微专题12 牛顿运动定律应用之斜面上两类动力学问题

微专题12 牛顿运动定律应用之斜面上两类动力学问题【核心方法点拨】1．已知物体的受力情况，求解物体的运动情况解这类题目，一般是应用牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据物体的初始条件，应用运动学公式，求出物体的运动情况．2．已知物体的运动情况，求解物体的受力情况解这类题目，一般是应用运动学公式求出物体的加速度，再应用牛顿第二定律求出物体所受的合外力，进而求出物体所受的某个力．可用程序图表示如下：3.解决两类动力学基本问题应把握的关键(1)两类分析——物体的受力分析和物体的运动过程分析；(2)一个“桥梁”——物体运动的加速度是联系运动和力的桥梁。

4.解决动力学基本问题时对力的处理方法(1)合成法：在物体受力个数较少(2个或3个)时一般采用“合成法”(2)正交分解法：若物体的受力个数较多(3个或3个以上)，则采用“正交分解法”。

【经典例题选讲】【例题1】(2018·安徽皖南八校联考)放在固定粗糙斜面上的滑块A以加速度a1沿斜面匀加速下滑，如图甲。

在滑块A上放一物体B，物体B始终与A保持相对静止，以加速度a2沿斜面匀加速下滑，如图乙。

在滑块A上施加一竖直向下的恒力F，滑块A以加速度a3沿斜面匀加速下滑，如图丙。

则()A．a1＝a2＝a3B．a1＝a2<a3C ．a 1<a 2＝a 3D ．a 1<a 2<a 3解析： 题图甲中的加速度为a 1，则有 mg sin θ－μmg cos θ＝ma 1， 解得a 1＝g sin θ－μg cos θ 题图乙中的加速度为a 2，则有(m ＋m ′)g sin θ－μ(m ＋m ′)g cos θ＝(m ＋m ′)a 2， 解得a 2＝g sin θ－μg cos θ。

题图丙中的加速度为a 3，设F ＝m ′g ，则有 (m ＋m ′)g sin θ－μ(m ＋m ′)g cos θ＝ma 3， 解得a 3＝(m ＋m ′)g sin θ－μ(m ＋m ′)g cos θm故a 1＝a 2<a 3，故B 正确。

答案： B【变式1】为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是( )解析： 设屋檐的底角为θ，底边长为2L (不变)。

雨滴做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得加速度a ＝mg sin θm ＝g sin θ，位移大小x ＝12at 2，而x ＝Lcos θ，2sin θcos θ＝sin 2θ，联立以上各式得t ＝ 4Lg sin 2θ。

当θ＝45°时，sin 2θ＝1为最大值，时间t 最短，故选项C 正确。

答案： C【例题2】如图所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上．当t ＝0时，滑块以初速度v 0＝10 m/s 沿斜面向上运动．已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )A ．滑块一直做匀变速直线运动B ．t ＝1 s 时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上C ．t ＝2 s 时，滑块恰好又回到出发点D ．t ＝3 s 时，滑块的速度大小为4 m/s【解析】设滑块上滑时的加速度大小为a 1，由牛顿第二定律可得mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，解得a 1＝10 m/s 2，上滑时间t 1＝v 0a 1＝1 s ，上滑的距离x 1＝12v 0t 1＝5 m ，因tan θ＞μ，mg sin θ＞μmg cos θ，滑块上滑到速度为零后，向下运动，选项B 错误；设滑块下滑时的加速度大小为a 2，由牛顿第二定律可得mg sin θ－μmg cos θ＝ma 2，解得a 2＝2 m/s 2，经1 s ，滑块下滑的距离x 2＝12a 2t 22＝1 m ＜5 m ，滑块未回到出发点，选项C 错误；因上滑和下滑过程中的加速度不同，故滑块全程不是匀变速直线运动，选项A 错误；t ＝3 s 时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v ＝a 2(3 s －1 s)＝4 m/s ，选项D 正确． 【答案】D【变式2】(2018·江西省赣州市四校协作体高三上学期期中试题)如图，在水平地面上固定一倾角为37°足够长的的斜面，有一木块以初速度8m/s 冲上斜面，木块与斜面的动摩擦因数为0.25(最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g ＝10m/s 2)。

则：(1)木块沿斜面上升的最大距离为多少？ (2)木块在斜面上运动的时间为多少？(3)如果斜面是光滑的，求木块运动到离斜面底端4m 处的速度？ 答案：(1)4m (2)1＋2s (3)4m/s 可向上也可向下 [解析] (1)对木块受力分析如图根据牛顿第二定律有mg sin θ＋f 1＝ma 1 f 1＝μN ，N ＝mg cos θ，联立以上可得加速度为a 1＝g (sin θ＋μcos θ)＝8m/s 2物体沿斜面做匀减速运动，根据v 2t －v 20＝2a 1s可得木块沿斜面上升的最大距离为s ＝v 202a 1＝642×8m ＝4m 。

(2)木块上升到最高点所用的时间为t 1t 1＝v 0a 1＝1s木块上升到最高点后，mg sin37°＝6m >f 2＝μmg cos37°＝2m故木块不能停留在斜面上，沿斜面下滑，mg sin37°－μmg cos37°＝ma 2 解得下滑加速度为a 2＝4m/s 2 木块下滑的时间为t 2，有s ＝12a 2t 22t 2＝2s a 2＝2×44＝2s 木块在斜面上运动的总时间为t ＝t 1＋t 2＝1＋2s(3)如果斜面是光滑的，木块上升到最高点后沿斜面返回，在斜面上的加速度不变， 加速度大小为a 3＝g sin37°＝6m/s 2 由速度位移公式得v 2－v 20＝2ax ，木块离斜面底端4m 时的速度v ＝±v 20＋2ax ＝±4m/s 则物体可能沿斜面向上运动，也可能沿斜面向下运动。

