线性系统控制理论作业精简版
现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；
线性系统控制理论作业精简版
X 和模态矩阵 M。
4、求
2 0 A= 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
5、将二次型 Q(Z)= 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 化为标准型。 6、将 Q= X
T
AX X 1
X2
2 5 X 1 8 X 3 2 11 2 X 2 5 2 8 X3
= 8 X 12 11X 22 8 X 32 4 X 1 X 2 10 X 1 X 3 4 X 2 X 3 化为标准型。 7、用求矩阵秩的程序，验证题 1、2
第 5 页 共 7 页
4、用叠加法对下图电路列状态方程。
第七、八章 习题 1、已知状态方程的系数矩阵 A(t)＝ 2、求离散系统状态方程齐次解
t 1 （级数取三项即可） ，求 (t ,0) 。 1 t
X 1 ( K 1) 1 5 1 X 1 ( K ) 2 , 其中X (0) 。 1 X 2 ( K 1) 12 1 5 X 2 ( K )
第九章 习题 1、一连续系统中 A= 和可观测性。 2、判断下图电路的能控性和能观性。
2 5 1 ，B= ，C= 1 4 0 1
1 ，试判断该系统的可控性
第 6 页 共 7 页
第十一章 习题 1、已知 X X ，用李氏第一方法和二次型法确定其稳定性。 1 1 2、用 LYAPUNOV 两种方法判断下面系统在原点的稳定性。已知系统方程 为：
4.求
2 X 1 X 2 3X 3 2
X1 2X 2 X 3 1
线性系统控制
自动控制理论，在二战结束后，形成了以 传递函数为基础的经典控制理论，它主 要研究单输入－单输出线性定常系统的 分析和设计问题。
20世纪60年代初期，自动控制理论进入一 个新阶段-----现代控制理论。它主要研究 具有高性能高精度的多变量变参数系统 的最优控制问题，主要采用的方法是以 状态为基础的状态空间法。
单变量系统和多变量系统，凡单个输入与单 个输出的系统称为单变量系统，多个输入 或输出的系统称为多变量系统。
控制与控制变量，按给定的指令使某物理量 改变的行为称为控制，为了使系统完成规 定的任务必须对系统加上适当的控制信号， 此类系统输入变量又称为系统的控制变量。
开环控制和闭环控制，控制量u(t)是根据事先对 系统的了解来确定的，它不受系统的输出y(t) 的影响，这种控制方式称为开环控制。把系统 信息（如输出量y(t)）反作用到系统输入u(t)上 的控制方式称为闭环控制。
输入－输出描述，有y(t) G(t, )u( )d其中G(t, )称
为系统的脉冲响应矩阵G(t, ) [gij (t, )]rm，其中gij (t, )
表示第j个输入端输入一个脉冲 (t )，其它输入端都只
有零输入时，系统第i个输出端的响应。
线性松弛因果系统 由于系统在t 时是松弛的，
可由上式求出。
H (t )称为系统的 脉冲响应函数 ，其意义为在时刻对
——————————
线性松弛系统施加一脉冲函数而得到的系统输出。
H (t ) g(t, ), g(t, )中变量 表示函数加于系统的时
刻，而变量t则为观测输出的时刻。
y(t) g(t, )u( )d
推广到多变量线性松弛系统的
华工线性系统作业
图 3.2 未改进的 LQR 控制输出 从图3.2可以看出，此时系统输出响应的鲁棒性很好，但是响应过程太慢， 且存在较大的稳态误差，所以需要进一步调整Q, R值来是动态响应性能更优。经 过反复调整Q, R的取值可以发现，当Q取值比较小、R取值比较大时，系统的响应 时间很长，而当逐渐调大Q值，或者调小R值时，系统的响应时间迅速变小，到 达稳态所需时间也变小，而且系统的过渡过程没有超调，一直比较平稳。但系统 的稳态误差一直比较大，很难满足要求。所以为了减小稳态误差，这里在反馈环 中引入一个比例环节K p ，其比例系数可以根据跟踪节约输入的需要进行调整。 修改后的结构图如图3.3所示。
图 3.1 LQR 控制器反馈系统结构图 图中 r 为给定信号，u 为控制信号，Y 为输出信号，A、B、C 分别是状态矩 阵、输入矩阵、输出矩阵，在∆1 = ∆2 = 0时，它们分别为 0 1 0 0 ������ = 0 0 1 、������ = 0 、������ = 20000 0 0 0 −30000 −60 1 K 为通过 LQR 算法算得的反馈增益阵，下面编程具体求 K。 3.3.3 仿真及结果分析 根据LQR方法编写Matlab程序，进行仿真分析，其中lqr()函数的调用格式 如下 ������, ������, ������ = ������������������(������, ������, ������, ������) 式中，K是返回的状态反馈矩阵，P为黎卡提代数方程（3-9）的解，E闭环 系统零极点。这里方便起见，先令Q = diag 1 1 1 1 ，R = 1。在仿真时，先使 用∆1 = ∆2 = 0时的状态空间对象，逐步调整Q、R，根据其输出响应曲线，求出使 系统动态响应性能最优的参数。然后，在要求范围内改变∆1 、∆2 的值，考查参数 不确定性对闭环系统的影响。 （1）∆1 = ∆2 = 0的情况 此时易知系统的模型是确定的，可以直接输入相关参数编程仿真，需要注 意的是Q、R的选取。当Q = diag 1 1 1 ，R = 1时，系统的输出响应如图3.2所 示。 3.1
