的未知函数，而视x为新的 实质：若令 x′ = y ，并以它为新的未知函数，而视 为新的 自变量，此时方程可降一阶。事实上， 自变量，此时方程可降一阶。事实上，有
d nx d n−1x dx + a1 (t) n−1 +⋯+ an−1 (t) + an (t)x = 0 (4.2) n dt dt dt
分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的 阶齐线性方程（ ）无普遍方法， 分析： 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 则利用变换，可将方程降低一阶 如果知道 个线性无关的特解， 则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解， 则通过一系列同类项的变换， 阶方程， 则通过一系列同类项的变换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程， 也是齐线性的。 也是齐线性的。
于是有
y = x + x + 2! x + ⋯ + n! x
2 3
n +1
+⋯
都是发散的， 此级数对任何 x ≠ 0 都是发散的，故，所给问题没有形如假设 形式的级数解。 形式的级数解。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成 的幂级数形式 的幂级数形式， 注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式， 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题， 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里只提一下 Bessel方程和 方程和Bessel函数。 函数。 方程和 函数
微分方程的幂级数解法
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
高数-微分方程总结
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
12.微分方程的幂级数解法
a1 + 2a2 x + 3a3 x + 4a4 x +
2 3
= x + (a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + )2
2 2 = x + a1 x 2 + 2a1a2 x 3 + (a2 + 2a1a3 ) x 4 +
比较恒等式两端x的同次幂的系数 比较恒等式两端 的同次幂的系数, 得 的同次幂的系数
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
= y0 的特解 .
其中 f ( x , y ) = a 00 + a10 ( x x 0 ) + a 01 ( y y0 ) + + a lm ( x x0 ) l ( y y0 ) m .
y = y 0 + a1 ( x x 0 ) + a 2 ( x x 0 ) 2 +
变 阶
分离变量法 全微分方程 变 法
分
非 变 量 可 分 离
非 全 微 分 方 程
阶方程
方程法 解法 法
思考题
什么情况下采用"幂级数"解法求解 什么情况下采用"幂级数" 微分方程? 微分方程?
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法. 表达时, 常用幂级数解法.
�
∞
∞
′ = ∑ na n x n1 , 则y
n= 0
n= 0
y ′′ = ∑ n( n 1)a n x
n =1
大学物理-正则奇点领域内的幂级数解法
可以证明：
J n ( x) (1)n J n ( x)
(7-3-12)
因此它们不能组合成通解，这时与 Jn (x) 线性无关的特解 可按式 (7-1-4) 求得到
y2 (x) a J（n x）ln x x Dk xk k 0
但是用这个公式计算 a 与 Dk 通常是很麻烦的。人们宁愿
重新定义一个与 Jn (x) 线性无关的函数作为特解，它就是 诺依曼函数。
p(x) 1 x
q(
x)
1
v2 x2
则 x = 0 是 p(x)的一阶极点、q(x) 的二阶极点，因此，x = 0 是方程的正则奇点，方程的第一个解具有的形式：
y x Ck xk Ck xk
k 0
k 0
(2) 指标方程
将式 (7-3-2) 代入方程 (7-1-1)，可得到
(7-3-2)
(k )(k 1)Ck xk (k )Ck xk
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法 (贝塞尔方程的求解)
7.3.1 正则奇点邻域内的幂级数解法
二阶线性齐次常微分方程
x 2 y" xy ' (x 2 v 2)y 0 (0 x b)
(7-3-1)
称为贝塞尔方程。
现在， 在 x = 0 的邻域求解贝塞尔方程。
(1) 级数解的形式
由 7.1 节二阶线性齐次常微分方程的标准形式可知
(2) 当 不为整数时， J (x) 与 J – (x) 线性无关
实际上，当 x → 0 时
J
v
(
x)
(
x 2
)v
n0
(1)n n！(v n
1)
(
x 2
)2n
（ x）v 1 0 2 (v 1)
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法
x' xky' xk' y x'' xky'' 2xk ' y' xk ''y
(4.70)
第三步: 令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 与 x 1 线 性 无 关 一 个 解 :
第四步:
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
(4.69)的通解为
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
( 不 失 一 般 性 , 可 设 x 0 0 )
常微分方程
定理10 若 方 程 ( 4 . 7 2 ) 中 系 数 p ( x ) 和 q ( x ) 都 可 展 成 x 的
幂 级 数 , 且 收 敛 区 间 为 x R ,则 方 程 (4 .7 2 )有 形 如
y= anxn,
(4.73)
且 z i (x x k i) ',i 1 ,2 , ,k 1 是 ( 4 .6 7 ) 的 k 1 个 线 性 无 关 的 解
事实上 由 x 1 ,x 2 ,,x k 1 为 ( 4 . 2 ) 的 解 及 以 上 变 换 知 ,
2019/11/11
z
( x xk
)'或常x微分方x程k
将这些表达式代入(4.59)可得:
F(x,y,ydy,y(dy)2y2d2y, )0 dx dx dx2
一般非线性微分方程的解法及应用
一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。
与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。
在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。
一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。
现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。
步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。
例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。
则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。
例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。
可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。
微分方程中的正则形式求解及其应用
微分方程中的正则形式求解及其应用微分方程是数学中的重要分支之一，其研究内容是描述自然界中各种变化过程的数学模型。
微分方程的求解是应用数学的重要部分，其背后涉及到许多数学原理和方法。
正则形式求解是一种广泛应用于微分方程求解中的方法。
在本文中，将探讨正则形式求解在微分方程中的应用，包括其基本原理、求解方法以及具体应用案例。
一、正则形式求解的基本原理正则形式求解，也称为级数解法，是微分方程求解中的一种常用方法。
它的基本原理是将微分方程转化成方程的级数形式，然后逐项求解得到该微分方程的通解。
正则形式求解的优点在于，它可以求解一些非线性微分方程，通常更为简便易行。
正则形式求解的基本思路是从微分方程的解出发，考虑解的形式。
对于大多数的微分方程，我们并不能直接得出其解析解式，因此我们考虑求解约数方程的幂级数解。
显然，幂级数解是可以拆分成各项系数所组成的级数的形式。
于是我们可以将其拆解为：$$ y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$将上式代入微分方程中，然后可以将微分算子“D” 变为幂级数形式。
通过代入后，我们可以得到其各个阶次的系数通解，从来解得微分方程的解析解。
正则形式求解的核心在于，我们将函数转变成其级数形式，引入到微分方程中，将微分方程化为纯量级数的形式。
通常来讲，在微分方程中，我们需要计算各高阶项的移项和归纳项。
幂级数解法作为一种代数式的计算方法，能够处理这种类型的问题。
这其中涉及了一些重要的数学工具，比如求和、级数收敛，特别是Gamma函数等函数的运用。
二、正则形式求解的求解方法对于微分方程中的正则形式求解，首先要确定其级数解形式，然后通过将其代入到微分方程中，求解其各高阶项的移项和归纳项，由此导出其通解。
在实际求解中，我们通常会按照如下步骤进行：1. 首先，我们需要将微分方程转化为幂级数形式，表示成函数的幂级数形式：$$ y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$2. 然后，我们将其代入到微分方程中，将微分算子 D 变为幂级数求解。