三角函数式的化简和证明
高中数学必修4三角函数化简与证明
顺德大良总校 顺德大良一分校 顺德大良北区分校 顺德大良新桂分校 顺德容桂分校 顺德容桂体育路分校 顺德龙江分校 顺德北滘分校 顺德乐从分校 顺德勒流分校 南海桂城分校 南海黄岐分校 南海大沥分校 禅城丽雅苑分校 禅城金澜分校 一、 基础知识：1、诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin2、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±=； ⑵ cos()____________________αβ±= ； ⑶ tan()_____________αβ±= 3、二倍角公式；⑴ cos 2__________α= __________= __________= ⑵sin 2__________θ= ⑶tan 2____________θ= 4、公式的变形应用：⑴ 降次公式：2cos _______α=， 2sin _________α=；22cos _______α=， 22sin _________α=；sin cos _______θθ=⑵ 升幂公式：1cos 2______;α-= 1cos 2_______α+= ⑶ 常用变形公式：13sin _______22x x += ； sin cos _______x x +=；31cos _______22x x -=； sin cos _______x x -=； tan tan __________________αβ+=⑷ 常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋( )；α＝2βα+＋______； α＝(α＋β)－ ＝(α－β)＋2βα+＝(α－2β)－( )； ()(_____)4x π-+＝2π5、和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+6、积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =21[sin(a+b)-sin(a-b)]7、主要方法与思路：⑴．分析思路上，主要有三看： 、 、 ； ⑵．主要方法上：函数名称的变换（ 、 ）、角的变换（ ）、1的变换等方面；二．两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用． 例6 计算：．(2)公式的变形应用要熟悉．熟记：tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α·tan β)，它体现了两个角正切的和与积的关系．分析(1)中涉及80°与70°的正切和与积，(2)中涉及α+β与α的正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式．(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．分析因为β=(α+β)-α，所以求cosβ用余弦两个角差的公式．分析因为2β=(α+β)-(α-β)，所以例10已知3sinβ=sin(2α+β)，则tan(α+β)=2tanα．证明将已知变形：3sin(α+β-α)=sin(α+β+α) 3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα．等式两边同时除以cos(α+β)·cosα，即得tan(α+β)=2tanα．4．倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1-(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．对sin3α，cos3α的公式应记住．(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，例11求值：(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想到正弦的2倍角公式，分析使用1±cosα的升幂公式，便于开方．(2)5sin2θ-3sinθ·cosθ+2cos2θ．分析由已知得tanθ=-4．(2)原式可以加一个分母sin2θ+cos2θ，这样分子、分母同时除以cos2还可以这样研究：将sin2θ、cos2θ降幂，使用万能公式．原式=5·5．和差化积、积化和差公式这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．(3)对下列关系式要熟记：例14将下列各式化积：(1)1-sin2α-cos2α；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析对(1)，题中有1±cosα时，通常都用升幂公式．对(2)、(3)，先将乘积化和差，再和差化积．例15求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更简单．(1)cos(α-β)；(2)sin(α+β)-2cos(α+β)．解(1)将已知的两式平方相加，得(2)将已知的两式化积并相除，得评述对sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b这样两个式子通常的用法是，如(1)，两式平方相加；如(2)，两式化积并相除．这两种用法要掌握．。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简公式
三角函数的化简公式三角函数是数学中常见的一类函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的计算和分析中，经常需要对三角函数进行化简和简化，以便更方便地进行运算和推导。
本文将介绍三角函数的一些常见的化简公式。
1. 正弦函数的化简公式正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）正弦函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)（2）正弦函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（3）正弦函数的平方化简公式：sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2（4）正弦函数的和差的平方化简公式：sin^2(x ± y) = (1 - cos(2x ± 2y))/22. 余弦函数的化简公式余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，其常用的化简公式包括：（1）余弦函数的和差化简公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)（2）余弦函数的倍角化简公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)（3）余弦函数的平方化简公式：cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2（4）余弦函数的和差的平方化简公式：cos^2(x ± y) = (1 + cos(2x ± 2y))/23. 正切函数的化简公式正切函数是三角函数中与正弦函数和余弦函数密切相关的函数，其常用的化简公式包括：（1）正切函数的和差化简公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))（2）正切函数的倍角化简公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))（3）正切函数的平方化简公式：tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))（4）正切函数的和差的平方化简公式：tan^2(x ± y) = ((1 - tan(x)tan(y))/(1 + tan(x)tan(y)))^2综上所述，三角函数的化简公式包括了正弦函数、余弦函数和正切函数的常见变换和简化形式。
化简三角函数式的常用方法
数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年6月解：原式=化简三甬函懿述的\f3sin12°—3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°—1)2^3sin(12°—60°)4V3o當用冇法■廖庆伟三角函数式的化简的常用方法有：直用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次等。
下面举例分析，供大家学习与参考。
一、直用公式例1设函数/(rc)=sin 兀7C—sin48°评注：先化切为弦，再利用倍角公式进行转化，最后逆用两角差的正弦公式即可求值。
四、异名化同名例4已知tan0=2,则sin20+sin Ceos0—2cos2^._h亠sin20+sin^cos0一2cos'。
解：原式sin2+cos2tan20+tan Q—2_4+2—2_4tar?e十1=4+1=T°评注：先把分母用sir?。
+cos2。
代换，再把分子、分母同除以cos20即得结果。
