lang代数Part one习题解答
近世代数课后习题详细答案5
近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1. 证明：F(S)的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.证一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为 a 1) 若a,b ^送则一定有a ^…^n)b FCh’ z —m)易 知 a-b FC'1^'2^ - n, -l/：2^' , -m 但 F(「1,〉2,n, L 2…，F) V从而 b-a ，、2) 若 a,b V ,且 b = 0 则 —b ・ FCJ ：2,…,'-m)从而有 abdFC-1^-2^ : n, -1, -2/' , F) 72单扩域1.令E 是域F 的一个扩域，而 a • F 证明a 是F 上的一个代数元，并且F(a) =F证 因a-a=0故a 是F 上的代数元.其次，因a ，F ,故F(a) F 易见 F(a)二 F ，从而 F (a)二 F2i +1 2 •令F 是有理数域•复数i 和2—1在F 上的极小多项式各是什么?3 .详细证明，定理3中 a 在域F 上的极小多项式是 p(x)证 令山是F(x)中的所有适合条件 f(a)=0的多项式作成f (x)的集合.1)-k 是F(x)的一个理想(i )若 f(x),g(x)：h 则 f (a) =0, g(a) =0因而 f (a) -g(a) = 0 故 f (x) -g(x)山 ii )若f (x) •山，h(x)是F(x)的任一元 那么 h(a)f(a) =0 则 h(x)f (x)山2) 是一个主理想设 p (x)是山中a !的极小多项式2i +1 i 一1F(i)与F( )是否同构？i — 1 1,在F 上的极小多项式为x 2 - x • 52i +1 2因F(i) =F( ) 故这两个域是同构的.i T 2i 1i -1那么，对山中任一f(X)有f (x) =P i(x)q(x) r(x)这里r(x) =0或r(x)的次数但f(a)二P i(a)q(a) R(x)因f(a) = 0, p i(a) =0 所以r(a) = 0若r(x)=0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.故有f(x) = p1 (x)q(x)因而=(p1(x)(3)因p(a)=0 故p(x) ■-R(x)| p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)=a»(x)又p(x), p i(x)的最高系数皆为1那么a =1 这样就是p(x) = R (x)4.证明：定理3中的F(a) = K证设f • K,,则在定理3的证明中，K = K'之下有.n nf a n x - a n」x 川…川-a但 a—；x, a i Q 故必f ^a n：n ' a n/n」a。
线性代数(杨凤藻)课后习题1-6章节解答
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3 5 2 2.设 D 1 1 0 , Aij 为 D 中 aij 的代数余子式, 1 3 1
(1) A11 A12 (2) A11 A12 A13 (3) 3 A11 5 A12 2 A13
1 0 1 0 (1)12 1 1 0 3 1 1 1 1 0 1 0 1 1 (2) A11 A12 A13 (1)11 (1)1 2 (1)13 1 1 4 4 3 1 1 1 1 3 1 0 1 0 1 1 (3) 3 A11 5 A12 2 A13 3 (1)11 5 (1)12 2 (1)13 3 1 1 1 1 3
2 1 1 1 2 1 1 4 2 1 1 6 3 2 (2) 201 102 99 98 5 4 197 1 2 1 2 5 4 3 1 6 3 2 0 5 1 (1) 5 4 197 0 5 4 3 0
6 3 2 6 3 1800 = 5 4 197 200 5 4 0 0 200
有无非零解. 解:齐次线性方程组的系数行列式为:
1 3 2 1 3 2 1 3 2 A 2 1 3 0 7 1 0 7 1 42 0 3 2 1 0 7 7 0 0 6
而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式不等于零 . 则该齐次线性方程组没有非零解. 7. 设齐次线性方程组
2a13 2a33 2a23
;
2a13 a11 a12 3 2a33 (2) a31 a32 2a23 a21 a22
a13 a11 a12 a33 (8)(1) a21 a22 a23 a31 a32
a13 a23 8 2 16 a33
1 a1 1 1 (2) 三阶行列式 1 1 a2 1 1 1 1 a3
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
作业
• A 9（2）， 10（2），13，14 • B 3，5
注意：
（1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
一、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1,2 , ,r，满足 （1）向量组A0 :1, 2 , , r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组
(a1 , ,ar ) (b1 , ,br )K r 1 , 即A0组能由B0组线性表示. 从而A组能由B组线性表示 .
证二 设向量组A和B的秩都为 r. 因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此 ( A, B)组的秩也为r.
因B组能由A组线性表示，故B0组能由A0组线性 表示，即有r阶方阵K r使
(b1 , ,br ) (a1 , ,ar )K r
因B0组线性无关，故R(b1 , ,br ) r.
根据定理2推论2，有 R(K r ) R(b1 , ,br ) r
但R(K r ) r，因此R(K r ) r. 于是矩阵K r 可逆，并有
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
代数学引论近世代数第一章答案精品
代数学引论近世代数第一章答案精品第一章代数基本概念习题解答与提示(P54)1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,b G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.证明: [方法1]对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群.[方法2]对任意a,b G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3. 设G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac 推出a=c; (3) 由ac=bc 推出a=b;证明G 在该乘法下成一群. 证明:[方法1]设G={a 1,a 2,…,a n },k 是1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有a k a i a k a j ------------<1> a i a k a j a k ------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a 1,a 2,…,a n }={a k a 1, a k a 2,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2,…,a n }={a 1a k , a 2a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得a k a m =a t .由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得a s a k =a t .由下一题的结论可知G 在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
近世代数参考答案
近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。
（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。
（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。
（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。
（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。
（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。
( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。
（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。
（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。
（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。
（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。
( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。
( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。
（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。
解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。
近世代数习题答案
近世代数习题答案近世代数习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对概念和定理的理解，提高解决问题的能力。
本文将给出一些近世代数习题的答案，并对其中的一些重要思想进行解析。
1. 习题：证明群的单位元是唯一的。
解答：设G是一个群，e和e'都是G的单位元。
根据单位元的定义，对于任意的元素g∈G，有eg=g=ge'。
将e'代入上式，得到e=ge'。
同理，将e代入上式，得到e'=ge。
由此可知，e=e'，即群的单位元是唯一的。
思考：这个习题通过对单位元的性质进行推理，展示了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要运用代数运算的基本法则，如等式的传递性和对称性等。
2. 习题：证明群的逆元是唯一的。
解答：设G是一个群，g∈G，且g有两个逆元g'和g''。
根据逆元的定义，有gg'=e和gg''=e。
将第一个等式两边都乘以g''，得到gg'g''=eg''=g''。
将第二个等式两边都乘以g'，得到gg'g''=g'。
由此可知，g''=g'。
即群的逆元是唯一的。
思考：这个习题通过对逆元的性质进行推理，进一步巩固了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要灵活运用等式的乘法和消去律，以及群运算的定义。
3. 习题：证明交换群的幂运算满足指数相加的性质。
解答：设G是一个交换群，a∈G，m和n是任意的整数。
我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。
当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。
当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。
根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。
线性代数_课后习题答案_邹庭荣_李仁所_张洪谦
习题11-1．计算下列行列式解一 由三阶行列式定义得713501163 3076531111033516170901*******.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=++---=解二 233112336110510510536*******317018r r r r r r --↔==--23325105105018018340560034r r r r ↔-=-=-=-.（2）解 213241120112011201135001510151015601560007123400330033r r r r r r -----==34120101512100330007r r ↔-==.（3）dc b a 100110011001---.解3423121000111010101101010101r cr r br r ar aa ab abcd b b bcd ccd dd++++--+=--+--2111(1)(1)101101011a ab abcd a ab abcd cd cd dd+++=-⨯--+=-+--1221011101(1)(1)1011.r r a ab cd abcda ab cd abcdcd ddab ad cd abcd ++++++++=-+=-⨯---=++++ （4）2010411063143211111.解43433232211111111111111234012301231361001360013141020014100014r r r r r r r r r r -----==4311110123100130001r r -==.（5）49362516362516925169416941.解43433232211491614916149164916253579357909162536579112222162536497911132222r r r r r r r r r r -----===.（6）222111ab c a b c . 解 222111()()()ab c c b c a b a a b c =---. 1-2．计算行列式a b c d b a d c c d a b d c b a .