高等数学下第十章答案

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高等数学下册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第十章课后答案

− 2 arcsin y ≤ x ≤ π; arcsin y ≤ x ≤ π − arcsin y.
0 π 1 π − arcsin y
所以 (5) 相应二重积分的积分区域 D 由 D1 与 D2 两部分组成，其中
∫
0
dx ∫
x − sin 2
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫
−1
−2arcsin y
∫ （1）
1
2
ww w.
图 10-5 (2) (4)
2 x 的交点(1，2)，与 x=2 的交点为(2，4), （3）区域 D 如图 10-5 所示，直线 y=2x 与曲线 2 2 y= ≤ y ≤ 2 x, 1 ≤ x ≤ 2. x 与 x=2 的交点为（2，1），区域 D 可表示为 x 曲线
y=
1
1− y
f ( x, y )dx
可表示为
y 2 ≤ x ≤ y + 2, − 1 ≤ y ≤ 2 .
图 10-3 所以
图 10-4
2
D
−1
y2
课后
答
案
网
x 所以 . 6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：
∫∫
D
f ( x, y )dσ = ∫ dx ∫2 f ( x, y )dy
1
2y
2
2x
（1）（2）
课后
I = ∫∫
D
4 + xy dσ , D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}
2 2
答
∫∫
ln( x + y )dσ < ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ

高等数学下册 (殷锡铭许树声著) 华东理工出版社课后答案第10章解答

即
2 2 2 cos ，则 cos
2 ， 2
0 ，所以
3 3 ，即 a 与 b 的夹角为。 4 4
** 9.在 yz 平面内求模为 10 的向量 b，使它和向量 a 8i 4 j 3k 垂直。解：∵ 向量 b 在 yz 平面内， ∵ b a，
即： a1b1 a2b2 a3b3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 ，
2
2
2
2
2
2
33
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∴
ai
2 i 1
3
bi
2 i 1
3
a b
i 1
3
i i
。
第 10 章（之 3）
教学内容：§10.3 平面与直线[10.3.1] 1.填空题 *(1) 平行于 x 轴，且过点 P (3,1,2) 及 Q(0,1,0) 的平面方程是______ 。答： y z 1 **(2) 与 xoy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ 。答： Ax By d 0
29
1 ，求： 3
（2） 5a 2b 与 a b 的夹角。解：（1） a b

2
a b

a b

∴ a b

2 2 a b 2a b 4 2 5 2 2 4 5 cos 21 ， 3

2

2
a b a b a b ，

2
2 2 2 b 2a b a b 2a b ，

(完整版)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

解故所求重心坐标为．
1设为面内一直线（为常数），证明
。
证明：略.
2计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。
解: 。
（2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；
解．
（3）是从点沿上半圆周到点的一段弧；
解
（4），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；
3．设是曲面介于和之间的部分,则曲面积分
的值为．
4．设是由锥面与半球面围成的空间闭区域, 是的整个边界的外侧,则．
5．设 , 则矢量场通过曲面上半部分的流量．
二、计算题
1．计算曲线积分，
（1）是第一象限内从点到点的单位圆弧
（2）是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧；
（3）： ( )
解令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
4 验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个：
（1）；
解令，
，
∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取
，
=
（2）；
解因为，，所以在整个面内恒成立，因此，：在整个面内，是某一函数的全微分，即有
解：。
八、设具有一阶连续导数,积分在右半平面内与路径无关,试求满足条件的函数．
解令，，依题意，有
，
为所求的函数。
九、设空间区闭域由曲面与平面围成,其中为正常数,记表面的外侧为 , 的体积为 ,证明：
．
证明略。
复

