坐标旋转推导
坐标旋转变换公式推导过程
坐标旋转变换公式推导过程1. 旋转变换的基本概念在计算机图形学中，我们经常需要对图形对象进行旋转变换。
旋转变换是一种常见的线性变换，可以帮助我们调整图形的方向和角度。
旋转变换通常涉及到一个旋转角度和一个旋转中心。
2. 二维空间中的坐标旋转我们先来看二维空间中的坐标旋转。
假设有一个二维空间中的点P(x, y)，我们要将该点绕原点(0, 0)旋转一个角度θ，得到新的点P’(x’, y’)。
根据坐标旋转变换公式的推导过程，我们可以得到如下的数学表达式：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)3. 推导过程步骤一：旋转变换矩阵的推导我们知道，对于二维空间中的点P(x, y)，我们可以用齐次坐标来表示为P(x, y, 1)。
而旋转变换可以表示为一个2x2的矩阵R：R = | cos(θ) -sin(θ) | | sin(θ) cos(θ) |步骤二：推导旋转变换的推导根据矩阵乘法的定义，我们可以得到旋转后的点P’：P’ = R * P展开计算得到：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)因此，从矩阵和坐标的角度上，我们成功推导出了二维空间中的坐标旋转变换公式。
4. 结论通过上述推导过程，我们可以得到二维空间中坐标旋转变换的具体数学表达式。
这些公式在计算机图形学和计算机视觉中具有重要的应用价值，能够帮助我们实现各种旋转形变效果。
在实际的编程实现中，我们可以根据这些公式进行简单的计算，从而实现图形的旋转变换效果。
希望本文的推导过程对读者有所帮助，引发对坐标旋转变换公式的更深一步探索和研究。
参考资料•计算机图形学教程•计算机视觉基础理论以上就是坐标旋转变换公式推导过程的详细内容，希望对您有所帮助。
推导坐标旋转公式
推导坐标旋转公式数学知识2010-09-12 21:03:53 阅读151 评论0 字号：大中小订阅在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式：x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;其中x，y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转angle 后相对于旋转点的坐标从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：1。
设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β2。
求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)3。
求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)4。
显然dist1=dist2，设dist1=r所以：r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)5。
由三角函数两角和差公式知：sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)所以得出：c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。
上面公式是相对于B点坐标来的，也就是假如B点位（0,0）可以这么做。
现在给出可以适合任意情况的公式：x0 = dx * cos(a) - dy * sin(a)y0 = dy * cos(a) + dx * sin(a)参数解释：x0,y0是旋转后相对于中心点的坐标，也就是原点的坐标，但不是之前点旋转后的实际坐标，还要计算一步，a旋转角度，可以是顺时针或者逆时针。
直线绕坐标轴旋转的曲面方程
直线绕坐标轴旋转的曲面方程如果一条直线绕坐标轴旋转，可以生成一个曲面。
这个曲面的方程可以用常微分方程的解来表示，但是比较复杂。
下面我们介绍一个简单的解法。
假如一条直线在 x 轴上，它的方程可以写成 y = kx + b。
现在我们要求这条直线绕 x 轴旋转会生成什么样的曲面。
我们可以用以下步骤来推导它的方程：第一步，假设这个曲面是关于x轴旋转对称的，那么它可以用一个函数y=f(x)来表示。
考虑图中的一个点P，它的坐标为(x,y)。
如果P绕x轴旋转，它会生成一个新的点P'，它的坐标为(x',y')。
我们可以用勾股定理来计算P'的坐标：x' = sqrt(x^2 + y^2)。
y'=y。
第二步，根据关于x轴旋转对称的特点，我们可以得到：y' = f(x') = f(sqrt(x^2 + y^2))。
第三步，在直角坐标系中，对于某个点 P(x, y)，它到 x 轴的距离为 r = sqrt(x^2 + y^2)。
因此我们可以把第二步中的 f(x') 写成 f(r)。
这样我们就得到了曲面的方程：y = f(sqrt(x^2 + y^2))。
这个方程描述的是一个旋转体，它的截面是一个与 x 轴垂直的曲线y=f(r)。
而 y=f(r) 的形状由直线 y=kx+b 决定。
因此我们可以用 y=f(r) 来表示整个曲面的形状：y = k * sqrt(x^2 + y^2) + b。
这就是一条直线绕坐标轴旋转生成的曲面方程。
坐标旋转变换公式推导方法
坐标旋转变换公式推导方法在计算机图形学和计算机视觉中，坐标旋转变换是一种常见的操作，用于在二维或三维空间中旋转对象或坐标。
本文将介绍坐标旋转变换的推导方法，以及如何推导出旋转矩阵。
坐标旋转的基本概念在二维空间中，我们可以通过旋转角度来描述坐标的旋转变换。
假设有一个点P(x, y)，要将该点绕原点逆时针旋转θ度，新的坐标为P’(x’, y’)。