解12341111()r r r r ab c d b a d c b a d c a b c d c d a b c d a bdcb a dcba+++=+++413221100()c c c c c c b a bd a c b a b c d c d c a d b c dc db ca d------=+++------()a b d ac b a b cd d c a db c c db c a d---=+++------ 3221()000r r r r a b d a c b a b c d a b c da b c da b c d++---=+++--++--+--21()()(1)d a c b a b c d a b c d a b c da b c d+--=+++--+-+--+--[]()()()()()()()()().a b c d a b c d a b c d d a c b a b c d a b c d a b c d a b c d =-+++--++-----=+++--++---+-1-3．计算n 阶行列式（1）n ΛM O M M M ΛΛΛ321332122211111. 解 1122111111111122201111123300111230001n n n n r r r r r r n------==L L L L L LL M M M O M M M M O M LL. （2）14321432113213121321nn nn n n n n ΛΛM M OM M M ΛΛΛ---.解12123112312131113123111311(1)22341134123411341n c c c n n n n n nn n n n n nn n n n n n+++------+=L L L L LL LM M M OM M M M M O M M L L L L213111231010001200(1)20112001111n r r r r r r n n n n n n------+=--L L LL M M M O M M LL. 11000120(1)113021111(1)!(1).2n n n nn ---+=--+=-L LLM M M OM L（3）21111121111211112ΛΛΛΛΛΛΛΛ------． 解 21111111112111021111211012111111210112n D +--+==---+-----+--L L L L LLL L L L L L L L L L, 按第一列展开成两个行列式得111111111211021111210121111112112n D -=+--------L L L L LLL L L L L L L L LL213111121221221111032200320003333333n nr r r r r r n n n n n n n n D D D D +++--------=+=+=++=++++L L L LM M M O M LL12212221333333512n n n n ----=++++=++++-L L12213313333111132n n n n ---+=++++++=+=-L .1-4． 证明：（1）322)(11122b a b b a ab ab a -=+.证 322122222()()222()2111111100c c c c a ab b a a b a b b a a a ba ab b ab a b a b a a ----=+=--=-左32222(321)3()210()(1)()100()c c a a b ab a a b a b a a b τ--⎡⎤=-=---⎣⎦=-=右.（2）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.证11111111111111112222222222222222b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b ++++++++++=++++++++++++左=1111111122222222b c a ac a a b b c a a c a a b b c a a c a a b ++=+++++111111222222b c a c a b b c a c a b b c a c a b =+ 1112222a b ca b c a b c ==右. （3）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++. 证 1323123233122312323312231232331223c lc c mc a ka la a ma a a ka a a b kb lb b mb b b kb b b c kc lc c mc c c kc c c --+++++++=+++++左= 12123123123c kc a a a b b b c c c -==右. （4）222244441111a b c d abcda b c d()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.证 243322122224444222222222111111110=()()()0()()()r a r r ar r ar a b c d b a c a d a abcdb b ac c ad d a a b c d b b a c c a d d a ------=------左222222222()()()()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---=------222111()()()()()()b ac ad a bcdb b ac c ad d a =---+++21222111()()()()()()r ar b a c a d a b ac ad ab b ac c ad d a +=---++++++23121()2222111()()()00()()()()r b r r b a r b a c a d a c bd bc b c ad b d a --+=------+-+2222()()()()()()()c bd bb ac ad a c b c a d b d a --=----+-+[]222211()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(b a c a d a c b d b c b c a d b d a b a c a d a c b d b d b d a c b c a b a c a d a c b d b d ad bd ab c ac bc ab b a c a d a c b d b d ad bd c ac bc b a =-----++++=-----++-++⎡⎤=-----+++----⎣⎦⎡⎤=-----++---⎣⎦=-)()()()()()()c a d a c b d b d c a b c d -----+++=右.1-5．计算行列式x yy x y x y x 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ. 解 记00000000000n xyxy D x y yx=L L L LL L L L L L, 当1n =时，1D x =; 当2n ≥时，按第1列展开得000000000000000000n x y x y x y x y D xx yxyx==L L L LL LL L L L M M OM L LL100000(1)00000n yx y y y x y++-L L M M O M M L L1(1)n n n x y +=+-. 1-6．计算4阶行列式（1）2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a . 解21314122222222222222222222(1)(2)(3)212223(1)(2)(3)212223(1)(2)(3)212223(1)(2)(3)212223c c c c c c a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c cd d d d d d d d ---++++++++++++=++++++++++++4332222221112111021112111c c c c a a b b c cd d --++==++.（2）1122334400000000a b a b b a b a . 解11222222111413313333444400000(1)0(1)000a b a b a b a b a b a b b a b a a b b a ++=-+-2222333114143333(1)(1)a b a b a a b b b a b a ++=⨯--⨯-()()142323142323a a a a b b bb a a b b =---14142323()()a a b b a a b b =--. 1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211， 试用∆表示行列式n nn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ的值． 解 112212122211121313232122211121211121(1)(1)n n n n r r n r r n n r r nn n n n nn n n nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---↔↔↔--=-=-∆L L L L L L LL L L L L L L L LL. 1-8．证明：n n n n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ212)1(21)1(000--=.证1(1)2((1)21)212120000(1)(1)0n n n n n n n a a a a a a a a a τ--=-=-L L LL L L L L L L.1-9. 利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x . 解 方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，由克莱姆法则知，方程组有惟一解. 进一步计算，有1815193068152120476D ---==---，2285119061080512176D --==----，321811396270252146D --==--，4215813092702151470D --==---,方程组的解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=.1-10. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩ 解 方程组的系数行列式211(1)(1)1D λλλλλ==-=+-,当1λ=或1λ=-时，0D =，方程组可能有非零解．补充题B1-1．计算行列式1111321321121121n n n a a a a x a a a a a x a a a a x ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ--. 解 12112111231231111n n n n x a a a a x a a D a a a x a a a a --+=L L L L LL L L L L111221111223123123110100()000101n n n n n n n c a c c a c n n nc a c i i n x a a a a a a a a a a a x a x a x a x a +++-----=--------==--∏L LL L L LM M M O M L L L.B1-2．计算行列式nn n nn a a a b a a a b a a a b a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---22222111111111. 解 111111222221111n n nn n na a ab a D a a b a a a b a a a +-=--L L L L L L L L L21132111121111000000000n n r a r r a r r a r nb b b +----=--L LL L L L L L L L L (3)((1)21)21212(1)1()()()(1)n n n n n n b b b b b b τ++=----=-L L L L .B1-3．计算行列式x a a a a a x a a a a a nn ΛΛΛΛΛΛΛΛ21020210. 解 012021012n n n a a a a a xa a D a a a x +=L LL L L L L L213111012101000()0n r r r r n nr r i i na a a a x a a x a x a +---=-==--∏L L L L L L L O L L.B1-4．计算行列式222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2αααβββγγγ. 解 12222222222sin cos cos 21cos cos 2sin cos cos 21cos cos 2sin cos cos 21cos cos 2c c αααααβββββγγγγγ+= 3222221cos 11cos 101cos 1c c αβγ--=-=-. B1-5．计算行列式2111121111211112n D -=-----L L LL L L L L L. 解 见1-3（3）. B1-6．证明：)1(0010010011111021210∑=-=ni in n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,120n a a a ≠L （）.证 001121221111111001100=10010101001001n n n a a a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L LL左 12101112212011000110010101011().n ni ir r r nnnn i ia a a a a a a a a a a a a +=---=-==-∑∑L L L L L L L L L L LLB1-7．证明：1211012100001000010001-----+++=---n n n n n a x a x a x a x a x a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ. 证 01211000100=001000n n n a a x D a x a x----=-L L LL L L L L L L左,按第n 列展开得 1111010(1)01n n n n x D a xD +----=-+-L L M M O M L111111121122122(1)(1)(),n n n n n n n n n n n n n n n n a xD a xD a x a xD a xa x D a xa x a x D +-----------=--+=+=++=++=++++L L LL L又020111a D xa a a x-==+，所以有 211210=n n n n n n D a xa x a x a x a ---=+++++=L L 左右.