椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
圆锥曲线大结论——终极版
二、基本性质与结论1. 椭圆焦点三角形基本结论R r ,分别为21F PF ∆的内接圆半径和外接圆半径，21A A 分别为椭圆左右端点，I 为内接圆圆心，n PF m PF ==21,， φθγβ=∠=∠=∠=∠21211221,,,PA A PF F F PF F PF B 为PI 的延长线交于x 轴的交点。
[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=-∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⇒≤≥≥⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+=⇒-+=∆∆a C b mn S c a c b b a b n m a b mn e a b b ae a n m b mn mn c n m ABF F PF 42tan sin 21,,2,2cot 12cot ,2tan 2sin 2cos 1224cos 221222222222222222222；，θθφφφθθθ()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-⇒+=-⇒=⇒=⇒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=<⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++=+=PI c a PI c a c a PI r PI r c a PI r r c a c a e e e e e R c c a R r a b a c e 2cos 12sin 2tan 2sin 2sin :2cos 2tan ,121122sin 112sin 2tan 11sin sin sin sin sin sin 2222222θθθθθθθθθθγβγβγβθ 双曲线焦点三角形，n PF m PF ==||,||21，12F PF θ∠=；122tan2F PF b S θ∆=.[)[)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞-∈+∞∈-=⇒-+=∆2cot sin 21,,cos 1224cos 222222221θθθθb mn S b n m b mn b mn mn c n m F PF 2.椭圆上的点与焦点距离的最大值为c a +，最小值为c a -椭圆16822=+y x 上存在n 个不同的的点n P P P ,,11，椭圆的右焦点为F ，数列{}F P n是公差大于51的等差数列，2222>-+=∆m k a b 2222222212k a b b ka y x y x +-=+2222212k a b kma x x +-=+；2222212k a b mb y y +=+22222221)k a b b m a x x +-=⋅（；222222221)(k a b k a m b y y +-=⋅2222222212||k a b m k a b k ab AB +-++=；2222222||ka b m k a b m ab S AOB +-+=∆02222>+-=∆m k a b ；2222222212k a b b ka y x y x --=+2222212k a b kma x x -=+；2222212k a b mb y y -=+22222221)k a b b m a x x -+-=⋅（；222222221)(k a b k a m b y y --=⋅2222222212||k a b m k a b k ab AB -+-+=；2222222||k a b m k a b m ab S AOB-+-=∆则n 的最大值是（ B ） A.16 B.15 C.14 D.13 3.乌龟模型：针对共焦点问题①．()()θθθθθθsin 2sin 1;2cot 2tan 12cos 2sin 2122121222221212212≥≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒≥-=-=+e e e e e e a c c a ee②．已知椭圆()01:112122121>>=+b a b y a x C 与双曲线()001:222222222>>=+b a b y a x C ，焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则222122212122b b e b e b +=+证明：2122221222222221221222222122212122)()(b b c b b c c b c b c b a c b a e b e b +=-++=+=+，222122212122b b e b e b +=+∴ 解析：12822=-y x 例：已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为：（ ） 4.圆锥曲线硬解定理： 注意焦点若在y 轴上，下列公式只需互换.,22b a1;直线m kx y +=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 相交于B A ,两点。
关于椭圆切割线轨迹方程的几道题目
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４６㊀关于椭圆切割线轨迹方程的几道题目关于椭圆切割线轨迹方程的几道题目Һ杨光照㊀（陕西省兴平市南位中学，陕西㊀咸阳㊀７１２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文试图通过几道题目探求有关椭圆切割线的几何特性，证明过程 大胆猜想，小心求证 ，将抽象的椭圆方程和形象的几何图形联系起来，利于对椭圆几何特性的进一步探索，也有利于解析几何的教授和理解．后面延伸了一道费马大定理三阶题目的证明，采用了微分的思想，强调了抽象思维在求解数学问题中的重要作用．ʌ关键词ɔ椭圆；切割线；轨迹方程；解析几何；费马大定理１．关于椭圆两条互相垂直切线轨迹的论证．已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），由椭圆外任意一点Ｑ引椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，求Ｑ点的轨迹．证法１：由满足题设条件的四点Ａ（ａ，ｂ），Ｂ（－ａ，ｂ），Ｃ（－ａ，－ｂ），Ｄ（ａ，－ｂ）共圆，猜想Ｑ点的轨迹为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２．原命题转化为从ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点向椭圆引两条切线，若切线垂直，则得证．设ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点Ｍ的坐标为（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ），ｒ＝ａ２＋ｂ２，θ为参数．由Ｍ点向椭圆引一条切线，则切线方程为ｙ－ｒｓｉｎθ＝ｋ（ｘ－ｒｃｏｓθ），得出ｙ＝ｋ（ｘ－ｒｃｏｓθ）＋ｒｓｉｎθ．代入椭圆方程，整理成关于ｘ的一元二次方程，得（ｂ２＋ａ２ｋ２）ｘ２＋２ａ２ｋｒ（ｓｉｎθ－ｋｃｏｓθ）ｘ＋ａ２ｒ２（ｋ２ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ）－ａ２ｒ２ｋｓｉｎ２θ－ａ２ｂ２＝０，由Δ＝０得出关于ｋ的一元二次方程，整理得（ａ２ｓｉｎ２θ－ｂ２ｃｏｓ２θ）ｋ２＋（ａ２＋ｂ２）ｓｉｎ２θｋ＋ｂ２ｃｏｓ２θ－ａ２ｓｉｎ２θ＝０．ȵｋ１㊃ｋ２＝ｂ２ｃｏｓ２θ－ａ２ｓｉｎ２θａ２ｓｉｎ２θ－ｂ２ｃｏｓ２θ＝－１，ʑ两条切线垂直，即证．证法２：由Ｈ（ｍ，ｎ）向椭圆引两条切线，两切点分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则切线方程为ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１，①㊀ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１．②由①②式，知ｂ４㊃ｘ１ｘ２ａ４㊃ｙ１ｙ２＝－１，③（斜率乘积＝－１），即ｂ４㊃ｘ１ｘ２＋ａ４㊃ｙ１ｙ２＝０．过这两点的割线方程为ｍｘ１ａ２＋ｎｙ１ｂ２＝１，ｍｘ２ａ２＋ｎｙ２ｂ２＝１，即ｍｘａ２＋ｎｙｂ２＝１．④已知椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，⑤由④式得ｙ＝－ｍｂ２ｎａ２ｘ＋ｂ２ｎ，代入⑤，整理成关于ｘ的一元二次方程．可推出ｘ１㊃ｘ２＝ａ４ｂ４－ａ４ｂ２ｎ２ｍ２ｂ４＋ａ２ｂ２ｎ２，同理将ｘ＝－ｎａ２ｍｂ２ｙ＋ａ２ｍ代入⑤，整理得ｙ１㊃ｙ２＝ａ４ｂ４－ａ２ｂ４ｍ２ｎ２ａ４＋ａ２ｂ２ｍ２．把ｘ１㊃ｘ２，ｙ１㊃ｙ２得出的值代入③式，整理得ｍ２＋ｎ２＝ａ２ｂ２，得证．２．已知椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２㊃ｂ２，一条直线ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０和椭圆相交，交点为Ｅ，Ｆ，求证：ＥＯ线段，ＯＦ线段所构成的轨迹方程为ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２㊃ｂ２㊃ｌｘ＋ｍｙｍｎ()２．证明：㊀设ＥＯ线段ｙ＝ｋ１ｘ，ＯＦ线段ｙ＝ｋ２ｘ．则ＥＯ线段，ＯＦ线段的轨迹方程为（ｙ－ｋ１ｘ）㊃（ｙ－ｋ２ｘ）＝ｙ２－（ｋ１＋ｋ２）ｘｙ＋ｋ１ｋ２ｘ２＝０．