江苏省苏州市昆山中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含答案
江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高一下学期月度调研测试数学试题 答案和解析
6． 中， ， ， ， 的面积为 ，则 __________．
7．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则此三角形的外接圆的面积为______.
8．在 中，已知 ， ，则 的值为______.
9． 垂直于 所在的平面， ， ，则 与平面 所成角的正切值为______.
10．如图，在一个塔底的水平面上 点，测得某塔 的塔顶 的仰角为 ，由此点向塔底沿直线行走了 到达 点，测得塔顶的仰角为 ，再向塔底前进 到达 点，又测得塔顶的仰角为 ，则该塔的高度为______ .
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
【详解】
对①：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，①中的直线AB在平面 内，故①不正确；
对②：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故②正确；
对③：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故③不正确；
对④，图2也是反例，故④不正确.
综上所述：错误的有：②③④.
故与直线的位置关系中，异面直线的位置关系；在完成此类题目时，根据题意作图，可简化思考过程，且一目了然.
3．
【分析】
由在 中,由正弦定理求得 ,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然后根据三角形内角和为 ,即可求出A角的大小,再由 的面积为 运算求得结果.
取线段BC的中点为M，连接PM、MR，作图如下：
2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析
2021年高一下学期3月段考数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．等差数列{a n }中，若a 1+a 2=5，a 3+a 4=7，则a 5+a 6= ． 2．sin15°•cos15°= ．3．三个数1，a ，2成等比数列，则实数a= ．4．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= ． 5．在等差数列{a n }中，前15项的和S 15=90，则a 8= ． 6．已知，，则= ．7．在△ABC 中，已知a 2tanB=b 2tanA ，则此三角形的形状为 三角形． 8．已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ，则a n = ．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= ．10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ． 13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且=，（n ∈N +）则+= ．14．在锐角△ABC 中，b=2，B=，sin2A +sin （A ﹣C ）﹣sinB=0，则△ABC 的面积为 ．二、解答题：15．已知数列{a n }为等差数列，且a 3=5，a 6=11． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和S n ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2+ab=c 2． （1）求角C 的大小；（2）若c=2acosB ，b=2，求△ABC 的面积．17．在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 6=S 15， （1）求{a n }的通项公式；（2）求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； （3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求2sin 2A +cos （A ﹣C ）的范围．19．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求a n 的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a ，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．xx学年江苏省泰州市泰兴中学高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．等差数列{a n}中，若a1+a2=5，a3+a4=7，则a5+a6=9．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，∴a1+a2+a5+a6=2（a3+a4），∴5+a5+a6=2×7，解得a5+a6=9，故答案为：9．2．sin15°•cos15°=．【考点】二倍角的正弦．【分析】给原式乘以2后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出原式的值．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：3．三个数1，a，2成等比数列，则实数a=±．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比中项的概念列式得答案．【解答】解：∵三个数1，a，2成等比数列，∴a2=1×2=2，则a=．故答案为：．4．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=﹣．【考点】余弦定理．【分析】根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值【解答】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）∴cosC===﹣即最大角的余弦值为﹣故答案为：﹣5．在等差数列{a n}中，前15项的和S15=90，则a8=6．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可求a8【解答】解：由等差数列的前n和可得∴a8=6故答案为：66．已知，，则=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣7．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形的形状为等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得sinAcosA=sinBcosB，由二倍角的正弦公式算出sin2A=sin2B，再利用诱导公式得出A=B或A+B=，从而可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴a2•=b2•．根据正弦定理，可得sin2A•=sin2B•，化简整理，得sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，又∵A、B∈（0，π），∴2A=2B或2A=π﹣2B，解得A=B或A+B=，因此可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角8．已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则a n=．【考点】数列的函数特性．【分析】这是数列中的知S n求a n型题目，解决的办法是对n分n=1与n≥2两类讨论解决．【解答】解：∵S n=3+2n，∴当n=1时，S1=a1=3+2=5，=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，不符合n≥2时的表达式．∴a n=．故答案为：a n=．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A= 30° ．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ， 代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A 为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30°10．设等比数列a n 中，每项均是正数，且a 5a 6=81，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= 20 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10）=log 3（a 5a 6）5，由此能够求出其结果．【解答】解：∵等比数列{a n }中，每项均是正数，且a 5a 6=81， ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•a 3…a 10） =log 3（a 5a 6）5 =log 3320 =20．故答案：20．11．已知cos α=，cos （α+β）=，α，β均为锐角，则cos β= ． 【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin （α+β），sin α的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵α、β为锐角， ∴α+β∈（0，π），∵cos （α+β）=＞0，cos α=， ∴sin （α+β）==，sin α==，∴cos β=cos [（α+β）﹣α]=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=×+×=． 故答案为：．12．设公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q= ﹣2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】通过记等比数列{a n }的通项为a n ，利用S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，计算即得结论．【解答】解：记等比数列{a n }的通项为a n ， 则a n +1=a n •q ，a n +2=a n •q 2，又∵S n +1、S n 、S n +2成等差数列， ∴S n ﹣S n +1=S n +2﹣S n ， 即﹣a n •q=a n •q +a n •q 2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．13．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N）则+=．+【考点】数列的求和．【分析】由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．【解答】解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，），且=，（n∈N+∴+====．故答案为：．14．在锐角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0，则△ABC的面积为．【考点】解三角形．