（完整版）高等数学II练习册-第10章答案

（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2ln()[ln()]x y x y +≥+所以 2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2从而 ln(x +y )>1故有 2ln()[ln()]x y x y +<+所以 2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤.从而 2≤故 2d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d D Dσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而 d Dσσ=⎰⎰ （σ为区域D 的面积），由σ=4得 8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以22229494()925x y x y ≤++≤++≤故 229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而 2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ-=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a 为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f (x ，y )为连续函数，求22200201lim (,)d ,{(,)|()()}πD r f x y D x y x x y y r rσ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥; (2) 2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3) 2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤. 所以1101(,)d d (,)d y Dy f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为 22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y =2x 与曲线2y x=的交点(1，2)，与x =2的交点为(2，4),曲线2y x=与x =2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yyy f x y x ⎰⎰; (2) eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰;(3) 1320d (,)d y y y f x y x -⎰⎰; (4) πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y -⎰⎰;(5) 123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为： 04,.2xx y x ≤≤≤≤ 所以22242d (,)d d (,)d .yxx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D ：1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为： 01,e e,y y x ≤≤≤≤ 所以eln 1e10ed (,)d d (,)d y x x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D 为：01,32,y y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D 亦可看成D 1与D 2的和，其中 D 1：201,0,x y x ≤≤≤≤D 2：113,0(3).2x y x ≤≤≤≤-所以2113213(3)2001d (,)d d (,)d d (,)d y x x yy f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D 为：0π,sin sin .2xx y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D 亦可看成由D 1与D 2两部分之和，其中 D 1：10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ D 2：01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤- 所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D 1与D 2两部分组成，其中 D 1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D 2：13,03.y x y ≤≤≤≤- 如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤- 所以()1233230012d ,d d (,)d d (,)d yy xxy f x y x y f x y x x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z =x 2+y 2,平面z =0与柱面x 2+y 2=ax 所围；（2）旋转抛物面z =x 2+y 2,柱面y =x 2及平面y =1和z =0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 V =22()d d Dx y x y +⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V =2122()d d D x y x y +⎰⎰，其中D 1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y =x 2及直线y =1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y -=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105xx y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰(2) e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y 2=x ,直线x =0与y =1所围；（3）22d d,Dx y x y-⎰⎰D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4) cos()d d,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y+=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d dxxDxxx x xx y x y x x x xy y y==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：201,0.y x y≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()x x xy yy y yDxx y y x y yy==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211110000e d(e1)d e d dyxy yyy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰11111200011de d e e d.22y y yy y y y y y=-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：01,.x x y x≤≤-≤≤所以21122222200d d d d arcsin d22xxD xxx y yx y x y x x y y x y xx--⎡⎤-=-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰1123ππ1πd.2236x x x==⋅=⎰ππππ00ππ00π(4)cos()d d d cos()d[sin()]d[sin(π)sin2]d(sin sin2)d11.cos cos222xD xx y x y x x y y x y xx x x x x xx x+=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：1112111224sin(1)d d;(2)d e d d e d.yyy yy yx xyxy xxy x y x+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sindxxx⎰求不出来，故应改变积分次序。

