2018-2019学年江西省南昌市十校联考九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2018-2019学年江西省南昌市十校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+2x﹣3B．x2+3＝0C．（x2+3）2＝9D．x2+1
x2
=4
3．抛物线y＝﹣x2+2x+6的对称轴是（）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2
4．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，作出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（）
A．40°B．30°C．45°D．50°
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：
①2a﹣b＝0：②4ac﹣b2＜0：
③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若x1＜x2，则y1＜y2；
④a+b+c＜0．
正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．当m ＝ 时，方程(m ?1)x m 2+1+2mx +3=0是关于x 的一元二次方程．
8．已知m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，求13m 2+12m 的值为 ．
9．如图所示，折叠矩形ABCD ，使点A 落在BC 边的点E 处，DF 为折痕，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，则BE 的长
等于 cm ．
（第9题图） （第10题图）
10．如图，?ABCD 中，∠B ＝65°，BC ＝10，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE
?的长为 ． 11．某地2018年农民人均年收入为49000元，计划到2020年，农民人均年收入达到90000元，设人均年收入的平
均增长率为x ，则可列方程 ．
12．如图，已知直线y =12x +1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x
轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC |的值最大，求出点M 的坐标
三、解答题（本大题共4个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（12分）解方程
①4﹣x 2＝0．
②x 2﹣3x +2＝0．
③x 2+6x ﹣1＝0．
14．（6分）请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在图1、图2中分别过圆外一点A作直径BC所在直线的垂线．
15．（6分）如图，在△ABC中，AB=10√41m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s 的違度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于432m2？
16．（6分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）：
A B C
a401010
b3243
c226
试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．
四、解答题（本大题共4个小题：每小题8分，共32分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
19．（8分）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx．
（1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k＝3，a=?2
7，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
20．（8分）已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+m
2
?14=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？
五、解答题（本大题共1个小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状：；
（2）试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
?的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
（3）当点P位于AB
六、解答题（本大题共1个小题，共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．（12分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB ＝90°．
（1）直接写出点B的坐标是；
（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年江西省南昌市十校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．B ．2．B ．3．A ．4．A ．5．A ．6．C ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．﹣1． 8．16． 9．4．10．18
25π．11．49000（1+x ）2＝90000．12．（32，?12）． 三、解答题（本大题共4个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．【解答】解：①4﹣x 2＝0，
x 2＝4，
开方得：x 1＝2，x 2＝﹣2；
②x 2﹣3x +2＝0，
（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，
x ﹣2＝0，x ﹣1＝0，
x 1＝2，x 2＝1；
③x 2+6x ﹣1＝0，
b 2﹣4a
c ＝62﹣4×1×（﹣1）＝40，
x =?6±√402
， x 1＝﹣3+√10，x 2＝﹣3?√10．
14．【解答】解：如图1、如图2，直线AF 为所作．
15．【解答】解：在△ABC 中，AB =10√41m ，BC ＝40m ，∠C ＝90°，
∴AC =√AB 2?BC 2=50m ．
设x 秒时，△PCQ 的面积等于432m 2，
依题意，得：12×3x ×（50﹣2x ）＝432， 解得：x 1＝9，x 2＝16．
∵3x ＜40，
∴x ＜1313， ∴x ＝9．
答：9秒时，△PCQ 的面积等于432m 2．
16．【解答】解：（1）如图所示：
小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱；共有9种情况，
其中投放正确的有3种情况，
∴P （垃圾投放正确）=39=13；
（2）∵4040+10+10=23
， ∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为23．
四、解答题（本大题共4个小题：每小题8分，共32分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）直线CD 和⊙O 的位置关系是相切，理由如下：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠DAB +∠DBA ＝90°，
∵∠CDA ＝∠CBD ，
∴∠DAB +∠CDA ＝90°，
∵OD ＝OA ，
∴∠DAB ＝∠ADO ，
∴∠CDA +∠ADO ＝90°，
即∠CDO ＝90°，
∴OD ⊥CE ，
∴直线CD 是⊙O 的切线；
（2）∵CD 是⊙O 的切线，BE 是⊙O 的切线，
