高二理科数学下学期第一次月考(附答案)
四川省高二下学期第一次月考理科数学试题(解析版)
高二数学（理科）时间:120分钟 满分:150分一 单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1.已知集合，，则（ ）{}|105A x x =-<<{}|68B x x =-<<A B = A. B. {}|65x x -<<{}|108x x -<<C. D.{}|106x x -<<-{}|58x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据交集直接计算求解.【详解】，{}|105A x x =-<< {}|68B x x =-<<．{}65A B x x ∴⋂=-<<故选：A 2. 复数的虚部是（ ）113i-A.B. C.D.310i 110-110310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出后即可得出. 【详解】， ()()1131313131313101010i i i i i i ++===+--+虚部是. ∴310故选：D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的为nA. B. 12C. D.34【答案】C 【解析】【详解】， 满足 的为奇数， 不满足1()()n n f x x nx -'==∴()()f x f x =-n 01()1n f x x =⇒== 有解，故选C.()0f x =4. 已知命题“”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） 200014(2)04R,x x a x ∃+∈+-≤A. B. (),0∞-[]0,4C. D.[)4,+∞()0,4【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，命题“”是假命题 200014(2)04R,x x a x ∃+∈+-≤则该命题的否定“”是真命题， 214(2)0R,4x x a x +-+∈∀>所以，解得； 2(2)40a ∆=--<04a <<故选：D.5. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A.B.C.D.16141312【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D ．12【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．6. 已知，则（ ） 3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.B.C. D. 354535-45-【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为， 23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题 7. 设等比数列的前项和为，则（ ） {}n a n 271,8,4n S a a =-=6S =A. B.C.D.212-152212632【答案】C 【解析】【分析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n 项和公式{}n a q 572a a q =q 1a 求.6S 【详解】设等比数列公比为，则，又， {}n a q 572a a q =2718,4a a =-=∴，故， 12q =-116a =又，即. 1(1)1-=-n n a q S q 666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--8. 如图正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，则1111ABCD A B C D -,E F 11AB,A D O 1111D C B A （ ）A. 直线是异面直线B. 直线是相交直线 ,EF AO 1,EF BBC. 直线与所成角为D. 直线 EF 1BC 30 1,EF BB 【答案】C 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断直线与，是否异面，用向量法求异面直线所成角.即EF AO 1BB 可得到答案.【详解】在正方体中，点分别是的中点，1111ABCD A B C D -,E F 11AB,A D 为正方形的中心，O 1111D C B A 易知四边形为平行四边形，所以相交，故A 不正确.AEOF ,EF AO 若直线是相交直线，则直线相交或平行，这与题意不符合，故B 不正确. 1,EF BB 1,B F BE 以分别为轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为2，如图1,,DA DC DD ,,x y z则,1(2,1,0),(2,2,0),(1,0,2),(0,2,2)E B F C 1(2,2,2)B则,, (1,1,2)EF =--1(0,0,2)BB = 1(2,0,2)=- BC 则. 111cos ,||EF BC EF BC EF BC ⋅=⋅所以直线与所成角为，故C 正确.EF 1BC 30 ,故D 不正确.111cos ,||EF BB EF BB EF BB ⋅=⋅故选：C【点睛】本题考查空间直线的位置关系，异面直线所成角，属于中档题.9. 如图在中，，为中点，，，，则ABC A 90ABC ∠=︒F AB 3CE =8CB =12AB =EA EB ⋅=（ ）A. B. C.D.15-13-1315【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， (12,0)A (0,0)B (0,8)C (6,0)F 又，，， 3CE =8CB =12AB =则，10CF =即，即， 310CE FC =710FE FC =则，()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭则，， ,552851EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 则；25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C ．10. 已知，，且，则的最小值是（ ） 0a >0b >124a b+=46a b +A. B. C. D. 4+4+8+4+【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 46a b +1124a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46a b +【详解】已知，，且，则，0a >0b >124a b+=11214a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， ()()1121121434646238422a b a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1842⎛≥+==+ ⎝当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. a =46a b +4+故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11. 过双曲线的左顶点A 作斜率为1的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于B,C ，且2221y x b-=l l ，则此双曲线的离心率是2AB BC =A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】 ,直线 的方程为 ，与渐近线方程联立， ，解得： ，()1,0A l 1y x =-1{y x y bx=-=-11x b =+， ； ，解得： ， ，根1b y b =-+1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭1{y x y bx =-=11x b -=-1b y b -=-1,11b C b b --⎛⎫⎪--⎝⎭据 , ， ，可得 ，解得 ，双2AB BC = ,11b b AB b b --⎛⎫=⎪++⎝⎭ 2222,11b b BC b b --⎛⎫= ⎪--⎝⎭22211b bb b --=+-2b =曲线的离心率，故选C. e ac===12. 