解一元二次方程演示文稿1
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-一元二次方程的解法(全)学习课件.ppt
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21
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
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你会变 吗？
32x 52 12 22x 52 4
2、用直接开方法解方程：
93m 52 3 0
3m 52
1 3
无论m取何值，3m 52 0;
此方程无解。
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9
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时，方程的根是x
c a
;
2当
c a
例2 解方程:
(1) x 12 4 0
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0）的形 式,再求解
(2) 12(2 x)2 9 0
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7
解下列方程：
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
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8
1、用直接开方法解方程：
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2
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
1）2x2 ＋3x－1＝0 x
2） x 2－y＝0
3）ax2＋bx c＝0 4）(m2 1)x2 2x - 3＝0
2．m何值时，方程 (m 1)x 4m 2 27mx 5 0
是关于χ的一元二次方程?
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
一元二次方程的解法公式法PPT课件
∴当m-1=0时， 方程有两个相等的实数根；
当m-1≠0时， 方程有两个不相等的实数根；
第19页/共22页
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有
两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0
B、 m≥0
C 、 m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
第4页/共22页
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-
3=0
①
解: a=2, b=5, c= -3, ②
∴ b2-4ac=52-4×2×(-
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
第6页/共22页
例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
含有字母系数时，将△配方后判断
第18页/共22页
根的判别式问题
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解：b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解：b2 4ac (m 1)2 41 m
m2 2m 1 4m (m 1)2 ≥0
当m-1≠0时， 方程有两个不相等的实数根；
第19页/共22页
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有
两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0
B、 m≥0
C 、 m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
第4页/共22页
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-
3=0
①
解: a=2, b=5, c= -3, ②
∴ b2-4ac=52-4×2×(-
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
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例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
含有字母系数时，将△配方后判断
第18页/共22页
根的判别式问题
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解：b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解：b2 4ac (m 1)2 41 m
m2 2m 1 4m (m 1)2 ≥0
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
公式法解一元二次方程课件
公式法解一元二次方程 PPT课件
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
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7.x1 = x2 = - 4 9.2t2 – 7t – 4 = 0
6.x2 – 6x + 4 = 0 6.x1= +3, x2= +3 8.x2 – 6x + 15 = 0
8.x1=2 +3,x2=-2 +3 10.5x = 3x2 – 1
9. t1 = 4 , t2 = - 1
10.x1=(5+ )/6,x2=(5- )/6
通过这节课的学习我知道了解一元二次方程的两种 方法: 1.直接开平方法
一般形如：（x+m）2 = n
(m,n为常数，且n≥0) 2.配方法 配方法解一元二次方程的一般步骤是：
对今天的作业 你有没有信心?
1.解方程： ⑴x2 – 8x+16=0 ⑶x2+5x-3=0 ⑸x2-3x=5(x-3) ⑵x2+2x=3 ⑷3x2+7x+2=0 ⑹4x(x-1)=x2-1
【讲解整理】 例1. 解方程 x2 -10x -11 = （- 5）2，得 x2 -10x +(- 5)2 = 11+(- 5)2 即 （x - 5）2 = 36
两边开平方，得 x – 5 = 6, 或 x – 5 = - 6 所以 x1 = 11, x2 = -1
用配方法解一元二次方程的步骤:
⑴化二次项系数为1； ⑵移项,使方程左边只含二次项与一次项，右边为常数项； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方； ⑷原方程变为(x+m)2 = n 的形式； ⑸如果右边n是非负数,就可用直接开平方方法求出 方程的解. 解方程： 1.x2 - 4x + 4 = 49 3.2y2 + y – 6 = 0 2.x2 - 2x = - 0.75 4.3x2 + 6x = 1
(2).解方程：x2 + 2x - 3 = 0
解：将常数项右移得： 两边都加上1，得：x2 + 2x +1 = 即： 开平方，得： 所以： x1 = , x2 = ，
,
， ， .
小结：不能用直接开平方的方法解一元二次方程时， 要将该方程转化为(x+m)2 = n (m , n是常数，n≥0) 的形式
如果二次项系数不是1时，应该怎么办呢？
先将二次项系数化1！
例2．解方程
3x2 – 30x –72= 0
例2．解方程
3x2 – 30x –72= 0
解:方程两边都除以3，得
x2 - 10x - 24=0 移项，得 x2 – 10x =24
注意:加入数值为负 数或分数的平方应 怎么办?