习题22-1．设T )6,3,1(=α，T )5,1,2(=β，T)3,3,4(-=γ，求： （1）732αβγ--； （2）23αβγ-+．解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)TTTTαβγ--=---=-. 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)TTTTαβγ-+=-+-=. 2-2．设(1,1,1,1)Tα=--，(1,2,2,1)Tβ=, （1）将βα,化为单位向量； （2）向量βα,是否正交.解（1）T )1,1,1,1(211--=αα,T )1,2,2,1(1011=ββ. 解（2） 由于(,)0αβ=,所以向量βα,正交.2-3．计算： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛390201062317423； （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101211153212121132.解（1） 247610200213132093303⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解（2） 311111173221252106341231013411---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-4．计算下列乘积：（1）解 43173512328570149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）解 311111621212211611123101814--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）1111212212221200000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L L L L L L LL.解 11112122122212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L LL L L L L L L L L L L L111112112212222212n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d ad a d a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L. （4）11121121222212000000n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L L L L L L L L . 解 11121121222212000000n n m m mn n a a a d a a a d aa a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L L L L L L LL111122121122221122n n n n m m mn n a d a d a d a d a d a d a d a d a d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L. （5）111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解 111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++2-5．已知)2,0,1,1(=A ，(4,1,2,1)T B =-,求AB 和T T B A ．解 )5(=AB .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2428000012141214T T B A .2-6．如果)(21E B A +=，证明A A =2当且仅当E B =2时成立． 证 必要性. 已知)(21E B A +=,且A A =2,有211()()22B E B E ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦, 即()2112()42B B E B E ++=+, 化简得 2B E =.充分性. 由)(21E B A +=得 2B A E =-,又 E B =2,代入得2(2)A E E -=,化简得 2A A =.证毕.2-7．设2TA E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量．证明对任意一个n 维列向量β，都有ββ=A ．证 因2T A E αα=-,故对任意一个n 维列向量β有,2T A ββααβ=-, 从而有()()2,2,2T T A A A ββββααββααβ==--()()22TTTβααββααβ=--()()2224444,T T T T T T T T T T T T T T T T ββααβααββββααββααααββββααββααββββ=--=-+=-+==故有ββ=A ，证毕.2-8．对于任意的方阵A ，证明：（1）TA A +是对称矩阵，TA A -是反对称矩阵； （2）A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和． 证（1） 由()()TTT T T T T A A A AA A A A +=+=+=+,所以T A A +是对称矩阵；()()()TTT T T T T A A A A A A A A -=-=-=--,所以T A A -是反对称矩阵.证（2） ()()1122TT A A A A A =++-. 2-9．证明：如果B A ,都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 是可交换的．证 必要性. 因,TTA AB B ==，且()TAB AB =,有()TT T AB B A BA AB ===,所以A 与B 是可交换的.充分性. 由,TTA AB B ==，及AB BA =，得()TT T AB B A BA AB ===，所以AB 是对称矩阵.2-10．设A 是一个n 阶对称矩阵，B 是一个反对称矩阵，证明BA AB +是一个反对称矩阵．证 由,TTA AB B ==-，得()()()TT TT T T T AB BA AB BA B A A B +=+=+()()()B A A B BA AB =-+-=-+，所以BA AB +是一个反对称矩阵．2-11．设n αα,,1Λ是n 个线性无关的向量，n n n k k k αααα+++=+Λ22111，其中12,,,n k k k L 全不为零．证明121,,,+n αααΛ中任意n 个向量线性无关．证 从向量组121,,,+n αααΛ中任取n 个向量12111,,,,,,i i n ααααα-++L L ，设有一组常数,1,,1,1,,1j l j i i n =-++L L 使得11111111i i i i n n l l l l O αααα--+++++++++=L L （*）当1i n =+时，n αα,,1Λ线性无关，结论成立；当1i n ≠+时，将n n n k k k αααα+++=+Λ22111代入（*）式得()11111111122,i i i i n n n l l l l k k k O αααααα--+++++++++++=L L L整理得1111111111111()()()n i n i i n i i i n i i l l k l l k l k l l k αααα+-+--+++++++++++++L L1()n n n n l l k O α+++=,由于n αα,,1Λ是n 个线性无关的向量，所以1111111111111111111111000000n n i n i i n i n i n i i n i i n i n n n n n nl l k l l k l l k l l k l k l k l l k l l kl l k l l k ++-+--+-+++++++++++==-⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎩⎩L L L L L L ， 由于12,,,n k k k L 全不为零，所以0,1,,1,1,,1j l j i i n ==-++L L ，则向量组12111,,,,,,i i n ααααα-++L L 线性无关，故121,,,+n αααΛ中任意n 个向量线性无关．2-12．设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关， （1）1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论或举出反例． （2）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1） 1α能由32,αα线性表示. 因321,,ααα线性相关，必有一组不全为零的常数123,,k k k ，使得112233k k k O ααα++=，下面只要证明10k ≠即可.若10k =，则23,k k 不全为0，于是有2233k k O αα+=，即23,αα线性相关；又由432,,ααα线性无关，所以其部分组32,αα必线性无关，得出矛盾，从而各10k ≠，即1α能由32,αα线性表示.解（2） 4α不能由321,,ααα线性表示. 如，1(1,0,0)T α=2,(1,0,0)Tα=，3(0,1,0)T α=，4(0,0,1)T α=，显然，321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，但是4α不能由321,,ααα线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7931181332111511. 解 2131413115111511123027431810274139704148r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 324221151027400000000r r r r ----⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为2. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110解 140111211011022200222001111011111101101112r r ↔--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 232421211011011100020100202r r r r r +--⎛⎫ ⎪--⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭4311011011100020100003r r +-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭， 所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）TT T )6,3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα；解 用所给的3个向量作为列构造矩阵()123111,,123136A ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()31221123111111,,123012136002r r r r r A B ααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩3，所以向量组线性无关.（2）TT T )14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(321==-=ααα解 用所给的3个向量作为列构造矩阵()12313130,,2174214A ααα⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()4321312212313103130033,,2170114214000r r r r r r A ααα-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==−−−→⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23233103011000000r r r r B -↔⎛⎫⎪⎪−−−→= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 矩阵B 的秩2，所以向量组线性相关，其中12,αα是其极大无关组，3123ααα=+.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1.解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭M 21314111111000002211000202101002201001r r r r r r ---⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪⎪---⎝⎭43234311111000020210100022110000041111r r r r r r -↔-⎛⎫⎪--- ⎪−−−→⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭4331412121111100001011201200011121200000114141414r r r --⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭342414111034141414010014141414001014141414000114141414r r r r r r ---⎛-⎫⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭ 123100014141414010014141414001014141414000114141414r r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪-- ⎪⎪--⎝⎭, 因此 1111111111111141111A -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100121001120021解 ()12001000211001000121001000120001A E ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭M 21212001000031021000121001000120001r r -⎛⎫⎪--⎪−−−→ ⎪⎪⎪⎝⎭233234312001000012100100012000100732130r r r r r r ↔+↔⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭4347(111)12001001210010001200010001211111311711r r r --⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭ 342421200100120211111141171100104112116113110001211111311711r r r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭2312221200111611411211010061131121111100104112116113110001211111311711r r r r --⎛--⎫⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭,因此 11642632114263112137A ---⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭.2-16．