设Ｅ（ｘ１，ｋ１ｘ１），Ｆ（ｘ２，ｋ２ｘ２）．把Ｅ代入ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０，求出ｋ１＝－ｌｘ１＋ｎｍｘ１．同理，Ｆ代入直线，得ｋ２＝－ｌｘ２＋ｎｍｘ２，ｋ１㊃ｋ２＝ｌ２ｘ１ｘ２＋ｎｌ（ｘ１＋ｘ２）＋ｎ２ｍ２ｘ１ｘ２，ｋ１＋ｋ２＝－２ｌｍｘ１ｘ２＋ｎｍ（ｘ１＋ｘ２）ｍ２ｘ１ｘ２éëêêùûúú．把ｌｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０整理成ｙ＝－ｌｘ＋ｎｍ，代入椭圆方程，得ｘ１ｘ２＝ａ２ｎ２－ａ２ｂ２ｍ２ｂ２＋ａ２ｌ２，ｘ１＋ｘ２＝－２ａ２ｎｌｍ２ｂ２＋ａ２ｌ２．则可求出ｋ１㊃ｋ２＝ｂ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｌ２ａ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｍ２，ｋ１＋ｋ２＝２ａ２ｂ２ｍｌａ２ｎ２ｍ２－ａ２ｂ２ｍ２，再代入ｙ２－ｋ１＋ｋ２()ｘｙ＋ｋ１ｋ２ｘ２＝０，得ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２㊃ｌｘ＋ｍｙｍｎ()２．则轨迹得证．３．关于ｎ３＋ｋ３，即ｎ＋ｋ－（ｘ＋１）＜３ｎ３＋ｋ３＜ｎ＋ｋ－ｘ的论证．考查曲线ｙ＝（ｎ＋ｋ－ｘ）３（ｎȡｋ＞０，ｎ，ｋ，ｘ都是正整数）．取ｘ０ɪｘ，使得ｎ＋ｋ－ｘ０是３ｎ３＋ｋ３所有上限正整数集合中的最小正整数，则有ｎ＋ｋ－ｘ０＋１()[]３ɤｎ３＋ｋ３＜（ｎ＋ｋ－ｘ０）３（ｘ０＜ｋ）．不妨设ｎ３＋ｋ３＝ｎ＋ｋ－（ｘ０＋Δｘ）[]３，则１ȡΔｘ＞０，即０＜Δｘ＜１或Δｘ＝１．若Δｘ＝１，则有ｎ３＋ｋ３＝ｎ＋ｋ－（ｘ０＋Δｘ）[]３＝［ｎ＋ｋ－（ｘ０＋１）］３．因为ｘɤｋ－１，即ｘ＋１ɤｋ，ｎ３＋ｋ３ȡｎ３，故ｋ３ȡ０，则ｋȡ０，与ｋʂ０矛盾．若０＜Δｘ＜１，则ｘ＜ｘ＋Δｘ＜ｘ＋１．故ｎ＋ｋ－（ｘ＋１）[]３＜ｎ＋ｋ－ｘ＋Δｘ()[]３＜ｎ＋ｋ－ｘ()３，故原㊀㊀㊀解题技巧与方法１４７㊀㊀式得证．４．关于三角形内切圆㊁外接圆㊁旁切圆关系的论证．（１）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，则有Ｒȡ２ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ时，Ｒ＝２ｒ．证明㊀ｒ＝Ｓ－ａ()ｔａｎＡ２＝ａ＋ｂ＋ｃ２－ａ()ｔａｎＡ２＝ｂ＋ｃ－ａ２㊃ｔａｎＡ２＝２ＲｓｉｎＢ＋２ＲｓｉｎＣ－２ＲｓｉｎＡ２㊃ｔａｎＡ２＝ＲｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２＝Ｒ２ｓｉｎＢ＋Ｃ２ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２＝Ｒ２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ()ｔａｎＡ２ɤＲ２ｃｏｓＡ２－２ｓｉｎＡ２ｃｏｓＡ２()ｔａｎＡ２＝２ＲｃｏｓＡ２１－ｓｉｎＡ２()ｔａｎＡ２＝２ＲｓｉｎＡ２１－ｓｉｎＡ２()ɤ２ＲｓｉｎＡ２＋１－ｓｉｎＡ２()２éëêêêùûúúú２＝１２Ｒ，取等号的条件为Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ，得证．（２）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，ＢＣ边上的旁切圆半径为ｒａ，若øＡȡøＢȡøＣ，则有ｒａȡ３２Ｒȡ３ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．证明㊀设ＢＣ边上的旁切圆的圆心为Ｏ３，与边ＢＣ的切点为Ｈ，则有ＳәＢＯ３Ｃ＝２ＲｓｉｎＡ()２ｓｉｎπ－Ｂ２()ｓｉｎπ－Ｃ２()２ｓｉｎπ－Ｂ＋Ｃ２()＝２Ｒ２ｓｉｎ２ＡｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２ｃｏｓＡ２，①ＳәＢＯ３Ｃ＝１２ＢＣ㊃Ｏ３Ｈ＝１２㊃２ＲｓｉｎＡ㊃ｒａ＝ＲｓｉｎＡ㊃ｒａ．②①②联立，则有ｒａ＝２ＲｓｉｎＡｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２ｃｏｓＡ２＝４ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２＝２ｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２()２ＲｃｏｓＣ２＝ｓｉｎＡ＋Ｂ２＋ｓｉｎＡ－Ｂ２()２ＲｃｏｓＣ２＝ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ－Ｂ２()２ＲｃｏｓＣ２＝２Ｒｃｏｓ２Ｃ２＋２ＲｃｏｓＣ２ｓｉｎＡ－Ｂ２ȡ２Ｒｃｏｓ２Ｃ２．ȵøＣɤ６０ʎ，ｃｏｓＣ２ȡ３２，ʑｒａȡ２Ｒｃｏｓ２Ｃ２ȡ３２Ｒȡ３ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．（３）已知әＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆半径为Ｒ，ＢＣ边上的旁切圆半径为ｒａ，若øＡɤøＢɤøＣ，则有３ｒɤｒａɤ３２Ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．证明㊀ｒａ＝４ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２＝２ＲｓｉｎＡ２２ｃｏｓＢ２ｃｏｓＣ２()＝２ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ＋Ｃ２＋ｃｏｓＢ－Ｃ２()＝２ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＢ－Ｃ２()＝２Ｒｓｉｎ２Ａ２＋２ＲｓｉｎＡ２ｃｏｓＢ－Ｃ２．ȵøＡɤ６０ʎ，ｓｉｎＡ２ɤ１２且ｃｏｓＢ－Ｃ２ɤ１，ʑｒａɤＲ２＋Ｒ＝３２Ｒ．又ȵｒｒａ＝ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｃｏｓＢ＋Ｃ２ｃｏｓＢ－Ｃ２＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２ɤ１－ｃｏｓＢ＋Ｃ２１＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝１－２ｃｏｓＢ＋Ｃ２１＋ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝１－２１ｃｏｓＢ＋Ｃ２＋１ɤ１－２１１２＋１＝１３，ʑ３ｒɤｒａɤ３２Ｒ，当且仅当Ａ＝Ｂ＝Ｃ时，等号成立．ʌ参考文献ɔ［１］玉云化．椭圆㊁双曲线与相关圆生成的轨迹方程［Ｊ］．数学通讯：教师阅读，２０１２（０１）：３７－４０．［２］饶志明．与椭圆切线相关的定值定点定直线问题［Ｊ］．中学数学教学参考：上旬，２０１６（１５）：３１－３２．［３］许少华．椭圆标准方程的求法［Ｊ］．数理天地：高中版，２０１１（０６）：１４－１５．。
椭圆切线与蒙日圆
蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。
如图，设椭圆的方程是22221x y a b +=。
两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。
求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。
证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：(),P a b ±±它必定在圆2222x y a b +=+上。
现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。
可设两条切线方程如下：:PM y kx m =+ 1:PN y x n k=-+联立两切线方程错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
可求出交点P 的坐标为：()222,11n m k nk m P k k -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：()2222222222111n m k nk m OP k k n k m k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+=+ 现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得：22222221210k km m x x a b b b ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：()22222211b m m b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得：()2222221b n k n b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为方便起见，令：22222,,,,a A b B m M n N k K =====这样错误!未找到引用源。
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就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出：M B AK =+，A N B K=+将错误!未找到引用源。
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圆锥曲线中的垂直问题解法
圆锥曲线中的垂直问题解法圆锥曲线是常见的数学曲线之一，在几何学和代数学中具有重要的地位。