【分析】根据三角形的内角和定理得到三个角之和为π，表示出B，代入已知的等式中，利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式及和差化积公式变形，提取2cosA，等式左边变为积的形式，根据两数之积为0，至少有一个为0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根据A为三角形的内角，可得A为直角，但三角形为锐角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根据A和C都为锐角，可得A=C，又B为，可得三角形为等边三角形，且边长为2，进而求出等边三角形的面积即可．【解答】解：∵A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），代入sin2A+sin（A﹣C）﹣sinB=0得：sin2A﹣[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=0，变形得：2sinAcosA﹣2cosAsinC=0，即2cosA（sinA﹣sinC）=0，所以cosA=0或sinA=sinC，解得A=（又锐角△ABC，此情况不满足，舍去）或A=C，所以A=C，又B=，b=2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积S=×22=．故答案为：二、解答题：15．已知数列{a n}为等差数列，且a3=5，a6=11．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差d，∵a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2，a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a1+a2+a3=9，b1=3，∴q=3，∴{b n}的前n项和为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+b2+ab=c2．（1）求角C的大小；（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出．（2）利用余弦定理可得a=b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2．∴cosC===﹣．∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵c=2acosB，b=2，∴c=2a×，∴a2=b2，即a=b=2，∴△ABC的面积S=absinC=×=．17．在等差数列{a n}中，已知a1=20，前n项和为S n，且S6=S15，（1）求{a n}的通项公式；（2）求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列前n项和公式=，将a1=20，即可求得公差d，根据等差数列通项公式即可求得{a n}的通项公式；（2）根据二次函数图象对称确定，当n=11，a11=0，可知n=10或11时，S10=S11，S n取得最大值，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n取得最大值；（3）由题意可知当n≤11时，a n≥0，求得T n，当n≥12时，a n＜0根据数列的性质，可知T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，即可求得数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意可知：S6=S15，即=，∴2a6=3a1+5a15，∴2（a1+5d）=3a1+5（a1+14d），解得：d=﹣2，∴a n=20+（﹣2）（n﹣1）=22﹣2n，∴{a n}的通项公式a n=22﹣2n；（2）由题意可知，S6=S15，∴S n=f（n）的对称轴方程为：n==10.5，10.5∉N*，∴n=10或11时，S10=S11，∴a11=0，d＜0，∴S10=S11==110，S n最大值为110．（3）由题意可知：a11=0，∴当n≤11时，a n≥0，T n==21n﹣n2，当n≥12时，a n＜0，T n=2S11﹣（21n﹣n2）=n2﹣21n+220，∴．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【考点】正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．19．某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材的存量，（1）写出a1，a2，a3；（2）求a n的表达式；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b=，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）【考点】数列递推式；对数的运算性质．【分析】（1）要求出a n的表达式，主要思路是求出前几项然后观察规律，从而推出得出a n 的表达式，求解即可（2）只需代入，化简后的指数式转化利用对数的运算即可顺利解答．【解答】解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n 年后的森林的木材存量为a n ， 则，，，所以．（2）当时，有得即， 所以，．答：经过8年后该地区就开始水土流失．20．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n +1+S n ﹣1=2S n +1，其中n ≥2，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的取值范围； （3）设c n =4n +（﹣1）n ﹣1λ•2an （λ为非零整数，n ∈N *），试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n +1＞c n 成立．【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）通过变形为（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）可知数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列，进而可得结论； （2）通过a n =n +1，裂项可知b n =（﹣），并项相加即得结论；（3）通过a n =n +1化简可知（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：依题意，（S n +1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=1（n ≥2，n ∈N *）， 即a n +1﹣a n =1（n ≥2，n ∈N *），且a 2﹣a 1=1， ∴数列{a n }是以a 1=2为首项、公差为1的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n =n +1； （2）解：∵a n =n +1， ∴b n ==（﹣），∴T n =（1﹣+﹣+…+﹣+﹣） =（1+﹣﹣） =﹣，易知T （n ）=﹣随着n 的增大而增大， 且T （n ）=，T （1）=， ∴≤T （n ）＜； （3）解：∵a n =n +1， ∴，∵c n +1＞c n 恒成立， ∴恒成立，∴3•4n ﹣3λ•（﹣1）n ﹣12n +1＞0恒成立， ∴（﹣1）n ﹣1λ＜2n ﹣1恒成立，（ⅰ）当n 为奇数时，即λ＜2n ﹣1恒成立， 当且仅当n=1时，2n ﹣1有最小值为1， ∴λ＜1；（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ=﹣1；综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n＞b n．+1精品文档xx年10月24日36665 8F39 輹tP22824 5928 夨36750 8F8E 辎27373 6AED 櫭40769 9F41 齁34602 872A 蜪/33178 819A 膚31477 7AF5 竵实用文档。
江苏省高一下学期3月联考数学试题(解析版)
高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知满足，则（ ）α1sin cos 3αα+=sin2α=A ．B ．C ．D ．23-2389-89【答案】C【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可. 【详解】，，1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα∴+=即，8sin22sin cos 9ααα==-故选:C ．2．在如图中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则（ ）ABC BE =A ．B ． 1344AB AC -3144AB AC -+C ．D ．3144AB AC +1344AB AC -+【答案】B【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-BE = 3144AB AC -+故选: B.3．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（ ）a b 2a b = ()a b b -⊥ a b【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.2a b b ⋅= 【详解】因为，所以，即，()a b b -⊥ ()20a b b a b b -⋅=⋅-= 2a b b ⋅= 设量、的夹角为，则，a b θ21cos 2b a a b a b b b a θ====⋅⋅⋅因为，所以.π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=故选：B4．已知，则（ ）πsin cos 16θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1 B C ．D ．1-12【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】. π11πsin cos sin sin sin sin 16223θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=-==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） (),1a x = ()2,23b x =+ ,a bx A ．B ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()3,22,4∞⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭C ．D ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭332,,44∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.cos ,0a b a b a b ⋅<>=<⋅,a b【详解】夹角为钝角，且不共线， ,a b cos ,0a b a b a b ⋅∴<>=<⋅ ,a b 即且，解得：且，430a b x ⋅=+<()232x x +≠34x <-2x ≠-的取值范围为. x ∴()3,22,4∞⎛⎫--⋃--⎪⎝⎭故选：B.6．已知角，满足，，则（ ）． αβ1tan 3α=()sin 2cos sin βαβα=+tan β=【答案】B【分析】根据和角公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式()sin 2cos 2sin 2cos βααβ-=即可求解.