二倍角的三角函数的化简与证明

课题：二倍角的三角函数

本节考试要求为B 级 一、知识梳理 1、二倍角公式

=α2sin ；=α2cos ；=α2tan ．

2、公式变形

=α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ；

=+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ．

3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹．

二、三基能力强化

1、已知5

3

)4sin(

=

-x π

，则=x 2sin ．

2、已知θ是第三象限角，且9

5cos sin 4

4=+θθ，那么θ2sin ＝ ．

3、在ABC ∆中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为 ．

4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4

tan(42tan π

θθ ．

5、已知βα,均为锐角，且α

αα

αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ．

三、典例互动

三角函数式的化简：化简的要求 例1：（1）化简)4

cos(6)4sin(

2x x -+-π

π

；

（2）α

αααα2sin )

1cos )(sin 1sin (cos +--+

规律总结：

三角函数式的求值：求值的方法

例2：求值：0

01000

1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+--

又如：ο

ο

ο

ο

78sin 66sin 42sin 6sin ＝

例3：已知),43(ππα∈，3

10

tan 1tan =+αα，求

)

2

sin(28

2

cos 112

cos

2

sin

82

sin 52

2

π

αα

α

α

α

--++的

值。

变题：本题条件不变，求

)

3

sin(cos 22sin 2π

ααα-

-的值。

例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y =

（1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域

四、课堂反馈

1．已知cos2α＝1

4

，则sin 2α＝________．

2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α

等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π

2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________．

4．定义运算a

b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________．

5．(原创题)已知sin θ＝4

5

，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________．

6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋

1

2

2tan(π4－x )·sin 2(π

4＋x )

.

二倍角的三角函数 课后作业

1．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)＋cos(α＋π

4

)＝________．

2．化简2＋cos2－sin 21的结果是________．

3.已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2

3

，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是________．

4．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π

4

)的值为________．

5．已知cos A ＋sin A ＝－7

13

，A 为第四象限角，则tan A 等于________．

6．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3

＋2α)＝________．

7．化简2sin2x ·sin x ＋cos3x 的结果为________．

8．若sin α＋cos αsin α－cos α

＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________．

9．在△ABC 中，已知cos(π4＋A )＝3

5

，则cos2A 的值为________．

10.已知tan α＝－13，cos β＝5

5

，α，β∈(0，π)．

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．

11．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝4

5

.

(1)求sin2β的值； (2)求cos(α＋π

4

)的值．

12．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作圆的切线PC ，使PC ＝1.

连结BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于1

2

？

13、已知βα,是锐角，向量)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，)2

1,21(-=

（1）若22=⋅b a ，4

13-=⋅c a ，求角αβ-2的值；（2）若c b a +=，求αtan 的值．

14、已知向量)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，若5

5

2||=-， （1）求)cos(αβ-的值；（2）若2

02

π

αβπ

<

<<<-，13

5

sin -

=β，求αsin 的值．