垂直问题是学习圆锥曲线时经常会遇到的一个问题，它涉及到如何找到曲线上两点之间的垂线。
下面将详细介绍圆锥曲线中垂直问题的解法。
首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是在平面上的一个曲线，它可以通过一根固定在一个点上的线段和一个固定的点（焦点）来定义。
根据这个定义，圆锥曲线分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
1.椭圆：椭圆是一种闭合的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之和等于常数2a。
椭圆的中心在坐标原点上，a是椭圆的半长轴，且a>0。
对于椭圆上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
2.双曲线：双曲线是一种开口的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之差等于常数2a。
双曲线的中心在坐标原点上，a是双曲线的半长轴，且a>0。
对于双曲线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
3.抛物线：抛物线是一种开口的曲线，它的定义是到焦点（F）的距离等于直线的距离。
抛物线的焦点位于抛物线的上方，a是抛物线的焦距，且a>0。
对于抛物线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。
下面我们将分别介绍解决圆锥曲线中垂直问题的方法：1.椭圆：对于椭圆上的点P(x,y)，我们可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。
首先，我们需要求解椭圆的切线方程。
椭圆上任意一点(x0,y0)，它的切线方程为：(x-x0)/a^2 + (y-y0)/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
然后，我们得到的切线方程的斜率为k，所以垂线的斜率为-1/k。
最后，我们可以使用点斜式或一般式等方法求解曲线的垂直于切线的直线方程。
2.双曲线：对于双曲线上的点P(x,y)，我们也可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。
与椭圆类似，双曲线上任意一点(x0,y0)的切线方程为：(x-x0)/a^2 - (y-y0)/b^2 = 1。
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质
专题2 蒙日圆 微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质专题2 蒙日圆微点1 蒙日圆的定义、证明及其几何性质 【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质． 1．人物简介加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge ，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家．生于博恩的平民人家．蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师．接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师．26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员．29岁时任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授”．34岁时当选为科学院的几何学副研究员．38岁时被任命为法国海军学员的主考官．46岁时任海军部长8个月．51岁时任法国著名的综合工科学校校长．72岁在巴黎逝世．蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴．此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就．他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大．主要著作有：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等． 2．蒙日圆定义及其证明 先来看一道高考题：例1．（2014年高考广东理20）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)0，（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】（I ）可知c =222,3,954c e a b a c a ===∴==-=-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=．（II ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1l //x 轴时，对应2l //x 轴或2l x ⊥轴，可知()3,2P ±或()3,2P ±． ①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则20,k l ≠的斜率为1k-，1l 的方程为()00y y k x x -=-，联立22194x y +=，得()()()22200009418940kx k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()()()()22222200000018364940,44940k y kx y kx k y kx k ⎡⎤----+=∴--+=⎣⎦，整理得 ()22200009240xk x y k y --+-=（*），k ∴是方程（*）的一个根，同理1k-是方程（*）的另一个根，其中03x ≠±，∴点P 的轨迹方程为()22133x y x +=≠±，又()3,2P ±或()3,2P ±满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用．例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论（可以形象的称为筷子夹定理）： 【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．如图1，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，可设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），过P 的椭圆的切线方程为()()000y y k x x k -=-≠，由()002222,1,y y k x x x y a b ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-， 由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 斜率均存在且不为0时，设()00,P x y （0x a ≠±且0y b ≠±），切点()()()11221122,,,0A x y B x y x y x y ≠，则切线11222222:1,:1x x y y x x y yPA PB a b a b+=+=．()00,P x y 在切线,PA PB 上，1010202022221,1x x y y x x y ya b a b∴+=+=，由两点确定一条直线得直线AB 的方程为00221x x y ya b+=． ()()224412121212224412121212,,PA PBOA OB PA PB OA OB b x b x b x x y y y y b k k k k k k k k a y a y a y y x x x x a ⎛⎫⎛⎫=--==⋅=∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()(),1,2i i x y i =即在圆的方程为22221x y a b+=，又在直线AB ：00221x x y y a b +=上，222002222i i x y x x y y a b a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，可得()()242222422000020i i i i y y a y b a b x y b x a x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()()4224222240001222442242212000,OA OBOA OB b x a b x a y b y y b k k k k x x x a a a y b a y b ---∴===∴⋅=---， 又()()22404220PA PB OA OB PA PB y b b k k k k k k a x a -=∴=-，由已知222222000220,1,1,,PA PB y b PA PB k k x y a b x a-⊥∴⋅=-∴=-∴+=+∴-点P 的坐标满足方程2222x y a b +=+．①当题设中的两条互相垂直的切线,PA PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为(),a b ±或(),a b ±，此时点P 也在圆2222x y a b +=+上．综上所述：椭圆()222210x y a b a b+=>>两条互相垂直的切线,PA PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：2222x y a b +=+．