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分95数，故/, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr.fh i)i又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.Dy1)：从而得/, = 4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJjf/(x,y)da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则=0.D«3.利用二重积分定义证明：(1)jj da=(其中(7为的面积)；IJ(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个I)b\lh尤公共内点的WK域.96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,=l i m cr= a.A—0n(2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^i)1n=A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k\\f{x,y)Aa.A-°台•{!(3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,./)(U0,",l)：令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(x f y)da.p,un}V,n；Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«l y达到最大值.I)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当£»是椭圆2/+y2= l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=D I)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=t)n2所围成；(3)I'M A；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+y)]2fW，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡1 .i)i)解(1)在积分K域0上，故有(x + j) 3 ^ (x + y) 2.根据二重积分的性质4，可得J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)0D(2)由于积分区域0位于半平面|(A:，V) | .V+ •、彡1第十章重积分97(3)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y)| .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡1，从而：In(-v+)')]2彡In(:c+)').因此Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.i)a36.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y)1,01|；n(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;i)(3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；it(4)/=J(x2 +4y2 +9)do•，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|.I)解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于TT2,W此(3)在积分K域"上有\^x+y +\«4,/)的而积等于2,因此(4)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25.34I)的酣枳等于4TT，W此36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分:98｛高等数学＞ (第七叛)下册习题全第十) ;，其中"是由两坐标轴及直线-- + =听围成的闭区域；b ( 3 J jj( x J + 3x 2 \ + v 3 ) da ，其中 D =( x , v )0 ^ A : ^ 1 .0 ^ v ^ 1；u( 4 ) jjxcas( X + Y j do ■，其中Z >是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭区域. 4- 2 2 ) dx fh 2) D 可用不等式表示为 2 r 3xy +y 2 ]l~x dx = | (4 + 2x - 2x 2 ) dx 203(+ + 3 > (文3+ 3.2 +、、).+ + "JC di (4l )可用不等式表示为0 ^ V ^ A ： ,0 ^ .t ^ 7T .于是|A :COS JC + ) = + ) d I [ sin (.t + y ) ]Q ()^ = J V ( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v )卜(1X (-TT r T X cos .v —rus TT.& 2. _出枳分ix:域，斤i 卜r): v 列m 分:第十章重积分99 x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3),(1)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；D(2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；I)(3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)•)||A；|+|J|^1!；D(4)|"U2+/-x)<lo•，其中D是由直线y:l、y二xh :2*所围成的闭区域.D解(1)0可用不等式表示为于是(2)D可用不等式表示为(3)如阁I()-4，W=/\U"2，其中/>1= \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,I)2=\(x,y) |*-1+因此100一、《高等数学》(第七版)下册习题全解Ea 3.如果二重积分|/( .r ,y )心办的被积函数/( x ，v )是两个函数/] ( O 及)的乘n积，即/(X ，y) = f\(x) ./“y )，积分区域/) = { (.V , y ) I (1 ^ V ^ />, r ^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U) -/2(r) flatly = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-证Jj./1 ( x ) • .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J \ ( v ) ■ ./： t ^] l ^x *在上式右端的第一次单枳分f /,(.V )•/2(.V )dv 中,./,(A .)1Jfut 变招:、无关，nn 见为常数提到积分5外，W 此上式“端笏T第十章重积分101fix/ = j [ dy ^/(*，y )tk.而在这个积分中，由于f/2 (y ) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到• f 2<,y)^xAy= [| /2(y )dj ] - [ J n /, (x )dx ]证毕.^4.化二重积分/ = Jf(x ，y )daI)为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是:(1)由直线及抛物线y 2 =4x 所围成的闭区域；(2)由x 轴及半圆周/ +y 2 =r 2(y 英0)所围成的闭区域；(3)由直线y =x ，；c = 2及双曲线：K = ^-(*>0)所围成的闭区域；X(4)环形闭区域 IU ，y ) | 1+y 2^4(.解(1)直线y =x 及抛物线y 2 =4;c 的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是f(x,y)dy,(2)将/)用不等式表示'fyO^y^r 2 -x 2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先对y 、后对*的二次积分：r/ = J (1文Jf(x ,y)(\y ；如将0叫不等式表示为~Vr 2 -y 2^x^Vr 2 - y 2 ,0各/•，则可将/化为如卜的先对*、后对y 的二次枳分：102一、《高等数学》(第七版)下册习题全解dr x,y) dx.(3)如图 10-7.:条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y 和(2,2).于是dy (i_/(^,y)+ tlj /( x ,y)dx.dx • \/4J\x y y)dy + d.vl(1%/T /(A ：,y)clr +d.vl■ yA -x 2/(.r ,v )d > -f/(.v V v ) dv ./(.v ,v )d.v -f.\/4-、/( \ , > ) d.v -f厂、/4 -、•'•I-v^ W"/( v , y) (l .\.| dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对y 、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y )的特点.具体例子n ]'见教材下册第144页上的例2.(4)将D 按图10 - 8( a )和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得o 第十章重积分103x ,r)d.t.(5) (lx\ f{x,y)Ay\广2 f yix -x2(4)|叫2f{x,y)dy-,fix /-sin x(6)I Ax\J(x,y)Ay.JO J - siny图10-8,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区域，证明dx| f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）d o•，因而它们相等.I）^6.改换下列二次积分的积分次序：(2) J) dj|：f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o=丨h，y）1°^^^r-"0 ^ j ^ I（. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣y矣 1，0 ^^ I | （罔 10 - 9）,于是原式=丄<ixj/(x,y)dy.(2)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山，.K:中/)=I|.y2^^<2y,0^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬1 1(> - I0)，W此原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.104一、《高等数学＞（第七版）下册习题全解-y2^.V ^1$、飞V彡1(3)所给二次积分等于二重积分.其中D=:(.v.v)|-V 1UX^J1-y2,0彡>•彡1;•又D可表示为：(JC，)*)丨0彡y 彡V 1- .r2,-1=(图10-11)，因此f 1 f V1 -X~原式=J^dxj/(x,v)dy.(4)所给二次积分等于二重积分其中D=:(.v.v)'2-hs/lx -x1%\彡.r彡2:.又D可表示为：(A:,V)|2-1彡.t•彡1+Y1—v2,0:(图10-12)，故原式=丄d)j f(x %y)dx.(5)所给二次积分等于二重积分］|/(.10)(1^,)1:中/)=1(.v.v)|0^v^I)x彡e|•又/)可表示为|(A:，＞•)|e、彡A•彡e，0彡、彡1i(|劄10-1,故原式=L(I.、|,./X .、，.、)(l.v.(6)m1()-14,将积分|><:域/)丧示为/),U/)2，其中A),=j U，、)|arcsin>^o 第十章重积分105/(x,y)dx.y广 1r ir - arcsin >原式=I dyf(x y y)c\xJO Jarcsin )T T - arcsin y ，0彡 y 彡 1 | 1 ,D 2 = |(.r, y)一 2arcsin, 一1彡)'彡0|.于是rt-x + xydrAy~d\2x c\)''i x E | o»•Y = s i n A 的反闲数足A = i i r r s »M y- -1 x足ih y - H in x = sin ( T T - x) "n!J T T - x ^ arcKiny,从ifii 得反闲数 ^(子•中，TTT T - iin-Hiny.^7.设平面薄片所占的闭区域D 由直线;t = 2，y = 和;r 轴所围成，它的面密度/x (.t ,v ) = x 2 +y 2,求该薄片的质量.解 D 如图10-15所示.所求薄片的质M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x 2 + y 2 ) dxr[+(2”)3+2,12| 冬| 10 - 158. i |灯|l |四个平而A ： = 0，y = 0，;t = I ，v = I 所闲成的柱休被平面z = 0及2.r +3y+z6藏得的立休的体积.V - (I 6 - ^ x 2 + y 2 ) dx(\y6 ( 1 - x ) - x 2 +——f 1\1_6"*10-17m 10 - 18解江力一 E J .它？？芪是；c 0:. S 二苎泛7：省•。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