【详解】由得，进而()sin 2cos sin βαβα=+()()sin sin sin βαβαααβ+--⎡⎤=+⎣+⎡⎤⎦⎣⎦， ()()sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβββαβαβαβ=+⇒=+-=+所以， ()222sin 22sin cos 2tan 1sin 2cos 2sin 2cos tan 2cos 23sin cos 3tan 12ααααβααββαααα-=⇒====-++故选：B7．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a =0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ． B ． C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =()085f x a=可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为， ()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cos ϕ=由于函数的图象关于对称，所以 6x π=6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即， 12a b =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x a π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.8．如图，在等腰中，已知，，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且ABC 2AB AC ==120A ∠= ，，其中，，且，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AE ABλ= AF AC μ=λR μ∈21λμ+=的最小值是（ ）MNA B C D 【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得11(),()22AM AC AB AN AB AC μλ=+=+，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求MN AN AM =- 21λμ+=2MN μMN的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为ABC o2,120,AB AC A ==∠=u u u r u u u r cos 2AB AC AB AC A ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r 分别是边的点，所以，而,E F ,AB AC 111()(),()222AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+，左右两边平方得1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-222221[(1)2(1)(1)(1)]4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- ， 22221[4(1)4(1)(1)4(1)]14λλμμλμλμλμ=----+-=+---+又因为，21λμ+=所以， 222237417()77MN μμμ=-+=-+u u u r 所以当时，的最小值为， 27μ=2MN 37即的最小值为MN 故选：B.二、多选题9．下列计算正确的是（ ）A ．B ． 2cos 75=1tan1051tan105+=-C ．D ．tan1tan44tan1tan441++=sin7012⎫=⎪⎪⎭【答案】AC【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC ，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D 的结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得A 正确； 21cos150cos 752+===由可得，所以B 错误； tan 451=()1tan105tan45tan105tan 45105tan1501tan1051tan45tan105++===--+=因为，所以，即()tan1tan44tan 14411tan1t n44+a ==-+tan1tan4411+tan tan44=- ，所以C 正确；tan1tan44tan1tan441++=由于sin701sin701sin70⎫⎫-==⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以D 错误； ()2cos 4002cos 70sin140sin70sin701sin 40sin 40sin 430===⋅⋅=+故选：AC10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -= 32AC AE AD += C ． D ．在上的投影向量为2AD AB AB ⋅= AD AB AB 【答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D 结合图形即可判断.【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对B ，由图易得，直线平分角，AE AC =AD EAC ∠且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD易知均为含,EDH AEH π6，4AD DH = 而，故，故，故B 正确；26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，则，又，， π6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；2AD AB = 221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯=对D ，由C 知，则在上的投影向量为，故D 正确. π2ABD ∠=ADAB AB故选：BCD.11．已知函数（ ） ()2sin cos f x x x x =+()f x A ．最小值为2-B ．关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．最小正周期为πD ．可以由的图象向右平移个单位得到 sin2y x =π6【答案】BCD【分析】对于AC ，利用三角函数的恒等变换化简，从而得以判断； ()f x 对于B ，利用代入检验法进行检验即可；对于D ，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.【详解】对于A ，因为()211cos 2sin cos sin 222x f x x x x x -==， 1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以的最小值为，故A 错误；()f x 1-对于B ，因为，所以关于点对称，故B 正确；πππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π,06⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，因为，所以，故C 正确； 2ω=2ππT ω==对于D ，的图象向右平移个单位得到的的图象，故D 正sin2y x =π6ππsin2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确.故选：BCD.12．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.ABC O BC O ,AB AC ,M N 设，则下列选项正确的是（ ）,AB mAM AC nAN ==A ．B ．C ．D ．1m n +=1mn ≤222m n +≥111m n+≤【答案】BC【分析】根据向量的共线定理可得，即可判断A ，利用均值不等式判断BCD. 2m n +=【详解】由图象可知，0,0m n >>因为，且三点共线，112222m n AO AB AC AM AN =+=+,,M O N 所以，即，选项A 错误； 122m n+=2m n +=，当且仅当时等号成立，B 正确；212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1m n ==，当且仅当时等号成立，C 正确；()()2222222m n m n m n mn ++=+-≥=1m n ==，当且仅当，即时等号成立，D 错()1111112222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =1m n ==误， 故选：BC三、填空题13．已知，且，则的值为______．π1cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22ππ17cos 22cos 1213339αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦故答案为：7914．在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 是边AB 中点，若AE 交DO 于点M ．且2DE CE =-u u u r，则______．AM AB AD λμ=+λμ+=【答案】57【分析】由已知可得可得答()2437AM AD DM AD DE EM AD DC EA =+=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 3277AD AB =+u u ur u u u r 案.【详解】在平行四边形ABCD 中，点E 满足，且O 边AB 中点，2DE CE =-u u u r所以E 是边DC 离近C 的三等分点，可得，， 43==DE EM AO MA 47=EM EA u u ur u u r 所以()AM AD DM AD DE EM =+=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2437AD DC EA =++u u u r u u u r u u r()24243737AD AB AE AD AB AD DE =+-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又，3277AD AB =+u u ur u u u r AM AB AD λμ=+ 所以， 57λμ+=故答案为：. 5715．若，，且，是方程的两个根，则ππ22α-<<ππ22β-<<tan αtan β240x ++=αβ+=______． 【答案】 2π3-【分析】根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结tan tan ,tan tan αβαβ+合的范围，即可得答案.,αβ【详解】、是方程的两个根，tan α tan β240x ++=由韦达定理可得，，，，tan tan αβ∴+=-tan tan 40αβ=>tan 0α∴<tan 0β<ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ，π,,02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭则， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++===-()π0αβ+∈-，则． 2π3αβ+=-故答案为： 2π3-四、双空题16．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，ABCD O l AB CD M N ，若是的中点，则的取值范围是___________；若是平面上一点，且满足Q BC QM QN ⋅P ，则的最小值是___________.