逻辑命题
逻辑学：命题逻辑
第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
20语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
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负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
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命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
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命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
命题逻辑_ls第2章_2.1
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
命题逻辑ppt课件
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
逻辑学中命题的含义
逻辑学中命题的含义命题是逻辑学中的基本构建块之一,用于表示一个陈述的真实性或非真实性。
在逻辑学中,命题通常由一个陈述和一个谓词组成,其中谓词表示命题的真实性或非真实性。
一个命题的含义取决于它所使用的语言和谓词。
在自然语言中,命题的含义通常通过使用符号来表示,例如“P”、“NP”、“否P”等。
在逻辑学中,命题通常使用符号来表示,例如“P”、“Not-P”、“P”等。
下面是一个示例,说明如何使用命题来表示一个陈述:假设我们有一个自然语言句子“小明喜欢跑步”,我们可以使用命题“小明喜欢跑步”来表示它的真实性或非真实性。
首先,我们需要选择一个谓词来表示“小明喜欢跑步”的真实性或非真实性。
在这个例子中,谓词是“喜欢”。
然后,我们需要选择一个符号来表示命题的真实性或非真实性。
在这个例子中,我们使用“True”或“False”来表示命题的真实性。
最后,我们将谓词和符号组合在一起,以表示“小明喜欢跑步”的真实性或非真实性。
例如,我们可以使用符号“P”来表示命题“小明喜欢跑步”的非真实性,即“小明不喜欢跑步”。
这样,我们就能够表示“小明喜欢跑步”的命题的含义。
除了使用自然语言外,命题还可以使用符号来表示。
在符号逻辑中,命题通常使用符号来表示,例如“P”、“NP”、“否P”等。
符号逻辑与自然语言逻辑不同,因为它不使用自然语言的语法和语义。
下面是一个示例,说明如何使用符号来表示命题:假设我们有一个自然语言句子“小明喜欢跑步”,我们可以使用符号“P”来表示命题“小明喜欢跑步”的真实性,即“P”。
然后,我们可以使用符号“”来表示命题“小明喜欢跑步”的非真实性,即“P”。
这样,我们就能够表示“小明喜欢跑步”的命题的含义。
总之,命题是逻辑学中的基本构建块之一,用于表示一个陈述的真实性或非真实性。
在逻辑学中,命题通常使用符号来表示,以便更清晰地表达其含义。
逻辑学 命题
直言命题中主项与谓项的周延性只与逻辑形式有关，与其 内容无关。也就是说，一个直言命题的主项或谓项是否周延， 仅仅取决于这个直言命题的形式，而不取决于这个直言命题 的内容。
（1）所有金属货币都是有价3）有的大学生是电脑爱好者。
（4）有的人是学生。
这四个命题，1与2、3与4都是内容不同，形式相同。从内 容上看，1的主项与谓项是真包含于关系，2的主项与谓项是 全同关系，但这并不意味着1的谓项是不周延的，而2的谓项 是周延的。2的形式与1的形式一样是“所有的S都是P”,这 个形式本身并不能表示出与S发生关系的是P的全部外延，因 此，其谓项都不周延。同理，3与4的谓项一样是不周延的。
的不是
SP
SP
PS
S
P
S
P
A1
1
0
0
0
O0
0
1
1
1
矛盾关系：不可同真，不可同假
E0
0
0
0
1
I1
1
1
1
0
A
O
所有物体都是运动的。 1 0 有些物体不是运动的。
所有的物体都是固体。 0 1 有些物体不是固体。
E
I
所有的物体都不是固体。0 1 有些物体是固体。
所有事物都不是绝对静 1 0 有些事物是绝对静止的。 止的。
（三）根据质和量的结合
肯定命题 否定命题
全称命题 特称命题 单称命题
全称肯定命题 全称否定命题
特称肯定命题 特称否定命题
单称肯定命题 单称否定命题
全称肯定命题 全称否定命题 特称肯定命题 特称否定命题
所有S都是P。 SAP A
所有S都不是P。 SEP E 有的S是P。 SIP I 有的S不是P。 SOP O
命题逻辑基本推理公式