已知，且，，，则（ ） 1,,,ea b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ln 55ln a a =-ln 33ln b b =-ln 22ln c c=-A. B. b<c<a c b a <<C. D.a cb <<a bc <<【答案】A 【解析】【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.()ln f x x x =,,a b c 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当()ln f x x x =()1ln f x x '=+1,,()0ex f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭()f x ，此时单调递减，由题，，，得10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭()f x ln 55ln a a =-ln 33ln b b =-ln 22ln c c =-，因为，所以11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====1111543e<<<，则，且，所以. 111111ln ln ln 554433>>ln ln ln a a c c b b >>1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a cb >>故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.二 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13. 已知某校随机抽取了名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校100有名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于分的学生人数约为__________．300070【答案】 2100【解析】【详解】依题意，所求人数为，故答案为. ()30000.0300.0250.015102100⨯++⨯=210014. 在二项式的展开式中，的系数为__________．5(x 2x 【答案】. 52【解析】【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.r 2x 【详解】结合二项式定理的通项公式有：，355215512rrr r r r T C x C x--+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝令可得：，则的系数为：.3522r -=2r =2x 22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、n r n r 均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再n r ≥求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知三棱锥 的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球S ABC -O ABC A SC O 的直径，且，则点到平面的距离为_______________.2SC =S ABC【解析】【分析】根据球与几何体的组合体的几何性质，利用垂直关系，即可求解. 【详解】设球心为 , 过三点的小圆的圆心为, 则平面, O ABC 1O 1OO ⊥ABC 延长 交球于点, 则平面.1CO D SD ⊥ABC高1123CO OO ==∴==∴ 12SD OO ==16. 已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是________． (0,2)x ∈x 21e 2x k x x x <+-k 【答案】 [0,e 1)-【解析】【分析】首先由，，求的取值范围，再利用参变分离变形为220+->k x x ()0,2x ∈k 恒成立，转化为构造函数，利用导数求函数的最小值，即可求得2e 2<+-x k x x x 2e ()2=+-xf x x x x实数的取值范围.k 【详解】解：依题意，知，即对任意恒成立，从而，因此由220+->k x x 22>-k x x (0,2)x ∈0k ≥原不等式，得恒成立．令，则．令2e 2<+-x k x x x 2e ()2=+-xf x x x x 2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ，得．当时，．函数在上单调递增；当时，()0f x '=1x =(1,2)x ∈()0f x '>()f x (1,2)(0,1)x ∈，函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是()0f x '<()f x (0,1)min ()(1)e 1<==-k f x f k ．[0,e 1)-故答案为：[)0,1e -三 解答题（共6道小题，共计70分，22题，23题选做一题，多做按照第一题计分，写清楚必要的文字说明和演算步骤）17. 已知数列的前项和，数列满足.{}n a n 122n n S +=-{}n b ()1n n n b a a n *+=+∈N （1）求数列的通项公式； {}n b （2）若，求数列的前项和.()2log n n c a n *=∈N {}nn bc ⋅n n T 【答案】（1）32nn b =⨯（2）()13126n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）由，可得，后可得的通项公式； 111N 2n n n S n a n S S n *-=⎧=∈⎨-≥⎩，，，n a {}n b （2）由（1）可得，后可由错位相减法求数列的前项和. 2log n n c a n =={}n n b c ⋅n n T 【小问1详解】当时，， 1n =112a S ==当时，， 2n ≥12nn n n a S S -=-=又满足上式，∴，12a =()2nn a n *=∈N ∴. 132nn n n b a a +=+=⨯【小问2详解】由（1）得，，，∴，2n n a =32nn b =⨯2log n n c a n ==∴，32nn n b c n ⋅=⨯∴，①()2331222322nn T n =⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①×2得，②()2341231222322n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①②得，-()()211322223122nn n n T n n ++⎡⎤-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=⨯-⨯-⎣⎦∴.()13126n n T n +=-⨯+18. 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为平行四边形，M 为AA 1的中点，BC ＝BD ＝1，1AB AA ==（1）求证：MD ⊥平面BDC 1； （2）求二面角M -BC 1-D 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）证明BD MD 和MD BC 1即可证明MD ⊥平面BDC 1；⊥⊥（2）以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）因为BC =BD =，CD =AB ，可得BC 2+BD 2=CD 2，1BD BC ，∴⊥又 AD BC ，BD AD . //∴⊥又ABCD -A 1B 1C 1D 1 是直四棱柱，DD 1平面ABCD ，DD 1BD .