()21OP OB OC λλ=+- PM PN ⋅【答案】[]1,0-74-【分析】根据向量的线性运算，将转化为，再结合，QM QN ⋅ 22QO OM - 1QO =即可求得答案；设，由题意可得点在上，推得，再将转化为，即可求2OT OP = T BC 12OP ≥ PM PN ⋅ 22PO OM - 得答案.【详解】因为直线过中心且与两边､分别交于点､， l O AB CD M N 所以为､中点，所以，O M N OM ON =-所以，()()22QM QN QO OM QO ON QO OM ⋅=+⋅+=-因为是的中点，所以，， Q BC 1QO = 2210QO OM -≤-≤ 即的取值范围为；QM QN ⋅[]1,0-令，由知点在上，2OT OP =()21OT OP OB OC λλ==+- T BC 又因为为､中点，所以，从而， O M N 1OT ≥ 12OP ≥，因为()()22PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=- 所以，即的最小值为.2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=- PM PN ⋅ 74-五、解答题 17．已知．2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-(1)求的值； tan α(2)求的值．sin 211sin 2cos2ααα+++【答案】(1) 2-(2)12-【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解.1(tan 1)2α+【详解】（1）因为，则，2sin 3cos 1sin 2cos 4αααα+=-sin 2cos 0αα-≠所以， 8sin 12cos sin 2cos αααα+=-所以，所以；7sin 14cos αα=-tan 2α=-（2）2222sin 21(sin cos )1sin 2cos2(sin cos )cos sin ααααααααα++=++++-．sin cos 11(tan 1)sin cos cos sin 22ααααααα+==+=-++-18．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边的两个锐角、，它们的终边分别交单位xOy Ox αβ圆于、两点，已知、. A B A B(1)求、的值；sin αsin β(2)求、的值； ()cos αβ+()sin 2αβ+【答案】(1)sin α=sin β=【分析】（1）求出的坐标，根据三角函数的定义即可求得答案；,A B （2）利用二倍角公式求得，根据两角和的正余弦公式即可求得答案. sin 2,cos 2ββ【详解】（1）由题意可得的坐标分别为， ,A B ,A B故，sin αsin β=（2）因为、为锐角，结合（1）可得， αβcos α=cos β=故 ()c s o cos cos sin si n αβαβαβ+=-==，243sin 22sin cos ,cos 22cos 155βββββ===-=故. ()sin 2sin cos 2cos si 345n 25αβαβαβ=+==+19．已知向量，点为直线上一动点.(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP ===Q OP (1)求；||OA OB + (2)当取最小值时，求的坐标.QA QB ⋅OQ 【答案】(1)； 10(2).(4,2)【分析】（1）根据平面向量加法运算的坐标表示，求出的坐标表示，再利用模的坐标表示OA OB +计算作答.（2）利用向量共线表示出向量的坐标，再结合向量线性运算及数量积运算，借助二次函数求OQ解作答.【详解】（1）因为，则， (1,7),(5,1)OA OB == (6,8)OA OB +=所以.|10|OA OB +==（2），因为点为直线上一动点，则，(1,7),(5,1),(2,1)OA OB OP === Q OP //OQ OP 于是设，则，(2,)OQ xOP x x == (12,7),(52,1)QA OA OQ x x QB OB OQ x x ==-=---=--，当且仅当时取等号， 22(12,7)(52,1)520125(2)88QA QB x x x x x x x ⋅=--⋅--=-+=--≥-2x =所以当时，取得最小值，此时的坐标为.2x =QA QB ⋅8-OQ (4,2)20．已知，且 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 3πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值； sin 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1；（2）．4π-【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果；sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和cos 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin cos 63ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦差余弦公式和的范围可求得结果. αβ-【详解】（1），， 2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0,62ππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭sin 6πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3sin 22sin cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，24cos 22cos 1365ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦314525=⨯+=（2），，， 2,63ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,32ππβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭cos 3πβ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭()sin sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--++=--+⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos sin sin 6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛== ⎝，，. 2,,63ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭4παβ∴-=-21．如图，在平面四边形中，，，，，、分ABCD BC AD ∥2AB BC ==4=AD 120BAD ∠=︒E F 别是，的中点，为线段上一点，且.设，.AD DC G BC BG BC λ=AB a = AD b =(1)若，以，为基底表示向量与；13λ=a b AF EG u u u r (2)若，求的取值范围. ()0,1λ∈AF EG ⋅【答案】(1)；13+24AF a b = 13EG a b =-(2) ()61--，【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与；AF EG u u ur （2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围. EG u u u rAF EG ⋅ 【详解】（1）解：++AF AB BC CF =11++22a b CD =()11++++22a b CB BA AD =111+++222a b b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 13+24a b = 所以；13+24AF a b =因为，所以13λ=++EG EA AB BG =11++23b a BC =-11++26b a b =- ，13a b =- 所以；13EG a b =- （2）解：++EG EA AB BG =1++2b a BC λ=-11++22b a b λ=- ，()1+12a b λ=- 所以，()1+12EG a b λ=- 又，，，所以，120BAD ∠=︒2a = 4b = 1cos1202442a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以 ()131++1242AF EG a b a b λ⎛⎫⎡⎤⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()22113+++142281a a b b λλ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221132++4+1442182λλ⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎭=⎝⨯()511λ=--因为，所以，所以，01λ<<()65111λ-<--<-16AF EG -<⋅<-所以的取值范围为. AF EG ⋅()61--，22．如图，在扇形中，圆心角，A 是扇形弧上的动点． OMN π3MON ∠=(1)若平分时，求的值；OA MON ∠tan OAM ∠(2)若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值．2OM =ABCD ABCD【答案】(1)2【分析】(1)由条件求的大小，再利用两角和正切公式求；OAM ∠tan OAM ∠(2) 设，利用表示矩形的面积，化简函数表达式，结合正弦函数性质和不等式AON θ∠=θABCD 性质求其最大值. 【详解】（1）因为，平分，所以，又，所以π=3MON ∠OA MON ∠π=6AOM ∠=OA OM ，ππ5π6=212OAM -∠=5πππtan =tan tan 21246OAM ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭（2）设，因为，所以，， AON θ∠=2OA =2cos OD θ=2sin AD θ=所以，2sin BC AD θ==在中，，，，所以，BOC 2sin BC θ=π3BOC ∠=π2BCO∠=πtan 3BC OC θ=2cos CD θθ=，222cos sin 4sin cos ABCDS CD AD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 2226θθθ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝因为，得，当时，即时，，π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ5π2+666θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,ππ2+=62θπ=6θmax S。
江苏省苏州市昆山中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题
因为 β＜α ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，
所以 ，
则sin2β .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．B
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得 ，可得 ，则 ，展开后利用基本不等式可得 的最小值为 ，结合 的最小值为 列方程求解即可.
