计算结构力学第五章 结构刚度矩阵与荷载向量
不是列向量乘行 向量,也不是向 量的内积(点积)
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0 0 0 ② ② { } [C ] {} 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1
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1 0 0 ③ ③ { } [C ] {} 1 0 0
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例2：求图示连续梁的结构刚度矩阵。
1
① ②
EI,l
2
EI,l
3
解：设线刚度i=1
{ } [i j ]
T
{F} [Mi M j ]
T
单元刚度矩阵
{} [1 2 3 ] [1 2 3 ]
T
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T
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注意以下写法：
1 2 定 1 2 2 3 定 2
[K]-称为结构刚度矩阵(或称总刚度矩阵) 本章讨论[K]的形成及程序设计， 以及{P}的形成。
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5-2
应用能量原理形成 结构刚度矩阵
结构在外荷载作用下的总势能可 以写成：
U V 其中:
V {} {P} (仅考虑结点荷载)
T
(1)
(2) (3)
NE是单元数
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U U i
i 1
NE
1 1 T T U i { } {F } { } [k ]{ } 2 2
(4)
整体坐标系中的单 元刚度矩阵
单元结 点位移
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e 令: { }e NF [C]NF N {}N
(5)
N－结构 未知量总 数
NF－单元 自由度数
C＝0或1。指明单元结点位移向量 是由结构结点位移向量中的哪几个 分量所组成
•MW是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编 号顺序所组成的向量(列阵)。
•MW处理了约束，以及主从关系，无效未知量等特 殊结点信息，也是[C]矩阵的实用(增广)写法。
•单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结 构总体未知量中的对应位置(总体序号)。 •由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚 阵中的位置。
3
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得到结构总刚度矩阵为：
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结构刚度矩阵的组成规律专有名词
e •主系数与副系数: Kii=∑kii>0 且Kij=Kji •相关未知量：与未知量i在同一单元的未知量叫做
未知量i的相关未知量。 若i，j相关，则Kij≠0 若i，j不相关，则Kij=0 •相关结点： 未知量i的相关未知量所在结点称为 未知量i的相关结点。
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1 MW (i) j Cij 0 MW (i) j
(10)
(i 1,2,...NF ,
j 1,2,...N )
即Cij的行号与MW e的行号一致，把 的序号作为[C] 的列号j，便可由MW e得到[C] e 。
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5-3 按单元定位向量装 配结构刚度矩阵
计算结构力学
第五章 结构刚度矩阵与荷载向量
5-1 概述
以图示框架结构为例，设有n 个未知量:
{} {1 2 ...... n }
T
(1)
(2)
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相应的结点荷载向量为:
{P} {P 1 P 2 ...... P n }
T
则结构刚度方程可写为:
[ K ]{} {P} (3)
(5)式反映了结构的离散过程，实际上表明 了结构离散化后的变形协调条件。
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将(5)式代入(3)式：
1 T e T e U {} ([C ] ) [k ][C ] {} i 1 2
NE
(6)
结构总势能为：
NE
1 T e T e T {} ([C ] ) [k ][C ] {} {} {P} i 1 2 由势能驻值原理 0，得： {}
(7)
([C ] ) [k ][C ] {} {P} 0
e T e i 1
NE
(8)
[ K ] ([C ] ) [k ][C ] 于是：
e T i 1
NE
e
(9)
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讨
论
[K]是由[k]经过[C]变换后装配而成。 由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装 配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。
[C]NFxN是单元定位向量的增广写法：一个 单元对应一个[C]e，且有：
{ } [C] {}
e
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例1： 求图示结构的[C]e
1 0 2 1 2 1 0 3
0 0 0 3
4 0 0 0
解：给单元结点编号，并写出各单元 的定位向量：
