含小数分母的一元一次方程
分母含有小数的一元一次方程
分母含有小数的一元一次方程一元一次方程是指一个未知数的最高次数为一的方程。
通常表示为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
在一元一次方程中，分母含有小数的情况可以表示为以下形式：(dx + e)/f + g = 0，其中d、e、f和g是已知的实数，x是未知数。
这种方程可以通过一些步骤来求解。
解这种方程的一种方法是通过消去分母。
为了消去分母，可以取两边的公共倍数作为新的等式。
例如，如果分母f是一个分数，可以将等式两边乘以f的分母的最小公倍数，这样就可以消去分母，得到一个通常的一元一次方程。
然后，可以依次进行移项、合并同类项和解方程的步骤，最终得到x的解。
例如，考虑方程(2x + 1)/3 + 2 = 0。
我们可以将等式两边乘以3，得到2x + 1 + 6 = 0。
然后，可以合并同类项，得到2x + 7 = 0。
最后，将7移到等式的另一边，得到2x = -7，然后除以2，得到x = -7/2，这是方程的解。
另一种解这种方程的方法是通过分数的特性来处理。
在这种方法中，我们可以通过移项和合并同类项的方式将方程转化为形式为ax +b = 0的方程。
然后，我们可以将方程两边的分数化成整数。
为了将一个分数化成整数，我们可以将分子和分母同时除以一个公因子。
例如，对于方程(2x + 1)/3 + 2 = 0，我们可以将(2x + 1)/3化成(2x +1)/1，然后将分子2x + 1除以公因子3，得到(2/3)x + 1/3 = 0。
然后，我们可以移项和合并同类项，得到(2/3)x = -1/3，最后将分子和分母同时乘以3，得到2x = -1，然后除以2，得到x = -1/2，这是方程的解。
解一元一次方程时，需要考虑一些特殊情况。
首先，如果方程中的分母为零，则方程无解。
例如，方程(1/x) - 1 = 0是无解的，因为分母x不能为零。
其次，如果方程中的分子和分母都为零，则方程有无限多解。
例如，方程x/0 = 0是有无限多解的，因为分子和分母都为零。
一元一次方程知识点总结(供参考)
一元一次方程方程的有关概念夯实基础一．等式用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示①等式能够是数字算式，能够是公式、方程，也能够是运算律、运算法那么等，因此等式能够表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
二．等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即若是b a =，那么c b c a ±=±。
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即若是b a =，那么bc ac =；若是b a =()0≠c ，那么cbc a =。
温馨提示①等式类似天平，当天平两头放有相同质量的物体时，天平处于平稳状态。
假设在天平的两头各加（或减）相同质量的物体，那么天平仍处于平稳状态。
因此运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应专门注意“都”和“同一个”。
如31=+x ，左侧加2，右边也加2，那么有2321+=++x 。
②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即若是b a =，那么a b =。
b.传递性：若是c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。
例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明依照等式哪一条性质，和如何变形取得的。
（1）若是51134=-x ，那么+=534x ；（2）若是c by ax -=+，那么+-=c ax ；（3）若是4334=-t ，那么=t 。
三．方程含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示方程有两层含义：①方程必需是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确信的数，即未知的字母，那个字母确实是未知数。
一元一次方程的解法 知识方法总结
等式的性质 2
分数线有括号的作用，分子是整体，所以去分 母时需添上括号；不要漏乘不含分母的项
一般先去小括号，再去中括号，最后
去括号法则 括号前是负号的注意要全变号，不要漏乘括号
去大括号
（分配律） 内的任何一项
通常把含有未知数的项移到等号的左
移项时注意改变项的符号，不移动的项不改变
边，把常数项移到等号的右边（分离 含有未知数的项与常数项）
类型 分母中含有小 数 某些项含有分 母
有括号 方程两边均含 有未知数或常 数项
有同类项
ax b
步骤 小数化 为整数 去分母
去括号
移项
合并同 类项 系数化法
依据
注意事项
分子分母同乘一个不为零的数
分数的基本性质 可约分的进行约分
（商不变性质）
方程两边同乘各分母的最小公倍数
得x b a
等式的性质 2 纸上进行检验
等式的性质 1
符号；若移项后含有未知数的项的系数和常数 项均为负数，不妨改变移项的方向，方便运算，
注意最后写成“ x a ”的形式
得到 ax b
合并同类项法则 把同类项的系数相加，未知数和未知数的指数
（分配律的逆用） 均不变
方程两边同除以未知数的系数 a ，解
解的分子分母不要颠倒位置，最后记得在草稿
七年级数学上册第5章一元一次方程小数分母化整三法(北师大版)
一元一次方程小数分母化整三法
培养学生的创新意识和能力，是素质教育的重要内容，对培养开拓思维具有重要意义。
下面以一习题为例，谈一谈含有小数分母的一元一次方程的分母化整技巧。
例：解方程
一、统一化整法
分析：分母0.01和0.02有两位小数，乘以100可统一化整。
解：
整理，得：
移项，合并同类项，得：
解得：
二、分别化整法
分析：分母0.02乘以50，分母0.01乘以100就可各自化整。
解：
整理，得：
移项，合并同类项，得：
解得：
三、分割化整法
分析：利用分数加减法法则的逆运算也可将分母化整。
