一半径为的均匀带电圆环

习题

1. 一半径为a的均匀带电圆环，电荷总量为q，求：(1)圆环轴线上离环中心o点为z处的电场强度E

题1图

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq在P点产生的场强为204RdqEd由对称性可知，整个圆环在P点产生的场强只有z分量，即

23220204coszazdqRzRrdqEdEdz

积分得到

2322023220232202322042444zaqzazazdlzazdqzazElz

2. 半径为a的圆面上均匀带电，电荷面密度为，试求：(1)轴线上离圆心为z处的场强，(2)在保持不变的情况下，当0a和a时结果如何？(3)在保持总电荷2aq不变的情况下，当0a和a时结果如何? z R dq

题2图

解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r的圆环，它所带的电荷量为drdq2由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为

232202322024zrrdrzzrzdqEd

则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为

220023220122zazzrrdrzEaz

（2）若不变，当0a时，则0)11(20zE；

当a，则002)01(2zE

(3)若保持2aq不变，当0a时，此带电圆面可视为一点电荷。则204zqEz。当a时，0，则0zE。

3. 在介电常数为的无限大约均匀介质中，有一半径为a的带电q的导体球，求储存在介质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为

)()0(02arrrqEarErw

故静电能量为

aqdrrrqdVEdVEDWVV844212121202222

4. 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a，外导体内表面的半径为b，其间填z R dq

oa 充介电常数为的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷。试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为

abWln42

证：在内外导体间介质中的电场为

)(2brarE

沿同轴线单位长度的储能为

abdrredVEedVDEWln422222122

5. 已知两半径分别为a和)(abb的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为V。试证：将半径分别为a和b，介电常数为的介质管拉进电容器时，拉力为

abVFln)(20

证：内外导体间的电场为

abrVErln

插入介质管后的能量变化为

abzVdzdrrabrBdVEWzbavln)(ln2)(21)(21200222020

式中z为介质管拉进电容器内的长度。故拉力为

abVzWFVln)(20不变

6. 求均匀极化介质圆球的极化电荷分布。 θPz+++++++-------

题6图均匀极化介质

解：圆球表面上存在极化电荷，在半个球面上为正电荷，另半个球面上为负电荷，分布不均匀。以平行于P的直径为z轴，如题6图所示，则与z轴夹角为的地方，极化电荷面密度为

cosPPn

7. 真空中一半径为R的圆球空间内，分布有体密度为的电荷，为常量。试求静电能量。

解：应用高斯通量定理，得出电场强度

)(3)(32030RrrRERrrErr

故

520242052022022220154494922RdrrrRdrrrdVEWRRVe

8. 今有一球形薄膜导体，半径为R，其上带电荷q。求薄膜单位面积上所受膨胀力。

解：孤立导体球电容

RRqqqC0044/

采用球坐标，原点置于球心，选g为R，则 202022222284222RqCqRCCqFgCCqFRg

RF的方向与R增大的方向相同，为膨胀力。单位面积上的力为

DEERqRFFSSRR21212)4(240222022

该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。

9. 在半径为a的球体内，均匀分布着电荷，总电荷量为q，求各点的电场E，并计算电场E的散度和旋度。

题9图电荷的球体分布

解：由于电荷分布的球对称性，电场E只有沿r方向的分量，并且在与带电球同心的球面上电场E的值处处相同。因此，在ar的区域内，可取半径为r的同心球面为高斯面，如题9图所示。高斯面上各点的电场E与面元dS的方向相同。于是，由高斯定理，有

024qErdSEdSErSr

所以

204rqEr

矢量形式为

)(430arrqrE

在ar的区域内，同样可作出半径为r的球面为高斯面。于是，有

024qErdSESdErSr

式中q为高斯面内的电荷，其值为 

o a

maxE

(a) （b） 333333/43434aqraqrrq

所以

)(443030ararqEaqrEr或

当ar时，由上面的推导结果得出相同的E值为204aq；当ar时，即超过这个表面时电场是连续的。关于上面的结果示于题9图（b）上。

下面计算电场的散度和旋度。在ar的区域内，有

04043030rrqErrqE

而在ar的区域内，有

0443400300rqEaqrqE

10. 已知电场强度如下式所示，求体电荷密度)(电容率e。

),(0033为常数EaaEaeEr

解：因为

EDDe，

所以

0320334)(EaEaEe

11. 真空中有一电荷线密度为l的圆环形均匀带电线，其半径为a。试求圆环轴线上任一场点P处的电场强度。 xzdEdEzdErP(0,0,z)ROaαφ'dφ'ρl

题11图

解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与z轴重合，如图所示。在圆环上任取一线电荷元，即''addldQll，它在场点P处所产生的场强元为