【巩固习题】1.(2018·安徽省亳州市高三上学期期末)一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。

已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( C ) A ．13tan θB ．19tan θC ．45tan θD ．54tan θ[解析] 向上运动的末速度等于0，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，设加速度的大小为a 1，则：x ＝12a 1t 21，设向下运动的加速度的大小为a 2，则向下运动的过程中：x ＝12a 2t 22，由题知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，即t 2＝3t 1，联立可得：a 1＝9a 2，对物块进行受力分析，可知向上运动的过程中：ma 1＝mg sin θ＋μmg cos θ，向下运动的过程中：ma 2＝mg sin θ－μmg cos θ，联立得μ＝45tan θ，故C 正确，ABD 错误，故选C 。

2. 某次滑雪训练中，运动员(可视为质点)站在水平雪道上第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得水平推力F ＝84 N 而从静止向前滑行，其作用时间为t 1＝1.0 s ，撤去水平推力F 后经过时间t 2＝2.0 s ，他第二次利用滑雪杖对雪面的作用获得同样的水平推力，作用距离与第一次相同．已知该运动员连同装备的总质量为m ＝60 kg ，在整个运动过程中受到的滑动摩擦力大小恒为F f ＝12 N ，求：(1)第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小及这段时间内的位移； (2)该运动员第二次撤去水平推力后滑行的最大距离．【解析】解析 (1)运动员第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的加速度为a 1＝F －F fm ＝1.2 m/s 2第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小 v 1＝a 1t 1＝1.2 m/s 位移x 1＝12a 1t 21＝0.6 m(2)运动员停止使用滑雪杖后做匀减速直线运动，加速度大小为a 2＝F fm ＝0.2 m/s 2第一次撤去水平推力后经过时间t 2＝2.0 s 速度变为 v 1′＝v 1－a 2t 2＝0.8 m/s第二次利用滑雪杖获得的速度大小为v 2，则v 22－v 1′2＝2a 1x 1第二次撤去水平推力后滑行的最大距离x 2＝v 222a 2＝5.2 m.【答案】(1)1.2 m/s 0.6 m (2)5.2 m3. (2014·新课标全国Ⅰ·24)公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离．当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰．通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s ．当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120 m ．设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的25.若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安全行驶的最大速度．【解析】设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为s ，反应时间为t 0，由牛顿第二定律和运动学公式得 μ0mg ＝ma 0① s ＝v 0t 0＋v 202a 0②式中，m 和v 0分别为汽车的质量和刹车前的速度．设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，依题意有μ＝25μ0③设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a ，安全行驶的最大速度为v ，由牛顿第二定律和运动学公式得 μmg ＝ma ④ s ＝vt 0＋v 22a⑤联立①②③④⑤式并代入题给数据得 v ＝20 m/s(72 km/h) 【答案】20m/s4. (2015·山东德州五校高三联考)如图所示，楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成37°，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F ＝10 N ，刷子的质量为m ＝0.5 kg ，刷子可视为质点，刷子与天花板间的动摩擦因数μ＝0.5，天花板长为L ＝4 m ，取g ＝10 m/s 2，试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)刷子沿天花板向上的加速度大小；(2)工人把刷子从天花板底端推到顶端所用的时间。

【解析】(1)刷子运动过程中受力如图所示。

根据牛顿第二定律F sin 37°－mg sin 37°－F f ＝ma ① F cos 37°＝mg cos 37°＋F N ② F f ＝μF N ③由以上三式得a ＝2 m/s 2 (2)根据运动学公式有L ＝12at 2得t ＝2 s【答案】(1)2 m/s 2 (2)2 s5.如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙运动．某人坐在滑板上从斜坡的高处A 点由静止开始滑下，滑到斜坡底端B 点后，沿水平的滑道再滑行一段距离到C 点停下来．如果人和滑板的总质量m ＝60.0 kg ，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ＝0.5，斜坡的倾角θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求： (1)人从斜坡上滑下的加速度为多大？(2)若由于场地的限制，水平滑道的最大距离BC为L＝20.0 m，则人在斜坡上滑下的距离AB 应不超过多少？【解析】(1)人在斜坡上受力如图所示，建立如图所示的坐标系，设人在斜坡上滑下的加速度为a1，由牛顿第二定律得mg sin θ－F f1＝ma1F N1－mg cos θ＝0由摩擦力计算公式得F f1＝μF N1联立解得人滑下的加速度为a1＝g(sin θ－μcos θ)＝10×(0.6－0.5×0.8) m/s2＝2 m/s2.(2)人在水平滑道上受力如图所示，由牛顿第二定律得F′f＝ma2F′N－mg＝0由摩擦力计算公式得F′f＝μF′N，联立解得人在水平滑道上运动的加速度大小为a2＝μg＝5.0 m/s2设从斜坡上滑下的距离为L AB，对AB段和BC段分别由匀变速运动的公式得v2B－0＝2a1L AB0－v2B＝－2a2L联立解得L AB＝50.0 m【答案】(1)2.0 m/s2(2)50.0 m6.(2015·山东省实验中学高三阶段性考试)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。