【详解】
解：对于A，若 中有零向量，则 显然成立，若 均不为零向量，则因为 ，所以 ，所以A正确；
对于B，若 所在的直线在 所在直线夹角的平分线上，且 ，则有 ，而 不成立，所以B错误；
对于C，若 ，则 ，而 不一定共线，所以C错误；
对于D，因为 ，所以 ，所以 ，所以 与 共线且反向，所以D正确，
江苏省苏州市昆山中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
2．若平面向量 与 的夹角是180°，且 ，则 等于( )
12．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设 中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．设向量 ， ，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是__________．
【点睛】
2020-2021学年江苏省苏州市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
C．若
⊥
，则 m
t
ণ 足
D．若| |＝13，则 m＝﹣8 或 16
11．已知 i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A．若复数 z 满足|z|＝0，则 z＝0
B．若复数 z1，z2 满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则 z1•z2＝0
C．若复数 z＝a+ai（a∈R），则 z 可能是纯虚数
D．若复数 z 满足 z2＝3+4i，则 z 对应的点在第一象限或第三象限
的值； th
（2）若θ＝45°，2 tt 与 足 垂直，求实数 t 的值．
19．如图，△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c＝8，cos∠ACB t ，且 b＝14cosB． （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）点 D 在 BC 边的延长线上，且 CD＝CA，求 AD 的长．
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对于 C，z＝a+ai（a∈R），若 a＝0，则 z 为实数，若 a≠0，则 z 为虚数，z 不可能为纯虚
数，故 C 错误；
对于 D，设 z＝a+bi（a，b∈R），由 z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
∴ 足 t 足 ণ，解得 足˨
足，或 t 足． t
∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故 D 正确．
䅠的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）
B．（7，6）
C．（5，0）
D．（11，8）
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝3，c＝2，B＝2C，则△ABC 的面
积为（ ）
ণ
A． 足
B．
ণ C． ˨
D． ˨
6．已知复数 z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为 7，则 a 的值为（ ）
2020-2021年高一下学期数学3月份月考试卷
高一年级三月份月考卷一、填空题1.已知()3131x x f x -=+，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.若0a >，1a ≠，0x y >>，*n N ∈，则下列各式：（1）()log log na a x n x =； （2）()log log n n a a x x =；（3）1log log a a x x =-；（4）log log log a a a x x y y =；（51log a x n=； （6）log log a a x n =（7）log log n n a a x x =；（8）log log a x y x y x y x y-+=-+- 其中正确的是 .3.函数2log 23y x x =+-的定义域是 . 4.函数()13912x x f x +=+-的反函数()1f x -= .5.己知()22log ,(0,),(1,0]2(,1]x x x x x f x x ⎧∈+∞⎪=∈-⎨⎪-∈-∞-⎩，则(()()2f f f -= .6.已知,,x y z 都是大于1的正数，0m >，且log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m = .7.设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是 .8.如果函数()()2log 3a a f x x x =-+在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 9.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则不等式()0f x >的解集是 .10.不论a 为何值，函数(1)22x a y a =-⋅-的图像恒过一定点，这个定点的坐标是 . 11.设14log 7a =，145b =，则35log 28= .（用,a b 表示） 12.若函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 . 13.已知函数()1x x a f b -=+（0,1b b >≠）的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，则()1f x -= .14.若227log 333m x m +>对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .15.定义在[2,2]-上的连续函数()f x 满足()()120182018f x f x -=，且在[0,2]上是增函数，若()[]24log log (2)f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是 .二、选择题16.函数()2x xx e f e --=的反函数（ ） A.是奇函数，它的(0,)+∞上是减函数B.是偶函数，它的(0,)+∞上是减函数C.是奇函数，它的(0,)+∞上是增函数D.是偶函数，它的(0,)+∞上是增函数17.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<18.若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数5log y x =的图像交点个数为（ ）A.2B.6C.8D.多于8三、解下列关于x 的方程19.22122123235x x x x ++⋅+⋅=20.()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题21.若()3log 3m f x x x -=+，设其定义域上的区间[,]αβ（0βα>>）. （1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当1m >时，判断函数在区间[,]αβ（0βα>>）上的单调性，并证明；（3）当01m <<时，若存在区间[,]αβ（0βα>>），使函数()f x 在该区间上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求实数m 的取值范围.22.设()xf x a b =+同时满足条件()02f =和对任意x R ∈都有()()121f x f x +=-成立.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 的定义域为[2,2]-，且在定义域内()()g x f x =，求()1g x -；（3）求函数()()1y g x g x -=+的值域.23.已知a R ∈，函数()21log a x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()2log [(4)25]0a x f x a --+-=的解集恰好有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.。
高一数学下学期3月月考试题含解析_1
