一阶齐次微分方程求解
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
第3,4节 齐次方程, 一阶线性微分方程
y
2(1ex ), 2(e 1) ex ,
0
x
x 1 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y Ce P( x)dx .
例 3 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P( x)dx sin xdx cos x,
u
2
(x
3
1) 2
C
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 解微分方程y y tan y .
推导微分方程的齐次微分方程与一阶线性微分方程的解法
推导微分方程的齐次微分方程与一阶线性微分方程的解法微分方程是数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在微分方程的求解过程中，齐次微分方程和一阶线性微分方程是常见的两类方程，它们各自有特定的解法。
本文将分别介绍齐次微分方程和一阶线性微分方程的推导和解法。
一、齐次微分方程的推导和解法齐次微分方程是指形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是关于x 和y的函数，且满足f(tx, ty) = f(x, y)。
为了解齐次微分方程，我们引入一个新的变量z = y/x，然后对z进行求导，得到dz/dx = (dy/dx - z)/x。
将原方程中的dy/dx带入上式，化简得到 dz/dx + z/x = f(x, z)。
此时，我们可以使用常数变易法来解此齐次微分方程。
令 z = u/x，其中u是关于x的函数，然后对z求导，得到dz/dx = (du/dx - u)/x。
将dz/dx 和 z/x的表达式代入原方程，整理得到 du/dx = f(x,u)。
此时，我们发现变量u满足一阶线性微分方程，可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。
二、一阶线性微分方程的推导和解法一阶线性微分方程是指形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
为了解一阶线性微分方程，我们引入一个新的变量u = e^(-∫p(x)dx)y，然后对u进行求导，得到du/dx = e^(-∫p(x)dx)(q(x) - p(x)y)。
将原方程中的dy/dx和u的定义带入上式，化简得到 du/dx + p(x)u = q(x)e^(-∫p(x)dx)。
此时，我们可以使用积分因子法来解此一阶线性微分方程。
积分因子是指方程中的p(x)的乘积，即μ(x)= e^(∫p(x)dx)。
将积分因子代入上式，得到(μ(x)u)' = q(x)μ(x)。
对等式两边进行不定积分，得到μ(x)u = ∫q(x)μ(x)dx + C，其中C为积分常数。
一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
本文探讨了一阶常系数线性齐次微分方程组的求解方法，以此为基础探讨了许多有关如何解决这一类问题的理论概念与实际应用等。
：
一阶常系数线性齐次微分方程组是指形如$ax^{'}+bx=0$（$a,b$为常数）的无限维微分方程组，它的解可以用下面求解过程求得：
（1）当$a=0$时，
若$b\neq 0$，则原方程有唯一解，为$x(t)= \frac{C}{b}$；
若$b=0$，则原方程有无穷多解，为$x(t)=C$，其中$C$为任意常数；
（2）当$a\neq 0$时，
原方程有唯一解，为$x(t)=e^{-\frac{b}{a}t}C$，其中$C$为任意常数。
因此，一阶常系数线性齐次微分方程组的解存在唯一解或者无穷多解，
具体视系数而定。
要求解这类微分方程组，我们要简化原方程，一般可以先将原方程分拆成$ax^{'}=f(t)-bx$的形式，然后再用积分因子$u=e^{\int{-\frac{b}{a}}dt}$解之，最后求得它的解即可。
第二节齐次方程一阶线性微分方程
dy y 形如 ( ) dx x
的微分方程称为齐次方程.
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
首页 上页 返回
o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
下页
结束
铃
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2u2 C . x 1 u2 y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
首页 上页
x y
所求特解为 e ln | y | 1
返回 下页 结束 铃
x y
例5. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y
分离变量
1 1 dx du dx 即 d u 2 u1 u x u u x
即
u1 C/x u
2 u x u 2u u
P ( x ) dx
P ( x ) dx , u( x ) Q( x )e dx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
记住此公式
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
y x ), 令 u y , y ux , y x x y u xu. cos u u sin u 代入原方程得 u xu u( ), u sin u cos u
齐次线性微分方程的通解
齐次线性微分方程的通解
一阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构也是类似的。
解的特点：一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解。
一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解。
通解的结构：一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解。
一阶非齐次：y＝y＋Cy1，其中y是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解。
这与直接套用公式得到的一阶线性方程的通解是一样的。
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一阶线性齐次微分方程式求解
一阶线性齐次微分方程公式：y'+P（xy）=Q（x）。
Q（x）称为自由项。
一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。
通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。
对于一阶线性微分方程的求解，可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。
解微分方程就是找出未知函数。
是伴随着微积分学一起发展起来的。
微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。
此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。