∴⊥∴⊥，BD 平面ADD 1A 1，BD MD ，1= DD AD D ∴⊥∴⊥取BB 1中点N ，连接NC ，MN ，且，为平行四边形，，// MN DC MNCD ∴//∴MD NC，， ，BC 1CN ， 1NB BC BC CC =1~NBC BCC ∴A A 190C BC BCN ∠∠∴+=∴⊥又 MD NC ，MD BC 1， //∴⊥又BC 1=B ，MD 平面BDC 1；BD ⋂∴⊥（2）以DA 为x轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，， (0,1,0)B 1(C -M ⎛ ⎝1,BM ⎛=- ⎝1(BC =-由（1）可知为平面BDC 1的一个法向量，， DM DM ⎛= ⎝ 设平面C 1BM 的一个法向量为，(,,)n x y z =，则，可取，∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩x x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩n ⎫=⎪⎪⎭ 设二面角M -BC 1- D 为，θ所以，cos DM n DM nθ⋅==即二面角M -BC 1- D . 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.19. 第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表： 收看时间（单位：小时） [)0,1 [)1,2 [)2,3[)3,4[)4,5[)5,6收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表： 22⨯ 男 女 合计 体育达人 40 非体育达人 30 合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率. 附表及公式：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）填表见解析；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）. 815【解析】【分析】(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相比较，即可判断；（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，则，计算可得；A ()114226C C P A C ⋅=【详解】解:（1）由题意得下表： 男 女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 7050120的观测值为. 2k ()21201200600242.706705060607⋅-=>⨯⨯⨯所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，. A ()114226815C C P A C ⋅==答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为. 815【点睛】本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.20. 已知椭圆 为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>A B 点为椭圆的左焦点，且的面积是F FAB A 1（1）求椭圆 的方程；C （2）设直线 与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合)，则直1x my =+C P Q 、P x (11P P Q 线与轴交于点，求面积的取值范围. 1PQ x H PQH A 【答案】（1）2214x y +=（2）.⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据离心率和以及可求得的值，从而得到椭圆方程；FAB S ∆222a b c =+,,a b c （2）直线与椭圆相交问题，设交点为，则有，把直线方程与椭圆方程联1122(,),(,)P x y Q x y 111,()P x y -立方程组，消元后可得，写出直线方程，求出点坐标为，又直线过定点1212,y y y y +1PQ H (4,0)PQ ，因此，可用表示出来，可设(1,0)1232=-A HPQ S y y m t =【小问1详解】由题意可得 ，()()(),0,0,,,0F c B b A a -所以， c a =()112b a c +=+222a b c =+解得，2,1a b ==椭圆的方程为:. ∴C 2214x y +=【小问2详解】设 ,()()()1122111,,,P x y Q x y P x y -、、由 , 得 22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()224230,0m y my m ++-=≠显然 , 由韦达定理有:Δ0>，， 12224m y y m +=-+12234y y m =-+直线 的方程为:，1PQ ()211121y y y y x x x x ++=--令 , 则，0y =212112112112x x x y x yx y x y y y y -+=+=++又 ，11221,1x my x my =+=+则，()()()2112121212121124my y my y my y y y x y y y y +++++===++所以直线 与轴交点， 1PQ x ()4,0H 直线过定点，1x my =+()1,0，()12134122PQHS y y∴=⨯-⨯-==Am≠令，t=t>因为，当时，单调递增，(1=+>y t ttt>221-'=>tyt1y tt=+所以在上单调递减，26611PQHtSt tt==++A)+∞.PQHS∴<<A所以面积的取值范围为.PQHA⎛⎝【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数.()()ln1f x ax x=-+（1）讨论的单调性；()f x（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.()11xf x ex-≥-+()0,x∈+∞a【答案】（1），在上单调递减；，在上单调递减，在上单0a≤()1,-+∞0a>11,1a⎛⎫--⎪⎝⎭11,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭调递增；（2）.[)1,+∞【解析】【分析】（1），对参数a分类讨论，根据导数来判断函数的单调区间；()1111ax af x ax x+-=-='++（2）方法一：将不等式右侧项移到左侧，构成新的函数，因函数较为复杂，需要多次求导求得函数单调性，并对参数分类讨论，求出其中满足条件的参数取值范围即可；方法二：移项后，先对参数分类讨论，缩小参数a的取值范围，然后利用放缩法，记，，，()()1ln11xh x ax e xx-=+-+-+()0,x∈+∞()1ln(1)1xh x x e xx-≥+-+-+记，求导，通过证明的单调性，得出()()1ln11xx x e xxϕ-=+-+-+()()1xg x e x=-+，从而证得恒成立，所以在上单调递增，所以()()00g x g >=()0x ϕ'>()x ϕ()0,∞+，所以，符合题意，从而求得参数范围.