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MW = [0 0 0 1 0 2] (2) T MW = [0 0 0 1 0 3] (3) T MW = [1 0 2 1 0 3]
0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 3 0 0 0 1
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由此可得到各单元的[C],如对第③ 单元，可写出:
1 u1 0 0 1 2 ③ ③ { } [C ] {} 1 u1 0 0 2 3
•相关单元： 凡未知量i的相关结点所在单元 称为末知量i的相关单元。
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5-4 形成结构刚度矩阵的 直接刚度法
1、并积的概念
T 设 A { A} [a1 a2 an ] T B {B} [b1 b2 bn ]
定义并积为：
{A} {B} [ H ]
(1)
T
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由(5)式可写出各单元的结点位移向量 与结构结点位移向量的关系式：
0 0 0 ① ① { } [C ] {} 1 2 0 0 3 0 0 1 0
结构力学Ⅱ课件：荷载及内力计算
T
0
T
1
§9.6 非结点荷载处理
q
荷载
非结点荷载
结点力、力矩
单元内分布力
集中力
温度作用
惯性力等
荷载向量
P =PD+PE
2
3
1
4
P
l
直接结点荷载PD
非结点荷载的等
效结点荷载PE
非结点荷载: 等效移置到结点上。
结构力学II
2
h/2
结点荷载
h/2
Q
q
ql
12
Q
2
2
h/2
3
2
P
q
2
ql
2
θ
1
h/2
y
4
构的结点位移向量： EI1 30.82 1.40 1.53 12.73 16.58T
30.82
E
解：因为杆件只考虑弯曲变形，包括
杆端结点的侧移和转角位移，对应的
内力为杆端剪力和弯矩，根据内力，
单元的刚度方程取四阶。
y
EI1 30.82
16.58
E
1.4
E
④ 1.53
①
ഥ ——单元坐标描述
ഥ
ത =
4. 如果梁单元内有非结点荷载，则要叠加非结点荷载引起的
固端力，得到真正的杆端内力：
F ( e ) K ( e ) ( e ) Fg ( e ) ——单元坐标描述
✓ 此时可以根据杆端内力确定单元刚度方程的阶数。
结构力学II
13
例25：计算图示结构的内力。 忽略轴向变形，已知求得结
EI
⑤
③
单
元
信
矩阵位移法基本流程
矩阵位移法基本流程矩阵位移法呀，那可真是个挺有趣的东西呢。
一、基本概念先搞清楚。
矩阵位移法其实就是一种分析结构力学问题的方法啦。
就好像我们要去一个地方，得先知道那个地方大概是什么样的概念一样。
在结构里呢，我们要知道节点，这节点就像是人的关节一样，各个部分都是通过它来连接的。
还有单元，单元就好比是人的胳膊腿这些部分，是结构的组成部分。
我们通过对这些节点和单元的分析，就能搞清楚整个结构的受力情况啦。
二、单元刚度矩阵的建立。
这单元刚度矩阵可重要啦。
你想啊，每个单元都有它自己的特性，就像不同的人有不同的力气一样。
我们要根据单元的长度、截面特性还有材料的弹性模量这些东西来确定这个单元刚度矩阵。
这个过程就像是在给每个单元做一个身份鉴定，看看它到底有多“强壮”，能承受多大的力，在受力的时候会有什么样的变形。
这可不是个简单的事儿，得一步一步来，就像拼拼图一样，每个小部分都得准确无误。
三、结构刚度矩阵的组装。
好啦，单元刚度矩阵搞定之后呢，我们就要把这些小单元组合成整个结构啦。
这就像搭积木一样，把各个单元按照结构的样子拼起来。
这个时候就会形成结构刚度矩阵。
这个矩阵就像是整个结构的一个总特征描述。
它能反映出整个结构在受到外力的时候会有什么样的反应。
不过呢，这个组装过程也得小心，就像搭积木的时候不能搭歪了一样，要按照正确的规则来进行组装，不然整个结构的分析可就全错啦。
四、荷载向量的确定。
结构上是有荷载的呀，就像人会背着东西一样。
我们得把这些荷载整理成一个荷载向量。
这荷载可能是集中力，也像有人在一个点上用力推；也可能是分布力，就像是有均匀的压力压在结构上。
我们要把这些力都准确地表示出来，这样才能进一步分析结构在这些力的作用下会有什么样的变形和受力情况。
五、求解位移。
现在呢，我们有了结构刚度矩阵和荷载向量，就可以求解位移啦。
这个过程就像是在解一个谜题一样。
通过一定的数学方法，我们可以算出节点的位移。
这个位移可是很关键的哦，它能告诉我们结构在受力之后哪里会动，动多少。
20春地大《计算结构力学》在线作业一_466答案
(单选题)1: 弹性力学问题的未知量个数有（）个。
A: 6
B: 9
C: 15
D: 以上都不是
正确答案: C
(单选题)2: 对称荷载在对称面上引起的（）分量为零。
A: 对称应力
B: 反对称应力
C: 对称位移
D: 反对称位移
正确答案: D
(单选题)3: 几何方程研究的是（）之间关系的方程式。
A: 应变和位移
B: 应力和体力
C: 应力和位移
D: 应力和应变
正确答案: A
(单选题)4: 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为（）。
A: 配点法
B: 子域法
C: 伽辽金法
D: 以上都不是
正确答案: C
(单选题)5: 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与（）相等。
A: 单元结点个数
B: 单元结点自由度数
C: 场变量个数
D: 以上都不正确
正确答案: B
(单选题)6: 以节点位移为基本未知量的求解方法称为（）
A: 位移法
B: 力法
C: 混合法
D: 以上都不是
正确答案: A
(单选题)7: 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了（）形式，因此，不用。
内容回顾_整体刚度矩阵
[K ] P
（1-53）
用平衡方程（1-53）是解不出结构的节点位移 的，因为结构刚度矩阵是奇异矩阵。因此，必须 引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体 系。
方程（1-53）中的刚度矩阵[K]和节点荷载向量列阵 P可分割为约束和自由两部分：