配方，得 x2 – 10x +(-5)2 = 24+ (-5)2 （x - 5）2 = 49 x – 5 = 7 ,或 x – 5 = -7 所以 x1 = 12, x2 = -2
【课堂练习】 1.(x+1)2 = 49 X1=6 , x2=8 2.x2 + 6x + 9 = 25 X1 = 2 , x2 = - 8
3.x2 – 2x = 99 X1 = 11 , x2 = - 9
4.x2 – 4x = 0 X1 = 4 , x2 = 0
5.x2 + 8x -9 =0 5.x1=1,x2=-9 7.x(x + 8) = - 16
【展示反馈】 4.把下列方程先化成(x+m)2 = n 的形式后，然后解下列方程： ①x2 + 2x = 48 (m,n是常数，n≥0)
②x2 - 4x = 12
③x2 - 6x + 6 = 0
④ x2 + x -1
= 0
2.配方法：通过配方，把方程一边化为完全平方式，另 一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次 方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法.
解一元二次方程
[预习导学 ]
1.直接开平方法 如果x2 = 4,那么 . 分析：因为x2 = 4,所以x是4的平方根.因此， x=± ,即x=±2 (1)你会不会用直接开平方的方法解下列一元二次方程?
①x2 - 25 = 0
②(x+3)2 = 2
③(x+6)(x-6) = 64
④X2 + 2x + 1 = 4
2.当x为何值时，3x2+2(x-1)和3(x-2)互为相反数？
再
见
6.x2 – 6x + 4 = 0 6.x1= +3, x2= +3 8.x2 – 6x + 15 = 0
8.x1=2 +3,x2=-2 +3 10.5x = 3x2 – 1
9. t1 = 4 , t2 = - 1
10.x1=(5+ )/6,x2=(5- )/6
通过这节课的学习我知道了解一元二次方程的两种 方法: 1.直接开平方法
一般形如：（x+m）2 = n
(m,n为常数，且n≥0) 2.配方法 配方法解一元二次方程的一般步骤是：
对今天的作业 你有没有信心?
1.解方程： ⑴x2 – 8x+16=0 ⑶x2+5x-3=0 ⑸x2-3x=5(x-3) ⑵x2+2x=3 ⑷3x2+7x+2=0 ⑹4x(x-1)=x2-1
【讲解整理】 例1. 解方程 x2 -10x -11 = （- 5）2，得 x2 -10x +(- 5)2 = 11+(- 5)2 即 （x - 5）2 = 36
两边开平方，得 x – 5 = 6, 或 x – 5 = - 6 所以 x1 = 11, x2 = -1
用配方法解一元二次方程的步骤:
⑴化二次项系数为1； ⑵移项,使方程左边只含二次项与一次项，右边为常数项； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方； ⑷原方程变为(x+m)2 = n 的形式； ⑸如果右边n是非负数,就可用直接开平方方法求出 方程的解. 解方程： 1.x2 - 4x + 4 = 49 3.2y2 + y – 6 = 0 2.x2 - 2x = - 0.75 4.3x2 + 6x = 1
(2).解方程：x2 + 2x - 3 = 0
解：将常数项右移得： 两边都加上1，得：x2 + 2x +1 = 即： 开平方，得： 所以： x1 = , x2 = ，
,
， ， .
小结：不能用直接开平方的方法解一元二次方程时， 要将该方程转化为(x+m)2 = n (m , n是常数，n≥0) 的形式
如果二次项系数不是1时，应该怎么办呢？
先将二次项系数化1！
例2．解方程
3x2 – 30x –72= 0
例2．解方程
3x2 – 30x –72= 0
解:方程两边都除以3，得
x2 - 10x - 24=0 移项，得 x2 – 10x =24
注意:加入数值为负 数或分数的平方应 怎么办?
配方，得 x2 – 10x +(-5)2 = 24+ (-5)2 （x - 5）2 = 49 x – 5 = 7 ,或 x – 5 = -7 所以 x1 = 12, x2 = -2
【课堂练习】 1.(x+1)2 = 49 X1=6 , x2=8 2.x2 + 6x + 9 = 25 X1 = 2 , x2 = - 8
3.x2 – 2x = 99 X1 = 11 , x2 = - 9
4.x2 – 4x = 0 X1 = 4 , x2 = 0
5.x2 + 8x -9 =0 5.x1=1,x2=-9 7.x(x + 8) = - 16
【展示反馈】 4.把下列方程先化成(x+m)2 = n 的形式后，然后解下列方程： ①x2 + 2x = 48 (m,n是常数，n≥0)
②x2 - 4x = 12
③x2 - 6x + 6 = 0
④ x2 + x -1
= 0
2.配方法：通过配方，把方程一边化为完全平方式，另 一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次 方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法.
解一元二次方程
[预习导学 ]
1.直接开平方法 如果x2 = 4,那么 . 分析：因为x2 = 4,所以x是4的平方根.因此， x=± ,即x=±2 (1)你会不会用直接开平方的方法解下列一元二次方程?
①x2 - 25 = 0
②(x+3)2 = 2
③(x+6)(x-6) = 64
④X2 + 2x + 1 = 4
2.当x为何值时，3x2+2(x-1)和3(x-2)互为相反数？
再
见