一半径为的均匀带电圆环

习题

1. 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求：(1)圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E

题1图

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为2

04R

dq E d πε=

由

对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即

()

2

32

2

2

04cos z

a

zdq

R

z R

r dq E d E d z +==

=πε

πεθ

积分得到

()()

()

()

2

32

2

2

32

2

02

32

2

2

32

2

42444z

a

qz

a z

a

z dl

z

a

z

dq z

a z

E l

z +=

+=+=

+=

⎰⎰

πε

ππε

λ

λπε

πε

2. 半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为δ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场强，(2)在保持δ不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何？(3)在保持总电荷δπ2a q =不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何

?

题2图

解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为δπdr dq 2=由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为

()

()

2

32

2

2

32

2

24z

r

rdr

z z

r

zdq

E d +=

+=

εδπε

则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为

()

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+-=

+=

⎰

2

2

00

2

32

2

122z

a z z

r

rdr

z E a

z εδεδ （2）若δ不变，当0→a 时，则0)11(20=-=εδ

z E ；

当∞→a ，则0

02)01(2εδ

εδ=

-=z E

(3)若保持δπ2a q =不变，当0→a 时，此带电圆面可视为一点电荷。则

2

04z

q E z πε=

。当∞→a 时，0→δ，则0=z E

。

3. 在介电常数为ε的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存在介质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为

)

()

0(02

a r r

r q E a r E r w >=

<<=πε

故静电能量为

a q dr r r q

dV

E dV E D W V

V πεππεεε8442

121212

2

2

2

2

=⎪⎭⎫

⎝⎛

==∙=⎰⎰

⎰∞

4. 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填

充介电常数为ε的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷λ。试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为

a

b W ln

42

πε

λ

=

证：在内外导体间介质中的电场为

)(2b r a r

E <<=

πελ

沿同轴线单位长度的储能为

a b

dr r e dV

E e dV D E W ln 4222

2

212

2

πελππελ

=⎪⎭

⎫

⎝⎛==

∙=⎰

⎰

⎰

5. 已知两半径分别为a 和)(a b b >的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为V 。试证：将半径分别为a 和b ，介电常数为ε的介质管拉进电容器时，拉力为

a

b V

F ln )(2

0εεπ-=

证：内外导体间的电场为

a

b r V E r ln

=

插入介质管后的能量变化为

a

b zV

dz dr

r a b r B dV

E W z

b

a

v

ln )(ln 2)(2

1)(212

00

22

2

02

0εεππεεεε-=

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=-=

⎰

⎰

⎰

式中z 为介质管拉进电容器内的长度。故拉力为

a

b V

z

W

F V ln )(2

0εεπ-=

∂∂=

不变

6. 求均匀极化介质圆球的极化电荷分布。