清华线性系统控制理论作业一参考解答
2．(根据框图写出状态空间描述) 图2.2中描述了列车悬浮系统的工作原理，其中，1、2、3、 4为电磁装置，车辆通过电磁力的作用，悬浮于轨道上。磁悬浮控制系统的目的是通过调整 电磁作用力的输入，保证列车在运行过程中的平稳。这里我们考虑车辆运行过程中产在x和y 轴两个方向的位移，给出其线形化系统框图如图2.1所示
描述，其中g 是重力加速度常数，如图3所示，h 是自行车质心距地面高度，w 是两个轮子 与地面接触点的距离， b 是自行车质心投影与后轮和地面接触点的距离。 试给出该线性系统 的一个状态空间描述。
图3 参考文献： [3.1] Bicycles, motorcycles, and models-single-track vechicle modeling and control, IEEE Control Systems Magazine, October, 2006. 参考解答：
作业一
1．（线性化）已知倒立摆系统满足如下非线性状态方程
1 (t ) x2 (t ) x 2 (t ) ( g / l ) sin x1 (t ) u (t ) x
通过线性化给出系统在平衡解 [ x1 (), x2 ()] [0,0] ， u () 0 的邻域内的线性模型。 参考解答：
图 2.2
参考解答：
注意状态变量的维数. 3． （从传递函数得到状态方程描述）图3中给出了解释自行车姿态动态平衡的原理图示。在 前进速度保持为定常v 的假设下，车把转角 对车身姿态角 的作用在平衡点（ ＝0， ＝0）附近范围内可用微分方程
g v2 bv h hw wh
图2.1 这里A11=[100 0；0 200] B21=[10 -3；-5 16] C22=[1 1；1 -1]。 这里输入向量u是控制的作用力， 也就是车辆的加速度量， 输出向量y是车辆在两个轴方向的 位移量，通过间隙传感器测量。试列写出系统的状态空间模型。 参考文献： [2.1] H2 and H∞ control for MagLev vehicles，IEEE Control System Magazine, 1998 [2.2] Experimental comparison of linear and nonlinear controllers for a magnetic suspension, Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Control Applications，2000 [2.3] 广义线性磁悬浮对象的H∞控制问题，西安交通大学学报，Feb，2000
线性系统理论大作业
线性系统理论大作业(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录题目一 ............................................. 错误!未指定书签。
（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 ....... 错误!未指定书签。
(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 ...... 错误!未指定书签。
(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 ............ 错误!未指定书签。
(3)全维观测器设计 .................................. 错误!未指定书签。
(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 ................ 错误!未指定书签。
（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计错误!未指定书签。
(1)线性二次型最优全状态反馈设计 .................... 错误!未指定书签。
(2)降维观测器设计 .................................. 错误!未指定书签。
题目二 ............................................. 错误!未指定书签。
(1)判断系统是否存在最优控制律 ...................... 错误!未指定书签。
(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 .............................. 错误!未指定书签。