我们可以表示如下：$x' = x \\cdot \\cos(\\theta) - y \\cdot \\sin(\\theta)$$y' = x \\cdot \\sin(\\theta) + y \\cdot \\cos(\\theta)$其中，(x, y)是原坐标，(x’, y’)是旋转后的坐标。
推导旋转矩阵为了推导旋转矩阵，我们可以引入齐次坐标的概念。
在二维空间中，我们可以将一个点表示为一个3维向量，如P(x, y, 1)。
通过引入齐次坐标，我们可以将旋转操作表示为一个矩阵乘法。
假设有一个2维点P(x, y)，我们可以表示为三维齐次坐标P(x, y, 1)。
旋转矩阵R如下：$R = \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) & -\\sin(\\theta) & 0 \\\\ \\sin(\\theta) & \\cos(\\theta) & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}$对点P进行旋转变换，则有：P′=RP矩阵相乘后展开可以得到旋转后的坐标。
推导方法总结通过以上推导，我们可以总结出坐标旋转变换的推导方法：1.将二维点引入三维齐次坐标表示。
2.构建旋转矩阵，根据旋转角度填充矩阵元素。
3.将旋转矩阵与齐次坐标点相乘，得到旋转后的坐标。
结论坐标旋转变换是计算机图形学和计算机视觉中常见的操作，通过推导旋转矩阵，我们可以实现对坐标的旋转变换。
坐标旋转变换公式的推导
坐标旋转变换公式的推导
翻译自: -
翻译：汤永康
出处:
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1 围绕原点的旋转
如下图，在2维坐标上，有一点p(x, y) , 直线opの长度为r, 直线op和x轴的正向的夹角为a。
直线op围绕原点做逆时针方向b度的旋转，到达p’(s,t)
s = r cos(a + b) = r cos(a)cos(b) – r sin(a)sin(b) (1.1)
t = r sin(a + b) = r sin(a)cos(b) + r cos(a) sin(b) (1.2)
其中x = r cos(a) , y = r sin(a)
代入(1.1), (1.2) ,
s = x cos(b) – y sin(b) (1.3)
t = x sin(b) + y cos(b) (1.4)
用行列式表达如下：
2．座标系的旋转
在原坐标系xoy中, 绕原点沿逆时针方向旋转theta度，变成座标系sot。
设有某点p，在原坐标系中的坐标为(x, y), 旋转后的新坐标为(s, t)。
oa = y sin(theta) (2.1)
as = x cos(theta) (2.2)
综合(2.1)，(2.2) 2式
s = os = oa + as = x cos(theta) + y sin(theta)
t = ot = ay – by = y cos(theta) – x sin(theta)
用行列式表达如下：
本文来自CSDN博客，转载请标明出处：/archive/2010/04/14/5484636.aspx。
旋转坐标轴的坐标变换公式
旋转坐标轴的坐标变换公式
在平面直角坐标系中，如果将坐标轴绕原点旋转一个角度θ,新的坐标轴(x',y')与原坐标轴(x,y)之间的关系可以用下面的公式表示:
x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)
y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)
反过来,如果已知点在新坐标系(x',y')下的坐标,想要求出它在原坐标系(x,y)下的坐标,可以使用以下公式:
x = x' * cos(θ) + y' * sin(θ)
y = -x' * sin(θ) + y' * cos(θ)
其中,θ是坐标轴旋转的角度,方向按照从x轴到y轴的方向为正。
这些公式广泛应用于分析旋转问题、极坐标与直角坐标的相互转换等场合。
需要注意的是,这里假设旋转是围绕原点进行的,如果是围绕其他点旋转,则需要先将坐标系原点平移到该点,进行旋转,然后再平移回来。
平面直角坐标系旋转公式
平面直角坐标系旋转公式在平面直角坐标系里，旋转公式可是个相当有趣的概念哦！想象一下，我们有一张纸，上面画着一个坐标系，X轴和Y轴交叉的地方就像两个好朋友在拥抱。
突然，有一天，我们决定给这张纸来个大变身，转个身，让它看起来焕然一新。
嘿，旋转公式就是帮助我们搞定这个变身的秘密武器！咱们要知道，旋转公式其实是个简单的公式。
旋转角度一般用希腊字母θ（theta）表示，听起来就高大上对吧？假设你手里有一个点，坐标是 (x, y)。
如果你想把它围绕原点旋转θ角度，公式就来了，x' = x * cos(θ) y * sin(θ)，y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)。
哇，听起来复杂，但其实简单得很！说白了，就是把这个点的位置“换个姿势”，让它跟着我们转动。
我们来聊聊为什么这个公式这么重要。
想象一下，你在玩游戏，角色需要转身打怪。
如果没有这个旋转公式，那角色可真是麻烦了！它们转不过身，永远只能面对一个方向。
这样一来，怪物就可以趁机上前，没准就会被打得稀里哗啦。
所以，旋转公式让角色能够灵活应对，真是拯救世界的英雄。
旋转公式不仅仅在游戏中有用，在现实生活中也无处不在。
比如说，车子转弯时，轮胎的每一个位置都在不停地旋转，想想，没了旋转公式，司机肯定得迷了路。
或者你在玩飞盘，飞盘在空中划出的优美弧线，都是因为旋转的魔力。