求解矩阵方程： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛63354321X解 记矩阵方程为AX B =,其中1253,3436A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于122034A ==-≠，所以A 可逆，故1X A B -=. 构造()211223(12)12531070343601632r r r r r A B -+⨯-⎛⎫⎛-⎫=−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M ,所以 170632X A B --⎛⎫== ⎪-⎝⎭.（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012112X . 解 记矩阵方程为XA B =,其中211113210,432111125A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,由于30A =≠，所以A 可逆，故1X BA -=.()12133(1)211100111001|210010210010111001001110r r r r r A E -↔-⎛-⎫⎛-⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭13212122(13)10013013010212001110r r r r r r r --⨯+⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭,因此 1130132123110A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，从而有111313013221432231238352125110103353X BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-17．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=012423321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=87107210031B ,试用初等行变换求B A 1-．解 依据()()1A B E A B -−−−−→M M 初等行变换可得()21123130123130324102720195721010782101078r r A B -⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M3213121212232322(1)2(1)(1)122887100645201957201957011121011121100645100645011121010212,001333001333r r r r r r r r r r r r r r r -+-----↔-⎛-----⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3332125461B A .2-18．用分块法求AB ：（1）1000103201001201,1210104111011100A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 解 100010321032010012011201=121010412411110111001133AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）230010121020001322,.1051140001102020000030A B -⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪⎪==- ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭解 23001012151230200013225091105114000250011020200004000030AB -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1400520000120013. 解 1231003100210021000025002500410041A O A OA ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因111112311125151,,2123414218A A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11100230000118518002919A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001000100000cos sin 000sin cos a b a θθθθ.解 cos sin 000cos sin 000sin cos 000sin cos 00000100100010001000010001A a b a b a a θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12A O O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因 111cos sin cos sin sin cos sin cos A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫==⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 1212110101001001a b a a b A a a --⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos sin 000sin cos 00000100010001A a a b a θθθθ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.2-20．把下列向量组正交化：（1）1(1,1,1)T α=，2(1,2,3)T α=，3(1,4,9)Tα=.解 用施密特正交化方法得11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，2122111111(,)6210(,)3311αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3132331211221111(,)(,)14814102(,)(,)3239111αβαββαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．（2）()11,0,1,1Tα=-，()21,1,0,1Tα=-，()31,1,1,0Tα=-． 解 用施密特正交化方法得111011βα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭， 2122111111103(,)21012(,)33111αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211111033(,)(,)2211123(,)(,)31550114αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．2-21．已知()()121,0,1,0,0,1,1,1T Tαα==--，()31,1,1,1Tα=，()40,1,0,1Tα=-，（1）求1α与2α的夹角；（2）求123423αααα-+-；（3）求一个与1234,,,αααα等价的标准正交向量组．解 （1）因为α==，β==(,)100(1)110(1)1αβ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=，所以(,)arccosarccos 6αβθαβ===.（2）因123423αααα-+-()()()()()21,0,1,00,1,1,11,1,1,130,1,0,13,1,2,5T T T T T=---+--=-，所以 123423αααα-+-==（3）先将向量组1234,,,αααα正交化111010βα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，2122111011102(,)11111(,)22102αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211121021(,)(,)2211112(,)(,)2551021αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββαβββββββββ=---，01120102110000112010211--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则1234,,,ββββ是正交向量组.再将1234,,,ββββ单位化11110110γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，22212112γββ-⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭，33321121γββ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，44401101γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪-⎝⎭，则1234,,,γγγγ即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)次数等于(1)n n ≥的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算； (2)n 阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的n 阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解 （1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性. （2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性. （4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在n 维线性空间nR 中，分量满足下列条件的全体向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x M 21α能否构成nR 的子空间？(1)120n x x x +++=L ；(2)121n x x x +++=L ．解（1） 设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M ，且满足120,n x x x +++=L 120n y y y +++=L ；又11112222n n n n x y x y x y x y x y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M ，满足()()1122x y x y ++++L ， ()0n n x y ++=，而12,,n kx kxk R k kx α⎛⎫ ⎪ ⎪∀∈= ⎪ ⎪⎝⎭M 满足120,n kx kx kx +++=L 故此条件下能构成nR 的子空间.解（2） 设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M ，且满足121,n x x x +++=L121n y y y +++=L ，而 11112222n n n n x y x y x y x y x y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M ，有()()1122x y x y ++++L ， ()21n n x y ++=≠，故此条件下不能构成n R 的子空间.2-24*．假设,,αβγ是线性空间V 中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成V 的子空间．这个子空间叫做由,,αβγ生成的子空间，记做(),,L αβγ．证 设有两组系数123123,,,,k k k l l l 与构成,,αβγ的两个线性组合，分别为1123k k k δαβγ=++，2123l l l δαβγ=++，且12,L δδ∈,其中L 是线性空间V 的非空子集；（i ）()()()12112233k l k l k l L δδαβγ+=+++++∈；（ii ）k 是任意数，有1k L δ∈，故L 构成V 的子空间.2-25*．设12,,,s αααL 和12,,,t βββL 是线性空间n V 的两组向量，证明生成子空间12(,,,)s L αααL 和12(,,,)t L βββL 相等的充分必要条件是12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价．