(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 .................................. 错误!未指定书签。
题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1 原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T ela lala s C GD CA RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性 程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); L=length(A); if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控'); elsedisp('系统是状态不完全能控'); endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观'); elsedisp('系统是状态不完全能观'); enddisp(eig(A))%利用A 的特征值判断系统稳定性 运行结果：系统是状态完全能控 系统是状态完全能观 1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。
华工自动化线性系统第一次 大作业
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
线性系统理论习题答案
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
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4
所限定的平面上，试求Y 2 的
3
反射象，并求 Y 在镜面上的垂直分量和水平投影。
第4页共7页
第四章 习题
0 1 0
1、求
A=
0
0
1
6 11 6
的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
1 3 3
2、求 A＝ 3 5 3 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
5、在下面电路中为使ⅰ保持恒定，又使电阻耗能最小， V1 ,V2 ,V3 应取多大？
6、某工厂制造甲、乙两种产品，需 M1, M 2M3 三种原材料，制造 1kg 甲产品需 M1 9 千克, M 2 4 千克, M3 3 千克, 制造 1kg 乙产品需 M1 4 千克, M 2 5 千克, M3 10 千克。 工厂生产甲产品每公斤获利 700 元，生产乙产品每公斤获利 1200 元，但该厂每 日能够使用的原材料只有 M1 360 千克，M 2 只有 200 千克，M3 只有 300 千克，问 工厂生产甲、乙产品日产量为多少时能获最大利润？利润为多少？（按原理手 算） 7．（a）用最小二乘法对 2X1 X 2 5 求 X1 , X 2 和 e 2 .
8 2 5 X1
6、将 Q= X T AX X1 X 2 X3 2
11
2
X
2
5 2 8 X3
=
8
X
2 1
11X
2 2
8X
2 3
4X1X
2
10 X1X 3
4X
2
X3
化为标准型。
7、用求矩阵秩的程序，验证题 1、2
注:感兴趣的同学可以自己编程序完成第 7 题.
第一章 习题
1
1.判断 X1 2
3
1 X 2 2
3
0
X3 1 这组向量是否线性独立.
1
1
2.判断
X1
2 2
1
1
X2
0 0
1
3
X3
4 4
这组向量是否线性独立.
第七、八章 习题
1、已知状态方程的系数矩阵
A(t)＝
t 1
1 t
，求
(t,0)
。（级数取三项即可）
2、求离散系统状态方程齐次解
X1(K X2(K
1) 1)
1 12
5 1
1 5
X X
1 2
(K (K
) ),
其中X
(0)
2 1
6 并用它为基底表示该空间中向量 X 3 .
1
1 7. 已 知 X 1 1
1
1 X 2 1
1
1 X 3 0 为 基 向 量 , 求 其 对 偶 基 向 量 , 并 用
0
6
X 1 X 2 X 3 线形组合来表示向量 X 3 .
1 8.找出平面 2X 1 3X 2 X 3 5 上距离原点最近的点的坐标以及从原点到平面 的最短距离.
第1页共7页
第二章 习题
1.用系统方法求方程
X1 2X2 X3 2 2X1 3X 2 X 3 3
的解答.
4X1 2X2 X3 7
2.用系统方法求方程
0 / 2 0
确定使该系统平衡点 X e 0 为渐进稳定的η值范围。
5、用积分法找 LYAPUNOV 函数并决定其渐进稳定性条件：
X1 X2
X 2 X3
X 3 F ( X 2 ) X 3 aX 2 bX1
第7页共7页
X1 2X2 3
第2页共7页
(b) 用最小二乘法对 2X1 X 2 5 求 X1 , X 2 和 e 2 .