命题逻辑基本推理公式(1) P∧Q⇒P .(2)¬( P→Q)⇒P .(3)¬(P→Q)⇒¬Q.(4) P⇒P ∨Q.(5)¬P⇒P →Q.(6) Q⇒P →Q.(7) ¬P∧(P∨Q) ⇒Q.选言推理否定式(8) P∧(P→Q) ⇒Q. 假言推理肯定前件式(9) ¬Q∧(P→Q) ⇒¬P .假言推理否定后件式(10) (P→Q)∧(Q→R) ⇒P→R. 三段论(11) (P↔ Q)∧(Q↔R) ⇒P↔R. 双条件三段论(12) (P→R)∧(Q→R)∧( P ∨Q) ⇒R. 二难推理(13) (P→Q)∧(R→S) ∧(P ∨R)⇒Q∨S. 二难推理(14) (P→Q)∧(R→S) ∧¬(Q∨¬S)⇒¬P ∨¬R. 破坏二难推理(15) (Q→R) ⇒(( P∨Q)→(P ∨R)) .(16) (Q→R) ⇒(( P→Q)→(P→R)) .使用真值表法证明这些推理公式是容易的。
若从语义上给予直观说明也是不难的. 如公式(2), ¬(P →Q) ⇒P . 公式( 3), ¬(P →Q)⇒Q. 意思是说, 若P →Q 不成立( 取假), 必有 P 为真, 还有 Q 为假. 这从P →Q 的定义可知, 因只有当 P = T 而 Q = F 时, P →Q = F. 又如公式( 7), ¬P ∧(P ∨Q)⇒Q. 意思是说, P 不对, 而P ∨Q 又对, 必然有 Q 对.公式( 8) , P ∧(P →Q) ⇒Q 常称作假言推理, 或称作分离规则, 是最常使用的推理公式。
公式(10) , (P →Q) ∧(Q→R)⇒P →R 常称作三段论。
日常语言运用：(1) 此人既呆又笨为真，则此人笨为真。
(2)(3)并非“犯错蕴涵失败“，即是说，”如果犯错，那么失败“为假命题,则必有犯错且不失败的例子。
命题逻辑(联言、选言、负命题)
再次，同一语句，可以表达不同的命题。
命题和判断
• 判断：就是被断定者断定了的命题。 • 判断的主要特征：有所断定。
想想看
• 两个女学生走进一餐厅，翻开桌上的菜单，突 然眼前一亮，‚看，熊掌！每盘20元，来两盘 怎么样？‛‚人们都说熊掌名贵，价钱也不贵， ok!‛一会儿，她们吃完了，叫来招待员结帐， 招待员开出帐单：‚一共4025元‛‚什么？你 没搞错吧？‛学生几乎吓晕了。‚熊掌每盘 2000元，你看菜单。‛学生仔细一看，果然是 2000元，中间没有小数点。这下她们急得要哭 了。这时老板出来了，看了几眼付不起钱的学 生，‚没钱，就将证件留下。‛她们乖乖的将 证件交出。学生会出面交涉，老板斩钉截铁说： ‚一分也不能少，如果三天之内不把钱付清， 便立即向法院起诉。……学生只好自认倒霉， 一律师知道了，帮他们追回了所被敲诈的钱。 如何讨？
• 规则： 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件 • 推理蕴涵式为： • （p↔q）∧p →q • （p↔q）∧q →p • （p↔q）∧ p → q • （p↔q）∧ q →p • 某甲犯了罪当且仅当某甲应受刑罚处罚； • 某甲是案犯当且仅当某乙是案犯；
• 负判断由支命题和联结词‚并非‛构成。负 命题的逻辑联结词‚并非‛可以用否定词 ‚‛来表示。 • 日常用语中，负命题的联结词还可以表达为 ‚没有‛、‚不‛、‚这是假的‛、‚这是 错误的‛等。被否定的命题称为支命题，它 可以是简单命题，也可以复合命题。 • 负命题的形式：并非p，也可表示为： p • 负命题的真假表：当支命题为真时，负命题 为假；当支命题为假时，负命题为真。
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
逻辑命题的种类
逻辑命题的种类1. 什么是逻辑命题？逻辑命题是指用语言表达的具有真假性质的陈述句，这个真假性质是独立于命题的表述方式和表述语言的。
换句话说，逻辑命题不是关于语言的，而是关于世界的。
逻辑命题可以是真的，也可以是假的，但不能既真又假。
2. 逻辑命题的分类逻辑命题可以按照不同的标准进行分类，下面列举几种常见的分类方法。
## 2.1. 根据命题的形式根据命题的形式，逻辑命题可以分为简单命题和复合命题。
简单命题是最基本的命题形式，它不能再分解为更小的命题。
例如，"今天是星期天"就是一个简单命题。
复合命题则由两个或多个简单命题组合而成。
例如，"明天早上要上课并且要交作业"就是一个复合命题。
## 2.2. 根据命题的真假性根据命题的真假性，逻辑命题可以分为真命题、假命题和不确定命题。
真命题是指在现实中存在的陈述句，例如"地球是圆的"。
假命题则是指在现实中不存在的陈述句，例如"月球是方的"。
不确定命题则是指无法确定真假性的陈述句，例如"天气可能会变冷"。
## 2.3. 根据命题的关系根据命题的关系，逻辑命题可以分为矛盾命题、互为否定命题、逆命题和逆否命题。
矛盾命题是指互为相反命题的两个命题，例如"这个球是红色"和"这个球不是红色"。