证 必要性.已知12(,,,)s L ααα=L 12(,,,)t L βββL ，则必有12(,,,)s L αααL 是12(,,,)t L βββL 的子空间，12,,,s αααL 可由12,,,t βββL 线性表示，同时12(,,,)t L βββL 是12(,,,)s L αααL 的子空间，从而12,,,t βββL 可由12,,,sαααL 线性表示，故12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价.充分性.已知12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价，则12,,,s αααL 可由12,,,t βββL 线性表示，有12(,,,)s L αααL 是12(,,,)t L βββL 的子空间，同时12,,,t βββL 可由12,,,s αααL 线性表示，从而12(,,,)t L βββL 是12(,,,)s L αααL 的子空间， 故12(,,,)s L αααL 和12(,,,)t L βββL 相等.2-26*．试证在4R 中，由(1,1,0,0)T，(1,0,1,1)T生成的子空间与由(2,1,3,3)T-，(0,1,1,1)T --生成的子空间相等．证 记1(1,1,0,0)Tα=，2(1,0,1,1)T α=，1(2,1,3,3)T β=-，2(0,1,1,1)T β=-- 的两个生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ,由于1122123,βααβαα=-+=-且()()112212113,22αββαββ=+=+，所以向量组12,αα和12,ββ等价，故生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ相等.2-27*．在3R 中，求向量(3,7,1)Tα=在基123(1,3,5),(6,3,2),(3,1,0)T T T ααα===下的坐标．解 构造矩阵()312212316331633,,,33173317520102110r r r αααα+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 132133310033100333317010820211002110r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3221003301082001154r r -⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，故1233382154,αααα=-+向量α在基123,,ααα下的坐标为()33,82,154T-．2-28*．设W 是线性空间n V 的子空间，证明，若W 的维数等于n V 的维数n ，则W =n V ．证明 由W 是线性空间n V 的子空间且W 的维数等于n ，则存在n 个线性无关的向量12,,,n W ααα∈L 是W 的一组基，故12(,,,)n W L ααα=L ；又由W 是线性空间n V 的子空间，则12,,,n n V ααα∈L 是n V 的一组基，故12(,,,)n n V L ααα=L ，所以W =n V ．2-29*．设1W 、2W 是线性空间V 的两个子空间，证明V 的非空子集W ={}121122,W W ααααα=+∈∈构成V 的子空间．这个子空间叫做1W 与2W 的和子空间，记做1W +2W ．证 由W 的构成可知，它是线性空间V 的非空子集，下证W 构成V 的子空间:设,W αβ∈有1212,αααβββ=+=+，满足111222,,,W W αβαβ∈∈， 则()()12121122αβααββαβαβ+=+++=+++，其中()111W αβ+∈，()222W αβ+∈，所以W αβ+∈；又任取数k ，有12k k k W ααα=+∈故W 构成V 的子空间．2-30．判断下列向量组的线性相关性： （1）123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)===ααα； （2）123(1,2,3),(2,2,1),(3,4,4)===ααα；（3）123(1,1,1,0,2),(1,1,0,3,3),(1,0,0,2,3)==-=ααα． 解（1） 设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,1,1)(1,1,0)(1,0,0)k k k k k k O ++=++=ααα，即 ()()123121,,0,0,0k k k k k k +++=，得方程组 12312100k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，据克莱姆法则知该方程组只有零解 123000k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．解（2） 法一（依内容进度）：显然312ααα=+，即有一组不全为零的常数1231,1,1k k k ===-，使112233123(1)k k k O ++=++-=αααααα成立，所以123,,ααα线性相关．解（2） 法二：设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,2,3)(2,2,1)(3,4,4)k k k k k k O ++=++=ααα， 即 ()()12312312323,224,340,0,0k k k k k k k k k ++++++=，得方程组 1231231232302240340k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因 1232240314A ==，故方程组有非零解123,,k k k ，所以123,,ααα线性相关．解（3） 法一（依内容进度）：显然123,,ααα它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1）），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），123,,ααα线性无关.解（3） 法二：设有一组常数123,,k k k 使得123(1,1,1,0,2)(1,1,0,3,3)(1,0,0,2,3)k k k O +-+=，得方程组 123121231230003202330k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎪++=⎩，该方程组只有零解 12300k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．2-31．求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)TT T ===ααα；（2）T T T123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)=-==βββ； （3）T T T123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2).==-=-γγγ解（1） 用所给向量组构造矩阵()123101,,123156A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ααα，对矩阵A 施行行初等变换：21323152101101101123022022156055000r r r r r r A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，所以向量组123,,ααα线性相关.解（2） 用所给向量组构造矩阵()12313130,,2174214A ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪⎪⎝⎭βββ,对矩阵A 施行行初等变换：214332311223131031031300330332170110004214000000r r r r r r r r A B +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎪=−−−→−−−→= ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，向量组123,,ααα线性相关.解（3） 用所给向量组构造矩阵()123141110,,331122A ⎛⎫⎪⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭γγγ， 对矩阵A 施行行初等变换：34324342361411411411101101103310610121220120011r r r r r r r r A B ↔-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是3，故矩阵A 的秩是3，向量组123,,ααα线性无关.2-32．利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）123012001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.解 因1231210001A -==≠,故1A -存在， 计算代数余子式得111213212223311,0,0,2,1,0,7A A A A A A A ====-===，32332,1A A =-=，从而得*127012001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以1*1271012001A A A --⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭．（2）104227012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解 因10422750012A ==≠,故1A -存在，计算代数余子式得1112132122233,4,2,4,2,1A A A A A A =-=-====-，。
高等代数(上)_习题集(含答案)
《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j Λ21的逆序数为k ，则排列11j j j n n Λ-的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
抽象代数 孟道骥版 习题解答 第一章
Chapter1Ч1.11. ?ѩ .1) R ,x R y, x≥y;2) R ,x R y, |x|=|y|;3) R ,x R y, |x−y|≤3;4) Z ,x R y, x−y ;5) C n×n( C n ) ,A R B,P,Q A=P BQ;6) C n×n ,A R B, P,Q A=P BQ;7) C n×n ,A R B, P A=P−1BP.1)҂ đ҂ ӫ .2) .a)∀x∈R,|x|=|x|.b) |x|=|y|, |y|=|x|.c) |x|=|y|,|y|=|z|, |x|=|z|.3)҂ đ҂ Ԯ .4)҂ . x∈Z,x−x=0 , x R x,R҂ .5) Ġ ğA=IAI; ӫ ğ A=P BQčp,Q ĎđB=P−1AQ−1;Ԯ ğ A=P1BQ1,B=P2CQ2, A= P1P2CQ2Q1, A R C.č đ Ď.6)҂ . A=0,B , P=0,Q, A=P BQ=0, ҂թ P,Q, B=P AQ.҂ ӫ .7) .č ս Ď.2. R A , ӫ Ԯ .R . :“ a,b∈A,Ֆa R b b R a. ՖԮ12a R a. R , .” ?҂ . A a đ թ a∈A, b∈A,a R b҂Ӯ , a .3. R A , A R1,R2 љx R1y, x=y,x R y y R x Ӯ ;x R2y, x0,x1,···,x nx0=x,x n=y, x0R1x1,x1R1x2,···,x n−1R1x n.1) R2 ;2) R , R2=R, x R2y iffx R y.3) A=Z,n .R :x R y, x−y=n.R1 R2.1)R1 đ ӫ .Ֆ R2 đ ӫ .R2R2 Ԯ . R2 .2) x R y, x R1y,x R2y, x R2y, x0,x1,···,x n x=x0,x n=y x0R1x1,x1R1x2,···,x n−1R1x n, R đ R1 x0R x1,x1R x2,···,x n−1R x n.Ֆ x0R x n x R y, R2=R.3)x R1y⇐⇒x−y=0,m,−m.x R2y⇐⇒x≡y(mod m).4. ∗ đ ?1) Z đa∗b=a−b;2) Q đa∗b=ab+1;3) Q đa∗b=ab/2;4) N đa∗b=2ab;5) N đa∗b=a b.1)҂ đ҂ .2)a)∵b∗a=ba+1=a∗b,∀a,b∈Q∴ .b)(a∗b)∗c=(ab+1)∗c=(ab+1)c+1,a∗(b∗c)=a∗(bc+1)=a(bc+1)+1, a=c đ(a∗b)∗c=a∗(b∗c),∴҂ .3)a)b∗a=ba/2=a∗b,∀a,b∈Q∴ Ġb)(a∗b)∗c=ab/2∗c=abc/4,a∗(b∗c)=a∗bc/2=abc/4,∀a,b,c∈Q, .4)a)b∗a=2ba=a∗b,∀a,b∈N Ġb)(a∗b)∗c= 2ab∗c=22ab c,a∗(b∗c)=a∗2bc=22bc a, a=1,b=c=2, (a∗b)∗c= 28,a∗(b∗c)=216, (a∗b)∗c=a∗(b∗c), ҂ .5)҂ .5. m∈Z,m=0. Z :a b, a≡b(mod m).Z Վ Z m( Z/m Z).31)Z m Ġ2) Z ԛ Z3 Ӱ Ġ3) Z ԛ Z6 Ӱ .đ ӰđZ m m đ љ 0,1,2,···,m−2,m−1, Z3 đ0,1,2,0+0=0,0+1=1,0+2=2,1+1=2,1+2=0,2+2=1,0×0=0,0×1=0,0×2=0,1×1=1,1×2=2,2×2=2.Z m Ӱ .Z6 Ӱ .č Ď1.2 ϶1. ∗ . đ ϶ đ϶ đ ҂ Ĥ1)Z,a∗b=abĠ2)Z,a∗b=a−bĠ3)R+={x∈R|x>0},a∗b=abĠ4)Q−{0,1},a∗b=abĠ5)[0,1],a∗b=δ1a b+δ1b a−δ1aδ1b. δ1a=0, a=1δ1a=1, a=1,δ1b .6)Z,a∗b=a+b−ab.1) đ Վ Ӯ .2) đ Վ ҂ Ӯ϶ . Վ ҂.3) đ Վ Ӯ .4)҂ .∵2,0.5∈Q,2∗0.5=1∈Q,∴ ҂ Ġ5) .∵a∗b=0,a=1,b=1;a∗b=1,a=1=b;a∗b=a,a=1,b=1;a∗b=b,a=1,b=1.∴ о đ (a∗b)∗c=a∗(b∗c),∴҂ đ∴ ҂ .6) .