Chapter6随机信号的相关和功率谱分析

2 x
(6-5)

2 x
R x ( ) x ( )
2 x
x
2
(6-6)
xy ( )
R x , y ( ) x y
x
(6-6)
y
22
(1).自相关函数的性质 1） Rx(τ)的值限制范围为
x x R x ( ) x
2 2 2 2 x
0
xy
E ( x x )( y y )


(6-2)
x
y
20
3.自相关函数
R x , y ( ) lim
1 T
T

T
x ( t ) y ( t ) dt
0
(6-1)
设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+τ)是x(t) 时移τ后的样本。令x(t) ← x(t)，y(t+τ) ← x(t+τ)，则得到x(t) 的自相关函数Rx(τ)

T
x ( t nT ) x ( t nT ) d ( t nT ) x ( t ) x ( t ) dt
t← t+nT
0 T


0
R x ( )
(6-16)
26
例6-1：求正弦函数x(t)＝x0Sin(ωt+φ)的自相关函数。
R x ( ) lim 1 T
{ x ( t )} { x1 ( t ), x 2 ( t ), L , x i ( t ), L }
随机过程与样本函数
2
2. 集合平均和时间平均
随机过程的某个统计参数， 如均值、方差、均方值和均方 根值等，是按随机过程{x(t)}中 所有样本函数xi(t)在ti时刻的观 测值进行运算再取其平均的方 法，称为集合平均。 随机过程中t1时刻的均值
时 延 器 乘 法 器 积 分 器
y(t +τ)
18
(2).相关系数
例如，玻璃管温度计液 面高度(Y)与环境温度(x) 用相关系数表示两个变量x、y之间的相关程度 的关系就是近似理想的 线形相关，在两个变量 E ( x x )( y y ) 相关的情况下，可以用 xy (6-2) x y 其中一个可以测量的量 的变化来表示另一个量 当ρxy=±1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系 |ρxy|≤1 的变化。
R x ( ) x
2
(6-11)
(6-12)
R x ( ) lim
T

T
x ( t ) x ( t ) dt
0
(6-4)
x ( ) 0
如果均值μx=0，则Rx(τ) →0。 x(t)与x(t＋∞）彼此无关
x ( )
R x ( ) x
R x ( ) lim 1 T
T

T
x ( t ) x ( t ) dt
(6-4)
0
自相关函数：描述随机 过程一个时刻的幅值与另 一个时刻幅值之间的依赖 关系。或者说，现在的波 形与时间坐标移动了之后 的波形之间的相似程度。
21
自相关系数ρx(τ)
x ( )
R x ( )
x lim
1 T
T

1 T
T
x ( t )d t
0

2 x
lim
T

T 0
T 0
x ( t )d t
x ( t )d t
2
2
x rm s
T
lim
1 T
1 T

x

2 x
lim
T
0 x ( t )
T
x dt
2
均值、方差和均方值之间的关系

x ( i ) lim
1 T
T

T 0
x i ( t )d t
随机过程与样本函数
随机过程第i个样本的均方值
x ( i ) lim
2
1 T
T

T 0
x i ( t )d t
2
4
3. 随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机过程的主要特征参数有 2 2 x x、 方差 均值 x、均方值 ——描述信号在幅值域中强度方面的特征 概率密度函数——描述信号在幅值域中的特征； 自相关函数——描述信号在时延域中的特征； 功率谱密度函数——描述信号在频域中的特征
(6-16)
可根据自相关图的形状来判断信号的性质 由性质5）知，周期信号的自相关函数仍为周期信号， τ→∞时，Rx(τ)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号， 当τ→∞时，Rx(τ)衰减→0(μx=0)。 利用自相关函数进行机械设备的故障诊断
Rx (t )
0

a)正弦波加随机噪声信号
b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数
R x ( ) x
2

2 x
(6-5)
x (0)

R x (0) x
2
x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性
x 2 2 2 x x x


2 x 2 x 2 x
1
(6-10)
自相关函数的性质
24
4） 当τ→∞时，x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关
x ( t1 ) lim
1 N
N N

x i ( t1 )
随机过程与样本函数
i 1
在t1时刻的均方值
x ( t1 ) lim
2
1 N
N

N
x i ( t1 )
2
i 1
3
计算随机过程对某个统计参 数时，仅利用随机过程{x(t)}中 第i个样本函数xi(t)，当观测时 间T→∞时，对所有观测值进行 运算再取其平均的方法称为时 间平均。 随机过程第i个样本的均值
第六章 随机信号的相关和功率谱分析
6.1 随机信号基本概念 6.2 信号的幅值域分析 6.3 相关分析及其应用 ▼ ▼ ▼
6.4 功率谱分析及其应用 ▼
1
6.1 随机信号的基本概念
1.样本函数、样本记录、随机过程
对随机信号按时间历程所作 的各次长时间的观测记录称作 样本函数，记为xi(t)
在有限区间内的样本函数 称作样本记录 在同等试验条件下，全部 样本函数的集合(总体)就是 随机过程，记作 {x(t)}
T
T

2
T
x ( t ) x ( t ) dt
0

1 T 2 x0

0
x 0 sin( t ) sin[ ( t ) ] dt
(6-14)
T 2

cos
推导
2

保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息
27
自相关函数Rx(τ)的应用
R x ( nT ) R x ( )
推导
xy ( )
T
lim
1 T

T
0
[ x ( t ) x ][ y ( t ) y ] dt

R x , y ( ) x y
x
R x , y ( ) lim 1 T
y
x
(6-1)
(6-6)
y
T

T
x ( t ) y ( t ) dt
R x ( ) x ( )
2 x
x (6-6)
2
(6-7)
T
xy 1
(6-2)
2) Rx(τ)为偶函数
R x ( ) lim
T
R x ( ) lim

T
x ( t ) x ( t ) dt
0
(6-4)

T
0
x ( t ) x ( t ) dt
2

2 x
(6-5)
自相关函数的性质
25
5）当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx(τ)也是周期的， 且周期相同
R x ( ) lim
T

T
x ( t ) x ( t ) dt
0
(6-4)
若周期函数为x(t)= x(t+nT)，则其自相关函数为
R x ( nT )
1 T 1 T
R x ( 0 ) lim 1 T
T

T
x ( t ) x ( t 0 ) dt
2
0
R x ( ) lim
T

T
x ( t ) x ( t ) dt
(6-4)
0
lim
1 T
T

T
x ( t ) dt
2 x
0

2 x
28
四种典型信号及其自相关函数
描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度： (1) 联合概率密度函数； (2) 互相关函数； (6) 互谱密度函数和相干函数。
5
4. 随机过程的分类
各态历经随机过程 平稳随机过程 随机过程 非平稳随机过程 非各态历经随机过程
6
6.2 信号的幅值域分析
1. 统计特征参数
均值 均方值 均方根值 方差
2

2 x
lim
1 T
T

T 0
x (t ) x d t
2
9
3. 概率密度函数
T x t1 t 2 t 3 t 4