()()00ϕϕ>=x ()0h x >【详解】（1），其中， ()1111ax a f x a x x +-=-='++1x >-若，，此时在上单调递减； 0a ≤()0f x '≤()f x ()1,-+∞若，由得， 0a >()0f x ¢>11x a>-此时在上单调递减，在上单调递增； ()f x 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭综上所述，，在上单调递减；0a ≤()f x ()1,-+∞，在上单调递减，在上单调递增.0a >()f x 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）【解法一】由题意在恒成立， ()1ln 101xax ex x -+-+-≥+()0,x ∈+∞记，，其中；()()1ln 11xg x ax e x x -=+-+-+()0,x ∈+∞()00g =，其中； ()()21111x g x a e x x --+'=-++()01g a '=-，()()()()()()32331112111xxx x e x g x e x x e x --++''=+-=+++记，()()()311x h x x e x =-++因为，，()()2e 310x h x x x =++>'()0,x ∈+∞所以在上单调递增， ()h x ()0,∞+所以，所以， ()()00h x h >=()0g x ''>所以在上单调递增； ()g x '()0,∞+若，，不合题意； 0a ≤()111ln 202g a e -=+--<若，因为， 01a <<()()21111x xg x a e a e x x --=--+<-++'所以，()ln ln 0ag a a e-'-<=又因为，在上单调递增， ()010g a '=-<()g x '()0,∞+所以当时，，()0,ln x a ∈-()0g x '<所以在上单调递减，()g x ()0,ln a -所以当时，，不合题意； ()0,ln x a ∈-()()00g x g <=若，因为在上单调递增， 1a ≥()g x '()0,∞+所以， ()()010g x g a ''>=-≥所以在上单调递增， ()g x ()0,∞+所以，符合题意； ()()00g x g >=综上实数的取值范围是.a [)1,+∞【解法二】因为， ()()1111x xx e x e x e x --+-=++记，，，()()1xg x e x =-+()0,x ∈+∞()10xg x e '=->所以在上单调递增，所以， ()g x ()0,∞+()()00g x g >=所以恒成立； 101x e x -->+若，，不合题意；0a ≤()1ln 20f a =-<若，由（1）知，在上单调递减，01a <<()f x 10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，不合题意； ()1100f f a ⎛⎫-<=⎪⎝⎭若，记，， 1a ≥()()1ln 11xh x ax e x x -=+-+-+()0,x ∈+∞， ()1ln(1)1x h x x e x x -≥+-+-+记，()()1ln 11xx x e x x ϕ-=+-+-+ ()()()221111111111111x x x e x x x x ϕ=-+->-+-+++'++，()()()()22221211011x x x x x +-++==>++所以在上单调递增，所以， ()x ϕ()0,∞+()()00ϕϕ>=x 所以，符合题意； ()0h x >综上实数的取值范围是.a [)1,+∞【点睛】方法点睛：用导数研究带参函数单调性时，需要对参数分类讨论，导数比较复杂，难以判断正负时，需要通过多次求导的方法求得原函数的单调性；在求参数的具体范围前，如果有一些条件可以缩小参数范围，可以直接省略部分的讨论步骤，在后面证明过程中，适当利用放缩法可以简化参数讨论难度，求得参数范围.22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点为极xOy 1,1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩θ点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l . cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于P ，Q 两点，求的值. OP OQ ⋅【答案】（1）；；（2）2. ()()22112x y -+-=10x y --=【解析】【分析】（1）直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程；把直线的极坐标方C C 程展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；l （2）化曲线的直角坐标方程为极坐标方程，联立曲线的极坐标方程与直线的极坐标方程，消去，C C θ可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．ρ【详解】（1）由为参数），消去参数得．1(1x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩22(1)(1)2x y -+-=曲线的普通方程为．∴C 22(1)(1)2x y -+-=，得，cos()14πθ+=cos sin 1ρθρθ-=而，．cos x ρθ=sin y ρθ=直线的直角坐标方程为；∴l 10x y --=（2）化曲线的方程为极坐标方程：． C 2cos 2sin r q q =+联立直线的极坐标方程． l cos sin 1ρθρθ-=消去得：．θ42840ρρ-+=设，两点所对应的极径分别为，， P Q 1ρ2ρ则． 212()4ρρ=．12||||||2OP OQ ρρ∴==A 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题． 23. 已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x ＋3|. （1）解不等式f (x )≤8；（2）设x ∈R 时，f (x )的最小值为M ，若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋2c ＝M ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值． 【答案】（1）[2,2]-（2）6 【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号，转化为分段函数，再通过不等式组解集的并集进行求解；（2）先利用三角不等式求出值，再通过柯西不等式进行求解. M 【小问1详解】 解：f (x )≤8等价于或或， 3223238x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-+--≤⎩332223238x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+++≤⎩3223238,x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩即或或， 322x -≤≤-3322x -<<322x ≤≤所以不等式f (x )≤8的解集为． [2,2]-【小问2详解】解：因为f (x )≥|(2x －3)－(2x ＋3)|＝6， 所以M ＝6.因为(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋22)≥(a ＋b ＋2c )2＝36， 当且仅当2a ＝2b ＝c 时“＝”成立， 所以a 2＋b 2＋c 2≥6，即a2＋b2＋c2的最小值为6.。
