上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编5：数列-Word版含答案

上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列一、填空题1 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）设20πθ<<,θcos 21=a ,n n a a +=+21,则数列{}n a 的通项公式=n a _______.2 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,对正方形纸片ABCD 进行如下操作:第一步,过点D 任作一条直线与BC 边相交于点1E , 记11CDE α∠=;第二步,作1ADE ∠的平分线交AB 边于点2E ,记22ADE α∠=;第三步,作2CDE ∠的平分线交BC 边于点3E ,记33CDE α∠=;按此作法从第二步起重复以上步骤,得到12,,,,n ααα,则用n α和1n α+表示的递推关系式是1n α+=____________.α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCBA α1α3第14题图3 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第i 行、第j 列的元素,其中第1行的元素均为1,第1列的元素为n ,,3,2,1 ,且1,11,,i j i j i j a a a +++=+(i 、1,,3,2,1-=n j ),则=∞→2,3limn a n n ____________.4 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a (*∈N n ).①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列; ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件; ③若{}n a 为单调递增数列,则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞;④只要k k k k a 232311--≠+,其中*∈N k ,则n n a ∞→lim 一定存在; 其中正确命题的序号为__________.5 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a 中,若11,65n a a ==,则n d +的最小值等于_________________.6 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）等差数列{}n a 的前10项和为30,则14710a a a a +++=_____.7 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ,称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”,则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为_____________.8 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）数列{}n a 的通项2sinπn n a n⋅=,前n 项和为n S ,则=13S ____________.9 ．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1________10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)设数列{}n a 是公差不为零的等差数列,6,231==a a ,若自然数,...,...,21k n n n 满足......321<<<<<k n n n ,且,......,,131k n n a a a a 是等比数列,则k n =_______________.二、解答题 11．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列{}n a 与}{n b 满足:对任意*∈N n ,都有()21n n n ba b S -=-,12-⋅-=n n n n a b .其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)当2b =时,求}{n b 的通项公式,进而求出{}n a 的通项公式; (2)当2≠b 时,求数列{}n a 的通项n a 以及前n 项和n S .12．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0,公差为12的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()*42()15n an b n N =⋅-∈,对任意的正整数k ,将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为k d ,求k d ;(3)对(2)题中的k d ,设1(1,5)A d ,2(2,5)B d ,动点,M N 满足MN AB =,点N 的轨迹是函数()y g x =的图像,其中()g x 是以3为周期的周期函数,且当(]0,3x ∈时,()lg g x x =,动点M 的轨迹是函数()f x 的图像,求()f x .13．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈,若数列}{n a 同时满足下列两个条件,则称数列}{n a 具有“性质m ”:①122++<+n n n a a a ; ②存在实数M ,使得M a n ≤成立.(1)数列}{n a 、}{n b 中,n a n =、6sin 2πn b n =(5,4,3,2,1=n ),判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”;(2)若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ,且413=c ,473=S ,求证:数列}{n S 具有“性质m ”;(3)数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=(*N n ∈).对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈,数列}{n d 具有“性质m ”,求实数t 的取值范围.14．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分. 已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ,满足a b c ≤<(1)在,a b 之间插入2011个数,使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ,且它们的和为2013,求的最小值.(2)已知,,a b c 均为正整数,且,,a b c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列n S S S S ,,,,321 ,求n n n S S S S T )1(321-++-+-= (*∈N n ).(3)已知,,a b c 成等比数列,若数列{}n X ()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.15．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点,过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点,交Γ于2P 点;过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点,交Γ于3P 点;过3P 点作倾斜角为120的直线,交x 轴于3Q 点,交Γ于4P 点;如此下去.又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为123,,,,,n a a a a L L ,数列{}n a 的前n 项的和为n S . (1)求12,a a ; (2)求n a ,n S ;(3)设(01)n an b a a a =>≠且,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若正整数,,,p q r s 成等差数列,且p q r s <<<,试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小.