三角函数的求值、化简与证明(教案)
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换(教师独具内容)课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式．教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一 半角公式知识点二 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2. cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2. cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.推导过程：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba确定或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α2＝－33.( )(2)cos2π8－14＝2＋14.( ) (3)函数f (x )＝3sin x ＋cos x (x ∈R )的最小正周期为π.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33(2)已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.3310 D ．－35(3)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3(4)若tan α＝2，则tan α2＝________.答案 (1)A (2)B (3)C (4)－1±52题型一 利用半角公式求值例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sin α2cosα2＝－2.金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1] 已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.题型二 三角函数式的化简例2 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[变式探究] 将本例改为化简：(1＋sin α－cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22－2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝2sin α2(－cos α)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴sin α2>0，∴原式＝－cos α. 金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2] 化简： (1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π；(2)cos 2α1tanα2－tanα2.解 (1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)原式＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α. 题型三 三角恒等式的证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x.∴原式成立．证法二：2sin x cos x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立． 金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.[跟踪训练3] 求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α. 证明 证法一：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边． ∴原等式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边． ∴原式成立.题型四 利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋5π12，k ∈Z .金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－1.题型五 三角变换的实际应用例5 如图，A ，B 是半径为1的圆O 上任意两点，以AB 为一边作等边三角形ABC .当点A ，B 处于怎样的位置时，四边形OACB 的面积最大？最大面积是多少？[解] 如图，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，四边形OACB 的面积为S .取AB 的中点D ，连接OD ，CD ，则OD ⊥AB ，CD ⊥AB .在Rt △ODA 中，OA ＝1，∠AOD ＝θ2，所以AD ＝OA sin ∠AOD ＝sinθ2，OD ＝OA cos ∠AOD ＝cos θ2，所以AB ＝2AD ＝2sin θ2.因为△ABC 为等边三角形，所以CD ＝AC sin ∠CAB ＝2sin θ2sin60°＝3sin θ2.所以S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝12CD ·AB ＋12OD ·AB ＝12×3sin θ2×2sin θ2＋12×cos θ2×2sin θ2 ＝3sin2θ2＋12sin θ＝3×1－cos θ2＋12sin θ＝12sin θ－32cos θ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋32.因为0<θ<π，所以－π3<θ－π3<2π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.所以当OA 与OB 的夹角为5π6时，四边形OACB 的面积最大，最大面积是1＋32.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 建为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，才能使矩形ABCD 的面积最大？解 画出图形如图所示．设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ， 则S ＝2OA ·AB＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)．当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时点A ，D 距离点O 均为22a .1．已知sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则cos α2等于( )A.45 B ．－45 C ．－31010 D.31010 答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910， ∵0<α2<π4，∴cos α2＝31010.2.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12答案 B解析 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.3．函数y ＝3sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域为________． 答案 [－3,23]解析 函数y ＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， ∴23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－3,23]． 4．求值：sin 235°－12cos10°cos80°＝________. 答案 －1解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋sin2x cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数化简和证明()
三角函数的化简、求值与证明(3)主化锐：当已知角是90 到360内的角时，可利用180,270,360ααα--- 的诱导公式把这个角的三角函数值化为0 到90 内的角.二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=______________.变形式：()()sin sin αβαβ++-=_______()();sin sin αβαβ+--=_______；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=__________________变形式：()()cos cos αβαβ++-=_____________；()()cos cos αβαβ+--=__________；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=___________())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=_________________.【例1】计算：2(sincos )tan()643πππ++-=【例2】已知tan α=sin()cos()()sin()sin()n n n n n αααα+π-π∈+π+-πZ 的值.【例3】函数()cos()sin(),22xx f x x =-+π-∈R . (1)求()f x 的最小正周期有最大值； (2)求)(x f 在[0,)π上的减区间.【例4】若[0,2α∈π]sin co s αα=+，则α的取值范围是（ ） A.(0,)2π B.(,)2ππ C.(,)23ππ D.(,2)23ππ【例5】已知关于x 的方程221)0x x m -++=的两根为s i nc o s θθ、，其中(0,2)θπ∈．（1）求m 的值；（2）求sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值．【例6】已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. (1)求sin cos x x -的值；(2)求sin 22cos21tan x x x++的值.针对性训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A、3 B、3- C 、23 D 、23- 2、函数22y sin x x =- （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π3、tan70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。