解：原方程可化为
移项，合并同类项，得：
解得：
可以看出，分母化整利用了分数的基本性质与有关计算原理，它和去分母有本质的区别。
表示如下：。
一元一次方程的解法基础知识讲解
一元一次方程的解法（基础)知识讲解撰稿:孙景艳 审稿:赵炜【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练在列方程时确定等量关系.【要点梳理】知识点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1)不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号）(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：(1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．（2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行。
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，分类讨论：（1)当0c <时,无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=;（3）当0c >时，原方程可化为:ax b c +=或ax b c +=-。
2。
含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时,b x a=;（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程1．解下列方程（1)345m m -=- (2)—5x+6+7x ＝1+2x —3+8x 【答案与解析】 解：(1）移项，得345m m -+=-．合并，得245m =-．系数化为1，得m ＝—10． (2)移项，得-5x+7x -2x —8x ＝1-3—6．合并，得—8x ＝—8．系数化为1，得x ＝1．【点评】方法规律:解较简单的一元一次方程的一般步骤：（1）移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项（常数项）放在等式的右边．（2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b （a ≠0）．（3）系数化为1:即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a =． 举一反三：【变式】下列方程变形正确的是( ）．A ．由2x —3＝-x —4，得2x+x ＝—4—3B ．由x+3＝2—4x ，得5x ＝5C ．由2332x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x —2，得—x ＝-2-3【答案】D ．类型二、去括号解一元一次方程【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】2．解方程：【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+移项合并得：65x -=解得:56x =- (2）去括号得：32226x x --=-移项合并得：47x -=-解得：74x = 【点评】去括号时，要注意括号前面的符号,括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“—”,各项均变号．举一反三：【变式】（四川乐山）解方程: 5(x -5）+2x ＝—4．【答案】解: 去括号得：5x —25+2x ＝—4移项合并得： 7x ＝21()()1221107x x +=+()()()232123x x -+=-解得: x ＝3．类型三、解含分母的一元一次方程3．解方程：4343431623x x x +++++=． 【答案与解析】解法1：去分母，得(4x+3）+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．移项合并，得24x ＝-12，系数化为1,得12x =-． 解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6（4x+3)＝6，即4x+3＝1，移项，得4x ＝—2，系数化为1，得12x =-． 【点评】对于解法l ：(1)去分母时，“1"不要漏乘分母的最小公倍数“6";(2）注意适时添括号3(4x+3）防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3"看作一个整体来解,最后求x ． 举一反三：【高清课堂:一元一次方程的解法388407 解含分母的一元一次方程】【变式】22511346x x x -+--=- 【答案】解：去分母得:4(2)3(25)2(1)12x x x --+=--去括号得：486152212x x x ---=--合并同类项，得：49x -=系数化为1，得94x =-． 类型四、解较复杂的一元一次方程 4．解方程：0.170.210.70.03x x --= 【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：101720173x x --=． 去分母，得：30x -7(17-20x )＝21．去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140．系数化成1,得：1417x =． 【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数,要区分开．5。
含有分母的一元一次方程的解法
一元一次方程及其解法（解含有分母的一元一次方程）教材：义务教育教科书《数学》七年级上册冀教版教第154~155页一.教材与学生数学现实的分析1.方程是代数中的重要内容，而研究一元一次方程的解法更为重要，不仅因为解法本身有许多直接应用，而且它是解其它方程和方程组的基础。
事实上，解各种方程和方程组，通常经过降次、消元等变化，最后归结为解一元一次方程。