江宁高级中学2021-2021学年高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共16小题〕50x +-=的倾斜角为〔 〕A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.【详解】因直线方程为50x +-=，所以直线的斜率3k =-，故其倾斜角为150°. 应选D【点睛】此题主要考察求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于根底题型.2.sina =a 为第二象限角，那么()2tan a π+=〔 〕 A. 34-B.35C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到cos a =tan 3a =-，再计算()tan 2a π+即可.【详解】因为sin a =，且a 为第二象限角，cos 10a ==-，sin tan 3cos a a a ===-.()22tan 63tan 2tan 21tan 194a a a a π-+====--.应选：D【点睛】此题主要考察正切二倍角的计算，同时考察了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，那么a 的值等于〔 〕 A. 2 B. －2C. 2,－2D. 2,0,－2【答案】C 【解析】(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或者a ＝－2. 4.1cos sin 5αα-=，那么cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=，所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125，所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，应选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值〞：一般所给出的角都是非特殊角，从外表上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值〞：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角〞，使其角一样或者具有某种关系．(3)“给值求角〞：本质是转化为“给值求值〞，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，那么直线l 的方程为〔 〕 A. 151060x y --=B. 151060x y -+=C. 6430x y --=D.6430x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的方程为320x y c -+=，再根据直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，可得132c c--=，解得c 的值，可得所求直线的方程．【详解】解：直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，可设直线l 的方程为320x y c -+=．再根据且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1， 可得132c c --=，解得65c =-，故直线l 的方程为63205x y --=， 即：151060x y --=. 应选：A.【点睛】此题主要考察两条直线平行的条件和直线方程，以及直线在坐标轴上的截距．1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为〔 〕A. 310x y -+=B. 370x y ++=C. 3110x y --=D. 3130x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程.【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--；设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++= 那么3(4)(1)0m ⨯-+-+= 解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=. 应选：D【点睛】此题考察了直线方程的应用问题，是根底题.()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ).A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为2π的偶函数D. 周期为2π奇函数【答案】B 【解析】因()1cos(2)[1cos(2)]sin 2sin 22sin 222f x x x x x xππ=-+---=+=，故()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-是奇函数，且最小正周期是，即22T ππ==，应选答案B ．点睛：解答此题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进展化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题之答案．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设120A =︒，2c b =，那么cos C 〔 〕D.14【答案】C 【解析】【分析】首先根据余弦定理，结合题中所给的条件，确定出=a ，之后再应用余弦定理求得结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即22222427a b b b b =++=，故=a ，故222cos 2a b c C ab +-==． 应选：C ．【点睛】该题考察的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，属于根底题目.20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，那么实数(a = )A. 1B. 1-C. 2-或者1D. 2或者1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或者a 1=． 应选D ．【点睛】此题主要考察了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 假设cos cos sin b C c B a A +=, 那么ABC ∆的形状为 〔 〕A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】此题主要考察正弦定理的应用，属于根底题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.20kx y -+=和以()3,2M -，()2,5N 为端点的线段相交，那么实数k 的取值范围为〔 〕A. 32k ≤B. 32k ≥C. 4332k -≤≤ D. 43k ≤-或者32k ≥【答案】C 【解析】 【分析】因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，结合43AM k =-，32AN k =，可求． 【详解】解：因为直线20kx y -+=恒过定点(0,2)A ，又因为43AM k =-，32AN k =， 故直线的斜率k 的范围为4332k -．【点睛】此题主要考察了直线斜率的求解，属于根底题．ABC中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4a =，b =c (2)cosB a b cosC =-，那么ABC 的面积为〔 〕．A. B. C. 6D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先由()2c cosB a b cosC ⋅=-边化角，化简整理可求出角C ，然后计算面积即可. 【详解】解：由()2c cosB a b cosC ⋅=-，得()2sinCcosB sinA sinB cosC =- 所以2sinCcosB sinBcosC sinAcosC +=，即()sin 2B C sinAcosC += 所以sin 2A sinAcosC =，sin 0A ≠得cosC 12=，所以3C π=所以114622ABCSabsinC ==⨯⨯= 应选C.【点睛】此题考察了利用正弦定理进展边角转化，三角形的面积公式，属于根底题.21()sin cos 2f x x x x =+，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考察各选项即可．【详解】函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++=1cos 231sin 2222x xsin 〔2x 6π-〕+1 对于A ：根据f 〔x 〕＝sin 〔2x 6π-〕+1可知最大值为2；那么A 不对； 对于B ：f 〔x 〕＝sin 〔2x 6π-〕+1，T ＝π那么B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z ，，故图像关于直线3x π=对称那么C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212kk x kZ ，，故()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称那么D 不对．应选C ．【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进展化简是解决此题的关键．ABC 中，()()sin sin A B A B +=-，那么ABC 一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 此题考察解三角形解：由sin(A+B)=sin(A-B)得sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=-，所以，又因为,A B 为三角形的内角，故sin 0B >，因此cos 0A =，90A ∠=，所以ABC ∆是直角三角形.选C. 答案：C15.2sin cos 1θθ-=，那么sin cos 1sin cos 1θθθθ++-+的值是〔 〕A.45B. 0C. 2D. 0或者2【答案】D 【解析】【分析】由2sin cos 1θθ-=，通过二倍角公式，得到cos02θ=或者 2sincos22θθ=原式化简为222222sin cos cos sin sin cos 12222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再分别求解. 