下面店铺为你整理了高中数学三角函数教案，希望对你有帮助。
高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
三角函数教案优秀3篇
三角函数教案优秀3篇角函数教学设计篇一教材分析：本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念)，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学#39;相似三角形#39;#39;勾股定理#39;等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
重难点：1.重点：理解认识正弦(sinA)概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
2.难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三角函数式的化简和证明
简单的三角恒等变换——化简与证明学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧.学习过程一、知识清单1.证明了cos()a b -= ®cos()a b += ®cos()2p a -= ，cos()2p a += ®sin()a b += sin()a b -= ®tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ®cos 2a = = = sin()a b += ®sin 2a = tan()a b += ®tan 2a =3.倍角的相对性sin a = ，cos a = ，tan a =4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”.如：降幂扩角公式 2sin a = ；2cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ；1sin a += ；1sin a -= .5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）.二、范例解析题型一 三角函数式的化简和证明1.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2.三角变换的三项基本原则：（1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）；（2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）；（3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）.例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a+-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a-=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简）①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②221tan 2cos 1tan 2a a a -=+③sin 1cos tan21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++-⑤sin sin 2sincos 22q f q f q f +-+=.三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.。
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三角函数的求值、化简与证明
教学目标
1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正
确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；
2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。
教学重点
掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
教学难点
能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值
教学过程
一、知识归纳
1、两角和与差公式：
()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()t a n t a n t a n 1t a n t a n
αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22t a n t a n 21t a n αα
α=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-
公式变形：1sin cos sin 22
ααα=
21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求：
①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值
④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数
4、求值问题的基本类型及方法：
(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的
关系。
（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键
在于变角，使其角相同。
（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。
5、证明三角恒等式的思路和方法：
①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。
②证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用
单位圆三角函数线及判别法等。
二、典例分析：
题型一：三角函数式的化简
例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ∙+∙-∙ 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
解略。
演练反馈：
144x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：原式=12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
2．（全国卷2）22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα
∙=+ （ B ） A.tan α B.tan 2α C.1 D. 12
题型二：三角函数式的求值
例250(13tan10)cos 20)
cos801cos 20+--（金版教程例2 p144）
解：原式 例3：已知3sin 5
α=
，α是第二象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值是（ ） A.-7 B.7 C.34- D. 34 演练反馈：
1．tan15cot15+=（ C ）
A.2
B.2
C.4
D.
2.
cot 20cos103sin10tan702cos40∙+∙-=2
3.y=44cos sin x x -的最小正周期（π ）
3.已知sin 2cos 2+=a,则cos 4=（4a ）
4.已知223sin cos 222
A B A B +-+=，（c o s c o s 0A B ∙≠）求tan tan A B ∙ 的值。
解：12
5．设1cos()29βα-
=-，2sin()23αβ-=,且2παπ<<，02πβ<<，求 c o s ()αβ+ 解：239729- 6.已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1,A B A B =++则
cos()A B +=（2
-）。
7．若sin A B ==，且A,B 均为钝角，求A+B 的值。
解：A+B= 74
π 8.已知cos()0,tan 0,2
θθπ-<>则下列不等式关系式中必定成立的是：（ c ） A 、tan cos 22θθ< B 、tan cos 22θθ> C 、sin cos 22θθ< D 、sin cos 22
θθ< 9、A 、B 、C 是ΔABC 的三个内角，且tan ,tan A B 是方程23510x x -+=的两个实数根，
则ΔABC 是（ 钝角三角形 ）
题型三：三角函数式的证明
例4：证明
1cos sin sin 1cos x x x x
-=+ 证明略
演练反馈： 求证: 1cos cos
sin 21cos sin sin 2
x x x x x x ++=-+ 三、小结
1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.
2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.
(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.
3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：
(1)不含特殊角的三角函数式的求值；
(2)含特殊角的三角函数式的求值；
(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；
(4)给出三角函数式的值求角.
解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.。