简直就像魔法一样，让生活充满乐趣。
不过，讲真，这个公式不是随便玩玩的。
你得学会如何使用三角函数，比如sin和cos。
这些数学工具就像是你的好帮手，没它们，公式就失去了灵魂。
拿出计算器，输入角度，转眼间，新的坐标就出现在你眼前。
太神奇了吧？就像变魔术一样，数学也是充满了惊喜。
大家可能会问，这个旋转角度到底是什么？它可以是任意的。
你想转多大就转多大，360度一圈又回到原点，180度就变了个样，90度更是直接换了个脸！这就让我们在空间中自由翱翔，真是想想就让人激动。
就像一只翱翔在蓝天的鸟儿，心中无忧无虑。
图像旋转的点坐标映射公式汇总
图像旋转的点坐标映射公式汇总⼀、旋转点坐标映射公式逆时针旋转：x'=x*cos(a)-y*sin(a);y'=x*sin(a)+y*cos(a);-----------------------------正向映射公式，同时引⼊旋转中⼼平移：x'= (x - rx0)*cos(RotaryAngle) + (y - ry0)*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y'=-(x - rx0)*sin(RotaryAngle) + (y - ry0)*cos(RotaryAngle) + ry0 ;-------------------------------反向映射公式：x=(x'- rx0)*cos(RotaryAngle) - (y'- ry0)*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y=(x'- rx0)*sin(RotaryAngle) + (y'- ry0)*cos(RotaryAngle) + ry0 ;-----------------------------------加⼊考虑坐标平移和缩放：x=(x'- move_x-rx0)/ZoomX*cos(RotaryAngle) - (y'- move_y-ry0)/ZoomY*sin(RotaryAngle) + rx0 ;y=(x'- move_x-rx0)/ZoomX*sin(RotaryAngle) + (y'- move_y-ry0)/ZoomY*cos(RotaryAngle) + ry0 ;⼆、公式推导假设对图⽚上任意点(x,y)，绕⼀个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a⾓度后的新的坐标设为(x0, y0)，有公式：x0= (x - rx0)*cos(a) - (y - ry0)*sin(a) + rx0 ;y0= (x - rx0)*sin(a) + (y - ry0)*cos(a) + ry0 ;在平⾯中，⼀个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标_百度经验【参考资料】任意⾓度的⾼质量的快速的图像旋转上篇纯软件的任意⾓度的快速旋转 - 裴银祥的博客园 - 博客园中篇⾼质量的旋转 - 裴银祥的博客园 - 博客园图像旋转的原理，实现与优化 - CSDN博客快速图像旋转算法的c++实现 - CSDN博客python 简单图像处理4旋转C++和matlab-图像旋转 - Qingsong_Zhao - 博客园图像处理学习笔记之图像的⼏何变换(3)旋转变换 - CSDN博客(实验⼆) --- 图像旋转变换---matlab实现 - CSDN博客【其他】matlab练习程序（图像旋转，双线性插值） - Dsp Tian - 博客园matlab练习程序（图像旋转，最邻近插值） - Dsp Tian - 博客园。
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'cos sin 'sin cos x x y y θθθ
θ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中,x y 表示物体相对于旋转点旋转θ的角度之前的坐标,','x y 表示物体逆时针旋转θ后相对于旋转点的坐标
从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐
标，例如：(,)A x y 绕(,)B a b 旋转β角度后的位置为(,)C c d ，则,,,,,,xyab
cd β有如下关系式：
1．设A 点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C 点之后角度为δβ+
2．求A ，B 两点的距离：dist1=|AB|=/()/()y Sin x Cos δδ=
3．求C ，B 两点的距离：dist2=|CB|=/()/()d Sin c Cos δβδβ+=+
4．显然dist1=dist2，设dist1=R 所以：
R=/()/()/()/()y Sin x Cos d Sin c Cos δδδβδβ==+=+
5．由三角函数两角和差公式知：
()()()()S i n S i n C o s C o s S i n δ
βδβδβ+=+ ()()()()C o s C o s C o s S i n S i n
δ
βδβδδ+=- 所以得出：
c=()()()()()()()RCos RCos Cos RSin Sin xCos ySin δβδβδβββ+=-=- d=()()()()()()()RSin RSin Cos RCos Sin yCos xSin δβδβδβββ+=+=+即旋转后的坐标c ，d 只与旋转前的坐标x ，y 及旋转的角度β有关
从图中可以很容易理解出A 点旋转后的C 点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。