自动控制理论 第四章 根轨迹3
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自动控制原理第四章
二、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程：
起点 终点
(s z )
i 1 n i i 1 i
m
K * → s zi 0 →
(s p ) * K 0 → s pi 0 → s p i
1 * K
s zi
9
三、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目 之和应为奇数。N+P=奇数
n
i 1
i
|
n i 1
相角 方程
s zij s pi (2k 1)
k 0, 1, 2,
• 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨 迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
8
§2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹是连续的并且对称于实轴，根轨迹的 分支数＝开环极点数
G( s) H ( s) K
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1 0 j
( s pi )
(s p )
i
7
模值 方程
K
*
| s z
j=1 i 1
m
ji
| 1
| s p
ij=1 1 m
系统最小阻尼比对应的闭环极点。
cos cos 45
0.707
对应闭环极点
o
s1,2 2 j2
21
n
m
j
nm
11
自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
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第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
自动控制原理第4章根轨迹
第四章 根轨迹
本章教学目标与要求
掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉 根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。
熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反 馈），了解参数根轨迹的含义。
了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与 s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制 系统分析与设计中的应用。
（4-8）
上式中， ， z j ( j 1 ~ m) pi (i 1 ~ n) 分别为控制系统的
开环零点和极点，他们可以是复数范围内的
任何数。开环传递函数分子有理式的阶数是m，
分母有理式的阶数是n。当系统的开环传递函
数写成上述形式时， 称为K *根轨迹增益，为参
变量，其值从零变化到无穷大。
系统的开环传递函数还可以写成下述 时间常数的形式
（1）劳斯判据；
（2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚 部和实部分别为零而求得。
【例4.3】设系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨 迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点， 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。
引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与 根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们 说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要 条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件 确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点 对应的K*值。
本章教学目标与要求
掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉 根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。
熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反 馈），了解参数根轨迹的含义。
了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与 s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制 系统分析与设计中的应用。
（4-8）
上式中， ， z j ( j 1 ~ m) pi (i 1 ~ n) 分别为控制系统的
开环零点和极点，他们可以是复数范围内的
任何数。开环传递函数分子有理式的阶数是m，
分母有理式的阶数是n。当系统的开环传递函
数写成上述形式时， 称为K *根轨迹增益，为参
变量，其值从零变化到无穷大。
系统的开环传递函数还可以写成下述 时间常数的形式
（1）劳斯判据；
（2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚 部和实部分别为零而求得。
【例4.3】设系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨 迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点， 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。
引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与 根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们 说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要 条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件 确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点 对应的K*值。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第四章根轨迹小结
2kπ
5
实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹
偶
6
根轨迹的分离点
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
(2k+1)π
L
,
不变！
不变！
7
与虚轴的交点
8
起始角与终止角
变了
举例说明
利用根轨迹分析系统的性能
要求：
概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。
如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
1
+
K*
=
0
j=1
m
∏
s
pi
(
-
)
pi
开环极点“×”, 也是常数！
开环零点“”,是常数！
Zj
i=1
n
∏
根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
s
zj
(
-
)
根轨迹的模值条件与相角条件
j=1
m
n
1
+
K*
3 分离角定义
实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
自动控制理论期末复习(知识点总结第四章-第五章)
Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。
因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、动态和稳态性能） 相关术语：*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益：K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。
自动控制理论—根轨迹
Kr K = limsG(s)H(s) = s→ 0 2
对于本系统， 与开环增益K 对于本系统，根轨迹增益 Kr与开环增益K间的关 它们之间仅相差一个比例常数2 系为 Kr = 2K，它们之间仅相差一个比例常数2。
四、根轨迹与系统性能
以图4-1为例进行说明 以图4 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部， 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统 是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面， 是稳定的， 否则是不稳定的。 若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面， 根轨迹与虚轴交点处的K 就是临界稳定的开环增益K 根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统， 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点 ， 所以属 Ⅰ 型系统 ， 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。 因而根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数 。 如果给定系统的稳态 误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 所有闭环极点均位于实轴上， 动态性能 当0< Kr <1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为 过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当 Kr =1 特征方程的两个相等负实根， 系统为临界阻尼系统， 时 ， 特征方程的两个相等负实根 ， 系统为临界阻尼系统 ， 单 位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当 位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 r >1 时 ， 特征方程 K 为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统， 为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过 程 ， 振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有 值的增加而加大， Kr 显著变化。 显著变化。
《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章
i1
n
n
s n pl s n1
pl
l 1
l 1
3、用分子除以分母得
GsH s
K0
s nm
n l 1
pl
m i 1
zi s nm1
2020/5/4
第四章 根轨迹法
14
自动控制理论
当s 时,
令某系统的开环传递函数为W s
s
K0
A
nm
K0
snm
n
m
s nm1
A
1 W s 0,有n m条根轨迹分支,它们是由实轴上s σA点出发的射线,
图4-4 一阶系统
2020/5/4
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
6
自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
例4-4
已知GsH s
ss
K0
4s 2
4s
20
求根的分离点
图4-12 例4-4的根轨迹
解：1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
2020/5/4
-A
422 4 第四章
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1
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闭环特征方程
正反馈系统的根轨迹方程
实轴上的根轨迹 渐近线与实轴的 夹角 出射角、入射角
正反馈系统的根轨迹与负反馈系统 的根轨迹是互补的
10 5
10 5
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量 Mp18%，试确定开环增益。
解:
5
0
-5 -10 -5 0 5
3个闭环极点为：
-7.6 -1.2 + 2.1j -1.2 - 2.1j
3. 稳态误差分析
稳态误差 无差度 开环增益
输入
根轨迹的起点 在原点的个数
计算某点 的增益
解: 由系统闭环特征方程得等效开环传函
绘制参量根轨迹的步骤
写出原系统的闭环特征方程。
以特征方程中不含参量的各项除特征方程， 得系统的等效开环传递函数，该方程 中原系统的参量 即为等效系统的根轨迹 增益。 绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的 参量根轨迹。
3. 正反馈系统的根轨迹的绘制
闭环传函
利用根轨迹分析系统稳定时根轨迹增益的取 值范围。
解: 绘制根轨迹如图
0 < kg < 7
例： 系统开环传函为
试作稳定性分析
6 4
解: 0<K<14，
64<K<195
2 0 -2
系统稳定
-4 -6 -6 -4 -2 0
2. 暂态性能分析
等 MP 线 等ωn线
等ωd线
等 ts 线
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
3
2
2 1
0
0 -1
-2 -4 -2 0 2
-2 -3 -4 -2 0 2
§4.4
控制系统根轨迹法分析
稳定性
动制的根轨迹进行系统设计 根据性能指标要求确定系统参数
1. 稳定性分析
思路：关键点，根轨迹与虚轴的交点 例： 系统开环传函为
§4.3
控制系统根轨迹绘制
1. 单回路控制系统根轨迹的绘制 例：系统开环传函为
试绘制闭环根轨迹。
例：系统开环传函为
试绘制闭环根轨迹。
解: 支数
起点 终点 实轴上的根轨迹
渐近线 分离点会合点 出射、入射角
与虚轴的交点
2. 参量根轨迹的绘制
系统开环传函中除 Kg 外其余参数发生 变化时闭环特征方程的根变化的轨迹为参 量根轨迹。 例 控制系统如图所示，当Kg =4时，试绘制 开环极点 p 变化时参量根轨迹。