先给出几个引理，然后给出证法三——蒙日圆的几何证法．【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）．证明：如图3所示，设P 为椭圆Γ（其左、右焦点分别是12,F F ）上任意给定的点，过点P 作12F PF ∠的外角平分线所在的直线()34l ∠=∠．先证明l 和Γ相切于点P，只要证明l 上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证1212P F P F PF PF +>+''．在直线1PF 上选取点F '，使2PF PF '=，得2ΔΔP PF P PF ≅'''①2ΔP PF '，①2P F P F ='''，可得1211112P F P F P F P F F F F P PF PF PF +=+>=+'''''+'='．再过点P 作12F PF ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得PA l ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立． 【引理2】过椭圆Γ（其中心是点O ，长半轴长是a ）的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则OH a =．证明：如图4所示，设点,F F '分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线,FH F A '交于点B ．由引理1，得FAH lAF BAH ∠=∠=∠'（即反射角与入射角的余角相等），进而可得ΔFAH ①BAH ∆，①点H 是FB 的中点，得OH 是ΔBFF '的中位线．又AF AB =，①()()1122OH F A AB F A AF a =+=+'='． 【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和． 证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）．【引理4】设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PA PC PB PD +=+． 证明：如图5所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．由引理3，可得()()2222222222PA PC OA OP OB OP PB PD +=+=+=+，即欲证成立．把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等． 下面给出定理1的证法三．证法三（几何法）：不妨设0,0a b >>．当a b =时，易证成立．下面只证明a b >的情形． 如图6所示．设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是12,F F ，焦距是2c ，过动点P 的两条切线分别是,PM PN ．连结OP ，作,OG PM OH PN ⊥⊥，垂足分别是,G H ．过点1F 作1F D PM ⊥，垂足为D ，由引理2得OD a =．再作1F K OG ⊥于K ．记1OF K θ∠=，得1cos DG F K c θ==．由Rt ΔODG ，得222222cos OG OD DG a c θ=-=-．又作22,F E PN F L OH ⊥⊥，垂足分别为,E L ．在Rt OEH ∆中，同理可得：222222sin OH OE HE a c θ=-=-．（1）若PM PN ⊥，得矩形OGPH ，①()()22222222222cos sin OP OG OH a c a c a b θθ=+=-+-=+（2）若222OP a b =+，得()()222222222cos sin OP a c a c OG OH θθ=-+-=+，由OG PM ⊥，得222OP OG GP =+，①GP OH =．同理，有OG HP =，①四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，①PM PN ⊥．由（1）（2）得点P 的轨迹方程是2222x y a b +=+，以上过程中的,a b ，分别是椭圆长半轴、短半轴长． 证法四（高等几何法）：蒙日圆的另一种叙述：中心为O 的椭圆外切矩形ABCD 的外切圆圆心也为O ，作椭圆的两条平行切线分别交圆O 于,,,A D B C ''''，则蒙日圆性质可以表示为A B ''及C D ''与椭圆相切． 证明：,A D B C ''''与椭圆相切且平行，由对称性知四边形A B C D ''''也为矩形．设,,,M N K Q 均为矩形ABCD 与A B C D ''''的边边交点（如图7），B A DA P ''=．逆推：要证A B ''与椭圆相切⇐六边形NDQMKB '的布列安桑定理B QKDMN S '⇐=⇐一对红色三角形笛沙格定理B D '⇐//KQ （KM //DN ，MQ //B N '⇐一对绿色三角形笛沙格逆定理（KQ //BD '//B D '）⇐BB '//PM //D D '123⇐∠=∠=∠（成立）．3．蒙日圆的几何性质：【定理2】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线,PA PB ，则PA PB ⊥．证明：设P 点坐标()00,x y ，由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式的值为0，得()()222222200000200x a k x y k y b x a --+-=-≠，PA k ，PB k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，220220PA PBy b k k x a -∴⋅=-，222200x y a b +=+，2202201PA PBy b k k x a -⋅==--，PA PB ⊥． 【定理3】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b +=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,OP AB 的斜率乘积为定值22OP ABb k k a⋅=-．【定理4】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA PA 的斜率乘积为定值22PA OA b k k a ⋅=-，且,OB PB 的斜率乘积为定值22OB PBb k k a⋅=-（垂径定理的推广）．【定理5】过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，O 为原点，则PO 平分椭圆的切点弦AB ．证明：P 点坐标()00,x y ，直线OP 斜率00OP y k x =，由切点弦公式得到AB 方程00221x x y ya b+=，2020ABb x k a y =-，22OP AB b k k a⋅=-，由点差法可知，OP 平分AB ，如图M 是中点．【定理6】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，延长PA ，PB 交蒙日圆O 于两点C ，D ，则CD AB ∥．证明：由定理5可知，M 为AB 中点．由蒙日圆性质可知，90APB ∠=︒，①MA MB MP ==，同理OP OC OD ==，因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠，①AB CD ∥． 由定理3和定理6可得如下的定理7：【定理7】设P 为蒙日圆:O 2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，交蒙日圆O 于两点C ，D ，则,OP CD 的斜率乘积为定值22OP CDb k k a⋅=-． 【定理8】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则,OA OB 的斜率乘积为定值：44OP CDb k k a⋅=-．【定理9】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,,A B O 为原点，则AOB S ∆的最大值为2ab ，AOB S ∆的最小值为2222a b a b+． 【定理10】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则APB S ∆的最大值为422,APB a S a b ∆+的最小值为422ba b+． 【定理11】设P 为蒙日圆2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆()222210x y a b a b+=>>的两条切线，切点分别为,A B ，则椭圆切点弦AB 的中点E 的轨迹方程是()22222222211x y b x a y ab ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭．【定理12】设P 为蒙日圆O ：2222x y a b +=+上任一点，过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，交椭圆于点,,A B O 为原点，则,O P 到AB 的距离分别为12,d d ，则12,d d 乘积为定值．证明：如图所示，设)Pθθ，则直线AB的方程为220xb ya a b θθ+-=， 则原点O 到直线AB 的距离为221d =，则点P 到直线AB 的距离为42422d==221222a b d d a b∴=+（定值）．4．蒙日圆的应用例2．