∵Z ∗ о đ(a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=a+b−ab+c−c(a+b−ab)=a+b+c−ca−bc+abc,a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+b+c−bc−a(b+c−bc)=a+b+c−ab−bc−ac+abc.∴ .∀c∈Z,0∗c=0+c−0c=c,∴0 , ,0, c ,∀d∈Z,d∗1=d+1−d1=1=0,∴1 , Z ϶2. Z×Z Ӱ(x1,x2)(y1,y2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1). :41)Z×Z ՎӰ ϶ .2) (x1,x2)=(0,0) đ (x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2)(y1,y2)=(z1,z2).1) đՎ .((x1,x2)(y1,y2))(z1,z2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1)(z1,z2)=(x1y1z1+ 2(x2y2z1+y2z2x1+z2x2y1),x1y1z2+y1z1x2+z1x1y2+2x2y2z2)= (x1,x2)((y1,y2(z1,z2).x1,x2)(y1,y2)=(y1,y2)(x1,x2).(1,0)(x1,x2)=(x1,x2)=(x1,x2)(1,0).(1,0) Վ ϶ .Z×Z ՎӰ ϶ .2)∵(x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2),∴x1(y1−z1)+2x2(y2−z2)=0,x1(y2−z2)+x2(y1−z1)=0,∵(x1,x2)=(0,0),∴y1−z1=0,y2−z2=0.∴(y1,y2)=(z1,z2).3. S={x|x∈R,x=−1} o∗p a∗b=a+b+ab.S ∗ .ѩ ӱ2∗x∗3=7 .(a)∵a=−1 b=1 ,a∗b=−1,∴S ∗ о ;(b)(a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=a+b+ab+c+ac+bc+abca∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc ;(c)∀c∈S,0∗c=c,0 ;(d)∀d∈S,−dd+1=−1 d .S ∗ .2∗x∗3=(2+x+2x)∗3=12x+11=7,∴x=−134. ϶ G đax=ay=⇒x=y;xa=ya=⇒x=yđ G .Վ ϶ Ӯ Ĥğ ϶ G ∀a,b∈G, ӱxa=b,ax=b đG .ğxa=a đ e a, e a a=a, c∈G,ax=c5đ d , ad =c , e a c =e a (ad )=ad =c,∴G թ Ġ∀f ∈G,xf =e a đx f . đG .∀a ∈G,∵ax =ay ⇔x =y , |G | aG =G ,Ֆ ∀a,b ∈G,ax =b đ xa =b .Ֆ .Վ ϶ ҂Ӯ đ {N ,+}.5. ϶ G o p č G G ğa −→a Ďđ a (ab )=(ba )a ,∀a,b ∈G .Վ϶ с .∀a,b,c ∈G,a ac =c =b bc , a a =a acc =b bc =b b. e =a a , e G đa a .∴G .6. ϶ G e đ ∀a ∈G đ č a ∈G aa=e Ď. G Ĥ҂ . ğG = 1100 , 1−100 , −1−100 , −1100 G ϶ . 1100 , 1100 1100 đ 1−100 1100 đ −1−100 −1−100 đ −1100 −1−100 7. P (X ) X č X Ď.1) P (X ) ӫҵ (A B =(A −B )∪(B −A ),∀A,B ∈P (X )) Ӯ Ġ 2.2) P (X ) .1) о .(A B ) C =A (B C ), ∅, A −1=A ,A A =∅, 2.2)|P (X )|=2|X |.8. G 2. G Abel .6∀a,b ∈G ,a 2=b 2=e,(ab )(ab )=e =a 2 bab =a,∴b (bab )=ba b 2=e ab =ba ,∴G Abel .9. S 5 στ,σ−1τσ,σ2,σ3. σ= 1234523154 ,τ= 1234534152. στ= 1234515243 ,σ−1τσ= 1234553214 σ2= 1234531245 ,σ3= 1234512354 10. ԛS 3 і.X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= ab c ac b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= ab c c b a, і :·τ1τ2τ3τ4τ5τ6τ1τ1τ2τ3τ4τ5τ6τ2τ2τ1τ5τ6τ3τ4τ3τ3τ4τ1τ2τ6τ5τ4τ4τ3τ6τ5τ1τ2τ5τ5τ6τ2τ1τ4τ3τ6τ6τ5τ4τ3τ2τ111.N э Ӯ ϶ M (N ) f ğf (n )=n +1,∀n ∈Nf đ .g k (n )=n −1,n ≥2;g k (1)=k,k ∈N , ∀k,g k f đ h f đ fh (1)=h (1)+1,∵h (1)≥1,∴fh (1)≥2, fh (1)=1 .Ֆ .12. M ϶ đm ∈M . M Ӱ o ∗pğa ∗b =amb .1)M ∗ ϶ .2) đM ∗ ϶ Ĥ1) о .(a ∗b )∗c =ambmc =a ∗(b ∗c ), M ∗ ϶ .2)m .71.31. H G . {H a } G đ R 1 a R 1b , ba −1∈H .R 1 .e =aa −1∈H ⇒aR 1a,∀a ∈G , aR 1b , ab −1∈H , ba −1=(a −1b )−1∈H , bR 1a , aR 1b,bR 1c ab −1,bc −1∈H , ac −1=(ab −1)(bc −1)∈H , aR 1c .R 1 .aR 1b ⇔ba −1∈H ⇔b ∈aH b aH .Ֆ {aH } G .2. H Z . с m H =m Z .m =min {|n ||n ∈H,n =0}, mz 0+r ∈H,0≤r <m,r ∈N,∵mz 0∈H , r ∈H , m r =0,Ֆ H =m Z .3. ԛS 3 ҆ .ѩ ԛ . X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= a b c a c b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= a b cc b aH 1={τ1},H 2={τ1,τ2},H 3={τ1,τ3},H 4={τ1,τ6},H 5={τ1,τ4,τ5},H 6={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6}∴H 1,H 2,H 3,H 4,H 5,H 6 S 3 ҆ đ H 1,H 5,H 6 .4. H G đ [G :H ]=2. H G .∵[G :H ]=2,∴,∃a ∈G, a −1∈H , G =eH ∪aH eH =aH ∀h,g ∈H, ghg −1∈H ∀h ∈H,g ∈aH,∃h 1∈H , g =ah 1,ghg −1=ah 1hh −11a−1∵ghg −1∈G . ghg −1∈H , с ghg −1∈aH ,Ֆ ∃h 2∈H , ghg −1=ah 2 ah 1hh −11a −1=ah 2đ h 1hh −11=h 2⇒h −12h 1hh −11=a ⇒a ∈H.∵H G ,∴a −1∈H a −1∈H ∴ghg −1∈H , ∀h ∈H,g ∈G,ghg −1Ӯ .∴H G .5. H 1,H 2 G . |H 1H 2|=[H 1:1][H 2:1]/[H 1∩H 2:1].8 aH2,a∈H1, {aH2} H1H2 .1) aH2=bH2,a,b∈H1, ab−1∈H2,Ֆ ab−1∈H1∩H2,b∈a(H1∩H2).2)∀b∈a(H1∩H2), aH2=bH2,∴|H1H2|=[H1:1][H2:1]/[H1∩H2:1]6. G Abel đn∈N. {g∈G|g n=1} G .H={g∈G|g n=1},∀g1,g2∈H,(g1g−12)n=g n1(g n2)−1=e,∴H<G7. G҂ Ӯ ѩ.H1<G,H2<G,H1=G,H2=G,H1∪H2=G, a∈H1,b∈H2, a∈H2,b∈H1, ab∈H1,ab∈H2,Ֆ ab∈G, Ć8. H,K G đ H∩K={1}. hk=kh,∀h∈H,k∈K.∵(kh)−1hk=h−1k−1hk,h−1k−1h∈K,∀h∈H,k∈K, (kh)−1hk∈K,∵k−1hk∈H,∴h−1k−1hk∈H,∵H∩K={1},∴(kh)−1hk=1,∴kh=hk.9. H G . G/H Abel ԉgkg−1k−1∈H,∀g,k∈G.G/H Abel ⇐⇒gHkH=kHgH⇐⇒gkH=kgH⇐⇒gk(kg)−1=gkg−1k−1∈H10. H,K . H×K={(h,k)|h∈H,k∈K} Ӱ(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2). ğ1)H×K čӫ H K Ď.2)H1={(h,1 )|h∈H,1 K } K1={(1,k)|k∈H,1 H} H×K .3)H1∩K1={(1,1 )};H×K=H1K1.čH×Kӫ H1 K1.Ď1) e h H đe k K đ (e h,e k)∈H×K∴H×K đ∀(h1,k1),(h2,k2)∈H×K,(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2)∈H×K,∴H×K Ӱ о Ġ∀(h1,k1),(h2,k2),(h3,k3)∈H×K,((h1,k1)(h2,k2))(h3,k3)= (h1h2,k1k2)(h3,k3)=(h1h2h3,k1k2k3)=(h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))= (h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))∴H×K Ӱ∀(h,k)∈H×K,(e h,e k)(h,k)=(h,k),∴(e h,e k) Ġ9∀(h,k)∈H×K,(h−1,k−1)(h,k)=(e h,e k),∴(h−1,k−1)∈H×K∴H×K .2)∵(e h,1 )∈H1,∴H1 H×K .∀(h1,1 )∈H1,(h2,1 )∈H1,(h1,1 )(h2,1 )−1=(h1,1 )(h−12,1 )=(h1h−12,1 )∈H1,∴H1 H×K ;∀(h1,1 )∈H1,(h,k)∈H×K(h,k)(h1,1 )(h,k)−1=(hh1h−1,kk−1)=(hh1h−1,1 )∈H1,∴H1 H×K ĠK1 H×K .3) (h,k)∈H1 (h,k)∈K1, k=1 ,h=1,∴H1∩K1={(1,1 )}(h,k)∈H×K, (h,k)=(h,1 )(1,k)∈H1K1,∴H×K⊆H1K1(h1,1 )∈H1,(1,k1)∈K1đ (h1,1 )(1,k1)∈H1K1, (h1,1 )(1,k1)=(h1,k1),∴H1K1⊆H×K∴H×K=H1K1.11. ϶ M aӫ đ ∃a−1∈M aa−1=a−1a=1.ğ1) a∈Mđ ∃b,c∈M ba=ac=1 a đ a−1=b=cĠč ӫa−1 a .Ď2) Ġ3) a đ b=a−1 ԉ aba=a,ab2a=1Ġ4)M G ԉ G∀g1,g2∈G g1g2∈GĠ5)M Ӯ .1)b=bac=c, a đ a−1=b=c.2) b1,b2 a đ b1=b1ab2=b2.3)“⇒” .“⇐”:ab=abaa−1=aa−1=1,ba=a−1aba=a−1a=1,∴b=a−1.4)“⇐” .“⇒” о đ đ թ .∀g∈G,с g−1∈G,Ֆ 1=gg−1∈G5) g1,g2 đ (g1g2)(g−12g−11)=1, g1g2 đ ՎӮ .1.41. Z×Z Ӱ ğ(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);10 (a,b)(c,d)=(ac,bd),∀(a,b),(c,d)∈Z×Z.ğZ×Z .(a)Z×Z Abel .(b)((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,bd)(e,f)=(ace,bd f)=(a,b)(ce,d f)=(a,b)((c,d)(e,f));(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)(a,b).∀(a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z. Z×Z Ӱ϶ .(c)(a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)(c+e,d+f)=(ac,bd)+(ae,bf)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f);((c,d)+(e,f))(a,b)=(c,d)(a,b)+(e,f)(a,b) ՎZ×ZӰ .Z×Z .∵(1,1)(a,b)=(a,b)=(a,b)(1,1),∴ Ӱ ϶ .∵(0,1)=0,(0,1)=0,(0,1)(1,0)=(0,0)=0ՎZ×Z .2. C (−∞,+∞) đ C Ӱ(f+g)(x)=f(x)+g(x);(fg)(x)=f(g(x)),∀f,g∈C,x∈(−∞,+∞).C Ӱ Ӯ Ĥf(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x2, h(f+g)(x)=(x+ x2)2,hf(x)+hg(x)=x2+x4, Վ҂ Ӯ .3. R Ӱ .1)R Ġ2)R Ӱ ϶ Ġ3) Ӱ .R .∀a,b∈R,(a+1)(b+1)=a(b+1)+b+1=ab+a+b+1,(a+1)(b+1)=(a+1)b+a+1=ab+b+a+1,∴a+b=b+a, R.4. R đ . R .R đ ∀a∈R,a=0,ab=ac⇔b=c, aR=R,Ra=R,∴ax=b,xa=b,b∈R R đ R Ӱ Ӯ đ R .11 5. Q Z Q/Z .∀a,b∈Q/Z, a,b 0, ab=0, a=0,b=0, a=q1 p1,b=q2p2, ab=q1p1q2p2=q1p1p1q2p1p2=q1p1p1q2p1p2=p1q1p1q2p1p2=0. ՎӮ .6. R e e2=eđ ӫe .R eđ R đ e R .∵e(ea−a)=ea−ea=0 R đ ea=aae=a∴R đ e R .7. R 1lč 1l a=a,∀a∈R). Rđ 1l=1.(ae−a+e)b=b⇒ae−a+e=e⇒ae=a8. R .u∈R,u đ v∈R uv=1.