微积分产生社会背景和数学渊源
微积分创立的背景与过程
微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。
微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。
微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。
微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。
1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。
在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。
牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。
2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。
牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。
他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。
牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。
莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。
他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。
莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。
3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。
在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。
在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。
在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。
在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。
在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。
微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。
微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。
微积分历史简介
微积分学是数学的一个基础分 支学科，源于代数 几何,内容 代数和 支学科，源于代数和几何 内容 主要包括极限 主要包括极限 微分学 积分学
微积分的创立
（一）历史背景
自文艺复兴以来， 自文艺复兴以来，在资本主义生产力的刺激下得到了 蓬勃发展自然科学(天文学 力学)开始面临综合与突破的阶 天文学,力学 蓬勃发展自然科学 天文学 力学 开始面临综合与突破的阶 而这种综合与突破面临的数学困难， 段，而这种综合与突破面临的数学困难，使微积分的基本 问题成为人们的关注焦点
1686年Leibniz 发表了他的第二篇微积分论文《深奥的几何学 年 发表了他的第二篇微积分论文《 与不可分量及无限的分析》 与不可分量及无限的分析》
学家（ 发明人问题是由瑞士数学家（N . F. de duillier)挑起的 挑起的 N . F. de duillier 1699年在一本小册子中提出“Newton是 年在一本小册子中提出“ 年在一本小册子中提出 是 微积分的第一发明人， 是微积分的第二发明人， 微积分的第一发明人， Leibniz是微积分的第二发明人， 是微积分的第二发明人 Leibniz借鉴了 借鉴了Newton的成果 的成果” 借鉴了 的成果 Leibniz即时作出了反驳 即时作出了反驳 1712年 英国皇家学会宣布Newton 微积分的第一发明人 1712年，英国皇家学会宣布Newton是微积分的第一发明人 ， 这引起了Leibniz的申诉，，争论在双方追随者见越演越烈，直到 的申诉，，争论在双方追随者见越演越烈， 这引起了 的申诉，，争论在双方追随者见越演越烈 Newton和Leibniz去世，后经过调查，特别是 去世， 的手稿分析， 和 去世 后经过调查，特别是Leibniz的手稿分析， 的手稿分析 证实Newton和Leibniz独立完成了微积分，发明时间 独立完成了微积分， 证实 和 独立完成了微积分 发明时间Newton早于 早于 Leibniz, 发表时间 发表时间Leibniz 早于 早于Newton 可悲的是18世纪英国和欧洲大陆数学发展分道扬镳， 可悲的是 世纪英国和欧洲大陆数学发展分道扬镳，英国 世纪英国和欧洲大陆数学发展分道扬镳 对微积分的发展不再有贡献， 对微积分的发展不再有贡献，微积分的发展由欧洲大陆完成
微积分建立的时代背景和历史意义
微积分建立的时代背景和历史意义微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
《数学史》微积分的创立
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而 他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面 上的不可分量原理建立了等价于下列积分
a
0
n 1 a x n dx n 1
费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以 推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立 体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允 许，我将在另外的场合来论述.”
开普勒
• 1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作 中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引 力定律奠定了基础．
• 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自 己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地． 灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的 一个焦点；
3
(二)卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647) 在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发 展了系统的不可分量方法． 卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行 线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元 素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．
f (a e) ~ f (a),
ae
消去公共项后，用 e 除两边，再令 e 消失，即
f (a e) f (a) 0 e e 0
由此方程求得的
a 就是
f ( x) 的极值点．
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 以符号 e (他写作 E )代替了增量△ x ． 记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是 他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给 了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论 。