同济高等数学下册课后题答案详解

第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。

高等数学课后习题及参考答案(第十章)

高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题10-11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量I x,I y;(2)这曲线弧的重心坐标,.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dI x=y2μ(x,y)ds,dI y=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为,.曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dM x=yμ(x,y)ds,dM y=xμ(x,y)ds.曲线L的重心坐标为,.2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则.证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则.令λ=max{∆s i}→0,上式两边同时取极限,即得.3.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中L为圆周x=a cos t,y=a sin t (0≤t≤2π);解=.(2),其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解L的方程为y=1-x (0≤x≤1);.(3), 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) ..(4), 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L =L 1+L 2+L 3, 其中L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t ,L 3: x =x , y =x ,因而 ,.(5)⎰Γ++ds zy x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解,.(6), 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);解 Γ=AB +BC +CD , 其中AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1),BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3),CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3),故.(7), 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解.(8), 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解.4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.解建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知, 又ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa 5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心.解 .(1).(2),,,,故重心坐标为.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: .证明设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段,则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是.2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线,证明.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1), 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以.(2), 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π,L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a ,因此.(3), 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到的一段弧;解.(4)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行); 解圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(.(5), 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧;解 ⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x .(6), 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1..(7), 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0,BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1,故.(8), 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故4. 计算, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故.(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线;解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2,L 2: x =x , y =2, x 从1变到4,故dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰ .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故.5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到, 于是场力所作的功为.6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1)沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线,则重力所作的功为7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解L的方向余弦,故.(2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1, 2x),单位切向量为,故.(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解L的方程为,其上任一点的切向量为,单位切向量为,故.8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为,.习题10-31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1),其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;解L=L1+L2,故,而 dxdy x dxdy y P x Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. (2), 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x ,而,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故.(3)圆x 2+y 2=2ax .解圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故.3. 计算曲线积分,其中L为圆周(x-1)2+y2=2,L的方向为逆时针方向.解,.当x2+y2≠0时.在L内作逆时针方向的ε小圆周l:x=εcosθ,y=εsinθ(0≤θ≤2π),在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得,即.因此.4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:(1);解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,而且,故在整个xOy面内,积分与路径无关.取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1,x从1变到2,则.(2);解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径(1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线,则.(3).解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与路径无关,选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线,则.5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线(a >0);解 , ,,由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222.(3), 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到的一段弧;解 , ,,所以由格林公式,其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故.(4), 其中L 是在圆周上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式有,其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故.6.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;证明因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y )的全微分..(2)2xydx+x2dy;解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分..(3)4sin x sin3y cos xdx–3cos3y cos2xdy解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(4)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(5)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分.7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.解场力所作的功为.由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功与路径无关.习题10-41.设有一分布着质量的曲面∑,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z),用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且.令, , , 则当λ→0时, 有.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,,故 .4. 计算曲面积分, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此⎰⎰+=πθ2020241rdr r d .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x 22224411++=++=.因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d.(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰.5. 计算, 其中∑是:(1)锥面及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:, D 2: x 2+y 2≤1, .+.提示: .(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤3,,因而 .提示: .6. 计算下面对面积的曲面积分:(1), 其中∑为平面在第一象限中的部分;解 , ,,.(2), 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分; 解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,,⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3.(3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,,(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示:,(4), 其中∑为锥面被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分. 解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2ax ,,dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑421564a =. 提示: .7. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2,.故.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量.解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤a 2,,.提示:.