X1 2X2 3
X1 X 2 1
8、已知
2 X1 e1' Y1 X e2' Y2
测得 Y1 3 求 X 的最小二乘估计，并将此方程所描述 Y2 4 的二维空间分成两个一维子空间的直和，
。
第九章 习题
1、一连续系统中
A=
2 4
5
0
，B=
1 1
，C=
1
1，试判断该系统的可控性
和可观测性。
2、判断下图电路的能控性和能观性。
第6页共7页
第十一章 习题
1、已知
X
0 1
1 1
X
，用李氏第一方法和二次型法确定其稳定性。
2、用 LYAPUNOV 两种方法判断下面系统在原点的稳定性。已知系统方程
为：
X1
2 X 1
2
X
2 2
X 2 X2
3、用 LYAPUNOV 直接法判断下面系统的稳定性，其中 a>0。
X1
X1
X2
aX1( X12
X
2 2
)
X
2
X1
X2
aX
2
(
X
2 1
X
2 2
)
0 1 0
4、设线性离散系统 X(K+1)=AX(K),A= 0 0 1 ,η>0,用 LYAPUNOV 法
5.已知: X t2 1 Y t2 1,求 X,Y 向量在 为何值时能在区间 0 t 1 内正交?
1
6.用 G-S 方法将 X1 2
3
1 X 2 2
3
0
X3 1 这组向量建立一组规格化正交集,
1
56 18 20
对某基向量的矩阵表达
A’=
1 70
42 21
124 43
60
240
4 2 1
对一新基向量，基向量变换矩阵 B= 2 6 3
1 3 5
[求] 该变换对于新的基向量的矩阵表达。
3、一面镜子放在由 2x1 3x2 x3 0
10 0 ，再求 a，b，并观察
0 0 1
它是否更接近于 1）的结果.
*10、运用左逆和右逆程序，求题 3 和题 7（b）
*11、用线性规划程序计算题 6 和课堂中的机床产品例题。
注:感兴趣的同学可以自己编程序完成第 10 题和第 11 题.
第3页共7页
第三章 习题
A 1、[已知] 线性变换
1
：R3 R3 ,基向量{Vi} V1 0
1
1 V2 1
0
A 对该基向量进行
变换后，其象为
u1
2 1
A [求] 所对应的矩阵 A。
u2
1 1
u3
1 1
1 V3 1
1
A 2、[已知]线性变换
1 2
0 3
4
8
X X X
1 2 3
0
的非平凡解.
1
3.用系统方法求方程
2
0
1
2
4
0
2
X X
1 2
0
的非平凡解.
4.求 2X 1 X 2 3X 3 2 的最小范数解
X1 2X2 X3 1
画出 AX,Y 和 e2 三者关系的几何图形。
9、一实际装置，输出 Y 对输入 U 的线性关系为 y=au+b
1） 现经实验取得下列数据:
u
2 -2
y5
1
u
y
?
求 a、b 参数
2） 若再增加一组读数 u=5,y=7，再求 a、b 参数
10 0 0
3）
假定前两次测量更为可靠，加权矩阵 Q=
0
第五、六章习题
1、已知 A＝
1 0
0 1
0 0
，用哈密尔顿定理求 e At 。
0 1 2
2、给出Y aY bY U cU 的一种可能的模拟图，并选出图中积分器的输
出为状态变量，列出状态方程和输出方程。
3、对所示电路编写出标准状态方程。
第5页共7页
4、用叠加法对下图电路列状态方程。
6 6 4
3 1 1
3、求 A＝ 7 5 1 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
6 6 2
2 0 1 0
4、求 A= 0 0 0 1 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
0 0 0 0 0 0 0 0
5、将二次型 Q(Z)= 2x1x2 2x1x3 6x2x3 化为标准型。
3
4
1
3.在线形空间 X n 中求向量 X 1
和
Y
3
之间的广义夹角 .
2
3
2
9
4.已知 X 1 0 2 0 2 0 T Y 0 6 0 3 0 2 T
证明 X 与 Y 正交并验证 X 2 Y 2 X Y 2