【详解】因为2sin cos 1θθ-= 所以2sin cos 1θθ=+ 所以24sin cos2cos 222θθθ=解得cos 02θ=或者 2sincos22θθ=当cos02θ=时222222sin cos cos sin sin cos 122220sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2sincos22θθ=时222222sin cos cos sin sin cos 122222sin cos 1sin cos cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应选：D【点睛】此题主要考察了二倍角公式及其应用，不觉考察了变形运算求解的才能，属于中档题.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，假设222sin()SA C b c +=-，那么1tan 2tan()C B C +-的最小值为〔 〕B. 2C. 1D. 【答案】A 【解析】 【分析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用根本不等式求最值. 【详解】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac BB b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或者B C C π-+=， 得2B C =或者B π=〔舍去〕.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 应选:A【点睛】此题考察考察用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考察根本不等式求最值，属于较难题.二、填空题〔本大题一一共4小题〕17.1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么cos 21sin 2αα=-_______． 【答案】3 【解析】 【分析】 先由1tan 43πα⎛⎫-=⎪⎝⎭求出tan α，然后对cos21sin2αα-用二倍角公式并化简求值即可. 【详解】解：因为1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11tan 1143tan tan 144211tan 34παππααπα⎛⎫--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=--=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭所以()()()2222211cos sin cos sin cos2cos sin cos sin 1tan 2311sin2cos sin 2sin cos cos sin 1tan cos sin 12αααααααααααααααααααα++--++======-+-----故答案为3【点睛】此题考察了三角恒等变换，给值求值类问题，二倍角公式，齐次弦化切思想，属于根底题.(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，那么直线l 的方程为______________________________ 【答案】340x y ++= 【解析】 【分析】求出线段AB 的中垂线方程即可． 【详解】131513AB k -==--，其中垂线的斜率为3-，又AB 中点为(2,2)-，∴直线方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=．故答案为：340x y ++=．【点睛】此题考察点的对称性，考察求两点的对称轴方程．掌握对称的性质即可求解． 19.△ABC 中，AC ＝3，且3sinA ＝2sinB ，cosC 13=，那么AB ＝_____. 【答案】3 【解析】 【分析】由条件3sin 2sin A B =和3AC =，可得BC 的边长，然后用余弦定理可得答案. 【详解】在△ABC 中，由3sin 2sin A B =，得32BC AC =.又3AC =，可得2BC =.由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅19422393=+-⨯⨯⨯=所以3AB = 故答案为：3【点睛】此题考察利用正弦、余弦定理解三角形，属于根底题.20x y -=，30x y +-=，50mx ny ++=相交于同一点，那么点(,)m n 到原点的间隔 的最小值为________.【解析】 【分析】联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得交点(1,2)，代入50mx ny ++=可得：250m n ++=．再利用两点之间的间隔 公式、二次函数的性质即可得出．【详解】解：联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入50mx ny ++=可得：250m n ++=． 52m n ∴=--．∴点(,)m n 到原点的间隔 5d ==，当2n =-，1m =-时，取等号．∴点(,)m n 到原点的间隔【点睛】此题考察了两条直线的交点、两点之间的间隔 公式、二次函数的性质，考察了推理才能和计算才能，属于中档题． 三、解答题〔本大题一一共2小题〕2()212sin ()f x x x x R =+-∈.〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔2〕在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设c =()22Cf =，sin 2sin B A =，求,a b 的值.【答案】〔1〕T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； 〔2〕1,2a b ==. 【解析】 【分析】〔1〕利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.〔2〕由22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出C 的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值．【详解】〔1〕()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，② 由①②可得1,2a b ==.【点睛】此题考察了三角函数的倍角公式，考察了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不管a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)假设直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】 【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A ax a +=+，那么()1252521AOBa S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，那么2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以不管a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由()1520a x y a ++--=得， 当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A ax a +=+，又由5205201B A y a ax a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOBa a a Sa a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521aa ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】此题考察直线恒过定点问题，考察直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
数学 昆山中学20-21学年高一第二学期3月月考(数学答案-)
(2) 当 m = 2 时，AB = (1，-4)，AC = ( -4，-1)，AB ⊥ AC ，
△ABC 的面积为 21 |AB|•|AC| = 21 • 17• 17 = 127 ．
18. 本题共 12 分
=
8 3
，解得：t
=
2
或
-18(
舍
)；
故t=2
二、多选题 ( 每题 5 分，共 20 分，选对一个答案得 3 分，选错得零分 )
9. 在水流速度为 10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以 10 3km/h 的速度与河的南岸垂
直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为 (
)
A. 北偏西 30°
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
【答案】D
【解析】∵ AB + AC 经过 BC 边中点 ，点 P 在 BC 边的中线上移动 ，所以点 P 一定经过 △ABC 的重心, 故选：D．
5. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a = 2bcosC ，则 △ABC 的形状为
+ +
2) 1)
> ≠
0 0
；解得
λ
>-53
，且
λ
≠
0；
∴
实数
λ
的取值范围是：(
-
5 3
，0)
∪
(0，+∞)．故答案为：(
-53
，0)
∪
(0，+∞)．
14.