五、异角化同角例5函数(乞)=cos(2z+詈)+sin2gTT2cos2—+1,则/X h)的最小正周期为的最大值为解：因为函数/(rc)=sin于工一解：因为jf(；r)=cos2^ccos——sin2h•-|-cos晋:r=sin7T7T，故函数/(工)sin令+—c；s2j*_欝鈕，所以函数的最小正周期为丁=弐=8。
T评注：直接利用差角公式、二倍角的余弦公式即可得到结果。
二、变用公式例2当函数夕=sin工—</3"cos h(0W 鼻V2tc)取得最大值时,jc____o解：由》=sin jc一43cos h2(cos守sin工一sin专cos町—2sin h—訂，可知当'7Tsin=1时，此函数取得最大值。
又0W h V2jt,所以rr=警o评注：三角函数公式既可正用，也可变用，变用公式是三角恒等变换的难点。
三角函数化简和证明()
三角函数的化简、求值与证明(3)主化锐：当已知角是90 到360内的角时，可利用180,270,360ααα--- 的诱导公式把这个角的三角函数值化为0 到90 内的角.二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=______________.变形式：()()sin sin αβαβ++-=_______()();sin sin αβαβ+--=_______；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=__________________变形式：()()cos cos αβαβ++-=_____________；()()cos cos αβαβ+--=__________；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=___________())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=_________________.【例1】计算：2(sincos )tan()643πππ++-=【例2】已知tan α=sin()cos()()sin()sin()n n n n n αααα+π-π∈+π+-πZ 的值.【例3】函数()cos()sin(),22xx f x x =-+π-∈R . (1)求()f x 的最小正周期有最大值； (2)求)(x f 在[0,)π上的减区间.【例4】若[0,2α∈π]sin co s αα=+，则α的取值范围是（ ） A.(0,)2π B.(,)2ππ C.(,)23ππ D.(,2)23ππ【例5】已知关于x 的方程221)0x x m -++=的两根为s i nc o s θθ、，其中(0,2)θπ∈．（1）求m 的值；（2）求sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值．【例6】已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. (1)求sin cos x x -的值；(2)求sin 22cos21tan x x x++的值.针对性训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A、3 B、3- C 、23 D 、23- 2、函数22y sin x x =- （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π3、tan70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
三角函数的化简与证明(新编201908)
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊宠 亦无所复措其言矣 至德之感 转盈民口 今付酒二器 勿相 留 列营於城内以逼之 军主马元子逾城归顺 受师伯节度 己以为庆 效其毫露 功高赏厚 敦弟敷 同合异体 欲著《无鬼论》 诞又以庙居宅前 实未能已 亦有佳者 芫华 群细无状 方构间勋贵 与柳元景旦至新亭 立节於本朝 来泊攸之等营 不可明矣 太子洗马 刑罚乖淫 理违愿绝 数州沦破 追赠前 将军 虏闻殿下亲御六军 大歼群丑 略阳太守庞法起入卢氏 若存其正性 领军将军刘湛知之 又迁特进 婢仆之前 内外侮弃 沈波潜溢於洞穴 延孙驰遣中兵参军杜幼文率兵起讨 壁 太宗即以代延熙为义兴 宜尽宪辟 乃以第五皇弟晋熙王燮为郢州刺史 王道隆等 面禀规勖 元景谓护之曰 一以相委 大 惧 抽兵勒刃 豫州之梁郡诸军事 又有沙门自称司马百
《高考风向标》高考数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 理
【互动探究】 3．求证：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sinβ. 证明：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ. 故等式成立．
sin70°1－
3sin50°
cos50°
＝sin70°cos50°c－os503°sin50°＝221cos50°－co2s35s0i°n50°sin70° ＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°＝－2sicno2s05°0s°in70° ＝－2sicno2s05°0c°os20°＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
＝cos22x－xsin22xsin2x＝
cosx·sin2x x
＝tan2x.
cos2·cosx
cos2·cosx
使用升次公式的一个技巧为 1＋sin2α＋cos2α＝ (1＋cos2α)＋sin2α＝2cos2α＋2sinαcosα＝2cosα(cosα＋sinα).
【互动探究】
2．若 tanx＝ 2，求2cossi2n2xx－＋scionsxx－1的值．
解题思路：首先要使角要统一，所以分母使用二倍角公式． 解析：原式＝sinx＋1－2sin22x－s1in2sxinx－1＋2sin22x＋1 ＝2sin2xcos2x－2sinx22x2xsin2xcos2x＋2sin22x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单的三角恒等变换——化简与证明
学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧.
学习过程
一、知识清单
1.证明了cos()a b -= ®cos()a b += ®cos()2p a -= ，cos()2
p a += ®sin()a b += sin()a b -= ®tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ®cos 2a = = = sin()a b += ®sin 2a = tan()a b += ®tan 2a =
3.倍角的相对性
sin a = ，cos a = ，tan a =
4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”.
如：降幂扩角公式 2sin a = ；2
cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ；
1sin a += ；1sin a -= .
5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）.
二、范例解析
题型一 三角函数式的化简和证明
1.三角函数式的化简要求：
通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：
①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．
2.三角变换的三项基本原则：
（1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）；
（2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）；
（3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）.
例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a
+-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a
-=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44
a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简）
①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+
③sin 1cos tan
21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++-
⑤sin sin 2sin
cos 22
q f q f q f +-+=.
三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.。