解:16．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且21=a ,3)1(1++=+n n S na n n .从}{n a 中抽出部分项,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列,设该等比数列的公比为q , 其中*1,1N n k ∈=. (1)求2a 的值;(2)当q 取最小时,求}{n k 的通项公式; (3)求n k k k +++ 21的值.17．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列{}n a 具有性质:①1a 为整数;②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=; 当n a 为奇数时,112n n a a +-=. (1)若164a =,求数列{}n a 的通项公式; (2)若123,,a a a 成等差数列,求1a 的值;(3)设123m a =-(3m ≥且m ∈N),数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:125m n S m +≤--.黄浦区2013年高考模拟考数学试18．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知复数i b a z n n n ⋅+=,其中R a n ∈,R b n ∈,*∈N n ,i 是虚数单位,且i z z z n n n 221++=+,i z +=11.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)求和:①n z z z +++ 21;②n n b a b a b a +++ 2211.19．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）已知数列}{n a 对任意的,2≥n *N n ∈满足:n n n a a a 211<+-+,则称}{n a 为“Z 数列”.(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z 数列”;(2)若正数列{}n b ,数列{}n b lg 是“Z 数列”,数列{}n b 是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列{}n c ,使得{}n c 是“Z 数列”;(3)若数列}{n a 是“Z 数列”,设,,,,*t s N m t s <∈且求证.s t m s m t a a a a -<-++20．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(文)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且对于任意*N ∈n ,总有)1(2-=n n a S . (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成等差数列,当公差d 满足43<<d 时,求n 的值并求这个等差数列所有项的和T ;(3)记)(n f a n =,如果)log(2m n f n c n ⋅⋅=(*N ∈n ),问是否存在正实数m ,使得数列}{n c 是单调递减数列?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列参考答案一、填空题 1. 12cos2-n θ2. 24nπα-3. 214. ①④.5. 17;6. 12;7. 9;8. 7;9.43 10. (文)13+k二、解答题11.解:由题意知12a =,且()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ① (1)当2b =时,由①知122nn n a a +=+于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠,所以{}12n n a n --⋅是首项为1,公比为2的等比数列.故知,12-=n n b , 再由12-⋅-=n n n n a b ,得()112n n a n -=+.(2)当2b ≠时,由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--22n n b ba b =-⋅-122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭若0=b ,⎩⎨⎧≥==-.2,2,1,21n n a n n ,nn S 2=若1=b ,nn a 2=,221-=+n n S若10、≠b ,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--n n b a 221是以b b --2)1(2为首项,以b 为公比的等比数列,故 12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a , ()[]122221--+-=n n n b b b a()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b b b b S2(2)2n n n b S b-=-1b =时,122n n S +=-符合上式所以,当0≠b 时,2(2)2n n n b S b-=-12.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分8分.解: (1)由条件得10(1)2n S n n =+-,即(1)2n nS n =- 所以*1()n a n n N =-∈(2) 由(1)可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈, 所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅,2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅222144(2)21515k k k b +=-=⋅由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅= (3)由(2)得(1,4),(2,16)A B ,即(1,12)MN AB == 当33(1)()m x m m Z <≤+∈时,033x m <-≤,由()g x 是以3为周期的周期函数得,()(3)lg(3)g x g x m x m =-=-, 即()lg(3)g x x m =-(333())m x m m Z <≤+∈设(,)M x y 是函数()y f x =图象上的任意点,并设点N 的坐标为(,)N N x y , 则112N N x x y y -=⎧⎨-=⎩而lg(3)N N y x m =-(333())N m x m m Z <≤+∈,于是,12lg(13)y x m +=+-(3133())m x m m Z <+≤+∈, 所以,()lg(13)12f x x m =+--(3132())m x m m Z -<≤+∈13.