ReRdQEd204

其中：22azR。由于电荷分布对称，场点P处场强元的径向r分量rdE相互抵消，故只需计算场强元的z分量，于是

'44cos2322020dazazRzRdQdEdElz

在求整个带电圆环在P点所产生的场强时，应将场点坐标暂时视为常量，而只对源点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积分（偏积分）类似，即

2322020232202'4azazdazazEllz

故

zleazazE232202

12. 半径为R的空心球金属薄壳内，有一点电荷q，离球小距离为b，Rb，如图所示。巳知球壳为个性，即壳内外表面总电荷为零。求壳内外的电场。 ObR+qε0ε0q1q2--------++++++++

题12图（a）

解：点电荷q在壳内表面产生感应电荷为qq1金属球壳既然为中性，必须壳外表面有感应电荷qq2。由于金属中电场强度为零，即无电力线穿过金属，故该壳有屏蔽作用。壳内电场强度仅由点电荷q和感应电荷1q决定，而与感应电荷2q无关。壳外电场强度仅由感应电荷2q决定，而与点电荷q和感应电荷1q无关。

计算壳内电场强度时，采用镜象法将1q的作用用镜象电荷tq1来代替，如图所示。tq1距球心为d，bRd2，即q与tq1的位置对球心互为反演关系。tq1的量值为

qbRqRdqt1

根据q和tq1即可计算出壳内电场强度。

R+qq1tObd

题12图（b）

计算壳外电场强度时，可视力q和tq1皆不存在。由于2q为均匀分布，将2q集中于球心是等效的。 13. 真空中，电荷按体密度2201ar分布在半径为a的球形区域内，其中0为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。

解：由于电荷分布具有球对称分布，电场也应具有球对称分布，因此，E沿半径方向，且只是r的函数。作一半径为r的同心球面S，应用高斯定律的积分形式可得。当ar时

02224QErSdES

而Q为球面S包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。

30024200215844adrarrdrrrQaa

因此

20302152raaEr

当ar时

25300200121534414arrdrrrErSdErS

2300133arraEr

取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为

rardEr030022152

球面上ar的电位为

020152aS

当ar时

2422001110322arrardErarS

由于30158aQ，在球外，电场和电位还可以写成 20241rQaEr

rQ0241

14. 已知空间某一区域内的电位分布为zchyax32sin2，求此空间内的体电荷分布及电场强度E。

解：先求电荷体密度

把已知电位分布zchyax32sin2，代入泊松方程，得

02232sin52zchyax

zchyax32sin2520

再求电场强度E

由zzyyxxzyxEeEeEezeyexeE

zchyaxxEx32sin2

zchyaxyEy32cos22

zshyaxzEz32sin32

15. 将介电常数为、内外半径分别为a和b的介质球壳从无限远处移至真空中点电荷Q的电场中，并设点电荷Q位于坐标原点处。求此过程中电场力所做的功。

解：由高斯定理得到

24rQeDr

介质球壳移入前后，区域bra中的静电能量密度分布为

brarQDwe2200204212

brarQDwe2224212

介质球壳移入前后，静电能量的变化量为

dVwwWVeee0

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大学物理稳恒磁场习题及答案 (1)

衡水学院理工科专业《大学物理B》稳恒磁场习题解答

一、填空题（每空1分）

1、电流密度矢量的定义式为：dIjndSvv ，单位是：安培每平方米（A/m2）。

2、真空中有一载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S的磁通量 = 0 ．若通过S面上某面元dSv的元磁通为d，而线圈中的电流增加为2I时,通过同一面元的元磁通为d＇，则d∶d＇= 1:2 。

3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O点是半径为R1和R2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O点磁感强度的大小是2020100444RIRIRIB。

4、一磁场的磁感强度为kcjbiaB (SI)，则通过一半径为R，开口向z轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为πR2c Wb。

5、如图2所示通有电流I的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：

对环路a：dBlvvÑ=____μ0I __；

对环路b：dBlvvÑ=___0____；

对环路c：dBlvvÑ =__2μ0I __。

6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。

二、单项选择题（每小题2分）

（ B ）1、均匀磁场的磁感强度Bv垂直于半径为r的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为

A. 2r2B B.r2B C. 0 D. 无法确定的量

（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B1 / B2为

大学物理电磁学复习题含答案

. .

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电.电荷的面密度分别为1和2.

解: 如题8-12图示.两带电平面均匀带电.电荷面密度分别为1与2.

两面间. nE)(21210

1面外. nE)(21210

2面外. nE)(21210

n：垂直于两平面由1面指为2面．

8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体.如题8-13图所示．试求：两球心O与O点的场强.并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合.见题8-13图(a)．

(1) 球在O点产生电场010E.