因此一元一次方程的解法在整个方程乃至整个代数中都处于基石的地位。
2.含有分母的一元一次方程解法是建立在学习了去括号、移项、合并同类项、化系数为1基础上进行的，它既是前面知识的概括和总结，又是前面知识的进一步深化。
3.解含有分母的一元一次方程，关键是去掉分母，使之转化为前面所学的知识，而去分母的根据是等式的第二个性质。
4.从学生当前的知识情况来看，他们已掌握了去括号、移项、合并同类项、系数化1这些步骤及等式的性质2，所以说学习本节他们已经具备了较好的基础知识。
然而，从知识形成过程来看，去分母方法的获得，对一部分同学来说，有一些难度，因此应当作为教学中引导和探索的重点。
从学生的思维方面，由于平时对学生的渗透，学生已具备了一些利用转化的理念来解决问题。
总之从学生的数学现实来看，让学生自主探索的方式来学本节课不仅有保证，而且还可以更好地发展他们的能力。
通过以上分析得出：本节课的学习重点：去分母的方法及正确利用去分母解一元一次方程。
本节课的难点是：正确地运用等式性质去分母。
二.教学目的：1.从知识的角度，学生应理解去分母的根据，掌握去分母的方法，并能正确地解含有分母的一元一次方程。
2.从学生的掌握过程来说，学生通过独立地思考和探究，总结出去分母的方法，及解含有分母的一元一次方程的步骤。
从中体会到去分母过程的转化思想及知识的联系性。
3.通过对去分母的探索，让学生亲身体验通过努力获取成功的喜悦，增强对数学学习的兴趣和信心。
三.教学过程设计教学过程设计说明创设问题情境教师：我们知道，求一元一次方程的解，就是把方程最后变形为x=a的形式，当然在每个变形过程，应有一定的根据。
一元一次方程(专题详解)(解析版)
一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1） 方程：含有未知数的等式。
例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含有一个未知数，且未知数 的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 例1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？①3x-6；②3-5=-2；③x+2y=8；④x+2≠3；⑤x-x1=2； ⑥y=10；⑦3y 2+2y=0；⑧3a<-5a ；⑨3x 2+2x-1=0；⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有：③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件：1）含有未知数；2）是等式。
一元一次方程式的解题方法与技巧
一元一次方程式的解题方法与技巧初一的同学在刚刚学习到一元一次方程时，往往觉得一元一次方程非常简单，但是一到做题的时候还是缺少方法与技巧，容易在解题的时候失分，最基础的知识偏偏是最重要的，一元一次方程是同学们学习其他方程的基础，如果地基不打牢，怎么能撑得起万丈高楼？看看这些场景，你是不是非常熟悉？a、是不是计算经常出现问题？掉数字、掉字母、去括号不变号b、是不是看到一元一次方程组应用题就犯怵，不知未知数该设什么？如何列等式？c、是不是看到稍微繁琐一点的一元一次方程组问题就犯晕？我们先来一起回顾一下课堂知识，了解一元一次方程的知识总结和方程归纳：我们再来看一个简单的栗子：方程0.25x=4.5，如果是你，你该怎么解这个题？建议大家先想想再看下面的答案：分析：0.254=1，故两边同乘以4要比两边同除以0.25简便得多。
解：两边同乘以4，得x=18。
同样是非常简单的解题，是不是换位思考一下，从多个角度出发寻找解题方法，会更简单？为了让大家牢固掌握其解题方法，今天小德给大家总结一元一次方程的四种解题技巧，大家可以在课后多加练习，在充分熟悉后就要根据方程的特点灵活安排求解步骤。
1、含有小数的一元一次方程，利用分数的基本性质把各项的分母化成1例：解方程：(4x-1.5)/0.5-(5x-0.8)/0.2=(1.2-x)/0.1解析：从题目中可以看出，此方程分母中含有小数，如果直接利用去分母会出现分子乘以小数的情况，在后面的计算中会增加解题难度。
如果利用分数的基本性质，将每项的分母化成1，即第一项分子分母同时乘以2，第二项分子分母同时乘以5，第三项分子分母同时乘以10，那么每项的分母巧妙的化成了1，并且分子还都是整数，从而简化计算难度。
原方程变成：8x-3-(25x-4)=12-10x,然后移项、合并同类项得-7x=11解得x=-11/7.技巧：分数的基本性质能够巧妙的将分母是小数的一元一次方程转变成分数是整数的方程，而关键的是将分母化成1，更加方便，简化了去分母这一步骤，从而简便运算。
2022年初中数学精品《解一元一次方程8》word版精品教案
6.2 解一元一次方程第4课时教学目标【知识与能力】掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程.【过程与方法】通过练习使学生灵活的解一元一次方程.【情感态度价值观】发展学生的观察、计算、思维能力.教学重难点【教学重点】使学生灵活的解一元一次方程.【教学难点】使学生灵活的解一元一次方程.课前准备课件教学过程一、情境导入，初步认识通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程.【教学说明】复习解一元一次方程的步骤，为本节课的教学作准备，并引出本节课的内容.二、思考探究，获取新知1.解方程分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解.利用分数的基本性质，将方程化为：去分母，得6(9x＋2)-14(3＋2x)-21(3x＋14)=42，去括号，得54x+12-42-28x-63x-294=42，移项，得 54x-28x-63x＝42-12＋42+294，合并同类项，得-37x=366，系数化为1得x=-366/37.【教学说明】解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立.2.解下列方程：(1)3(2x-1)＋4=1-(2x-1)；分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤.第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体，先求出(2x-1)的值，再求x的值；第(2)小题，应注意到分子都是4x+3，且1/6+1/2+1/3=1，所以如果把4x+3看成一个整体，则无需去分母.解：(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1) ，3(2x-1)＋(2x-1)=1-4，4(2x-1)=-3，2x-1=-3/4，2x=1/4，x=1/8.(1/6+1/2+1/3)(4x+3)=1；4x+3=1；4x=-2；x=-1/2.【教学说明】解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力.三、运用新知，深化理解【教学说明】强调学生在解题之前一定要先观察方程的特点，再选择适当的方法，是先去中括号、还是去小括号；是先去分母、还是先去括号等.【答案】1.分析：这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解.解：原方程可化为去分母，得3（4x+21）-5（50-20x）= 9，去括号，得12x+63-250+100x=9，移项，得12x +100x=9-63+250，合并同类项，得112x=196，系数化为1，得x=196/112=7/4.2.解：原方程可化为去分母得40x+60=5（18-18x）-3（15-30x），去括号得40x+60=90-90x-45+90x，移项、合并得40x=-15，系数化为1得x=-3/8.3.解：去中括号得4（x-1/2）+1=5x-1，去小括号得4x-2+1=5x-1，移项、合并得x=0.4.解：去小括号得1/3(2x-1/3-2/3)=2,方程两边同乘以3得2x-1=6,移项得2x=7,系数化为1得x =7/2.5.解：依题意，得去分母得5（2k+1）=3（17-k）+45，去括号得10k+5=51-3k+45，移项得10k+3k=51+45-5，合并同类项得13k=91，系数化为1得k=7，6.分析：由方程2(2x-3)=1-2x可求出它的解为x=7/6，因为两个方程的解相同，只需把x =7/6 代入方程8-k=2(x+1)中即可求得k的值.解：由2(2x-3)=1-2x得4x-6=1-2x，4x+2x=1+6，6x=7，x=7/6.把x =7/6代入方程8-k=2(x+1)，得8-k=2(7/6+1),8-k=7/3+2,-k=-11/3,k=11/3.答:当k =11/3时，方程2(2x-3)=1-2x 和8-k=2(x+1)的解相同.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业1.布置作业:教材第14页“习题6.2.2”中第1 、2 题.2.完成练习册中本课时练习.五、教学反思这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度.对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解.第2课时 分式的乘方[解答] 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．即由于ba 表示a 除以b 的商，所以分式乘方的法则实质上就是商的乘方法则，这个法则与第六章整式的乘除中幂的运算法则组成了系统的幂的五种运算性质．即关于正整数m 、n 有： (1)m n m n a a a +=⋅(2)m n m n a a a -=÷ (a ≠0，m ＞n)(3)m n m n a a ⋅=)((4)n n n b a b a ⋅=⋅)(加强幂的运算性质“双向应用”的练习，有利于熟练掌握幂的运算性质，发展思维，提高灵活解决有关幂的各类问题的能力．正向应用幂的运算性质解题时，应注意以下几点．(1)“分子、分母各自乘方”是针对分子与分母的整体而言，如果分子、分母是积的形式，应接照积的乘方法则进行运算，如本例中(2)计算带有负号的分式乘方时，按照负数乘方的规律“偶次方为正，奇次方为负”，首先决定结果的符号，如本例中(3)乘方与乘除法混合运算时，应首先计算乘方，然后颠倒除式的分子与分母的位置，再与被除式相乘，进行约分化简．[例2]已知2a =5，2b =4，2c =10，求22a+b-3c 的值．分析：本题应通过逆向应用幂的运算性质，将c b a 322-+用a 2，2b 与2c 的式子表示出来，再代入求值．解：c b a 322-+ ＝c ba 3222+ （ m n m n a a a -=÷的逆向应用 ） ＝c ba 32222⋅ （ m n m n a a a +=⋅的逆向应用 ）＝32)2(2)2(c b a ⋅ （ m n m n a a ⋅=)(的逆向应用 ） ＝101104532=⨯[例3] 求(0.5)10×(-8)3的值．解：(0.5)10×(-8)3注意：把10)5.0(写成92121⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯以及进一步把99)2(21-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛写成9)2(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的形式，是逆向应用幂的运算性质解题的常用技巧，也是解决本题的关键。
人教版初一数学上册一元一次方程的解法(提高)知识讲解