（2022吉林·抚松一中高二月考）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：221(0)2x y a a a+=>+ （a>0）的蒙日圆224x y +=，a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(，)，则两条切线分别是x =y =互垂直，且两条直线的交点为P ，而P 在蒙日圆上，①22+＝4，解得a ＝1，故选A ．【点评】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a 的值．例3．（2022安徽舒城中学三模）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆．若椭圆()2222:144x y C a a +=>的蒙日圆的半径为C 的离心率为___________．【分析】由蒙日圆定义可知(),2P a 在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得2a ，由此可求得椭圆离心率．【解析】过(),2P a 可作椭圆C 的两条互相垂直的切线x a =和2y =，(),2P a ∴在蒙日圆上，28a =，∴椭圆C 的离心率c e a ===． 【点评】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果．例4．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，切点为,A B ，过,A B 的直线与x 轴和y 轴分别交于,P Q ，则POQ △面积的最小值为__________． 【答案】23【分析】设出M 点坐标，根据相切关系分析得到AB 的直线方程，由此表示出,P Q 的坐标并表示出POQ △的面积，再根据M 在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值． 【解析】设()00,,M x y A 点坐标为()11,x y ，B 点坐标为()22,x y ，①222222,MA OA OM MB OB OM +=+=，①化简可得1010202022x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，①12,x x 是方程002x x y y +=的两个解，①直线AB 的方程为002x x y y +=，①0022,0,0,P Q x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2200194x y +=， ①POQ △的面积00002222x y S x y -⋅-==，且2200001943x y x y =+≥=，①003x y ≤，①00223x y ≥，取等号时0032x y =，即00x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0022x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩POQ △面积的最小值为23．【点评】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 作圆的切线，则切线方程为200x x y y r +=；（2）过圆222x y r +=外一点()00,P x y 作圆的切线，切点为,A B ，则直线AB 的方程为200x x y y r +=．例5．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆外一点P 可以做出两条切线（如图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”．若P 点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P 到原点的距离始终为一个定值，即P 的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是______________．若矩形ABCD 的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCD 的面积最大值为___________________．【答案】2222x y a b +=+ ()222a b +【分析】根据特殊位置P 点的坐标，求得“准圆”的半径，由此求得准圆方程．根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形ABCD 面积的最大值．【解析】由于“准圆”上的点P 到原点的距离始终为一个定值，不妨取(),P a b ，如下图所示．(),P a b ①“准圆” “准圆”的方程为2222x y a b +=+．由于四边形ABCD 是“准圆”的内接矩形，对角线AC 、BD 是“准圆”的直径，①OA OB OC OD ===，①当AC BD ⊥时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为()221422OA OB a b ⨯⨯⨯=+．【点评】本小题主要考查新定义圆的概念的理解和运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．例6．（2022江苏·南京十三中高三开学考试）定义椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的“蒙日圆”的方程为2222x y a b +=+，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”点E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）C ：22143x y +=；E ：227x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2,1a c ==，再由222b a c =-可求得23b =，进而可求出椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；（2）当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，然后将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，再由判别式等于零，可得2234m k =+，再将直线方程和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数的关系可得12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，然后求12k k 的值，当切线MA 的斜率不存在且为零时，再求解12k k 的值即可【解析】（1）解：由题意知24a =，12c e a ==，1c ∴=，23b ∴= ∴椭圆的方程22143x y +=，∴“蒙日圆”E 的方程为22437x y +=+=，即227x y += （2）证明：当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y kx m =+，则由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223484120k x mkx m +++-=，()()2222644344120m k k m ∴∆=-+-=，2234m k ∴=+， 由227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221270k x mkx m +++-=，()()2222244174120m k k m k ∴∆=-+-=+>，设()11,M x y ，()22,D x y ，则12221mk x x k -+=+，212271m x x k -=+，()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++∴==()22121212k x x km x x m x x +++=222222222272711771m mk k km m m k k k m m k --++-++==--+，2234m k =+，222212227347373474m k k k k k m k -+-∴===--+-， 当切线MA 的斜率不存在且为零时，1234k k =-成立，12k k ∴为定值．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置的关系，解题的关键设切线MA 的方程为y kx m =+，先与椭圆方程联立，消去y ，由判别式为0，得2234m k =+，再和“蒙日圆”E 的方程联立，消去y ，再利用根与系数关系和斜率公式化简可得结果． 例7．法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础．根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，则称圆心在原点O ，的圆为“椭圆C 的伴随圆”，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到焦点F（1）求椭圆C 和其“伴随圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“伴随圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点P ，过点P 作直线1l ､2l ，使得1l ､2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ､2l 是否垂直?并说明理由．【答案】（1）C ：2213x y +=，“伴随圆”方程为224x y +=；（2）[0,7+；（3）垂直，理由见解析．【分析】（1）首先根据题意得到c =a ==1b =，从而得到椭圆C 和其“伴随圆”的方程．