2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为．其中真命题为（）A． B． C． D．2．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A． B．C． D．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……，将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．155．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．函数在闭区间[3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．9，-19 D．3，-177．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A．B．1 C．D．29．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（）A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或110.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．曲线在点 处的切线倾斜角为_________________.12．函数的导数为_________________.13．观察下列不等式，……照此规律，第五．个不等式为 . 14．若，则常数的值为____________________.15．若函数在上是增函数，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）．16. （本小题满分12分）求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．17. （本小题满分12分）（1）依次计算 ，，31112(1)(1)(1)4916a =---， 411112(1)(1)(1)(1)491625a =---- （2）猜想211112(1)(1)(1)(1)4916(1)n a n =----+的结果，并用数学归纳法证明论．18.（本小题满分12分）设13()ln 122f x a x x x =+++，其中，曲线在点处的切线垂直于轴． （1）求的值；（2）求函数的极值．19．（本小题满分12）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. （本小题满分13分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）讨论关于的方程的根的个数．理科数学答案 xx3月 一、选择题C BD C C D B A A B二、填空题2222211111111234566+++++< 3三、解答题16．解 由，得到或，……………………………………………………………2分则………………………………………………………6分……………………………………………………10分…………………………………………………………………………………………………………12分17．解：（1），，，，………………………………………4分（2）猜想：，………………………………………………………………………5分证明：①当时，，显然成立 …………………………………………………6分 ②假设当命题成立，即2111122(1)(1)(1)(1)4916(1)1k k a k k +=----=++，……………7分 则当时， 122111112(1)(1)(1)(1)(1)4916(1)(2)k a k k +=-----++ ………………………………………………………………………11分所以当时，命题成立，由①，②可知，命题对成立．………………………………………………………………12分18. 解：（1）由13()ln 122f x a x x x =+++，得，……………………………2分 又曲线在点处的切线垂直于轴，故，解得；…………………………………………………………6分（2）， 由，得或（舍去），……………………………………………………8分当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，所以函数在处取得极小值，无极大值．…………………………………12分19．解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，……………………………2分要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．…………………6分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤…………8分332280080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤令得 当时，是减函数；当时，是增函数．所以当时，取到极小值也是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小为11.25升．………12分20. 解 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，当时，取最小值，即．……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值．…………………………………………………………8分 在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．………………………………………………………………………13分21．解：（1）∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…………………………4分（2）由.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-== 令,2)(,ln )(221m ex x x f xx x f +-==当上为增函数；当时，为减函数； 当,1)()]([,1max 1e e f x f e x ===时……………………………………………………………8分 而,)()(222e m e x x f -+-=当时，………………………………………………………………10分,1,122时即当ee m e e m +>>-∴方程无解； 当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. ……………………………………………14分28942 710E 焎23138 5A62 婢28049 6D91 涑033769 83E9 菩B25201 6271 扱34216 85A8 薨38596 96C4 雄40467 9E13 鸓 l22522 57FA 基~r。
2021年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案
年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共10小 题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2. 在空间直角坐标系中, 点B 是点关于xOy 面的对称点，则= ( )A. 10B.C.D. 38 3.下列命题正确的是（ ）A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.与某一平面成等角的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取（ )A ．7B ．8C ．9D ．105．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 6．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。
A. 和都垂直于平面B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且D. 是两条异面直线且7．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为（）（A）（B）（C）（D）29.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（D ）第8题图A. B. C. D.10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分)11．n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．12．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。
