均匀带电圆环片的空间静电场

X IAO W en bo , HE X ing dao , ZHU Quan shu i, Y I Jiang lin , HA I X ia
1 , 2 1 , 2 1 1 1
( 1! T he N ationa l Physics Exper i m ent T each ing Center , N anchang H angkong U niversity , N anchang , Jiangx i 330063, China ; 2! K ey L ab o f N on D estructive T est o fM in istry of Education , N anchang H angkong U n ive rs ity , N anchang , Jiangx i 330063, Ch ina)
#
2l r 2l- 1 b
∀
2l+ = 0
4 l+ 1 1 a ( 2 l+ 2) ( 2l- 1) 2 l+ 2 r
2l - 1
( 6)
2∀ 0 l= 0 P2l ( 0) P2l ( cos ! ) er +
∀
#
1 r P2l ( 0) P2l ( cos !) sin ! e! 2l - 1 b 3 ) 当 r > b 时, 由式 ( 4) 可得场强分布
l= 0
!
b a 2l
r r
2l
dr =
图 1
2∀ 0 ( 1)
l= 0
1 a 2l - 1
r a
2l
-b
r b
P2l ( 0) P2l ( cos ! ) ( 2)
du = 其中 | r - r | =
2
r dr d 4 ∀ 0 |r - r |
2
2) 当 a < r < b 时, 电势分布为 u (r, ! )= 4∀ 0
! !| rd - r |
b 2 0 a
r dr
下面利用勒让德多项式与母函数的关系分 3 种情况 计算积分 . 1) 当 r < a 时, 1 1 = |r - r | r
∀
l= 0 [ 4]
r r
l
Pl ( cos #) 2 得
∀
利用球谐函数加法公式
和 !=
Pl ( cos # ) = Pl ( cos !) Pl ( 0) + 2
( 下转 46 页 )
u ( r, !) =
2∀ 0
l= 0
( 4l + 1) r 1 b r ( 2 l+ 2) ( 2l - 1) 2 l- 1 b
2l
#
46
大
学
物
理 实践 [ J]. 物理实验 , 2001, 21 ( 1 ): 28 29.
第 29 卷
实验参数、 反复调整仪器, 这对学生剖析仪器性能和 结构、 理解实验的设计思想和方法是很不利的 . 而计 算机仿真实验的成本较低 , 可在相当程度上弥补实 验教学上这方面的缺憾 , 因此通过仿真实验可以扩 大同学们的知识面, 了解到更多的物理实验. 但是要使 % 仿真物理实验 &的有关软件得到有 效应用 , 就要求教师花力气 认真研究 . 相信随着发 展 , 在各个学科的教学中仿真实验将具有广泛的发 展前景 .
[ P2 l ( cos ! ) sin ! e! + ( 2 l+ 1) P2l ( cos ! ) er ] ( 7)
3 讨论
1 ) 当 a = 0 时, 由式 ( 3) 、 ( 4) 、 ( 6) 、 ( 7) 可得到 带电圆盘在空间产生的电势及场强: 当 r < b 时,
∀
参考文献:
[ 1] 历爱 皊 , 姜黎 霞 . 均匀 带电圆 盘电 位的空 间分 布 [ J ]. 山东农业大学学报 , 2003, 34 ( 04) : 559 561 .
参考文献:
[ 1] 王晓蒲 , 霍剑 青 , 杨 旭 , 等 . 大学 物理 仿真 实验 和教 学
The m isunderstanding on college physica l si m ulation experi m ents : Teach ing analysis of therm istor temperature characteristics
2l
P2 l ( 0) P2l ( cos !)
2l - 1
1) 当 r < a 时, 由式 ( 2)可得场强分布 ∀ P2l ( 0) r 2l - 1 r E ( r, ! )= 2∀ a b 0 l = 0 2l- 1 [ P2l ( cos !) sin ! e! - 2lP2l ( cos ! ) er ]
∀
# ( 5)
#
l= 0
[ P2l ( cos !) sin ! e! - 2 lP2l ( cos !) er ] 当 a < r< ∀ 时,
∀
2) 当 a < r < b 时, 由式 ( 3)可得场强分布 E(r ,! )=2 ∀ 0
l= 0 2l - 1
4l+ 1 + ( 2l+ 1) (2 l+ 2) ( 2l- 1) 2l+ 2 P2l ( 0) P2l ( cos ! )er +
∀
P2 l ( 0) P2l ( cos !)