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:.解证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdyy x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰.(2), 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故.∑可表示为, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 .解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰.提示: 表示曲面的面积.(3), 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧;解曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为,由两类曲面积分之间的了解可得dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰.(4), 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 xzdxdy 4000∑⎰⎰+++=由积分变元的轮换对称性可知.因此 .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块;∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是yzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰.4. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面在第一卦限的部分的上侧;解令, ∑上侧的法向量为:,单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰10-61.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式(这里用了对称性).(2),其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧;解由高斯公式原式.(3),其中∑为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;解由高斯公式原式.(4)其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式.(5),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式.2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A=yz i+xz j+xy k,∑为圆柱x+y2≤a2(0≤z≤h )的全表面,流向外侧;解P=yz,Q=xz,R=xy,⎰⎰⎰dv.=0=Ω(2)A=(2x-z)i+x2y j-xz2k,∑为立方体0≤x≤a, 0≤y≤a, 0≤z≤a,的全表面,流向外侧;解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,.(3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,∑是以点(3,-1, 2)为球心,半径R=3的球面,流向外侧.解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z,⎰⎰⎰dv.π=3=108Ω3.求下列向量A的散度:(1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k;解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,.(2)A=e xy i+cos(xy)j+cos(xz2)k;解P=e xy,Q=cos(xy),R=cos(xz2),.(3)A=y2z i+xy j+xz k;解P=y2,Q=xy,R=xz,.4.设u (x,y,z)、v (x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示u (x,y,z)、v (x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明,其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式.证明由第一格林公式(见书中例3)知,.将上面两个式子相减,即得.5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得,,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: 表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2), 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2,(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解设∑为平面上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: ∑(即)的面积元素为.(3), 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则.(4), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则.2. 求下列向量场A 的旋度:(1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 .(2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 .(3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分, 并计算积分值, 其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π,由托斯公式.(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量.解.4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量:(1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0;解.(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周, z =0.解有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++L L dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(.5.证明rot(a+b)=rot a+rot b.解令a=P1(x,y,z)i+Q1(x,y,z)j+R1(x,y,z)k,b=P2(x,y,z)i+Q2(x,y,z)j+R2(x,y,z)k,由行列式的性质,有.6.设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad u)解因为grad u=u x i+u y j+u z k,故=(u zy-u yz)i+(u zx-u xz)j+(u yx-u xy)k=0.*7.证明:(1)∇(uv)=u∇v+v∇u解=u∇v+v∇u.(2)解==u∆v+v∆u+2∇u⋅∇u.(3) ∇⋅(A⨯B )=B⋅(∇⨯A )-A⋅(∇⨯B )解B=P2i+Q2j+R2k,而所以∇⨯(A⨯B)=B⨯(∇⨯A)-A⨯( ∇⨯B )(4) ∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇2a解令A=Pi+Q j++R k,则从而命题地证总习题十1. 填空:(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解 , 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解 , 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________.(A )xdS xdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (B );(C )xdS zdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为, (0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x L L )()()(222022'+'⋅==+⎰⎰⎰().(2), 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0);解.(3), 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰⋅-+-⋅+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L.(4), 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧;解.(5), 其中L 为上半圆周(x -a )2+y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2, .令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式,.(6), 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去, 沿逆时针方向.解曲线Γ的一般方程为, 其参数方程为, t 从0变到2π.于是.4. 计算下列曲面积分:(1), 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2;解 ∑=∑1+∑2, 其中, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ;, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ,于是.(2), 其中∑为锥面(0≤z ≤h ) 的外侧;解这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y , 0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,而40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x h πθθθθπ=-=-⎰⎰⎰⎰∑, 所以 .(3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑⎰⎰, 其中∑为半球面的上侧;解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得,而 ,所以 33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑⎰⎰.(4), 其中∑为曲面(z ≥0)的上侧;解这里, , , 其中., , ,.设∑1为z =0的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,32223222)()(1z y x zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑⎰⎰⎰⎰. (5)xyzdxdy∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解 ∑=∑1+∑2, 其中∑1是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧;∑2是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxy D D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=103220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xy D .5. 证明22y x ydy xdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数.解这里, . 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且 , 所以22y x ydy xdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分. .6. 设在半平面x >0内有力构成力场, 其中k 为常数, . 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解场力沿路径L 所作的功为.令, . 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且,所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关.7. 求均匀曲面的质心的坐标.解这里∑:, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}.设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, . 因为,222421a a dS ππ=⋅=∑⎰⎰, 所以 .因此该曲面的质心为.8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明:(1);(2),其中、分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号称为二维拉普拉斯算子. 证明设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α).(1),所以 .(2)dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u DD )()]()([22222222∆-∆=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为33==Ω⎰⎰⎰dv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为.曲面∑的的单位法向量为, 由斯托克斯公式有.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