∴DE ＝BE ＝5，∠CBE ＝90°＝∠CDO ，
∴CE ＝CD +DE ＝13，
∴BC =√CE 2?BE 2=√132?52=12，
∵∠C ＝∠C ，∴△COD ∽△CEB ，
∴OC CE =CD BC ，即
OC 13=812， 解得：OC =263，
∴OB ＝BC ﹣OC =103，
即⊙O 的半径为103．
18．【解答】（1）证明：如图，
∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，
∴AE ＝AF ＝AB ＝AC ＝2，∠EAF ＝∠BAC ＝45°，
∴∠BAC +∠3＝∠EAF +∠3，
即∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中{AB =AC
∠BAE =∠CAF AE =AF
，
∴△ABE ≌△ACF ，
∴BE ＝CF ；
（2）解：如图，
∵四边形ABDF 为菱形，
∴DF ＝AF ＝2，DF ∥AB ，
∴∠1＝∠BAC ＝45°，
∴△ACF 为等腰直角三角形，
∴CF =√2AF ＝2√2，
∴CD ＝CF ﹣DF ＝2√2?2．
19．【解答】解：（1）∵y ＝ax 2+bx 的顶点为（?b 2a ，?b 24a ），抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，k ＝1，抛物线水线最大高度达3m ，
∴?b 2a =?b 24a ，?b 24a
=3， 解得，a =?13，b ＝2，
即k ＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m ，此时a 、b 的值分别是?13
，2；
（2）∵k ＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m ，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，
∴此时抛物线的对称轴为x ＝9，y ＝x ＝9，
即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米；
（3）∵y ＝ax 2+bx 的顶点为（?b 2a ，?b 24a ）在直线y ＝3x 上，a =?27，
∴?b 2a ×3=?b 24a ， 解得，b ＝6，
∴抛物线y =?27x 2+6x ，
当y ＝0时，0=?27x 2+6x ，
解得，x 1＝21，x 2＝0，
∵21＞18，
∴若k ＝3，a =?27，则喷出的抛物线水线能达到岸边，
即若k ＝3，a =?27，喷出的抛物线水线能达到岸边．
20．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ，
∴△＝0，即m 2﹣4（m 2?14）＝0， 整理得：（m ﹣1）2＝0，
解得m ＝1，
当m ＝1时，原方程为x 2﹣x +14=0，
解得：x 1＝x 2＝0.5，
故当m ＝1时，四边形ABCD 是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB ＝2代入原方程得，m ＝2.5，
把m ＝2.5代入原方程得x 2﹣2.5x +1＝0，解得x 1＝2，x 2＝0.5，
∴C ?ABCD ＝2×（2+0.5）＝5．
五、解答题（本大题共1个小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【解答】证明：（1）△ABC 是等边三角形．
证明如下：在⊙O 中
∵∠BAC 与∠CPB 是BC
?所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ?所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，
又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，
∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，
∴△ABC 为等边三角形；
（2）在PC 上截取PD ＝AP ，如图1，
又∵∠APC ＝60°，
∴△APD 是等边三角形，
∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°．
又∵∠APB ＝∠APC +∠BPC ＝120°，
∴∠ADC ＝∠APB ，
在△APB 和△ADC 中，
{∠APB =∠ADC ∠ABP =∠ACD AP =AD
，
∴△APB ≌△ADC （AAS ），∴BP ＝CD ，
又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP +AP ；
（3）当点P 为AB
?的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下，如图2，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ．
过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．
∵S △APB =12AB ?PE ，S △ABC =12AB ?CF ，
∴S 四边形APBC =12AB ?（PE +CF ），
当点P 为AB
?的中点时，PE +CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， ∴此时四边形APBC 的面积最大．
又∵⊙O 的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB =√3，
∴S 四边形APBC =12×2×√3=√3．
六、解答题（本大题共1个小题，共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，
∵∠BCD +∠ACO ＝90°，∠AC 0+∠OAC ＝90°，
∴∠BCD ＝∠CAO ，
又∵∠BDC ＝∠COA ＝90°，CB ＝AC ，
在△BDC 和△COA 中，
{∠BDC =∠COA ∠BCD =∠CAO CB =AC
，
∴△BDC ≌△COA （AAS ），
∴BD ＝OC ＝1，CD ＝OA ＝2，
∴点B 的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y ＝ax 2﹣ax ﹣2过点B （3，1），
∴1＝9a ﹣3a ﹣2，
解得：a =12，
∴抛物线的解析式为y =12x 2?12x ﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A 1作A 1M ⊥x 轴，
∵把△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°，
∴∠ABC ＝∠A 1BC ＝90°，
∴A 1，B ，C 共线，
在三角形BDC 和三角形A 1CM 中
{∠BDC =∠A 1MC =90°
∠BCD =∠A 1CM A 1C =BC
∴三角形BDC ≌三角形A 1CM
∴CM ＝CD ＝3﹣1＝2，A 1M ＝BD ＝1，
∴OM ＝1，∴点A 1（﹣1，﹣1），
把点x ＝﹣1代入y =12x 2?12x ﹣2，y ＝﹣1，∴点A 1在抛物线上．
（4）设点P （t ，12t 2?12t ﹣2）， 点A （0，2），点C （1，0），点B （3，1），
若点P 和点C 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得： 0+32=t+12，2+12=0+12t 2?12
t?22，
无解，
若点P 和点A 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得： 1+32=0+t 2，0+12=2+12t 2?12
t?22，
无解，
若点P 和点B 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得： 0+12=t+32，2+02=1+12t 2?12
t?22，
解得：t ＝﹣2，
12
t 2?12t ﹣2＝1 所以：存在，点P （﹣2，1）．