第四章李雅普诺夫稳定性理论
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。
该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。
李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。
在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。
对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。
为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。
如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。
2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。
那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。
如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。
如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。
通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。
对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。
如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。
对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。
总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。
通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种：渐近稳定 x2 S( )
经典 理论 中的 稳定 就是 这里 所说 的渐 近稳 定
S( )
x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种：大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初 始状态x0的每一个解，当t→，都收敛到xe，称系统的平 衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t
t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即 可能有多个平衡状态。如
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
第4章 系统稳定性
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：