ğ1)u ҂ Ġ2)u҂ Ġ3)u .1⇒2: u đ w wu=uw=1, wuv=v, wuv=w(uv)=w,∴v=w, u đ 1 .u҂ .2⇒3: u҂ đ vu=1, vu−1=0u(vu−1)=(uv)u−u=u−u=0∴u .3⇒1:∵u∴∃w=0, uw=0,∴w=vv−w=0, u(v−w)=uv−uw=1∴v−w u đ v−w=v∴u ҂ .9. թ ҂ đ Վ.u v1, v n+1=v1−v n u+1, v n u đ w wu=0, w=w(uv1)=wuv1=0, v1u=1, v1u−1=0, Վ v n+1=v1,n 1, v n+1= v m+1(m<n), ԛv n=v m,Ֆ đ n= m đ v n=v m, Վ Ӯ .10. R đa,b∈R. 1−ab 1−ba .1−ab đc đ d=1+bca, (1−ba)d=12(1−ba )(1+bca )=1−ba +(1−ba )bca =1−ba +b (1−ab )ca =1−ba +ab =1,d (1−ab )=(1+bca )(1−ba )=1−ba +bca (1−ba )=1−ba +bc (1−ab )a =1−ba +ba =1,∴1−ba . 1−ba đ 1−ab .11. R đa,b ab −1 .1)a −b −1,(a −b −1)−1−a −1 Ġ2) Ӯ ğ((a −b −1)−1−a −1)−1=aba −a1)a −b −1=abb −1−b −1=(ab −1)b −1,∵b,ab −1 đ a −b −1 đ (a −b −1)−1=b (ab −1)−1.2)(a −b −1)−1−a −1=b (ab −1)−1−a −1=a −1(ab (ab −1)−1−1)=a −1(ab −(ab −1))(ab −1)−1=a −1(ab −1)−1,∴((a −b −1)−1−a −1)−1=(ab −1)a =aba −a.12. Z m n =n +m Z ԉ Ĥѩ Z m .(n,m )=1,∃u,v ∈Z , nu +mv =1⇒nu =1,Ֆ n đ (n,m )=k =1, n m k =0Ֆ n .∴n ⇔(n,m )=1, ϕ(m ),ϕ đn ⇔(n,m )=1, m −ϕ(m ).13. m 1,m 2∈Z . m 1,m 2 č m 1 m 2 Ӯ Ď.m 1,m 2 ={um 1+vM 2|u,v ∈Z }, m 1,m 2 = d ,d =(m 1,m 2).14. đ R R/I (I R ) .Z đ6Z Z đZ /6Z =Z 6,Z 6 23=0.15. R .a ∈R . ∃m ∈N a m =0, ӫa .R R . R 1={a |∃m ∈N ,a m =0},∀a,b ∈R 1,∃m,n ∈N , a m =0,b n =0, (a −b )m +n = m +n k =0a k (−b )m +n −k =0,(ab )m =a m b m =0.∀r ∈R,(ar )m =a m r m =0.∴R 1 R .16. K .R =K n ×n . C i ={a ∈R |col j (a )=0,j =i };R i ={a ∈R |row j (a )=0,j =i },1≤n .1)C i R č A R A ⊆C i đ A ={0} A =C i ĎĠ2)R i R Ġ3)R .1)∀α,β∈C i ,col j (α−β)=0,j =i ;col j (αβ)=0,j =i ;∀c ∈13K,col j(cα)=0,j=i.∴C i R .A R đ A⊆C i,A={0}, α∈A,҂ αj0l =0,l=i,j0=i,∴E jl∈C i,E jl=α−1j0l E jjα∈A,∴A=C i,∴C i R.2) R i R .3) R R đ ∃α∈R ,α=0,҂ αi0j0=0, E ij=α−1i0j0E iiαE j0j∈R ,∴R =R. R .1.51. A Abel đ đ End Aі Ač A A Ď . End A Ӱ đ(σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α),∀σ,τ∈End A,α∈A.End A čӫ A Ď.đ о đ đ č 0Ď Ġ Ӱ đ о đ đ č idĎĠ Ӱ đ .2. S3 ӫ đAut S3=Int S3 S3.∵C(S3)=id,∴S3∼=Int S3, S3=<{(1,2),(1,3),(2,3)}>, Ϝ2 эӮ2 đ∴|Aut S3|≤3!=6,∵Int S3 Aut S3,|Int S3|=6,∴|Aut S3|=6,∴Aut S3=Int S3.3. a,b đ R эT(a,b):T(a,b)(x)=ax+b,∀x∈R.ğ1)a=0 đT(a,b) Ġ2)G={T(a,b)|a=0} Ġ3)H={T(1,b)|b∈R} G ĠčT(1,b)ӫ b.Ď4)G/H R∗čR∗ Ӱ .Ď1) x=y, T(a,b)(x)=ax+b=ay+b=T(a,b)(y),∴T(a,b).T(a,b)(x)=Y(a,b)(y), ax+b=ay+b, a=0 x=y,∴T(a,b) ֆ14.∀x ∈R ,∃x =x −b a ∈R ,T (a,b )(x )=ax +b =x,∴T (a,b ) .∴a =0 đT (a,b ) .2)∀T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=T (a 1,b 1)(a 2x +b 2)=a 1(a 2x +b 2)+b 1=T (a 1a 2,b 1b 2)(x ), a 1a 2=0,∴T (a 1a 2,b 1b 2)∈G ∴G о Ġ∀(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2))T (a 3,b 3)=T (a 1,b 1)(T (a 2,b 2)T (a 3,b 3))∴G Ġ∀T (a,b )∈G,T (1,0)T (a,b )=T (a,b )∴T (1,0) G Ġ∀T (a,b )∈G,T (1a ,−b a )T (a,b )=T (1,0)∴T (1a ,−b a) T (a,b ) ∴G .3) H G đ∀T (1,a ),T (1,b )∈H,T (1,a )T −1(1,b )=T (1,a )T (1,−b )=T (1,a −b )∈H ∴H <G,∀T (1,b )∈H,T (a,c )∈G,T (a,c )T (1,b )T −1(a,c )=T (a,ab +c )T (1a ,−c a)=T (1,ab )∈H ∴H G.4) ϕ:G −→R ∗,ϕ(T (a,b ))=a,∀a ∈R ∗,∃T (a,b )∈G, ϕ(T (a,b ))=a,∴ϕ .∀T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,ϕ(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=ϕ(T (a 1a 2,a 1b 2+b 1))=a 1a 2=ϕ(T (a 1,b 1))ϕ(T (a 2,b 2))∴ϕ .∴G/ker ϕ∼=R ∗∀T (a,b )∈ker ϕ,ϕ(T (a,b ))=1⇒a =1⇒T (a,b )∈H,∀T (1,b )∈H,ϕ(T (1,b ))=1,∴T (a,b )∈ker ϕ,∴H =ker ϕ,∴G/H ∼=R ∗4. G ={e,a,b,c } і. G đ Aut G G S 3 .čՎ ӫ Klein đ K 4і .Ďe a b ce e a b c a ae c b b bc e a c cb a e(a)Ֆ ԛG Վ оĠ(b) a,b,c , (ab )c =cc =e,a (bc )=aa =e,∴(ab )c =a (bc ) a,b,c e đ (ab )c =a (bc ), Ӯ Ġ(c)e ӰG Ч∴e G Ġ(d)aa =bb =cc =e,∴a,b,c љ .∴G . ϕ:ϕ(A )=A|X , ∀A ∈Aut G,X ={a,b,c }, Ϝ҂15 э ҂ đ A|X∈S3, A(e)=e,ϕ Aut G−→S3 đ A|X=B|X, A(e)=B(e)=e⇒A=B∴ϕ ֆ ,∴ϕ đ∀A,B∈Aut G,ϕ(AB)=AB|X=A|X B|X=ϕ(A)ϕ(B)∴ϕ đ∴Aut G∼=S3;σ:Aut G−→Aut G/Inn G,σ(A)=A Inn G, σ đ G đ Inn G={id G},∴σ .∴Aut G∼=Aut G/Inn G∼=S3.5. G .1)a→a−1 G G Ġ2) G đ ∀k∈Z,a→a k G .č G G.Ď1)∀a∈G,ϕ(a)=a−1,∵a−1∈G,∴ϕ G−→G эđϕ ,∀a∈G, ϕ(a−1)=a,∴ϕ đϕ(a)=ϕ(b)đ a−1=b−1⇒a=b∴ϕ ֆ Ġϕ .“⇐”:∀a,b∈G,ϕ(ab)=(ab)−1=b−1a−1, G Abel đ ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b),∴ϕ đ∴ϕ .“⇒”:∀a,b∈G,ϕ(a−1b−1)=(b−1a−1)−1=ba,∵ϕ đ∴ϕ(a−1b−1)=ϕ(a−1)ϕ(b−1)=ab,∴ab=ba,∴G Abel .2) ϕ:ϕ(a)=a k,k∈Z, ϕ G−→G đ∀a,b∈G,G Abel đϕ(ab)=(ab)k=a k b k=ϕ(a)ϕ(b),∴ϕ G .6. a G đa(g)=g⇒g=1.1)g a(g)g−1 Ġ162) G đ G Ӯa (g )g −1 Ġ3) a 2=id G , G .1) ϕ:ϕ(g )=a (g )g −1,ϕ G −→G đ ϕ(g 1)=ϕ(g 2), a (g 1)g −11=a (g 2)g −12⇒a (g 1)−1a (g 2)=g −11g −12⇒a (g −11g 2)=g −11g 2⇒g −11g 2=1⇒g 1=g 2,∴ϕ Ġ2)∵G đG đ∴ϕс đ ϕ:G −→G.∴G Ӯa (g )g −1 Ġ3)∀g ∈G,∃g 1∈G, g =a (g 1)g −11,a (g )=a (g 1)2a (g −11)=g 1a (g −11)=g −1,∀a,b ∈G, a (a −1b −1)=a (a −1)a (b −1)=ab, a (a −1b −1)=(a −1b −1)−1=ba,∴ab =ba,∴G Abel .∀g ∈G, g =g −1, a (g )=g −1=g ⇒g =1∴∀a ∈G,a =1,a a −1 G ҂ đ1∈G,∴G .7. G đK G , H a K č H a G . H a ⊇K Ďđa (H a /K )=( aH a )/K .ğgk ∈a (H a /K )⇒gk ∈H αK (∀α)⇒∀α,∃g α∈H α gK =g αK ⇒g −1g α∈K ⇒g ∈H α(∀α)⇒g ∈ αH α⇒ a (H a /K )⊆( a H a )/K.đ ( a H a )/K ⊆ a (H a /K ).8. Z o ◦pa ◦b =a +b −ab,∀a,b ∈Z ,(Z ,◦) ϶ đ Z Ӱ ϶ .ğa ◦(b ◦c )=a ◦(b +c −bc )=a +b +c −bc −a (b +c −bc )=a +b +c −ab −bc −ca +abc,(a ◦b )◦c =(a +b −ab )◦c =a +b +c −ab −bc −ca −abc,∴a ◦(b ◦c )=(a ◦b )◦c,a ◦0=0,0◦a =0,∴(Z ,◦) ϶ đ0 .f :(Z ,·)−→(Z ,◦),f (a )=1−a , f đ f (ab )=1−ab =17 (1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b)=f(a)+f(b)−f(a)f(b)=f(a)◦f(b),∴(Z,◦)∼=(Z,·).9. .T:End Z−→Z,T(σ)=σ(1),∀σ∈End Z,∀m∈Z,∃σ∈End Z, σ(1)=m,σ(n)=mn(n∈Z),∴T . ∀σ,τ∈End Z,σ(1)=τ(1), σ=τ,∴T ֆ đ∴T .∀σ,τ∈End Z,T(σ+τ)=σ(1)+τ(1)=T(σ)+T(τ),T(στ)=στ(1)=σ(τ(1))=σ(1)τ(1)=T(σ)T(τ),∴T End Z−→Z . 10.H 1.4.8 đ1=1001,i=√−100−√−1,j=01−10,k=√−1√−101)∀a∈H,թ (a,b,c,d)∈R(1)đ a=a+bi+cj+dk.2)H э σ:σ(a+bi+cj+dk)=a−bi−cj−dkđH .1) .2)∀α,β∈H,α=a1+b1i+c1j+d1k,β=a2=a2+b2i+c2j+d2k,σ(α+β)=σ(α)+σ(β),σ(αβ)=σ(β)σ(α),σ(α)2=α,∴σ H .11.č Ď σ R R đ ∀a,b∈R1)σ(a+b)=σ(a)+σ(b),2)σ(ab)=σ(a)σ(b) σ(ab)=σ(b)σ(a).σ . .σ҂ đ σс . σ҂ đ ∃c,d∈R,σ(cd)=σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)∀x∈R,σ(cx)=σ(c)σ(x),σ(xd)=σ(x)σ(d)18đσ(cx)=σ(x)σ(c)σ(c(d+x))=σ(cd+cx)=σ(c)σ(d)+σ(x)σ(c)(1.1)đσ(c(d+x))=σ(d+x)σ(c)=σ(d)σ(c)+σ(x)σ(c)(1.2) (1.2) (1.1) бσ(c)σ(d)=σ(d)σ(c).сσ(c(d+x))=σ(c)σ(d)+σ(c)σ(x)(1.3) (1.3) (1.1) бσ(x)σ(c)=σ(c)σ(x)∀x∈R,σ(cx)=σ(c)σ(x)σ(xd)=σ(x)σ(d)∀x,y∈R,σ(xy)=σ(y)σ(x)∀z∈R,σ(xz)=σ(x)σ(z)σ(zy)=σ(z)σ(y)σ((x+c)(y+d))=σ(y)σ(x)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)(1.4)đσ((x+c)(y+d))=σ(y+d)σ(x+c)=σ(y)σ(x)+σ(d)σ(x)+σ(y)σ(c)+σ(d)σ(c)(1.5)∵σ(x)σ(d)=σ(d)σ(x),σ(c)σ(y)=σ(y)σ(c)∴ (1.4)đ(1.5)σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)19 .сσ((x+c)(y+d))=σ(x+c)σ(y+d)=σ(x)σ(y)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)(1.6)(1.4),(1.6)σ(x)σ(y)=σ(y)σ(x)∴Վ σ R .12. R đ R R đR Z pčp Ď đ Z .13. R đ G(R) R .Aut R R. G(R) Ӱ Ӯ đ [G(R):Aut R]1 2.(1): о đ∀σ,η∈G(R).σ đη đ ση Ġσ đη đ ση Ġσ,η đ đ ση ..ğσid=σ=idσ.ğσσ−1=id.(2): Aut R G(R) .