三角函数式的化简与三角恒等式的证明

（A）－tanx
（B）tan
A
sin β sin(2 α + β ) 3.求证： = − 2 cos( α + β ) sin α sin α
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sin(2α + β) 3.证明 证明:∵ 3.证明 ∵ − 2cos(α + β) sin α sin[(α + β) + α] − 2cos(α + β)sin α = sin α sin(α + β)cos α − cos(α + β)sin α = sinα sin[(α + β) − α] sin β = = ， sin α sin α 左边=右边 原式得证。 右边， ∴左边 右边，原式得证。
第 25 讲三角函数式的化简与三角恒等式的证明
化简或证明变形时主要考虑方法: 化简或证明变形时主要考虑方法: “异名化同名 异角化同角. “异名化同名,异角化同角.” 异名化同名, “公式的正用、逆用、变形用.” 公式的正用 公式的正用、逆用、变形用.
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第 25 讲三角函数式的化简与三 角恒等式的证明
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例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
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提示：条件等式的证明， 提示：条件等式的证明，关键是发现 已知条件和待证等式之间的关系。 已知条件和待证等式之间的关系。 这里发现不仅需要观察， 这里发现不仅需要观察，还需要 尝试变形，通过“化异为同” 尝试变形，通过“化异为同”、“求 同存异”的一致变形， 同存异”的一致变形，就有希望达到 运用条件，证明出结论的目的。 运用条件，证明出结论的目的。
化异为同，洞察联系。 化异为同，洞察联系。
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分析
ຫໍສະໝຸດ Baidu
答案
化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4tan(π + θ )cos2 (π + θ ) 4tan
2 2 4 2 4 2
cosθ
−
sinθ
返回
提示:化简结果的要求一般是: 提示 化简结果的要求一般是: 化简结果的要求一般是 (1)项数最少; (2)次数要最低 次数要最低; (1)项数最少; (2)次数要最低; 项数最少 (3)函数种类要最少;(4)分母不含根号; (3)函数种类要最少;(4)分母不含根号; 函数种类要最少;(4)分母不含根号 (5)能求值的要求值. (5)能求值的要求值. 能求值的要求值 常用的方法有:直接应用公式、切割化弦、 常用的方法有:直接应用公式、切割化弦、 异名化同名、异角化同角。 异名化同名、异角化同角。
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2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
2 2
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提示：证明三角恒等式的基本思路是： 提示：证明三角恒等式的基本思路是： 观察等式两端的特点及差异， 观察等式两端的特点及差异，从解决某 一差异入手，通过“一致变形” 一差异入手，通过“一致变形”，应用 化繁为简，左右归一的思想方法， 化繁为简，左右归一的思想方法，使等 式两端“ 式两端“异”化“同”。 异角” 注：“一致变形”是指：化 “异角”、 一致变形”是指： 异名” 异次” 同角” “异名”、“异次”为“同角”、“同 同次”的尝试思路。 名”、“同次”的尝试思路。
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2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
2 2
返回 继续
sin 2 x cos 2 x sin 4 x + cos 4 x + = 证明：左边= 证明：左边 2 2 cos x sin x sin 2 x cos 2 x 1 2 2 2 2 2 1 − s in 2 2 x (sin x + cos x ) − 2 sin x cos x 2 = = 1 2 1 sin 2 x sin 2 2 x 4 4
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化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4tan(π + θ )cos2 (π + θ ) 4tan
2 2 4 2 4 2
cosθ
−
sinθ
返回 继续
cos θ sin θ 解: 原式＝ 原式＝ − θ θ π θ π θ 4 sin cos 4 sin( + ) cos( + ) 2 2 4 2 4 2 cos θ sin θ = − π 2 sin θ 2 sin( + θ) 2 2 2 cos θ − sin θ = 2 sin θ cos θ = cot 2θ
一、知识要点
二、例题分析
三、作业及练习 《全案》 P 训练 1、2、3、5 全案》 、 、 、
例1 例2 例3
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化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4 tan
2
cosθ
−
2
π + θ )cos2 (π + θ ) 4 tan(
4 2 4 2
sin θ
尝试 化切为弦！ 化切为弦！
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分析
答案
2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
证明: 证明:∵由已知得 sin[(α + β ) + α ] + 2sin[(α + β ) − α ] = 0
返回 继续
∴ sin(α + β )cosα + cos(α + β )sinα +2cosα sin(α + β ) − 2sinα cos(α + β ) = 0 ∴ 3sin(α + β ) cos α − sin α cos(α + β ) = 0 ∴ 3sin(α + β ) cos α = sin α cos(α + β )
2 2
从“可以下手”的地方开始尝试！ 可以下手”的地方开始尝试！
左边化切为弦尝试 右边异角化同角尝试
分析 答案
三角公式 应用
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例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
待证式子变一变！ 化切为弦） 待证式子变一变！ （化切为弦） 已知条件变一变！（活用角变换） 已知条件变一变！ 活用角变换）
π π
4 4
+ x) + x)
的结果是（
A）
。
cos(
4
x （C）tan2x （D）cotx 2 1 + sin θ − cos θ 1 + sin θ + cos θ 2.化简 得（ ） + 1 + sin θ + cos θ 1 + sin θ − cos θ （A） 2 csc θ （B） 2 sec θ （C） 2 sin θ （D） 2 cos θ
3sin(α + β ) sin α = 即 tanα=3tan(α+β) α α β ∴ cos(α + β ) cos α
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作业: 全案》 作业: 《全案》 P 训练 1、2、3、5 、 、 、
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速度训练: 速度训练
cos(
1. 化简
π π
4
+ x ) − sin( + x ) + sin(
8 − 4 sin 2 2 x = 2 s in 2 2 x
4 + 4cos 2 2 x 8 − 4 sin 2 2 x 右边=右边 原式得证. 右边, ∴右边 右边 原式得证 = 右边= 右边 2 2 2sin 2 x 2 sin 2 x
这里的思考是 “两头凑”的分析方 法.
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例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
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作业: 全案》 作业: 《全案》 P 训练 1、2、3、5 、 、 、
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