2 场强分布
空间各点的电场强度可由电势 u 求得 E= u = - u er - 1 u e!. r r !
2l- 1
u ( r, !) = E ( r, !) =
2∀ 0 2∀ 0
l= 0 ∀
1 r a 2 l- 1 a P2l ( 0) 2 l- 1 r a
∀
! ! 1 r !r r
b 2 0 a
r dr
d = |r - r |
l
u ( r, !) =
2∀ 0 2∀ 0
l= 0 ∀
1 b b 2l + 2 r P2l ( 0) 2 l+ 2 b r
2l + 1
P2l ( 0) P2l ( cos !)
2l + 2
∀
b
r dr b r
2l+ 1
l= 0
a
[ 4]
)
cos # = sin !cos( - ) 将式 ( 1)叠加, 得到整个圆环片在空间任意点 P ( r, ! , ) 处产生的电势为 u( r , ! )= 4 ∀ 0
1 电势分布
研究的问题是: 内外半径分别是 a 和 b 的圆环 片 , 均匀带电且电荷面密度为 , 求它在空间任意一 点的静电场 . 如图 1 所示 , 将坐 标原点选 在圆环 中心 O 点 上 , 环面在 xy 平面内 , z 轴沿圆环面轴线, 建立球坐 标系. 在环片上的 P ( r , /2, )点处取面积元 dS, 且 dS = r dr d , 则面积元带有电荷 dq = r dr d , 此电荷在空间任意点 P ( r, ! , )处产生的电势为
∀
4l+ 1 1 a 2 ∀ ( 2l+ 2) ( 2l- 1) 2l+ 2 r 0 l= 0 P2l ( 0) P ) sin ! e! 2l ( cos !
#
E ( r, !) =
2∀ 0
l= 0
P2l ( 0) 2l+ 2
b r
2l + 2
-
a r
2l + 2
该问题也可通 过解偏微分方 程定解问题的 方 # 法来处理 , 但在 a < r < b 区间上就要解非齐次微分 方程, 这将使问题复杂化 . 而利用点电荷电势的 叠 加法, 可巧妙利 用勒让 德多项 式与母 函数 间的 对 应关系计算 积分 , 方法 简单明 了 , 物理 意义 清晰 , 具有普遍意义.
l= 0
4l+ 1 ( 2l+ 2) ( 2l- 1)
2l- 1
2∀ 0
l= 0 ∀
1 r- a 2l+ 2
P2l ( 0) P2l ( cos ! )+ ( 3)
2l r 2l- 1 b
∀
P2l ( 0) P2l ( cos ! ) er + 4l+ 1 2l r ( 2l+ 2) ( 2l- 1) 2l- 1 b
文献 [ 1 , 2] 采用电势叠加原理, 文献 [ 3] 采用延 拓法和方程法等 , 对均匀带电圆盘或圆环在空间产 生的电势进行了分析 , 但计算过程都很复杂. 本文利 用点电荷的电势叠加及勒让德多项式与母函数的关 系 , 很方便地得到了均匀带电圆环片在空间产生的 电势及场强 .
于坐标原点的夹角 , 由夹角公式 cos #= cos !( cos ! ) + sin !( sin ! ) cos( 和 != 2 得
!
2 0
Pl ( cos # )d = a r
2l + 1
E ( r, ! )=
#
l= 0
2∀ 0
l= 0
1 b 2 l+ 2
- a
# ( 4)
[P ) si n! e! + ( 2 l+ 1)P2l ( cos ! )er ] 2l ( cos ! 其电势的解与文献 [ 5]相同. 2) 当 b ∃ ∀ 时 , 由式 ( 2) 、 ( 3) 、 ( 5) 、 ( 6) 可得挖 去半径为 a 的圆孔后的无限大带电薄板在空间产生 的电势及场强 : 当 r< a 时,
30
大
∀
学
物
理
第 29 卷
1 4 ∀ 0 r
∀
l= 0 b r