一元一次方程的解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8【答案】B．【解析】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2由题意知=m﹣2解之得：m=﹣8．【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正?3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-．【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-．再去中括号得：1112224433x x x-+=-．移项，合并得：5111212x-=-．系数化为1，得：115x=．解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-．去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=．解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-．去中括号，得1112(1)(1)(1) 2243x x x-+--=-．移项、合并，得51(1)122x--=-．解得115x=．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭．去大括号111110 16842x----=．移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--=⎪⎝⎭．移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=．移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边同乘以4，得110 5x-=．移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】解：原方程可化为6x﹣=，两边同乘以6，得36x﹣21x=5x﹣7，移项合并，得10x=-7解得：x=﹣0.7．【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为49321 53y y++-=．去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得2y＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0 ．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = ． 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】（2014秋•故城县期末）已知关于x 的方程mx+2=2（m ﹣x ）的解满足方程|x ﹣|=0，则m 的值为（ ）A. B. 2 C.D.3【答案】B解：∵|x﹣|=0，∴x=，把x 代入方程mx+2=2（m ﹣x ）得：m+2=2（m ﹣）， 解之得：m=2.类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．【高清课堂：一元一次方程的解法388407解含字母系数的方程】 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴40k-≠原方程的解为：64xk=-为正整数，∴4k-应为6的正约数，即4k-可为：1，2，3，6∴k为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x 2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断. 【答案】B.【解析】解：①x 2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②.类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a bc c =++. C ．在等式b ca a=两边都除以a ，可得b ＝c.D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。
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方法一
x -1 2 x - 3 x4 例题. 解方程： 0 .5 0 .6
解：由分数的性质得：
（ 2 x -1 ） （ 5 2 x - 3） x4 2 0.5 5 0.6
5(2 x - 3) x4 方程化为： 2( x 1) 3
方法二
x -1 2 x - 3 x4 例题. 解方程： 0 .5 0 .6
x -1 2x - 3 3 3 （ 3 x 4） 0.5 0.6
方程化为：
（ 6 x 1) 5(2 x 3) （ 3 x 4）
归纳小结 应对含小数分母的一元一次方程的方法
方法一 方法二 方法三
自我检测
将下列一元一次方程的小数分母整数化：
x -1 x2 (1) 2; 0.2 0.5
x 0.17 0.2 x ( 2) 1 0 .7 0.03
自我检测
将下列一元一次方程的小数分母整数化：
x -1 x2 (1) 2; 0.2 0.5
x 0.17 0.2 x ( 2) 1 0 .7 0.03
提示： （1）由分数的基本性质得： （2）根据分数的基本性质得：
（ 5 x - 1) 2( x 2) 2; 5 0.2 2 0.5
北师版七年级数学上册
分母中含有小数的 一元一方程
旧知复习
解一元一次方程的一般步骤:
去分母 去括号
移 项
合并同类项 系数化为1
挑战新知
例题. 解方程：
x -1 2 x - 3 x4 0 .5 0 .6
首先将小数分母化为整数，然后 再按照解一元一次方程的一般步骤 解方程。
如何将小数分母化为整数呢？
解：将方程变形得：
1 1 （x 1) ( 2 x 3) x 4 0.5 0.6
化简得：
5 （ 2 x 1) ( 2 x 3) x 4 3
方法三
x -1 2 x - 3 x4 例题. 解方程： 0 .5 0 .6
解：由等式的性质，方程两边同乘 3得：
化简，得：
10x 100 （0. 17 0. 2 x） 1 10 0.7 100 0.03
化简，得：
10x 17 20 x 1 7 3
（ 5 x -1) 2 - （ 2 x 2）
方法一
x -1 2 x - 3 x4 例题. 解方程： 0 .5 0 .6解：由分数 Nhomakorabea性质得：
10 （x - 1 ） 10 （2 x - 3） x4 10 0.5 10 0.6
10 x - 10 20 x - 30 x4 方程化为： 5 6
思考：分子、分母必须同时扩大10倍才能将 分母化为整数吗？