（2）首先设(),B m n ，(),D m n -，(m <，得到24332AB AD m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，从而得到AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣．（3）首先设(),P s t ，得到224s t +=，当s =1t =±，易得12l l ⊥，当s ≠设l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，根据Δ0=得到222(3)210s k stk t -++-=，从而得到121k k =-，即可得到答案．【解析】（1）由题意知c =a ==1b =， 故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“伴随圆”方程为224x y +=．（2）由题意，可设(),B m n ，(),D m n -，(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，故()2222224432441433332m AB AD m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-+--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又m <<2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣． （3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=，可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程()y t k x s -=-，根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直． 【针对训练】1．已知双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB ，若0MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．)+∞ D ．)+∞2．已知椭圆C ：2212x y +=，M 是圆223x y +=上的任意一点，MA ，MB 分别与椭圆切于A ，B ．求AOB 面积的取值范围．3．设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．4．给定椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为)F ，其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 及其“准圆”的方程；(2)若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，B ，D 是椭圆C 上的相异两点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；(3)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(),P s t ，过点P 作两条直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且1l ，2l 分别与椭圆的“准圆”交于M ，N 两点．证明：直线MN 过原点O ．5．已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12,l l ，它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点,M N .（①）若()2,0A -，求直线12,l l 的方程；（①）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立；①求AMN∆面积的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：2212412x y+=（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作两条切线，分别交P、Q两点．（1）若R点在第一象限，且直线OP①OQ，求圆R的方程；（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求k1•k2；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案：1．B【解析】利用已知条件，推出a 的关系式，即可求解结果.【详解】双曲线()222114x y a a -=＞上存在一点M ，过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB若0MA MB ⋅=，可知MAOB 是正方形，MO =，所以(a ∈. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题. 2．23⎡⎢⎣⎦.【分析】设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，得到,,MA MB AB 的直线方程，与椭圆C 的方程联立，解得弦长AB 的值，利用点到直线的距离公式求解点O 到直线AB的距离，令[]1,2t =，即可求解AOB 面积的取值范围，【详解】解：设00(,)M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为MA 与椭圆切于A ，故221112x y +=，对椭圆求导得2x y y '=-，则切线MA 的斜率为112x k y =-，故切线MA 的方程为：1111()2x y y x x y -=--，整理得1112x x y y +=， 同理，切线MB 的方程为2212x xy y +=， 又点00(,)M x y 为切线MA 与切线MB 的交点，且22003x y +=，故01010*******x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而直线AB 的方程为：0012x xy y +=， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，得()22200034440y x x x y +--+=．①0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+，因此，)2213yABy+==+，又原点O到直线AB的距离d==，①122OABS AB d=⋅=△，令[]1,2t=，得到21222223OABtSt tt⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+△．故AOB面积的取值范围为2,32⎡⎢⎣⎦.3．()93.【分析】先根据条件求出C的方程，作图，分析图中的几何关系，设定参数即可求解.【详解】设椭圆的两切线为1l，2l．①当1l x⊥轴或1//l x轴时，对应2//l x轴或2l x⊥轴，可知切点为；①当1l与x轴不垂直且不平行时，x≠1l的斜率为k，则0k≠，2l的斜率为1k-，并设12,l l的交点为00,x y，则1l的方程为()00y y k x x-=-，联立22154x y+=，得：()()()2220000054105200k x y kx kx y k x++-+--=，①直线与椭圆相切，①Δ0=，得()()()2222000055440y kx k k y kx⎡⎤--+--=⎣⎦，①()22200005240x k x y k y--+-=，①k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根，①2020415y k k x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=，其中x ≠①交点的轨迹方程为：(229x y x +=≠，①()2±也满足上式；综上知：轨迹C 方程为229x y +=；设PA PB x == ，APB θ∠=，则在AOB 与APB △中应用余弦定理知， 222222cos 2cos AB OA OB OA OB AOB PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅∠，即()222233233cos 1802cos x x x x θθ+-⋅⋅︒-=+-⋅⋅ ，即()291cos 1cos x θθ+=-，()91cos cos cos cos 1cos PA PB PA PB APB x x θθθθ+⋅=⋅∠=⋅=-，令(]1cos 0,2t θ=-∈，则cos 1t θ=-，()()()2932921293t t t t PA PBt ttt-+--⎛⎫⋅===⋅+- ⎪⎝⎭()9393⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2t t=，即t =时，PAPB ⋅取得最小()93； 综上，PA PB ⋅的最小为()93.4．