已知
π 2
<
α
<
β
<
π，且
sinα
=
55 ,sinβ
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江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2π D.4π 2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13B.3D.14.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB AC λλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ）A.94-B.94C.12-D.12 7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ） A.13 B.13- C.5665D.1665- 8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为（ ）A.1B.2C.83 D.113二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向11.对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α= C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC ==三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________.14.已知2παβπ<<<，且510sin ,sin 510αβ==，则αβ+=__________. 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.16.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点. （1）若,AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求ABC 的面积. 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值. 22.(本题共12分) 已知函数()()2123cos2sin 12sin ,22224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值； （2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考高一数学一､选择题(每题5分共40分)1.已知函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 【答案】B2.若平面向量b 与向量()1,2a =-的夹角是180,且35,b =则b =（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 【答案】A3.1tan151tan15-+的值为（ ）A.13D.1 【答案】B4.已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心 【答案】D5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos a b C =，则ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A6.ABC 的外接圆的圆心为,2,O AB AC ==则AO BC ⋅等于（ ） A.94-B.94C.12-D.12【答案】C7.已知3,24ππβα<<<若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin2β=（ ）A.13B.13-C.5665D.1665- 【答案】D8.在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为（ ）A.1B.2C.83D.113【答案】B二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)9.在水流速度为10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）A.北偏西30°B.北偏西60°C.20km/hD.30km/h 【答案】AC10.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.a ba b ⋅B.若a b c b ⋅=⋅且0,b ≠则a c =C.//,//a b b c ，则//a cD.若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 【答案】AD11.对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()1f α= C.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称 D.存在0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()3f x f x αα+=+恒成立 【答案】ABD12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC =++D.OA OB OC == 【答案】ABC三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)13.已知向量()()1,2,1,1a b ==，若a 与a tb +的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】()5,00,3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭14.已知2παβπ<<<，且sin αβ==αβ+=__________. 【答案】74π 15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()4,60a b c C +-==，则ABC 的面积为__________.【答案】316.在ABC 中，2,3,120,AB AC BAC D ∠===是BC 中点，E 在边AC 上，1,,2AE AC AD BE λ=⋅=则AD =__________；λ的值为__________.【答案】2；13 四､解答题(本题70分)17.(本题共10分)已知向量()()()1,2,,2,3,1OA OB m OC ==-=-，O 为坐标原点. （1）若,AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求ABC 的面积.【解析】（1）向量()()()1,2,,2,3,1,OA OB m OC AB OB OA ==-=-∴=-=()()1,4,4,1m AC OC OA --=-=--若,AB AC ⊥则()()1,44,14440,AB AC m m ⋅=--⋅--=-+=求得 2.m = （2）当2m =时()(),1,4,4,1,AB AC AB AC =-=--⊥ABC 的面积为11171717.222AB AC ⋅=⋅⋅= 18.(本题共12分)如图，在ABC 中，,83B AB π∠==，点D 在边BC 上，且12,cos 7CD ADC ∠==.（1）求sin BAD ∠； （2）求,BD AC 的长. 【解析】（1）在ABC 中，1cos 7ADC ∠=， 2214843sin 1cos 1749ADC ADC ∠∠⎛⎫∴=-=-== ⎪⎝⎭则()431sin sin sin cos cos sin 2BAD ADC B ADC B ADC B ∠∠∠∠∠=-=⋅-⋅=- 13337214⨯=（2）在ABD 中，由正弦定理得338sin 143sin 43AB BAD BD ADB ∠∠⋅===， 在ABC 中，由余弦定理得2222212cos 852852AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯49=，即7AC =19.(本题共12分)（1）求值：()cos20tan203sin40-⋅（2）证明：()()21tan 31sin21tan 312sin x xx xππ+--=---.（1）原式sin20cos20sin203cos20cos203cos20sin40cos20sin40⎛⎫-=-⋅=⋅=⎪⎝⎭.()2sin 20602sin402sin40sin40-=-=-.（2）左边()()sin 11tan 1tan cos sin cos sin 1tan 1tan cos sin 1cos xx x x x x x x x x xx-+---====--+++， 右边()()22222(cos sin )(sin cos )(cos sin )cos2cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x x ---====--+ cos sin cos sin x x x x-+则左边=右边，即等式成立. 20.(本题共12分)如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅，且AB AD DB +=（1）求证:ABD 为等腰直角三角形：（2）若2,1BC CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）证明:,0AB DB AD BD AB DB AD DB ⋅=⋅∴⋅+⋅= 即()()220,,AB AD AB AD AB AD +⋅-=∴=即AB AD =又222,()()AB AD DB AB AD DB AB AD +=∴+==-整理得0,,AB AD AB AD ⋅=∴⊥即,2A π=ABD ∴是等腰直角三角形（2）设,C θ=可得241221cos 54cos ,BD θθ=+-⨯⨯⨯=-则四边形ABCD 的面积2111521sin sin cos 2224ABDCBDS SSBD θθθ=+=⨯+⨯⨯⨯=-+ 52sin 44πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,,θπ∈∴当34πθ=时，S 取得最大值524+. 21.(本题共12分)如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=，A 是半径OP 上的动点，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，且.OA OD =（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）若,BOP ∠α=求线段AB 的长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值3POQ π∠=且OA OD =AOD ∴为等边三角形，,3DAO π∠∴=又四边形ABCD 为矩形，,26DAB BAP ππ∠∠=∴=在扇形OPQ 中，半径1OP =.过B 作OP 的垂线，垂足为Nsin sin BN OB αα∴==在ABN 中,2sin sin sin 6BN BN AB BAP απ∠=== （2）矩形ABCD 面积,S AB AD =设,BOP ∠α=由（1）可知2sin ,AB BN α==sin ,cos cos ,cos 6ON OB AN AB παααα====cos OA ON AN αα∴=-=()2sin cos sin2ABCD S AB AD AB OA ααααα=⋅=⋅==扇2sin 23πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,,2,333πππααπ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当2,32ππα+=即12πα=时，矩形ABCD 面积取最大值，最大值为2-22.(本题共12分)已知函数()()213cos2sin 12sin ,2224x f x x x g x x π⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）对任意的[]12,0,,x x t ∈当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程()()()()12210a f x g x f x g x ⎡⎤⋅-+-+-=⎣⎦在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()2111cos2sin 12sin cos2sin cos cos22222x f x x x x x x x ⎛⎫=+⋅-=+⋅=+ ⎪⎝⎭1sin22224x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<- 令()()(),h x f x g x =-则()3sin 2sin 22242424h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin2,4x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为()()12,h x h x <所以()h x 在[]0,t 上单调递增, 因为()h x 的增区间为,,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦所以,4t π所以t 的最大值为4π （2）()()()()()()()21112210211h x a f x g x f x g x a h x h x +⎡⎤⋅-+-+-=⇒==-⎣⎦++，即2a = 1sin21x -+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，因为31sin21,2x a -<<∴<。