微积分建立的时代背景
微积分建立的时代背景、发展状况和历史意义微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学，微积分的基本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。
微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想”。
恩格斯更是称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。
微积分的建立，无论是对数学还是其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分展示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用。
微积分为创立许多新的学科提供了源泉。
微积分是人类智力的伟大结晶，它给出了一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的应用。
恩格斯曾说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高境界了。
如果在某个地方我们看到人类的精神的纯粹和唯一的功绩，那就是正是在这里。
”微积分的产生具有悠久的历史渊源。
在中国，公元前4世纪，桓团。
公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘徽的“割圆术”和公园5-6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率近似值，他还精确地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽。
在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可公约量及面积和体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述萌芽。
欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展。
到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题。
于是在数学中开始研究各种变化过程中变化的量（变量）间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。
在伽利略等人的数学著作里面，都包含着微积分的初步想法。
到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学（与矿井的通风和排水有关）、机械力学等都突飞猛进的发展，在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩张的军事需要，也出尽了航海的发展。
微积分的产生
背景知识微积分的产生微积分产生于17世纪下半叶，它的出现不仅翻开了数学史上极其光辉的一页，而且对自然科学和生产技术的发展产生了极其深远的影响。
1．产生的背景微积分的产生是由于生产实践的需要。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，为了适应资本原始积累的需要，生产力得到很大解放，航海、造船、军事、机械、水利、天文学等方面迅速发展，出现了大量问题亟待解决。
这些问题归结为数学模型是以下4类：⑴已知变速运动的路程是时间的函数，求任意时刻的速度和加速度及其反问题。
⑵求曲线的切线问题。
⑶求函数的极大值与极小值，如军事上要寻求获得最大射程的发射角；天文学方面，求行星离太阳的最远和最近距离。
⑷求封闭曲线所围成的面积，曲线的弧长，立体所围成的体积，物体的重心、引力等。
这些问题用初等的常量数学是无法解决的，微积分作为变量数学正是为了解决这些问题的需要逐渐产生的。
微积分的创立主要归功于牛顿和莱布尼兹，但是在他们走向光辉的顶点之前，他们的先驱者已经为微积分的产生作了大量的准备工作。
微积分的一些思想、一些基本问题的提出和解决，都可以追溯到遥远的古代。
古希腊的阿基米德就曾利用穷竭法有效地计算出一些特殊几何图形的面积和体积，穷竭法中隐含着积分的思想。
到了16世纪，德国的开普勒和意大利的卡瓦列利又重新考察了求积问题。
17世纪，法国的笛卡尔、费马、帕斯卡和英国的沃利斯研究了切线问题，费马还进一步研究了求极值问题。
牛顿从费马的切线作法中受到启发，并加以推广。
牛顿的老师巴罗曾几乎充分地认识到微分和积分之间的互逆关系，即微积分基本定理，但他只是以几何形式表达出来，正如牛顿所说：“我之所以有这样的成就，是因为我站在巨人的肩膀上的缘故。
”17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹在前人大量数学成果的基础上，各自独立地创立了微积分，使它们成为一门崭新的学科。
与他们的前辈相比，他们两人的过人之处在于他们没有停留在只解决某一类问题上，而是从各种不同的方法中提炼出微积分的基本概念和算法，使微积分成为强有力的计算工具，在许多实际问题的解决中显示出巨大的威力，并且还发现了微分和积分之间的相互关系，即微积分基本定理。
微积分发展简介
旨．他在《平面与立体轨迹引论》(开始于1629年，1636年 前完成．“立体轨迹”指不能用尺规作出的曲线，与现在的 含义不同)一文中明确指出方程可以描述曲线，并通过对方 程的研究可以推断出曲线的性质． 在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变 动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替 几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对 解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了．这种新的数学 方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的 变化，恩格斯把它称为数学的转折点．此后人类进入了变量 数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤．为十七 世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件．
16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的 方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文 学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注 意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他 努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体 积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多 小元素之和来计算曲边形的面积或体积。 微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切 线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类 问题。
柯西在数学上的最大贡献是在微积分在引进了极限概念，并 以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展 史上的菁华，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。 柯西提出极限定义的ε方法，把极限过程用不等式来刻划，后 经维尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫ε－ δ定义。