(1)椭圆C的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=(2)0,7⎡+⎣(3)证明见解析【分析】（1）根据条件即可求出“准圆”方程； （2）设B ，D 的坐标，根据数量积的定义计算即可；（3）根据切线12,l l 的斜率是否存在分类讨论，再利用判别式和韦达定理即可求解. (1)解：由题意知c =a ==1b =， ①椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”为224x y +=；(2)由题意，设(),B m n ，(),D m n -，m <<2213m n +=， 又A 点坐标为()2,0，故()2,AB m n =-，()2,AD m n =--，①()222224413m AB AD m n m m ⎛⎫⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，又m <<①2430,732m ⎛⎫⎡-∈+ ⎪⎣⎝⎭，①AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣； (3)设(),P s t ，则224s t +=，当s =1t =±，则1l ，2l 其中之一斜率不存在，另一条斜率为0，①12l l ⊥； 当3t时，设过(),P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为：()y t k x s -=-，代入椭圆C 的方程，得：()2233x k x s t ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()()222316330k x k t ks x t ks -+--++= ， 由()()()222236431330k t ks k t ks ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦ ， 得：()2223210s k tsk t -++-= ，将224s t +=代入上式得()2223230s kstk s -++-= ，其中230s -≠ ，设1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 分别是上述方程的两个根，①121k k =-， ①12l l ⊥．综上所述，12l l ⊥，①MN 是准圆的直径，①直线MN 过原点O ；综上，椭圆方程为2213x y +=，“准圆”为224x y +=，AB AD ⋅的取值范围是0,7⎡+⎣.5．（①）2,2y x y x =--=+;（①）①证明见解析；①4].【分析】（①）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线12,l l 的方程；（①）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于k 的一元二次方程，由韦达定理可得121,k k =-成立，即可证得结论；①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ，可得22124d d +=，设AMN ∆面积为S ，可得()2222212144216S d d d ==--+，利用二次函数的性质可求其取值范围.【详解】（①）设直线的方程为()2y k x =+, 代入椭圆2213x y +=，消去y ，可得()222213121230k x k x k +++-=，由0∆=,可得210k -=，设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-=， ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+；（①）①证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l 的方程为x =1l 与圆的交点坐标为)1±，2l ∴的方程为1y =(或1y =-，12l l ⊥成立，同理可证，当1l 的方程为x =; 当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(),A m n 且224m n +=，设方程为()y k x m n =-+,代入椭圆方程，可得()22136()3()230k x k n km x n km ++-+--=，由0∆=化简整理得()2223210m k mnk n -++-=， 224m n +=，()2223230m k mnk m ∴-++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ， 12121,k k l l ∴=-∴⊥成立，综上,对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ①记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，所以122,2MA d NA d ==，222124,d d OA +==AMN ∆面积为12122S MA NA d d =⨯=，()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+， 221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈，4]S ∴∈.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,以及求范围问题,综合性强,难度大. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 6．（1）（x ﹣2+（y ﹣2＝8；（2）12-；（3）是定值，理由见解析.【解析】（1）根据直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，得到|OR |r ＝4，即x 02+y 02＝16，再根据点R 在椭圆C 上，即220012412x y +=求解.（2）根据直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切，==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根求解.（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由（2）知2k 1k 2+1＝0，即y 12y 22＝14x 12x 22，再根据P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上，得到x 12+x 22进而得到y 12+y 22由两点间距离公式求解.【详解】（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r ＝因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切， 所以|OR |＝4，即x 02+y 02＝16① 又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=① 联立①①，解得x 0＝y 0＝所以，所求圆R 的方程为（x ﹣）2+（y ﹣2＝8； （2）因为直线OP ：y ＝k 1x 和OQ ：y ＝k 2x 都与圆R 相切， 所以==两边平方可得k 1，k 2为（x 02﹣8）k 2﹣2x 0y 0k +（y 02﹣8）＝0的两根，可得k 1•k 2＝202088y x --，因为点R （x 0，y 0）在椭圆C 上， 所以220012412x y +=，即y 02＝12﹣12x 02， 所以k 1k 2＝20201428x x --＝﹣12； （3）①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由（2）知2k 1k 2+1＝0， 所以12122y y x x +1＝0，故y 12y 22＝14x 12x 22， 因为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在椭圆C 上， 所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即y 12＝12﹣12x 12，y 22＝12﹣12x 22， 所以（12﹣12x 12）（12﹣12x 22）＝14x 12x 22， 整理得x 12+x 22＝24，所以y12+y22＝（12﹣12x12）+（12﹣12x22）＝12，所以OP2+OQ2＝x12+y12+x22+y22＝（x12+x22）+（y12+y22）＝36．①当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝36．综上可得，OP2+OQ2为定值36．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于较难题.。
过椭圆外一点的切线方程
过椭圆外一点的切线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一个常见的几何图形，其形状类似于圆形，但长轴和短轴不相等。
在平面几何中，椭圆是一个非常重要的图形，具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将讨论关于过椭圆外一点的切线方程，探讨其性质和推导过程。
让我们回顾一下椭圆的基本定义和方程。
椭圆是平面上到两个定点（焦点）到距离之和为常数的点的集合。
其标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a 和b 分别是长轴和短轴的长度，焦点位于椭圆的长轴上。
现在考虑一个椭圆上一点P(x_1, y_1) 处的切线，我们知道切线与椭圆相切于该点，并且切线与椭圆的切点与P 连线垂直。
我们要求的是过点P 外部一点Q(x, y) 处的切线方程。
我们可以设过点Q 的切线方程为y = mx + c。
由于切线过点P(x_1, y_1)，所以切线方程满足y_1 = mx_1 + c。
由于切线与椭圆相切，切线与椭圆的切点与P 连线垂直，所以切线的斜率与PQ 相切的直线的斜率相同。
我们知道PQ 的斜率为\frac{y - y_1}{x - x_1}，切线的斜率为m。