互为否定命题则是指两个命题中有一个是否定另一个的命题，例如"这个球是红色"和"这个球不是蓝色"。
逆命题是指将原命题中的"如果...那么..."的前后顺序互换得到的命题，例如"如果今天下雨，那么我不去上班"的逆命题是"如果我不去上班，那么今天下雨"。
逆否命题则是指对原命题取反并将前后顺序互换得到的命题，例如"如果今天下雨，那么我不去上班"的逆否命题是"如果我去上班，那么今天不下雨"。
命题逻辑~
推出结论：路上有水。
例2： (大前提)：所有金属都导电。 (小前提)：铜是金属。 推出结论：铜能导电。
(个别结论)
(一般规律) (个别事实) (个别结论)
数理逻辑
数理逻辑是用数学的方法研究形式逻辑。
2019年1月21日星期一
所谓数学方法，主要是指引进一套符号体系的方法，因此数 理逻辑又称为符号逻辑 现代数理逻辑有四大分支： 证明论、模型论、递归论、公理化集合论 它们共同的基础——
2019年1月21日星期一
所谓命题(Proposition)：是指具有非真必假的陈述句。
疑问句、感叹句、祈使句都不能判断其真假，故而都不是命题。 命题仅有两种可能的真值（truth value）： 真（true）（用T或1表示） 假（false）（用F或0表示） 因此，命题逻辑也称为 二值逻辑 陈述句 二值逻辑
P∧Q为真，当且仅当 P和Q同时为真。
P∧Q的真值表为： 合取是对称的，即给P和Q 指派真值， P∧Q和 Q∧P 的真值相同 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
命题联结词
合取词∧ 例1.3：
常把合取‚与‛用于具有某种关系的两个命题
之间；但是，在逻辑学中，则不然，完全允 许用两个相互无关系的原子命题，生成新的
命题
例1.1： 判断下面的语句是否为命题？ 如果是命题，是真命题还是假命题？ 今天下雪。 假命题 不是命题
2019年1月21日星期一
明天会刮风吗？ x+y > 4
不是命题 真命题
2是偶数，而3是奇数。
陈胜起义那天，杭州下雨了。 是命题，未知真假 这真是太好了！ 不是命题
命题
你去哪里？ 不是命题
2019年1月21日星期一
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一、选言命题
结构：或者+选言肢，或者+选言肢。
1、相容选言命题
逻辑形式：或者P，或者Q。
真假判断：至少有一肢判断为真。
P非则Q真；Q非则P真；P、Q都为真。
常用的联结项：或者…或者…；可能…也可能…；也许…也许…等。
2、不相容选言命题
逻辑形式：要么P，要么Q。
真假判断：有且只能有一肢判断为真。
P真则Q非；Q真则P非。
常用的联结项：要么…，要么…；不是…就是…；…二者必居其一等。
二、联言命题
结构：联言肢并且联言肢。
逻辑形式：P并且Q。
真假判断：所有联言肢为真，命题为真。
P真，Q真。
常用的联结项：并且；既…又…；不但…而且…；虽然…但是…；一面…一面…等。
三、假言命题（条件命题）
结构：由前件（表示条件的肢判断）、后件（表示结果的肢判断）、联结项三部分组成。
1、充分条件假言命题
特征：有此条件必有此结果；无此条件不一定无此结果。
逻辑形式：如果P，那么Q。
真假判断：
若P真，Q真，则充分条件假言命题可为真；
若P真，Q假，则充分条件假言命题必为假；
若P假，Q真，则充分条件假言命题可为真；
若P假，Q假，则充分条件假言命题可为真；
常用的联结项：如果…那么…；只要…就…；若…则…；所有…都…等。
2、必要条件假言命题
特征：无此条件必无此结果，有此条件不一定有此结果。
逻辑形式：只有P，才有Q。
真假判断：
若P真，Q真，则必要条件假言命题可为真；
若P真，Q假，则必要条件假言命题可为真；
若P假，Q真，则必要条件假言命题必为假；
若P假，Q假，则必要条件假言命题可为真；
常用的联结项：只有…才…；必须…才…；除非…才…；不…不…；没有…就没有…等。
3、充要条件假言命题
特征：有此条件必有此结果；无此条件必无此结果。
逻辑形式：只要并且只有P，才有Q。
真假判断：
若P真，Q真，则充要条件假言命题可为真；
若P真，Q假，则充要条件假言命题必为假；
若P假，Q真，则充要条件假言命题必为假；
若P假，Q假，则充要条件假言命题可为真；
常用的联结项：如果…那么…并且只有…才…；只要…就…并且只有…才…；…当且仅当…等。
4、假言命题的正确运用
假言命题在多数情况下表达的是因果关系。
充分条件假言命题一般表达单因一果的关系；
必要条件假言命题一般表达是多因一果的关系；
充要条件假言命题表达的是一因一果关系。
假言命题中，如果前件是后件的充分条件，那么后件就是前件的必要条件。
假言命题中，如果前件是后件的必要条件，那么后件就是前件的充分条件。