柯西在其它方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他 创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。 柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集共有２７卷，其论 著有８００多篇。在数学史上是仅 次于欧拉的多产数学家。他的光辉 名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。
微积分创立的背景与过程
微积分创立的背景与过程
微积分，作为数学中的一门重要学科，其创立过程可以追溯到17世纪。
在此之前，数学领域主要关注几何学和代数学，而微积分的诞生为解决一些物理问题提供了全新的数学工具。
微积分的创立主要涉及到牛顿和莱布尼兹这两位伟大的数学家。
他们几乎同时独立地发现了微积分的基本概念和方法。
牛顿是英国人，他在研究力学和天体运动时，提出了微积分中的微分和积分的概念。
他将这些方法应用于解决物体的运动和变化的问题，从而奠定了微积分的基础。
与此同时，德国数学家莱布尼兹也在研究曲线的切线和曲率等问题时，独立地发现了微积分中的微分和积分。
他将微积分的符号和记法系统化，为后来的发展奠定了基础。
莱布尼兹还提出了微积分基本定理，将微分和积分统一起来，使微积分更加完善。
微积分的创立过程可以说是在牛顿和莱布尼兹之间的竞争和合作中不断完善和发展的。
两位数学家的贡献为微积分的发展奠定了坚实的基础，使其成为数学中的一门重要学科。
微积分的创立背景与过程也与当时物理学和工程学的发展密切相关。
在工程学中，微积分被广泛应用于解决各种复杂的问题，如结构分析、流体力学等。
在物理学中，微积分被用来描述物体的运动、力学、热力学等现象。
微积分为这些学科提供了强大的数学工具，推
动了科学技术的发展。
总的来说，微积分的创立背景与过程是在数学家们不断探索和研究的基础上逐步完善和发展的。
微积分的诞生为解决物理和工程中的复杂问题提供了重要的数学方法，推动了科学技术的进步。
微积分作为一门重要学科，至今仍在不断发展和应用，为人类认识世界和改善生活提供了重要的帮助。
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在 Paris, Leibniz 结 交 了 荷 兰 著 名 数 学 家 和 物 理 学 家 Huygens， 在 他 的 指 导 下 ， 钻 研 了 笛 卡 尔 、 费 马 、 帕 斯 卡 的 著 作 ，它 制 造 出 能 进 行 加 、减 、乘 、除 和 开 方 运 算 的 计 算 机 。他 曾 写 信 给 中 国 的 康 熙 皇 帝 建 议 成 立 北 京 科 学 院 ，他 主 持 出 版 了《 中 国 近 况 》一 书 ，他 是 最 早 关心中国科学事业的西方朋友。
Barrow
Newton
Leibniz
Weierstrass
Bolzano
Cauchy
主要内容的学科为数学分析 ★ 1671，“流数法” ★ 1687，“自然哲学的数学原理”——简称“原 理” ★ 1691，“求积术”
Newton求导（流数）的大概思想是：
求 x n 的流数
在 量 x因 流 动 变 成 x的 同 时 ， xn 变 成 (x)n
xnnxn 1n2nxn 2& C 2
增量 与 nxn1n2nxn2&C之比等于 2 1:nnx1n2nxn2&C 2
Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极 限基础上，Weirstrass的贡献是建立了分析基 础的逻辑顺序：实数系——极限论——微积分。
微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的分 水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学明 显地不同于从古希腊继承下来的旧数学，旧数学是 关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧 数学是静态的，新数学是动态的，两者的关系就象 解剖学与生理学，前者研究死的躯体，后者研究活 的身体，旧数学涉及的只是固定的和有限的，新数 学包含了运动、变化和无限。
3．第二次数学危机与微积分的 发展和完善
N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小 概念上的混乱，引起不少科学家的批评。
英国哲学家、牧师 G.Berkeley（1685-1753）： 《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指
牛顿的流数法。——— Berkeley悖论 这就导致了第二次数学危机
Issac Newton(1642-1727)，英国大物理学家 和数学家。1642年，伽利略去世，Newton诞生 在England的一个农民家庭。
1661年 Newton 入剑桥大学三一学院，拜著名数 学家巴罗（Barrow）为师，1669年，巴罗宣布 Newton 的学识水平已超过自己，推荐27岁的 Newton代替自己任“卢卡斯数学教授”。这是历史 上有名的巴罗让贤。
Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716), 德国大数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门 第，幼年表现出超常才智。
15岁考入莱比锡大学，1667年获法学博士学 位，次年任驻法大使，在巴黎生活了4年。
20岁发表《论组合的艺术》的数学论文（使 其成为“数理逻辑奠基人之一”）。Leibniz 很 多重大的成就包括微积分都是在巴黎的4年中完 成的。
由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，所 以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19世 纪，才开始真正解决问题。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意 见的是达朗贝尔（D’Alembert）。但他未提供理论。
后经 Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy （分析学奠基人），Weirstrass（法）等人的努力， 奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。
Newton受巴罗的“巴罗微分三角形”启发发明微
积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。
Newton从1665年到1695年，对微积分的创造 性成果为：
★ 1665，“正流数术”—— 微分学； ★ 1666，“反流数术”—— 积分学； ★ 1666，“流数简论”—— 标志微积分的诞生； ★ 1669，“分析学”—— 由此后人称以微积分为
1.微积分产生的社会背景和数学渊源
微积分诞生在17世纪，主要来自政治，经济 和社会发展对数学的巨大推动。
2．Newton和leibniz的功绩
前期工作没有通过无穷小量分析来定义导数和通 过分割求和取极限来建立积分的明确概念，更未给 出两者之间的联系。
17世纪后半叶，Newton 和 Leibniz 独立地 发现了高等数学意义上的微积分。
他在Paris的主要成果：
★ 1675年给出积分号“ ”，同年引入微分号“d”
★ 1676年给出公式 daxa，ax1dx xadx 1 xa1
a1
b
★ 1677年，表述微积分基本定理： ydxz(b)z(a) a
★ 1684，“求极大与极小值和求切线的新方法”
★ 1686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析”
现令增量消失，它们的最终比为
1 nx n 1
这段话用今天的微积分可改写成： x0
(x x)n xn nn 1 xn (n 1 )xn 2 x & C
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
然后令 x0
x n 的导数（流数）为 nx n1
Newton的成果受到一片欢呼和歌颂。
1727年，Newton因肺炎与痛风去世。他遗留 的手稿中，仅数学部分就有5000多页。