K ff
排列。
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵的每一列都有很多零元素。
Krf
K fr
Krr
rf
PPrf
自由 （1-54）
约束
式中，Pr是支承反力，约束位移 r 0
展开（1－54），有：
K ff f Pf Krf f Pr
(1-55） (1-56）
方程(1-55）是引入约束后的结构节点平衡方程， 用于计算结构所有非刚性约束节点的节点位移。而方 程(1-60）可以用来计算结构所有受刚性约束节点的反 力。
150173结构刚度矩阵特性1结构刚度矩阵元素的力学意义把方程150写开333231232221131211jnjjjiijii1512结构刚度矩阵是对称矩阵已知单元刚度矩阵是对称矩阵用单元刚度矩阵组集结构刚度矩阵的过程没有破坏其对称性结构刚度矩阵必然也是对称的
➢整体刚度矩阵
• 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在 整体坐标系下，对于每个单元均有：
e1
e1
[K]{} {P} （1-50）
式中：[K]为整体刚度矩阵，{Δ}为整体节点位移 列阵；{P}为整体等价节点荷载列阵。如下：
矩阵法(结构力学)PPT课件
F
y
2
M 2
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
11
M AB
4iA
2iB
6i
l
M BA
2iA
4iB
6i
l
F Q A BF Q B A6 liA6 liB1 l2 2i
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l
6i l
A
B
FQ A B
解决了计算等效结点荷载的问题等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力51三按单元集成法求整体结构的等效结点荷载p1局部座标单元的等效结点荷载pypxpypxp101210128kn48knm1012ypxp1012ypxpypxpypxp1210104051012101253用矩阵位移法解图示连续梁时结构的等效结点荷载是原始数据局部码总码解方程kp求出结点位移开始单元刚度矩阵结束97计算步骤和算例程序设计框图05m126m立05m1m
a21 a22
a31
a32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。若
A=B C D
则
AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
若 AB=0，但不一定 A=0 或B=0。
5
8 、 对 角 矩 阵 对 角 矩 阵 是 除 主 对 角 元 素 外 ， 其 余 元 素 全 为 零 的 方 阵 ， 如 ：
1
e
2
F x1e u1
u2
F
x
e
2
Fx1
EA l
u1
u2
Fx 2
结构力学练习题及答案
结构力学练习题及答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一． 是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共11分） 1 . (本小题 3分)图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。
（ ）.2 . (本小题 4分)用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。
（ ）3 . (本小题 2分)力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。
（ ）4 . (本小题 2分)用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。
（ ）二． 选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分）图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ）A ．2/M ；B ．M ；C ．0； D. )2/(EI M 。
2. （本小题4分）图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch; ; ; .23. (本小题 4分)图a 结构的最后弯矩图为：A. 图b;B. 图c;C. 图d;D.都不对。
（ ）( a) (b) (c) (d)4. (本小题 4分)用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。
( ) 5. （本小题3分）图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( )Ａ．F P l 3/(24EI); B. F P l 3/(!6EI); C. 5F P l 3/(96EI); D. 5F P l 3/(48EI).三（本大题 5分）对图示体系进行几何组成分析。
=1F P482四（本大题 9分）图示结构B 支座下沉4 mm ，各杆EI=×105 kN·m 2，用力法计算并作M 图。
五（本大题 11分） 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)
第七章 矩阵位移法一、是非题1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。
6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。
?8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
二、选择题1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯，就其性质而言，是：A ．非对称、奇异矩阵；B ．对称、奇异矩阵；C ．对称、非奇异矩阵；D ．非对称、非奇异矩阵。