∀σ,η∈G(R),σAut R=ηAut R⇔η−1σ∈Aut R, σ,η đ .G(R)=Aut R, [G(R):Aut R]=1;Aut R⊂G(R), [G(R):Aut R]=2.1.61. R đM Abel . թ R End M u, u(1)=id M. R×M M (a,x)→ax=u(a)(x),a∈R,x∈M MӮ R⚷ .∀x,y∈M,a,b∈R, u(a)∈End M;(a)a(x+y)=u(a)(x+y)=u(a)(x)+u(a)(y)=ax+ay;(b)(a+b)x=u(a+b)(x)=(u(a)+u(b))(x)=u(a)(x)+u(b)(x)=ax+bx;(c)(ab)x=u(ab)(x)=(u(a)u(b))(x)=u(a)(u(b)(x))=u(a)(bx)=a(bx);(d)1x=u(1)(x)=id M(x)=x.20∴ Վ MӮ R⚷ .2. R đM R⚷ . R End M f f(1)=id M.f:R−→End M,∀a∈R,f(a)=a id M, f(1)= id M,f R End M .3. R,S đ1 ,1 љ S R đ f:S→R đf(1 )=1. M R⚷ . ğS×M M (s,x)→f(s)x,s∈S,x∈M MӮ S⚷ .∀s,s1,s2∈S,x,x1,x2∈M1):(s1+s2,x)=f(s1+s2)x=[f(s1)+f(s2)]x=f(s1)x+f(s2)x=s1x+s2x;2):(s,x1+x2)=f(s)(x1+x2)=f(s)x1+f(s)x2;3):(s1s2,x)=f(s1s2)x=f(s1)f(s2)x=(s1,(s2,x));4):(1 ,x)=f(1 )x=1x=x.∴f MӮ s− .4. R đM R⚷ đ a∈R. aM={ax|x∈M},M(a)={x|x∈M,ax=0}. aM M(a) M .1):∀x1,x2∈M,ax1,ax2∈aM, ax1−ax2=a(x1−x2)∈aM.∀x∈M,r∈R,r(ax)=a(rx)∈aM,∴aM M .2):∀x1,x2∈M(a),ax1=ax2=0, ax1−ax2=a(x1−x2)=0,∴x1−x2∈M(a).∀x∈M(a),r∈Ra(rx)=r(ax)=0,∴rx∈M(a),∴M(a) M .5. n∈N,a,b∈Z,n=ab,(a,b)=1, Z n Z⚷ . a Z n=Z n(b).Z n={0,1,2,···,n−1},∀x∈Z n(b)⇔n|bx⇔a|x(∵n= ab,(a,b)=1)⇔x∈a Z n6. R⚷ Mӫ ֆ . M ֆ ∀x∈M,x=0 M=Rx.“⇒”:∀x∈M,x=0, {0}⊂Rx⊆M,∀ax∈Rx,bx∈Rx, a,b∈R,ax−bx=(a−b)x∈Rx,∴Rx<M.čRx҂ Ď∀r∈R,ax∈Rx,r(ax)=(ra)x∈Rx,∴Rx M .∵M ֆ đ∴Rx M .∴M=Rx.“⇐”: N M đN={0}, RN⊆N,∀x∈N,x=0, Rx⊆RN.x∈M,x=0,∴ M=Rx,∴M=Rx⊆RN⊆N.Ֆ M=N,∴M .∴M ֆ .21 7. Rč Ď ֆR⚷ R .“⇐”: R đ R đ I R⇔I R .∴R đ∴R ֆ .“⇒”: R ֆ đ 6 ∀x∈R,x=0, R=Rx.∀x∈R,x=0,∃r∈R, 1=rx.∴x đ R đ∴{R∗;·}Ӯ đ R .8. M R⚷ đS M .S Rann R S={a∈R|ax=0,∀x∈S}:1)ann R S R čM R⚷ đ Ď;2) S M đ ann R S R .1)∀a,b∈ann R S, ax=bx=0,∀x∈S,Ֆ ax−bx=(a−b)x=0,∀x∈S,∴a−b∈ann R S.∀a∈ann R S,r∈R,rax=0,∀x∈S,∴ra∈ann R S. ann R S R .2)∀a∈ann R S,r∈R,x∈S,∵S M đ∴rx∈S,∴arx=a(rx)=0,∴ar∈ann R S,∴ann R S R .9. Z⚷ Z m Z ann Z Z m Z/ann Z Z m.k·n=0,∀n∈Z m,k∈Z⇔k∈m Z.∴ann Z Z m= m Z,Z/ann Z Z m=Z m.10. R . ğ1) R⚷ R End L R R Ġ2) R⚷ End R R R .1.6.14 End L R∼=R r R,End R R∼=L r∼=R,(R rіR Ӱэ đL rі R Ӱэ .)11. V P đA V э đ P[λ]×V V (f(λ),x)→f(A)x,f(λ)∈P[λ],x∈V. V P[λ]⚷ . ğ1)End p[λ]V={ϕ∈End(V)|ϕA=Aϕ}, End(V) V эĠ2)ann p[λ]V={f(λ)∈P[λ]|f(A)=0}= g(λ) , g(λ) A.1) đ∀ϕ∈End p[λ]V, ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y),∀x,y∈V.ϕ(ax)=aϕ(x),∀a∈P,x∈V.∴ϕ∈End(V).22ϕ(λx)=λϕ(x),∀x∈V,∴ϕA=Aϕ.đ∀ϕ∈End(V),ϕA=Aϕ, ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y),∀x,y∈V,ϕ(f(λ)x)=ϕ(f(A)x)=f(A)ϕ(x)= f(λ)ϕ(x),∀f(x)∈P[λ],x∈V,∴End p[λ]V={ϕ∈End(V)|ϕA= Aϕ}.2)f(λ)∈ann p[λ]V⇔f(A)x=0,∀x∈V⇔f(A)=0⇔g(λ)|f(λ)⇔f(λ)∈ g(λ) ,∴ann p[λ]V={f(λ)∈P[λ]|f(A)=0}= g(λ) .12. V C n đ V э AC[λ]⚷ V ԉ A (λ−λ0)n,λ0∈C.1.7 Ч1. đϕ G H đ ϕ . đkerϕ.1)G=R,H=Z đϕ(x)=[x]čx ҆ đx ն ĎĠ2)G=R∗,H=R∗ Ӱ đϕ(x)=|x|;3)G=S n,H={1,−1},ϕ(σ)=sgnσ;4)G=GL(n,P),H=P∗čP Ď,ϕ(A)=det A;5)G=O(n,P),H={1,−1},ϕ(A)=det A;6)G=Z9,H=Z2,ϕ(x) xԢ 2 .1)҂ .ϕ(1.5+0.5)=ϕ(2)=2,ϕ(1.5)+ϕ(0.5)=1+0=12) .kerϕ={1,−1}3) .kerϕ=A n.4) .kerϕ={A|det A=1}.5) .kerϕ=SO(n,p).6)҂ .ϕ(4)=0,ϕ(5)=1,ϕ(4+5)=ϕ(0)=0.2. G1,G2 H đ f i G i H đi=1,2. ker f1ker f2. G1 G2 Ĥ҂ .G1=S3,f1:S3−→Z2,ker f1= (1,2,3) ,G2=Z6,f2:Z6−→Z2,ker f2= 2 ={0,2,4}Z6 đS3҂ đ ՎS3҂ Z6.3. R đC∗ Ӱ .R C∗ ϕϕ(x)=cos x+√−1sin x,∀x∈R.23ϕ đѩ ker ϕ. ∀x,y ∈R ,ϕ(x +y )=cos(x +y )+√−1sin(x +y ),ϕ(x )ϕ(y )=(cos x +√−1sin x )(cos y +√−1sin y )=cos x cos y −sin x sin y +√−1(sin x cos y +cos x sin y )=cos(x +y )+√−1sin(x +y ),∴ϕ(x +y )=ϕ(x )+ϕ(y ),∴ϕ .C ∗ 1, ϕ(x )=1 cos x +√−1sin x =1, x =2kπ,(k ∈Z )∴ker ϕ={x |x =2kπ,k ∈Z }.4. G n ӫ S n đ G Ї . G с H [G :H ]=2.H ={σ∈G |σ },∵id ∈H,∴H G .∀σ1,σ2∈H,σ1σ−12∈G đ∴σ1σ−12∈H,∴H <G. τ∈G, ∀τ1∈G,τ1 đ τ−1τ1∈H,∴τH =τ1H. id ∈G , ∀τ2∈G,τ2 đ id −1τ2∈H,∴id H =τ2H.∴[G :H ]=2.5. G,G đ H G,H G , ϕ G G đ ϕ(H )⊆H , ϕ ԛG/H G /H ϕ∗. m đѩ .G ϕ−−−→G π⏐⏐ ⏐⏐ πG/H ϕ−−−→G /Hϕ π(g )=π ϕ(g ). ϕ .∀g 1,g 2∈G,π(g 1)=π(g 2), g −11g 2∈H ,Ֆ ϕ(g −11g 2)∈H .π ϕ(g −11g 2)=1⇒π ϕ(g 1)=π ϕ(g 2),Ֆ ϕ (π(g 1))=ϕ (π(g 2)),ϕ . ğR,R đK,K љ R,R đ ϕ R R đ ϕ(K )⊆K , ϕ ԛR/K R /K ϕ . ğM,M R đN,N љ M,M đ ϕ M M đ ϕ(N )⊆N , ϕ ԛM/N M /N ϕ .246. K đK n ×n K n Ӯ đ K n ×n .1.4 16 K n ×n đ K n ×n K n ×n {0}.7. R R [x ] x 2+1 Ӯ R [x ]/ x 2+1 C . ϕ:R [x ]−→C ,ϕ(f (x ))=f (√−1),∀f (x )∈R [x ].8. R đ Z ×R Ӱ(m,a )+(n,b )=(m +n,a +b ),(m,a )(n,b )=(mn,na +mb +ab ),m,n ∈Z ,a,b ∈RZ ×R đ ш R .Z ×R đ (1,0),(0,R ) ш R .9. R Abel .R Abel End R , L R R Ӱэ đ L R ⊆End R. ∵∀a R ,b R ∈L R ,∀x ∈R,(a R −b R )x =(a −b )R x,∴a R −b R ∈L R .∵(a R b R )x =(ab )R x,∴a r b R ∈L R .∴L R End R .Cayley R ∼=L R .10. R đ R . RZ p čp Ď đ Z .11. R e с Z p čp Ď Z.č ӫR p , ӫR 0.Ďğ R ∞, p čp Ď.ğ R ∞, .∃a ∈R,a m,ma =0, ∀b ∈R,0=(ma )b =a (mb ),∵R đ∴mb =0, đ b n,nb =0, m ≥n,na =0,∴n ≥m,∴m =nm ҂ đ m =m 1m 2,m 1m 2=1,0=mab =(m 1a )(m 2b ),∵R đ∴m 1a =0 m 2b =0. . m .ğЇ e {me |m ∈Z }=R 1, f :R 1−→Z ,f (me )=m. f . đ R 0 đ f đR 1∼=Z .R p đker f =p Z ,R 1∼=Z /p Z =Z p .2512. R H,K H +K ҂ R . Q ,Z [√−1] C đ Q +Z [√−1]҂ R .13. R ⚷ R ⚷ ğ···−→M i −1f i −1−→M i f i −→M i +1···.f i −1(M i −1)=ker f i ,∀i ∈Z đ ӫՎ .f M N R ⚷ đO і Ӯ R ⚷ . đO →M і O M R ⚷ đN →O N O R ⚷ đ ğ1)f O →M f −→N Ġ2)f M f −→N −→O Ġ3)f O −→M f −→N −→O . 1)f ⇔ker f ={0}=g (0)⇔0g −→M f−→N .2)f ⇔ker g =N =f (M )⇔M f −→N −→0 .3) 1đ2 3Ӯ .14. R ⚷ M đ ӫ ֆ č ҂Ď. M R ⚷ đ ğ1)M ֆ Ġ2) f :M →N đ O →M f −→N Ġ3) g :N →M đ N g −→M −→O . M ֆ ⇔ker f ={0}č∵f Ď⇔0−→M f −→N .∴1⇔2.M ֆ ⇔g (N )=M č∵g Ď⇔N g −→M −→0.∴1⇔3. Վ .1.81. G đG đ G Ĥ҂ . Klein .2. G đa ∈G, a G . ğax =xa,∀x ∈G .26a G đ a G .∀x ∈G,x −1ax =a e , ax =x , a =e,∴x −1ax =a ax =xa .3. 1.8.3 ҂Ӯ .ğ X ={1,2,3,4},A 4 đA 4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)},|A 4|=12,, A 4 6 .4. p,q đ p =q , Z pq Ӯ Ĥ pq (1−1p )(1−1q ).5. p đ r ≥1. Z p r Ӯ Ĥ p r (1−1p).6. G Abel đH,K , G đ љ r,s ğ1) (r,s )=1đ G rs Ġ2)G Ї [r,s ] .H = a ,K = b , ab k , (ab )k =a k b k ,∴s |k,t |k,∴[r,s ]|k.đ(ab )[r,s ]=a [r,s ]b [r,s ]=1,∴k =[r,s ].∴ ab G [r,s ] . 2 ԛ1Ӯ .7. G n đ ҂ ҂ . ğ1)G Ġ2)G ҂ ҂ Ġ3)G .1) H <G , ∀g ∈G,g −1Hg <G. |g −1Hg |=|H |,∴g −1Hg =H,∴H G .2)∵∀H <G,H G .∴H ҂ ҂ .G/H G Ї H .G ҂ ҂ đG/H ҂ ҂ .8. G . G с .G đ ∃g ∈G,g ∞, g Z ,Z . Ć∴G đՖ a ∈G,∃b ∈G,b ∈ a ,∃c ∈G,c ∈ a ,c ∈ b ,···, Վ đG đ∴G с .。
抽象代数复习题及问题详解
《抽象代数》试题与答案 本科一、单项选择题(在每一小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每一小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,如此〔fg 〕(x)等于〔 B 〕A. 221x x ++ B. 23x + C. 245x x ++ D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，如此gf 是A 到C 的 〔 A 〕A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {〔1〕，〔1 2〕，〔1 3〕，〔2 3〕，〔1 2 3〕，〔1 3 2〕}，如此S 3中与元素〔1 32〕不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 如此G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的答案是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，如此以下结论不正确的答案是．．．．．．．( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，如此gf 是A 到C 的 〔 B 〕A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {〔1〕，〔1 2〕，〔1 3〕，〔2 3〕，〔1 2 3〕，〔1 3 2〕}，如此S 3中与元素〔1 2〕能交换的元的个数是( B )。