河南高二下学期第一次月考理科数学试题 有答案.doc
A. C.A.Y'=6cos(2x~7) OB.y r = 3cos(2x --) 6周口中英文学校下期高二第一次月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.己知直线与曲^y=x3+ax+b相切于点(1, 3),则万的值为()A. 3B. -3C. 5D. -52.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间，之间的函数关系为s=3,则1=2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A. 2B. 1C. jD. |3.如下图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x - y+2=0,则/⑴寸⑴等于()B. 2D. 44已知曲^f(x)=xlnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()A. 1B. In2C. 2D. e的导数为(C.Y'=-3cos(2%-7) OD.Y'=-6cos(2x~7) O 16.如果曲线x在点P处的切线垂直于直线y=—3》，那么点P的坐标为()A. (1, 0)B. (0, -1)C.(0, 1)D. (-1, 0)7.若向=｛弓+s籍；己黄，则r度)如=()A. 0B. 1C. 2D. 38.己知函数丁 = 2”+球2+36工一24在*=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A. (2, 3) B, (3, +oo)C. (2, +oo)D. (—oo, 3) 9.对于函数/'(%)=x3—3x2,给出命题：%1广(刈是增函数，无极值；%1t(x)是减函数，无极值；%1r(x)的递增区间为(一3, 0), (2, +8),递减区间为(0, 2)；%1尸(0) =0是极大值，广(2) = 一4是极小值.其中正确的命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.定积分| .：-l-dx的值为() 0 1A. 1B. In2八、3 1 n 1 i c 1C・-y D・yin 2- y16.下列等式成立的是(C. J21|%|tb£=2j o1|x|dxD. £(x+l)±t=J^ xdx12,设函^f(x)=ax2+bx+c (a, b, cWR),若x=-l为函数/3)e，的一个极值点, 则下列图象不可能为,=4工)的图象是()y%1.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分2 0分.13.曲线］=工2—3x在点P处的切线平行于*轴，则点P的坐标为.14.Ci萨奴= -------15.^f(x)=ax2—bsinx,且「(0)=1，f ;= '，贝!|a=, b=.16.已知函数r(x)=*3—3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a的取值范围是•%1.解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分).已知抛物^y=x2+bx+c在点(1, 2)处的切线与直线]= x—2平行，求方，c的值.18.(本小题满分12分)..⑴已知函数/3) = 13—8x+ fix2, M/(xo)=4,求x()的值. (2)己知函数/3)=/+2寸(0),求f(0)的值.19.(本小题满分12分)已知函^f(x)=ax3+bx2+cx^点*()处取得极小值5,其导函数的图象经过(1, 0), (2, 0),如图所示，求：(1)xo的值；(2)a, b, c的值;(3)/(x)的极大值.20.(本小题满分12分)已知函数/3)=xln x.⑴求/⑴的最小值；(2)讨论关于*的方程/(x)—7”=0 (»i《R)的解的个数.21.(本小题满分12分)..已知/3)=axTnx, xG(0, e],其中e是自然常数，aER.⑴当。
高二下第一次月考--数学(理)含答案
绝密★启用前第二学期第一次月考高二数学试卷（理科基础卷）考试范围：选修2-2第1.2.3章；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名.班级.考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题 共60分）一.单选题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.函数()3ln f x x =在1x =处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 3e2.曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 135︒D. 60︒ 3.若函数()cos f x x x =+，则()f x 的导数()f x '=（ ） A. 1cosx - B. 1cosx + C. 1sinx - D 1sinx +. 4.函数x x y +=3的递增区间是（ ） A.B.C.D.5.函数f(x)的图象如图所示，则()f x '的图像可能是（ ）A. B. C. D.6.若函数()3239f x x ax x =++-在x=-3时取得极值，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 57.函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是（ ） A. 在点0x 处的斜率B. 在点))(,(00x f x 处的切线与轴所夹的锐角的正切值C. 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率D. 点))(,(00x f x 与点(0,0)连线的斜率8.用反证法证明命题“设b a ,为实数,则方程03=++b ax x 至少有一个实根”时,要做的假设是（ ）A. 方程03=++b ax x 没有实根B. 方程03=++b ax x 至多有一实根C. 方程03=++b ax x 至多有两实根D. 方程03=++b ax x 恰好有两实根 9.用数学归纳法证明“122...221322-=++++++n n ”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为（ ）A. 1B. 1+2C. 2221++D. 322221+++ 10.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（ ）A. 21B. 34C. 52D. 5511.有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12.若函数()()211x f x e a x =--+在()0,1上递减，则a 的取值范围是（ ）A. ()221,e ++∞B. )221,e ⎡++∞⎣C. ()21,e ++∞D. )21,e ⎡++∞⎣第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省莆田市第二十五中学2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题理