 球在O点产生电场'dπ4π3430320OOrE

∴ O点电场'd33030OOrE；

(2) 在O产生电场'dπ4d3430301OOE

球在O产生电场002E

∴ O 点电场

003E'OO

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r.相对O点位矢为r (如题8-13(b)图) . . 则

03rEPO.

03rEOP,

∴

0003'3)(3dOOrrEEEOPPOP

∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由q=1.0×10-6C.两电荷距离d=0.2cm.把这电偶极子放在1.0×105N·C-1.

解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩

EpM

理三大学物理期末练习题

大学物理（2）期末练习题（）

一、选择

1．依照高斯定理的数学表达式SεqSE0/d可知下述各类说法中，正确的选项是：

(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强必然为零．

(B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强必然处处不为零．

(D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内必然处处无电荷．［］

2．一“无穷大”均匀带电平面A，其周围放一与它平行的有必然厚度的“无穷大”平面导体板B，如下图。已知A上的电荷面密度为+ ，那么在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：

(A)  1 = -，  2 = +．

(B)  1 =21，  2 =21．

(D)  1 = -，  2 = 0．［］

3. 真空中一根无穷长直细导线上通电流I，那么距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为

(A) 200)2(21aI (B) 200)2(21aI

4. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，如下图．B的大小以速度dB/dt转变．在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线BA，那么

大学物理作业答案(下)

哈尔滨工程大学大学物理教学中心 — ３３ — 65．如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，求：它们在O点的磁感应强度。

1 RIB80

方向垂直纸面向外

2 RIRIB2200 方向垂直纸面向里

3 RIRIB4200 方向垂直纸面向外

66．一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转。试求圆筒内部的磁感应强度。

解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i，

RRi)2/(2

作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab上各点B的大小和方向均相同，而且B的方向平行于ab，在bc和fa上各点B的方向与线元垂直，在de, cdfe,上各点0B．应用安培环路定理

IlB0d

可得 abiabB0

RiB00

圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为RB0，方向平行于轴线朝右．

i c d e a b f

哈尔滨工程大学大学物理教学中心 — ３４ — 67．在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a（如图）。今在此导体内通以电流I，电流在截面上均匀分布，求：空心部分轴线上O 点的磁感应强度的大小。

解：)(22rRIJ

10121rkJB

20221rkJB

jJaOOkJrrkJBBB0210210212121)(21

大学物理23跨章综合

跨章综合题

一、单选题：

1、（1305B40）

图示为一固定的均匀带正电荷的圆环，通过环心O并垂直于环面有一固定的绝缘体细棒，细棒上套着一个带负电的小球．假定起始时，小球在离O较远的P点，初速度为零，不计小球与细棒间摩擦，则小球将：

(A) 沿轴线向O点运动，最后停止于O点不动．

(B) 沿轴线经O点到达对称点P′处停止不再运动．

(D) 以O点为平衡位置，沿轴线在PP′两点的范围内作非简谐振动．

［］

2、（1400B35）

假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m，摆长为l)．若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F．则此单摆在该电梯室内作小角度摆动的周期为：

(A) Fml2 ． (B) Flm2 ．

3、（2758B35）

在水平均匀磁场中，一质量为m的环形细导线自由悬挂在非弹性线上，沿着环流过的电流为I，环相对铅直轴作微小的扭转振动的周期为T，则磁场的磁感应强度的大小为

(A) 22ITm (B) 24ITm

4、（4247A20）

设氢原子的动能等于氢原子处于温度为T的热平衡状态时的平均动能，氢原子的质量为m，那么此氢原子的德布罗意波长为

(A) mkTh3． (B) mkTh5．

大学物理(下)练习题

1 xyoaa(0,)Pyqq大学物理（下）练习题

第三编电场和磁场

第八章真空中的静电场

1．如图所示，在点((,0)a处放置一个点电荷q，在点(,0)a处放置另一点电荷q。P点在y轴上，其坐标为(0,)y，当ya时，该点场强的大小为

(A) 204qy； (B) 202qy；

[ ]

2．将一细玻璃棒弯成半径为R的半圆形，其上半部均匀分布有电量Q, 下半部均匀分布有电量Q，如图所示。求圆心o处的电场强度。

3．带电圆环的半径为R,电荷线密度0cos,式中00，且为常数。求圆心O处的电场强度。

4．一均匀带电圆环的半径为R，带电量为Q，其轴线上任一点P到圆心的距离为a。求P点的场强。

5．关于高斯定理有下面几种说法，正确的是

(A) 如果高斯面上E处处为零，那么则该面内必无电荷；

(B) 如果高斯面内无电荷，那么高斯面上E处处为零；

(D) 如果高斯面内有净电荷，那么通过高斯面的电通量必不为零；

(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。 [ ]