—3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：A ．完全相同；B ．第2、3、5、6行(列)等值异号；C ．第2、5行(列)等值异号；D ．第3、6行(列)等值异号。
jxi4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。
【技术资料】力学
全国2010年4月自学考试结构力学(二)1．图示结构，K 截面弯矩值为（内侧受拉为正）（ ） A ．0 B ．41F P l C ．21F P lD ．F P l2．三铰拱在图示荷载作用下，合理轴线为（ ） A ．二次抛物线 B ．圆弧线 C ．折线 D ．悬链线3．用矩阵位移法求解图示结构时，结构荷载矩阵中元素P 1=（ ） A ．55kN ·mB ．15kN ·mC ．－15kN ·mD ．－55kN ·m4．图示桁架中1杆的轴力等于（ ） A ．0 B ．2PF C ．22F PD ．F P5．用位移法计算图示结构（EI=常数）时，基本未知量的个数最少为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．66．在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A ．位移互等定理 B ．反力互等定理 C ．位移反力互等定理 D ．虚功互等定理7．图示结构中，BD 杆B 端截面弯矩值为（ ）A ．0.3MB ．0.4MC ．0.5MD ．0.6M8．F P =1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段D ．BC 、CD 段9．图示结构各杆EI 、EA 为常数结构刚度矩阵元素K 33等于（ ） A l EI B l EI2D ．lEI810．图示结构的自振频率=ω（ ）A 312ml EI B ．36ml EI C ．33ml EI D3ml EI11．图示桁架中1杆的轴力为__________。
12．支座位移引起的位移计算公式iiC R ·∑-=∆中iR为__________。
13．图示梁B 截面的转角为__________。
14．图示结构，A 支座反力F Ay 的影响线方程为__________。
15．当远端为定向支座时，弯矩传递系数为__________。
结构刚度矩阵
结构刚度矩阵概述结构刚度矩阵是结构力学中的一个重要概念，用于描述结构体系的刚度特性。
刚度矩阵是一个方阵，其元素表示结构中各个节点之间的刚度关系。
通过求解结构刚度矩阵可以得到结构的位移和应力分布，进而分析结构的承载能力和变形特性。
结构刚度矩阵的构造结构刚度矩阵的构造基于结构的几何和材料性质以及边界条件。
一般而言，结构刚度矩阵可以通过以下步骤得到：1. 创建节点列表结构刚度矩阵的构造首先需要创建节点列表，将结构的各个节点按照一定的编号顺序进行标记，用于后续的计算。
2. 确定自由度自由度是结构中每个节点能够独立变形的方向和程度。
在确定自由度时，需要考虑结构的约束条件。
常见的约束条件包括固支节点和边界条件。
3. 求解局部刚度矩阵局部刚度矩阵描述了结构中每个单元的刚度特性。
根据结构的几何形状和材料性质，可以通过解析计算或数值方法求解得到。
4. 组装刚度矩阵组装刚度矩阵是将各个局部刚度矩阵按照节点的自由度进行组合，得到整个结构体系的刚度矩阵。
组装刚度矩阵时需要考虑节点之间的连接关系以及节点的自由度。
5. 施加边界条件结构刚度矩阵一般为方阵，但由于边界条件的存在，可能存在某些行或列的元素为零。
施加边界条件即将受约束节点的自由度设置为零，对应将刚度矩阵中相应的行或列置零。
6. 求解结构响应通过求解结构刚度矩阵与加载向量的乘积，可以得到结构的位移响应。
进一步，可以根据位移响应计算结构的应力分布以及其他力学性能。
结构刚度矩阵的应用结构刚度矩阵在结构力学中有广泛的应用，可以用于求解结构的位移、应力、应变等力学响应，以及分析结构的强度、刚度、稳定性等性能。
1. 结构分析结构刚度矩阵可用于分析各类结构的静力和动力响应。
通过施加不同的边界条件和加载条件，可以计算结构的位移、应力分布、应变分布等响应结果。
这对于设计和优化结构具有重要意义。
2. 动力响应结构刚度矩阵还可用于求解结构的动力响应，如自由振动频率、模态形态等。
结构的动力性能与结构刚度矩阵的特征值和特征向量有密切关系。
结构力学第五章
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(6 - 3)
F RK cK
(6 - 4)
⊿CV
例:
图示三铰刚架， 支座B下沉c1，向 右移动c2。求铰 C 的竖向位移⊿CV和 铰左右截面的相对 角位移φC。
• •
•
非线性体系：
* 物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
• • • • • •
方法： 用虚功原理推导出位移计算公式。 计算时应满足的条件： *静力平衡； *变形协调条件； *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移） （1）虚功的概念
ΔA
A
lAB θAB
B
ΔB
lAB A
B
=(⊿A+⊿B)/ lAB =θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例 广义位移
j B
iA A
li
B
lj
iB
C
广义虚单位荷载 1 1 li li B
A
（外力）虚功
1/li· Ai + 1/li· Bi ⊿ ⊿ +1/lj· Aj+ ⊿ 1/lj· Aj ⊿ = (⊿Ai+⊿Bi)/ li+ (⊿Bj+⊿Cj)/ lj =θi+ θj = θij 1· CL+1· CR θ θ = θ CL + θ CR =θC
• •
一、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端 相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形， 仍然是刚体。 • 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位 移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时 刚体体系的位移计算问题。举例说明。