莆田其次十五中学2024-2025学年下学期月考一试卷高二理科数学考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．已知命题，. 则为（）A．， B．， C．， D．，2．椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．若函数，则（）A． B． C．1 D．04．一质点沿直线运动，假如由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是A．0秒 B．1秒末 C．4秒末 D．1秒末和4秒末5．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A． B．C． D．6．已知函数，则（）A．0 B．-1 C．1 D．-27．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（）A． B．C． D．8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥10．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．11．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．12．已知点，，则，两点的距离的最小值为A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题13．命题“若，则”的逆否命题是______．14．焦点为()0,2的抛物线标准方程是__________．15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--332912=___________。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
2021年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)含解析
2021年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．38．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．xx学年山东省淄博市淄川一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．故选C．3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M 点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选C．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．故选A．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】确定a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，4﹣a2=a+2，即可求出a的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4﹣a2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a＞0，所以a=1．故选：A．8．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由cos＜＞==﹣1，能求出向量与的夹角为π．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，∴向量=（﹣1，﹣2，6），=（1，2，﹣6），∴cos＜＞==﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据本题的条件，E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA1=90°，再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1，从而证明AE⊥平面A1ED1，是一个特殊的线面角．【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，∴∠AEA1=90°，又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1ED1，故选B二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是﹣2．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，知，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，∴，解得x=4，y=﹣6，∴x+y=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．【分析】根据题图中的坐标系得到向量，，，的坐标，利用向量的坐标运算解答．【解答】解：由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，，1），F1（0，，1），=（0，﹣，1），=（0，，1），所以cos＜，＞===，所以BE1与DF1所成的角的余弦值为．故答案为：．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m 的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．∴，解得m＞2．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一个为真一个为假．∴或，解得1＜m≤2，或m≥3．则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．【解答】（本题12分）证明：（1）∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴，∴AC⊥BC；…解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，，设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为600，则．而∴=，=．∴，．当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．…17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线方程为，将点A坐标代入算出，从而得到双曲线方程．再将双曲线方程化成标准形式，即可算出a、b、c的值，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，∴设所求双曲线方程为∵点在双曲线上，∴，解之得∴所求双曲线方程为∵，∴可得，得c=因此，双曲线的离心率为：18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【考点】其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．【分析】若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±220．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ 法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．xx年10月18日f22103 5657 噗22380 576C 坬27823 6CAF 沯36307 8DD3 跓40156 9CDC 鳜32650 7F8A 羊- 39709 9B1D 鬝37477 9265 鉥|T37923 9423 鐣。