解:(1)在数列}{n a 中,取1=n ,则23122a a a ==+,不满足条件①,所以数列}{n a 不具有“m 性质”;在数列}{n b 中,11=b ,32=b ,23=b ,34=b ,15=b ,则2312323b b b =<=+,3422432b b b =<=+,4532323b b b =<=+,所以满足条件①;26sin2≤=πn b n (5,4,3,2,1=n )满足条件②,所以数列}{n b 具有“性质m ”(2)由于数列}{n c 是各项为正数的等比数列,则公比0>q ,将413=c 代入=3S 473323=++c qc q c 得, 0162=--q q ,解得21=q 或31-=q (舍去) 所以11=c ,121-=n n c ,1212--=n n S对于任意的*N n ∈,122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ,且2<n S 所以数列}{n S 满足条件①和②,所以数列}{n S 具有“m 性质” (3)由于n d n tn t 213--=,则1121)1(3++-+-=n n n t t d ,2221)2(3++-+-=n n n t t d 由于任意]100,3[∈n 且*N n ∈,数列}{n d 具有“性质m ”,所以122++<+n n n d d d即+-n tn 21221)2(+-+n n t 121)1(2+-+⨯>n n t ,化简得,1)2(>-n t , 即21->n t 对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈恒成立,所以1>t ①1121)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =121)1(+--n n t 由于]100,3[∈n 及①,所以n n d d >+1 即]100,3[∈n 时,数列}{n d 是单调递增数列,所以}{n d 最大项的值为100100211003--=t t d 满则条件②只需M t t ≤--100211003即可,所以这样的M 存在② 所以1>t 即可14.解:(1){}n a 是等差数列,∴20132)(2013=+⋅b a ,即2=+b a所以2222≥=+= b a c ,的最小值为2;(2)设,,a b c 的公差为()d d Z ∈,则222()(2)a a d a d ++=+, 3a d ∴= 设三角形的三边长为3,4,5d d d , 面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,26n S n =, 当n 为偶数时,)4321(622222321n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=n n n 33)4321(62+=++++++= ;当n 为奇数时,n n n n n S T T n n n 336)1(3)1(32221--=--+-=-=-; 综上,)33()1(2n n T n n +-=(3)证明:因为,,a b c 成等比数列,ac b =2由于,,a b c 为直角三角形的三边长,知22c ac a =+,251+=a c ,()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nnn X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n nnn n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X12+n n n X X X ++∴=,则有)222+=故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形15. [解] (1)如图,由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形,得点1P的坐标为1(2a ,又1P 1(2a 在抛物线2y x =上,所以211342a a =,得123a =同理2P 22(,32a +在抛物线2y x =上,得243a = (2)如图,法1:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-,因此,点n P的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 消去x210n y --= ,所以y =又3sin 602n n y aa =⋅=,故31n a =从而21324n n n a a S --= ① 由①有211324n n n a a S ++-= ②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=,又0n a >,于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数,12(1)3n a a n d n =+-= (文)1()1(1)23n n a a n S n n +==+ 文2分 法2:点1n Q -的坐标为123(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=)n S Q S -点与原点重合，,所以直线1n n Q P -的方程为1)n y x S --或1)n y x S -=-因此,点(,)n P x y的坐标满足21)n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=,又12n n a x S -=+,所以213()22n n n a a S -=+,从而21324n n n a a S --= ①以下各步同法1法3:点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以1(,)22n nn n a P S -+,又1()22n n n n a P S -+在抛物线2y x =上,得21342n n n a a S -=+ 即21324n n n a a S --=以下各步同法1(3)(文)因为2(1)231323n n n nb aa b a++==,所以数列{}n b 是正项等比数列,且公比2301q a =≠,首项2310b a q ==, 因正整数,,,p q r s 成等差数列,且p q r s <<<,设其公差为d ,则d 为正整数,所以q p d =+,2r p d =+,3s p d =+则100(1)1p p b q T q -=-,100(1)1p d q b q T q +-=-,2100(1)1p d r b q T q +-=-,3100(1)1p d s b q T q +-=-p s T T ⋅q r T T -⋅=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p db q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- 而23200000000()()(1)(1)p dp d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---2000(1)()dp p d q q q +=--22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d d q q q q q q =--=---因为01a a >≠且,所以230001q a q =>≠且,又d 为正整数,所以0(1)d q -与20(1)dq -同号, 故2000(1)(1)0---<p d dq q q ,所以,p s T T ⋅q r T T <⋅(第(3)问只写出正确结论的,给1分)16.本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.解:(1)令1=n 得321112⋅+=⋅a a ,即3212=-a a ;又21=a 382=⇒a (2)由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na nn n +=--⇒+321=-⇒+n n a a , 所以数列}{n a 是以2为首项,32为公差的等差数列,所以)2(32+=n a n . 解法一:数列}{n a 是正项递增等差数列,故数列}{n k a 的公比1>q ,若22=k ,则由382=a 得3412==a a q ,此时932)34(223=⋅=k a ,由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=,所以22>k ,同理32>k ;若42=k ,则由44=a 得2=q ,此时122-⋅=n k n a 组成等比数列,所以)2(32221+=⋅-m n ,2231+=⋅-m n ,对任何正整数n ,只要取2231-⋅=-n m ,即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项.最小的公比2=q .所以2231-⋅=-n n k .解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列,故数列}{n k a 的公比1>q ,设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列,则3122k k k a a a ⋅=,即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3,即可设N t t t k ∈≥=+,2,322,当数列}{n k a 的公比q 最小时,即42=k ,2=⇒q 最小的公比2=q .