§5-4 差分方程的z变换解法
Z变换和差分方程
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
差分方程的求解
计算机控制技术课程讲义
17
4.6 方框图及其分析
脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 —— 采样开关
4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系
1、连续输入，连续输出 2、连续输入，离散输出 3、离散输入，离散输出 4、离散输入，连续输出
例：方框图分析
例1、例2、
计算机控制技术课程讲义 18
计算机控制技术课程讲义 2
做Z反变换，由于 Y ( z) 1 1 1 2 z z 3z 2 z 1 z 2 z z 则Y ( z ) z 1 z 2 查Z变换表可得 y (k T) Z 1[Y ( z )] (1) k (2) k , k 0,1,2,...
两个环节中间无采样开关时
a z (1 e aT ) G ( z ) Z [G1 ( s )G2 ( s )] Z s ( s a ) ( z 1)( z e aT )
G1 ( z )G2 ( z ) G1G2 ( z )
计算机控制技术课程讲义 13
T
Y (s)
D( z ) G1 ( z ) R( z ) Y ( z ) G2 ( z ) D( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
Y ( z) G( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
计算机控制技术课程讲义
脉冲传递函数等于两个环 节的脉冲传递函数之积。
但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不 一定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定
计算机控制技术课程讲义
10
二、离散系统串联环节 1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z ) G2 ( z )
Z变换及差分方程的求解
Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。
教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。
现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。
⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。
每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。
我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。
各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。
则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。
GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。
表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。
其⾃变量为离散时间。
⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。
在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。
对差分方程两边进行Z变换
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
n
a z
n 0
结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 1 z z z （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 a z z a z b 1 1 写出收敛域形式 z b
a 1 z
n
a z b z
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
z 1
z 0.5
0.5 z 1
求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1
x( z ) z
n 1
z2 z n1 n 1 z ( z 1)(z 0.5) ( z 1)(z 0.5)
第七章 差分方程与z变换
z cos 0 z 2 z cos 0 1
2
因 为 ： Z [ e u ( n )]
bn
z ze z
b
Z [ e
n
in 0
u ( n )] u ( n )]
z e z
i 0
1 1 e
i 0
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
,
Z [ e
n
in 0
1 1 e
2 2
利用幂级数展开法求Z变换
第四节
一.定义 二.求Z反变换的方法
1.留数法 2.部分分式法
Z反变换
3.幂级数展开法(长除法)
一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称 作Z反变换。
记作：x ( n) Z
1
[ X ( z )]
1 2 i
X ( z )z
i Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x ( n) z n ，满足 z z
n 0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
i Im[ z ]
Re[ z ]
z
[例1] 求序列 解：这相当
x(n) (n) 的Z变换及收敛域。
n1 n2 0 时的有限长序列，
第七章 差分方程与Z变换
• Fourier 变换，Laplace变换---连续信号 • 离散系统----17世纪经典数值分析技术，20 世纪40年代得到重大发展，60年代随着计算 机的发展，离散时间系统的理论与实践研究 得到了进一步发展。例如快速FFT，离散 Fourier变换, Z变换，
第一节 离散时间信号
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
Z变换和差分方程
• 引入变量： 引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期 采样周期； 一个复变量， 平面上， 变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换： 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。 它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑
差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。
推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。
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M
N
1
X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
Y(z)
r0
k0 N
nk
ak zk
k0
M
br zr
Yzs (z)
r0 N
X (z)
ak zk
k0
N
1
ak zk [ y(n)zn ]
Yzi (z) k0
Y (z) 1 0.7z1 0.1z2 1 0.7z1 0.1z2
z2
z2 0.7z
0.1
z(0.7z 0.2) z2 0.7z 0.1
Y (z) z
z2
z
0.7z 0.1
0.7z 0.2 z2 0.7z 0.1
z
(z 0.2)( z 0.5)
x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
求输出y(n)的z变换
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1] X (z)(1 z1)
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例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
N
N
1
M
Y (z) ak zk ak zk [ y(n)zn ] br zr X (z)
k0
k0
nk
r0
N
M
N
1
Y (z) ak zk X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
k0
r0
k0
nk
其中：
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
Y (z)(1 1 z1) 1 y(1)
2
2
Y
( z)
1 2
(1
y(1) 1 z1)
1 (1 1 z1)
2
2
y(n) ( 1)nu(n) 2
《信号与系统》
§5-4 LTI系统Z变换分析法
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利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
Y(z)
(1 0.7z 1 0.1z2 )
1 z1
(0.7 0.1z1) y(1) 0.1y(2)
1 0.7z1 0.1z2 X (z)
1 0.7z1 0.1z2
代入x(n)的z变换1/(1-z-1)与起始条件
1
2(0.7 0.1z1) 0.7
《Signals & Systems》
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⑵ 求零状态响应，对方程两边求z变换，但不考虑起始条件。
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
Y (z)(1 1 z1) 1 X (z)
2
2
X(z)
z
z
1
4
1 z2 Y(z) 2
, y(0) 4 3
3 x(n) (3)n u(n)
试求系统的响应，并指出零输入和零状态响应。
答案：练习1： 练习2：
y(n) 1 [(3n 2) 50(2)n ]u(n) 9
yzs
(n)
1 12
[9(3)n
(4n
7)(1)n
]u(n)
yzi (n) 0
《Signals & Systems》
z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
求反z变换
y(n) [ 2 (0.2)n 5 (0.5)n 1 (0.2)n 1 (0.5)n ]u(n)
3
3
5
2
零状态响应
零输入响应
[ 7 (0.2)n 13 (0.5)n ]u(n)
15
6
自由响应
与拉氏变换解微分方程类似，用z变换解差分方程可以一次求 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
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X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
0.7z 0.2 (z 0.2)( z 0.5)
《Signals & Systems》
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Y(z)
2 3
5 3
1 5
1 2
z z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
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2z 5z
1z
1z
Y(z) 3 3 5 2
设差分方程为： ak y(n k) br x(n r)
k0
r0
两边同求z变换：
N
1
M
ak zk [Y (z) y(n)zn ] br zr X (z)
k0
nk
r0
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练习1：因果系统方程为：y(n) 2y(n 1) x(n) y(1) 2
x(n) (n 2)u(n) 试求系统的响应。
4
练习2：因果系统方程为： y(n) 2 y(n 1) y(n 2) x(n)
y(1) 0
nk N
ak zk
k0
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例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求：
系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应
与受迫响应。
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1)
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
《Signals & Systems》
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y
(z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
1
1
3 z 1
6 z1
2
4
y(n) [1 ( 1)n 1 (1)n ]u(n) 3 2 64