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高二理科数学下学期第一次月考试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分） 1、若复数iiz +-=11则z 等于（ ） Ａ、i -Ｂ、iＣ、i 2Ｄ、i +12、一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（ ）种不同的取法Ａ、2216C CＢ、1226C CＣ、36CＤ、38C3、在用数学归纳法证明等式)12(2321+=+⋯+++n n n 时，当1=n 时的左边等于（ ）Ａ、1Ｂ、2Ｃ、3Ｄ、44、曲线x x x y 435125++=在1-=x 处的切线的倾斜角是（ ）Ａ、4π-Ｂ、4πＣ、43πＤ、45π5、定义运算bc ad d c b a -= ，则符合条件1 z z i -i -=1的复数z 的值为（ ）Ａ、i 2- Ｂ、i -Ｃ、i 2Ｄ、i6、函数13)(3+-=x x x f ，]0,3[-∈x 的最大值、最小值分别是（ ）Ａ、3,－17 Ｂ、1,－1Ｃ、1,－17Ｄ、9,－197、平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（ ）Ａ、空间中平行于同一直线的两直线平行 Ｂ、空间中平行于同一平面的两直线平行 Ｃ、空间中平行于同一直线的两平面平行 Ｄ、空间中平行于同一平面的两平面平行8、旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（ ）Ａ、24Ｂ、48Ｃ、64Ｄ、819、⎰12dx e x等于（ ）Ａ、)1(212+e Ｂ、)1(212-e Ｃ、12-eＤ、21e -10、3sinπ=y 则y '等于（ ） Ａ、0Ｂ、3cosπＣ、3sin31πＤ、3cos31π11、5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（ ） A 、480B 、960C 、720D 、144012、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且0)(≠x g ，当0<x 时，0)()()()(>'-'x g x f x g x f 且0)3(=g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A 、)3,0()0,3( -B 、),3()0,3(+∞-C 、),3()3,(+∞--∞D 、)3,0()3,( --∞二、填空题（每小题4分，共16分）13、若713n n C C =则2n C ＝14、⎰-=-55225dx x15、垂直于直线0162=+-y x 且与曲线1323-+=x x y 相切的直线方程的一般式是16、设{},6,4,3∈a {}8,7,2,0∈b ，{}9,8,1∈R 则圆222)()(R b y a x =-+-可以表示 个大小不等的圆， 个不同的圆，（位置不同或大小不等）（用数学作答）高二理科数学试题一、选择题二、填空题：13、 14、 15、 16、 三、解答题17、计算求值（本题满分12分，每小题6分）（1）计算⎰+22)2cos 2(sinπdx xx （2）已知复数z 满足)3(1)3(i z i z z -=-⋅求z18、（本题满分12分） 已知曲线34313+=x y （1）求曲线在点)4,2(P 处的切线方程（2）求曲线过点)4,2(P 的切线方程19、（本题满分12分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒（3）若甲、乙两人都被选且必须相邻两棒20、（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S 且11=a ，)(*2N n a n S n n ∈= （1）试求出1S ，2S ，3S ，4S ，并猜想n S 的表达式 （2）证明你的猜想，并求n a 的表达式21、（本题满分12分）设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= ),,,(R d c b a ∈图象关于原点对称，且1=x 时，)(x f 取极小值32- （1）求d c b a ,,,的值（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过两点处切线互相垂直？试证明你的结论。
22、（本题满分14分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值 （1）求实数a 的值； （2）若b x x f +-≤25)(时∈x ]2,0[恒成立，求实数b 的取值范围； （3）证明对任意的正整数n ；不等式211ln nn n n +<+都成立高二理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）、13、19014、225π15、023=++y x 16、3，3617、解（1）⎰+22)2cos 2(sinπdx xx ⎰+=20)sin 1(πdx x⎰⎰+=2020sin ππxdx dx)]0cos (2cos [2---+=ππ12+=π（2）设),(R b a bi a z ∈+=则i bi a i b a 31)](3[22+=--+i ai b b a 313322+=--+∴⎩⎨⎧=-=-+∴331322a b b a ⎩⎨⎧=-=∴01b a 或⎩⎨⎧=-=31b a1-=∴z 或i 31+-18、解：（1）2x y =' 4|2='∴=x y∴所求切线方程为)2(44-=-x y 即044=--y x（2）设切点)3431,(300+x x A则切线方程为)()3431(02030x x x x y -=+-又切线过点)4,2(P)2()3431(402030x x x -=+-∴ 10-=∴x 或20=x∴切线方程为044=--y x 或02=+-y x19、解：（1）602622=A A （2）480361212=A C C （3）180332226=A A C 20、解：（1）11=S 342=S 233=S 584=S 猜想12+=n n S n （2）证明①当1=n 时 111121=+⨯=S 成立 ②假设k n =)1(*N k k ∈≥且时，12+=k kS k 成立 那么1+=k n 时121)1(++⋅+=k k a k Skk k k S k S k S S k 21212)1()1()()1(+-+=-+=++1)1()1(2122)1(2)1(22221+++=+⋅++=++=∴+k k k k k k k S k k k S k k 1+=∴k n 时命题成立由①②可知，对于一切*N n ∈ 12+=n nS n 均成立由)1(222+==⇒=n n nS a a n S n n n n 21、解：（1）)(x f 图象关于原点对称∴d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+--- ∴0842=-d bx 恒成立 ∴0,0==d b∴cx ax x f +=3)(c ax x f +='23)(∴03)1(=+='c a f 且a 32-=+c∴31=a 1-=c （2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点，使结论成立。
（反证法）：假设图象上存在两点),(),(2211y x B y x A 使得过此两点处切线互相垂直，则由1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1211-=x k 1222-=x k 且1)1)(1(2221-=--x x ①]1,1[,21-∈x x 01,012221≤-≤-∴x x 0)1)(1(2221≥--∴x x 这与①式矛盾故假设不成立22、解：（Ⅰ）,121)(--+='x ax x f0=x 时，)(x f 取得极值，0)0(='∴f ，故,010201=-⨯-+a解得.1=a 经检验1=a 符合题意。
（Ⅱ）由1=a 知,)1ln()(2x x x x f --+=由,25)(b x x f +-≤ 得023)1ln(2≤-+-+b x x x ， 令b x x x x -+-+=23)1ln()(2ϕ， )1(2)1)(54(23211)(+-+-=+-+='x x x x x x ϕ， 当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，于是)(x ϕ在)1,0(上单调递增； 当)2,1(∈x 时，0)(<'x ϕ，于是)(x ϕ在)2,1(上单调递减。
02312ln )1()(max ≤-+-==∴b x ϕϕ 212ln +≥∴b。