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一、单项选择题
1---5 DCCCA 6---10 DBCAB 11---15 CDBDA 16---20 ABC CD 21—25 BCAA D 26---30 DAABB
二、填空题
1.1y x
=
2.312x x y C e C e =+
3.2212x x
y C e C xe --=+ 4. 2121cos 4x y e x C x C =+++ 5. 3
121sin 3
y x x C x C =+++ 6.22x y e =
7. 3 8. 4
12112x C x C ++ 9. 1y x
= 10.2.y x = 11.sin ln sin x
y x y e
==或 12.211
22
y x =
+ 13.2x y e = 14.52sin 3220x y x x =-+++ 15. 4
2x y x
=+ 三、计算题
1. 求微分方程sin cos 0y x y x '-=的通解. 解 sin .y C x =其中常数C 可以是任意实数.
2. 求微分方程 2331y y y x '''--=+的通解．
解通解为3121
3
x
x y C e
C e x -=+-+
3. 求微分方程2
20xy y x '+-=的通解及满足初始条件(2)2y =的特解. 解方程的通解为 2
C
y x =
.
特解为22
4
4x y x =
+ . 4. 求微分方程 543y y y x '''-+=的通解．
解通解为4121215
16
x
x
x y C e C e
+=++
5. 求微分方程sin ln y x y y '=的通解及满足初始条件()2
y e π
=的特解.
解为原方程的通解ln ln sin y x C =+,
特解为ln ln sin 1y x =- .
6. 求微分方程 32y y y x '''-+=的通解．
解通解为21223
4
x
x
x y C e C e
+=++
.
7. 求微分方程3
(2)2(1)x
x y y e x '+-=+的通解及满足初始条件(0)1y =的特解. 解：通解为：2
2
(2)(2)x
y e x C x =+++ 特解为223
(2)(2)4
x
y e x x =+-
+ 8. 求微分方程 2
22y y y x '''-+=的一个特解．解：特解为*
2
2812y x x =++
9. 求微分方程4
(2)2(2)x y y x '+=++的通解及满足初始条件(0)1y =的特解. 解：原非齐次线性方程的通解为：222
1(2)(2)(2)2
y x x x C x =++++
特解为22
211
(2)(2)(2)2
4
y x x x x =+++
+ 10. 求微分方程 2
233y y y x '''-+=的一个特解．解：特解为*
2
4239
y x x =+
+ 11. 求微分方程42x
y y e '-=的通解.
解通解为 2
212x x y e e C ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
12. 求方程440y y y '''-+=的通解及满足条件()()001y y '==的特解。