根据切线的性质，这两个斜率应该相等，即：\[m = \frac{y - y_1}{x - x_1}\]经过整理，我们可以得到切线方程的一般形式：\[y = \frac{b^2x_1}{a^2y_1}x + \frac{b^2}{a^2}x + y_1 -\frac{b^2x_1}{a^2}\]这就是过椭圆外一点的切线方程的一般形式。
在实际问题中，我们可以根据具体的点P 和椭圆的参数a 和b 来求解切线方程。
通过这个公式，我们可以轻松地求解过椭圆外一点的切线方程，进而解决各种与椭圆相关的几何问题。
总结一下，我们已经讨论了过椭圆外一点的切线方程的推导过程和一般形式。
切线方程的求解是椭圆几何中一个重要的问题，它可以帮助我们解决诸多与椭圆相关的实际问题。
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆焦点互相垂直的直线在一个阳光明媚的午后，我来到了一片宽广的草地上。
草地上分布着许多椭圆形的湖泊，它们犹如大自然的眼睛，透过湖水的倒影，映射出美丽的景色。
我驻足在一片湖泊旁，仔细观察着这个椭圆。
椭圆的轮廓线在阳光下闪烁着光芒，它是如此完美，让人不禁心生赞叹。
我凝视着椭圆的焦点，忽然有一道直线划过我的眼前，将我的目光吸引住。
这条直线与椭圆的焦点相交，垂直地穿过椭圆的中心，形成了一幅独特的画面。
我不禁想起了数学课上老师讲解的椭圆焦点的性质。
根据老师的解释，椭圆上的每一条直线，无论它是如何旋转，都会与椭圆的两个焦点相交，并且与椭圆的切线在焦点处垂直。
这种特殊的关系让我感到了数学的魅力，也让我对椭圆产生了更深的兴趣。
回到眼前的景色，我沿着这条直线的路径继续前行。
沿途，我发现了一座小桥，横跨在湖泊上。
桥的形状恰好是一条直线与椭圆焦点互相垂直的形状，桥面上铺着木质的地板，给人一种朴素而温暖的感觉。
我踏上了小桥，欣赏着湖泊的美景。
湖水清澈见底，荷花盛开，蜻蜓在水面上翩翩起舞。
我感受到了大自然的宁静与和谐，仿佛与这条直线一起融入了这片美丽的景色之中。
走过小桥，我继续探索着这个椭圆湖泊的奥秘。
在湖泊的另一端，我发现了一处湖畔小屋。
小屋的建筑风格简约而典雅，正好与椭圆焦点互相垂直的直线形成了完美的对比。
走进小屋，我感受到了温暖的气息。
屋内摆放着精致的家具和一些艺术品，墙上挂着一幅幅美丽的画作。
这些画作中，有一幅描绘着椭圆焦点互相垂直的直线的画作，画家运用细腻的笔触，将这条直线与椭圆的美妙关系展现得淋漓尽致。
坐在小屋的窗前，我静静地欣赏着这幅画作。
我想象着画家是如何用心地创作出这幅作品的，他一定是深深地被椭圆和直线之间的美妙关系所吸引，才能将它们如此生动地展现在画布上。
时间悄然流逝，午后的阳光逐渐变得柔和。
我离开了湖畔小屋，踏上回家的路程。
回望湖泊，我不禁想起了这段特殊的经历。
椭圆焦点互相垂直的直线，给我带来了许多美好的感受和思考，也让我更加热爱数学和大自然。
椭圆的几何性质及综合问题
椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（ ）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++ =【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝12.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(3，163)C ．(0，3)∪(163，＋∞) D ．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A ．22B ．12C ．32D ．334.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（ ）A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（ ）A.25B.33C.21D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当A F PF 11⊥，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 313．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝114.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300时，a =16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．17．椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53 B ．23 C ．22 D ．5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率等于( )A ．2B ．12C ．4D ．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率21=e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.变式：过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用m1替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1k2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32 D ． 33．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足57-=，求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且长轴长为12，过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. （1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .10． 如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q ．(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ， （文）求线段AB 长度的最小值．（理）试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”. 一、 最值问题 【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.1.已知椭圆C ：1222=+y ax （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ； （Ⅲ）从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C 上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆144:2222=+by a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OPOQ 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值。
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椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解
问题： 已知椭圆c: )0(122
22>>=+b a b
y a x ，点P （x 0 ，y 0)是椭圆外一点，且由点P 引椭圆的两条切线互相垂直，则点P （x 0，y 0）的轨迹方程为。
222020b a y x +=+ 解：设两切点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则0=pA ,即：（x 1-x 0）（x 2-x 0）+（y 1-y 0）（y 2-y 0）=0
所以，0)()(2021212021021=++-+++-y y y y y x x x x x x (1) 由椭圆的切线、切点弦知识可得直线AB 的方程为：
12020=+b
y y a x x (2) 将（2）代人椭圆c 消去y 得： 0121202
202022204022=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+y b x y a x b x y a x b a 所以：20
2202204242120220202221,2y a x b y a b a x x y a x b x b a x x +-=+=+ (3) 将（2）代人椭圆c 消去x 得：
02)1(20
2022020222042022=-+-+x x a y x b y a y x b y a b 所以：20
220242042212022022221,2y y a x b b x b a y y y a x b y b a y o +-=+=+ (4) 将（3）、（4）代人（1）整理得：0))((22202202222020=-+--+b a y a x b b a y x 所以：1,2202202
2202
0=++=+b y a x b a y x 或 因为点P 在椭圆外，所以点P （x 0,y 0)的轨迹方程是：。
222020b a y x +=+ 巧遇高考题，广东省2014年高考数学压轴题20题 已知椭圆c ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点为（05，），离心率为35 （1）求椭圆c 的标准方程
（2）若动点P （x 0,y 0)为椭圆外c 一点，且点P 引椭圆c 的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程
解:。