6．点电荷Q被闭合曲面S所包围，从无穷远处引入另一点电荷q至曲面S外一点,如图所示，则引入前后

(A) 通过曲面S的电通量不变，曲面上各点场强不变；

(B) 通过曲面S的电通量变化，曲面上各点场强不变；

(D) 通过曲面S的电通量不变，曲面上各点场强变化。 [ ]

7．如果将带电量为q的点电荷置于立方体的一个顶角上，则通过与它不相邻的每个侧面的电场强度通量为 yxoRqSQ 2 (A)

静电场计算题

1.如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为=q / L，在x处取一电荷元dq = dx = qdx / L，它在P点的场强：

204ddxdLqE204dxdLLxq

2分

总场强为 LxdLxLqE020)(d4－dLdq04 3分

方向沿x轴，即杆的延长线方向．

2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在处取微小电荷

dq = dl = 2Qd / 

它在O处产生场强

d24dd20220RQRqE 2分

按角变化，将dE分解成二个分量：

dsin2sindd202RQEEx

dcos2cosdd202RQEEy

3分

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

2/2/0202dsindsin2RQEx＝0 2分

2022/2/0202dcosdcos2RQRQEy 2分

所以 jRQjEiEEyx202 1分

均匀带电圆环的电场

均匀带电圆环的电场是电磁学中的一种重要概念，它是指沿着一个无限大的均匀带电圆环上分布的电场。该圆环上的电场可以认为是由单一电荷Q构成，其分布于圆环上，并分布在位置r处。

由于圆环上的电荷是均匀分布的，因此其电场的强度也是均匀的，其电场的大小可以用圆环的半径R表示，电场的大小可以用公式表示为：E=Q/2πR。这个公式表明，当圆环的半径R变小时，电场的强度E也会随之变小，反之，圆环的半径R变大时，电场的强度E也会随之变大。

均匀带电圆环的电场可以利用电场线来表示，这些电场线是一系列等距离的线段，它们是沿着圆环的切线方向均匀分布的，每个线段的长度表示圆环上电场的强度，线段越长，电场的强度越大，线段越短，电场的强度越小。

此外，由于圆环上的电场是均匀分布的，因此可以利用梯度来表示其分布情况，这一梯度可以表示为：gradE=Q/2πR^2，它表明，随着圆环半径R的增加，梯度也会减小，反之，随着圆环半径R的减小，梯度也会增加。

总之，均匀带电圆环的电场是电磁学中一种重要概念，其分布可以用电场线和梯度表示，其强度可以由圆环半径R来表示，当圆环半径R变小时，电场的强度E也会随之变小，反之，圆环的半径R变大时，电场的强度E也会随之变大。

一半径为R的带有一缺囗的细圆环

63 班级____________学号______姓名____________

第7-1 静电

一. 填空题

1. 电量Q相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，O点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在O点放置一个电量q=_____________的点电荷.

2. 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于__________________________

______________________________________________，这称为场强叠加原理 .

3. 一半径为R的带有一缺囗的细圆环，缺囗长度为d(d<

4. 如图所示，一长为L的均匀带电细棒AB，电荷线密度为+，则捧的延长线上与A端相距为d的P点的电场强度的大小E=_____________，方向为____________.

二、选择题

5. 一点电荷在电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E：( )

(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小

6. 两个电量均为+q的点电荷相距为2a，O为其连线的中点，则在其中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离为：( )

(A)±a/2 (B)±3/3a (C)±2/2a (D)±a2

7. 真空中面积为S，间距为d的两平行板(S>>d2 )，均匀带等量异号电荷+q和-q，忽略边缘效应，则两板间相互作用力的大小是：( )

(A))4/(202dq (B))/(02Sq (C))2/(02Sq (D))2/(202dq

PABdLORd 64

三. 计算题

8. 如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R的半圆，已知棒上的总电量为q，求半圆圆心O点处的电场强度.

9. 试证明均匀带电圆环轴线上任一给定点P处的场强公式为：

2/3220)(41RxqxE

大学物理第8章学习题答案北京邮电大学出版社

习题八

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解: 如题8-1图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷

20220)33(π4130cosπ412aqqaq

解得 qq33

(2)与三角形边长无关．

题8-1图题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．

解: 如题8-2图示 220)sin2(π41sincoslqFTmgTe

解得

tan4sin20mglq

8-3 根据点电荷场强公式204rqE，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解: 020π4rrqE仅对点电荷成立，当0r时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=2024dq,又有人说，因为f=qE,SqE0，所以f=Sq02．试问这两种说法对吗?为什么?

f到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强SqE0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为SqE02，另一板受它的作用力SqSqqf02022，这是两板间相互作用的电场力．

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