解方程的通解为 ()212.x
y C C x e =+
特解为：()21.x
y x e =-
13. 求微分方程cos y y x x x '-=
的通解及满足初始条件()22
y ππ
=-的特解. 解方程的通解为(sin )y x x C =+
方程特解为 (sin 2)y x x =-
14. 求微分方程32
x
y y x '-=-的通解并求满足初始条件11x y ==的特解。

解: 通解31
2(
)y x x C =+ 特解为：3
112(1)y x
x =+
15. 求微分方程 2
36y y x '''-=-的通解.
解通解为 32
12269x y C C e x x x =++++
16. 求5423y y y x '''++=+的通解。

解：通解为41211
28
x x y c e c e x --=+++
17. 求一阶线性非齐次方程2
d 2cos d x y xy
e x x
-=的通解解：通解为2
(sin )x y x C e =+ 18. 求二阶线性齐次方程440y y y '''-+=的满足初始条件(0)1,(0)4y y '==的特解。

解：特解为 2(12)x
y x e =+
19. 求微分方程52
(1)2(1)x y y x '+=++的通解及满足初始条件(0)1y =的特解.
解方程的通解为
12
2
(1)[2(1)]y x x C =+++
20. 求微分方程 236y y y x '''--=的通解．解通解为 312423
x
x y C e
C e x -=+-+
21. 求微分方程2
xy y x '+=的通解及满足初始条件(1)1y =的特解.
解通解为 3
1().3x y C x =+
特解为32
.3x y x
+= 22. 求微分方程 20y y y '''+-=的通解及满足条件(0)(0)3y y '==的特解．
解通解为 212x x
y C e C e -=+
特解为 22x
x y e
e -=+
23. 求微分方程3
2
d (21)d 0y x xy y +-=的通解及满足初始条件(0)1y =的特解.
解通解为
21
(ln ||)x y C y
=
+ 24. 求微分方程 56122y y y x '''-+=+的通解．
解通解为 231222x x
y C e C e x =+++
25. 求方程2
y e y x -='的通解.
解：C e y x +-=-
-1 或：C
e y x +=-1 26. 求微分方程3
2xy y x '-=的通解. 解: 通解为 2
()y x x C =+.
27. 求微分方程440y y y '''-+=的通解及满足初始条件0
1,4x x y
y =='
==的特解.
解: 通解为： 212()x
y C C x e =+
特解：2(12)x
y x e =+ . 28. 求方程23
x
y e y '=的通解. 解：221122
x
e C y -
=+ 29. 求微分方程034=+'+''y y y 满足初始条件0)0(,1)0(='=y y 的特解. 解：特解为: x x e e y 32
123---=
. 30. 求微分方程043=-'+''y y y 满足初始条件0)0(,1)0(='=y y 的特解. 解：特解为: x
x e e y 35
154--+=.。