所以2231-⋅=-n n k .(3)由(2)可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列,其中11=k ,那么}{n k a 的公比是322+=k q ,其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232.)2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ,N t t ∈≥,2 所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n17.本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.(1)由61642a ==,可得522a =,432a =,,162a =,072a =,81102a -==,90a =,, 即{}n a 的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0故数列{}n a 的通项公式为72(17,)0,(8,)n n n n a n n -⎧≤≤∈=⎨≥∈⎩, N N(2)若14()Z a k k =∈时,1222a a k ==,232aa k ==, 由123,,a a a 成等差数列,可知即2(2)4k k k =+,解得0k =,故10a =; 若141()Z a k k =+∈时,12122a a k -==,232aa k ==, 由123,,a a a 成等差数列,可知2(2)(41)k k k =++,解得1k =-,故13a =-; 若142()Z a k k =+∈时,12212a a k ==+,2312a a k -==, 由123,,a a a 成等差数列,可知2(21)(42)k k k +=++,解得0k =,故12a =; 若143()Z a k k =+∈时,121212a a k -==+,2312a a k -==,由123,,a a a 成等差数列,可知2(21)(43)k k k +=++,解得1k =-,故11a =-; ∴1a 的值为3,1,0,2--(3)由123m a =-(3m ≥),可得1121222m a a --==-, 223212m a a -==-,3341212m a a --==-, 若21()N*tk a t =-∈,则k a 是奇数,从而1112112122t t k k a a -+---===-,可得当31n m ≤≤+时,121m n n a -+=-成立 又01210m a +=-=,20m a +=,故当n m ≤时,0n a >;当1n m ≥+时,0n a = 故对于给定的m ,n S 的最大值为12m a a a +++1231(23)(22)(21)(21)(21)m m m m ---=-+-+-+-++-1211(2222)325m m m m m m --+=++++--=--,故125m n S m +≤--18.解:(1) i i b a z +=⋅+=1111,∴11=a ,11=b .由iz z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列,数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列,∴13-=n n a ,12-=n b n (2)由(1)知13-=n n a ,12-=n b n .①i n i b b b a a a z z z nn n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ②令n n n b a b a b a S +++= 2211,)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n (Ⅰ)将(Ⅰ)式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S nn (Ⅱ) 将(Ⅰ)减(Ⅱ)得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S nn n .)22(322+-+-=-n S n n ,13)1(+⋅-=n n n S19.解:(1)设等差数列{}n a 的首项1a ,公差d ,d n a a n )1(1-+=0)1(22)2(211111=----+++=-+-+d n a d n a nd a a a a n n n所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” 或者根据等差数列的性质:n n n a a a 211=+-+ 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列” (2)假设{}n a lg 是等比数列,则n a 是“Z 数列”,所以n n n a a a lg 2lg lg 11<+-+211n n n a a a <⋅∴-++,所以{}n a 不可能是等比数列,等比数列()1,0111≠<⋅=-q c q c c n n 只要首项01<c 公比1≠q其他的也可以:()02<++=a c bn an c n)0(4<=a an c n等比数列{}n c 的首项1c ,公比q ,通项公式11-⋅=n n q c c112111122---+⋅-⋅+⋅=-+n n n n n n q c q c q c c c c ()()0112221221<-⋅⋅=+-⋅=--q q c q q q c n n 恒成立,01<∴c补充说明:分析:11-+-<-n n n n a a a a ,)1()1(11---<-+--+n n a a n n a a n n n n根据几何意义只要()n f c n =的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为s s s a a b -=+1,121+++-=s s s a a b ,232+++-=s s s a a b ,,11---=t t t a a b项一共1211211+---+---+++=-++-+-=-s t s t t s s t t t t s t b b b a a a a a a a a同理:项一共1211211+-+-+-++++-+-+-+++++++=-++-+-=-s t ms m t m t m s m s t m t m m t m t m s m t b b b a a a a a a a a因为数列}{n b 满足对任意的,1*n n b b N n <∈+均有所以,,,,2211s m s m t t m t t b b b b b b >>>+-+--+-m s m t s t a a a a ++->-20. (文)(1)当1=n时,由已知)1(211-=a a ,得21=a .当2≥n 时,由)1(2-=n n a S ,)1(211-=--n n a S ,两式相减得122--=n n n a a a , 即12-=n n a a ,所以}{n a 是首项为2,公比为2的等比数列. 所以,n n a 2=(*N ∈n ) (2)由题意,d n a a n n )1(1++=+,故11+-=+n a a d n n ,即12+=n d n, 因为43<<d ,所以4123<+<n n,即44233+<<+n n n ,解得4=n ,所以516=d .所以所得等差数列首项为16,公差为316,共有6项 所以这个等差数列所有项的和T 1442)3216(6=+⋅=所以,4=n ,144=T(3)由(1)知nn f 2)(=,所以)log(2m n f n c n ⋅⋅=222log log22m n mn n n ⋅⋅⋅=⋅=n n m m n m n n n 22log log 2)2(222⋅=⋅=⋅=⋅由题意,n n c c <+1,即n n m n m n 222)1(⋅<⋅++对任意*N ∈n 成立,所以12+<n n m 111+-=n 对任意*N ∈n 成立 因为111)(+-=n n g 在*N ∈n 上是单调递增的,所以)(n g 的最小值为21)1(=g .所以212<m .由0>m 得m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0.所以,当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,0m 时,数列}{n c 是单调递减数列。