考点61 命题与逻辑用语(讲解)(解析版)

考点61 命题与逻辑用语【思维导图】
【常见考法】
考法一命题及其关系
1．（2020·黑龙江绥化）给出下列命题：
①命题“若240b ac -<，则方程()2
00++=≠ax bx c a 无实根”的否命题；
②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若0a b >>
0>>”的逆否命题；
④“若m 1≥，则()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题；
其中真命题的序号为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．①②③
【答案】A
【解析】①命题“若240b ac -<，则方程()2
00++=≠ax bx c a 无实根”的否命题为：
“若240b ac -≥，则方程()2
00++=≠ax bx c a 有实根”,为真命题，所以正确.
②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题为： “若ABC ∆为等边三角形，则AB BC CA ==”为真命题，所以正确.
③命题“若0a b >>
0>>”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确. ④“若1m ≥，则()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题为：
“若()()2
2130mx m x m -+++≥的解集为R ，则1m ≥”当0m =时，230x -+≥不是恒成立的.
当0m ≠时,则()()2
041430m m m m >⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩
解得：1m ≥，所以正确.故选：A 2．（2020·江西）下列命题错误的是（ ）
A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”
B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，2
0020x x -+<”
C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题
D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 【答案】B
【解析】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；
对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，
20020x x -+≤”，所以B 不正确；
对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的； 对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确.综上可得，命题错误为选项B.故选：B.
考点二 简单逻辑连接词
1．（2020·四川泸州.高三其他（文））命题:p 函数2()sin ()f x x ω=的最小正周期为π的充要条件是1ω=；
命题:q 定义域为R 的函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，则函数()g x 的图象关于直线1x =对称.则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()p q ∧⌝
【答案】C
【解析】对于命题p ：
2
1cos(2)()sin ()2
x f x x ωω-==，有最小正周期
212T ππωω==⇒=± 当1ω=时，有2
1cos(2)()sin 2
x f x x -==
，则有最小正周期22T π
π==，∴命题p 为假命题 对于命题q ：(2)()g x g x +=-⇒函数()g x 的图象关于直线1x =对称
函数()g x 的图象关于直线1x =对称即存在点1122(,),(,)x y x y 关于1x =对称，有
12
12
x x +=且1122()()y g x y g x === ，即有(2)()g x g x +=-
∴命题q 为真命题故，p ⌝为真命题，q ⌝为假命题 结合选项知：()p q ⌝∧为真命题故选：C
2．（2020·全国高三其他（文））已知命题p ：复数2z i =-的虚部是i -，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝
【答案】D
【解析】对于命题p ，复数2z i =-的虚部是1-，所以命题p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于命题q ，当0a =时，不等式10>恒成立，满足条件，所以命题q 是假命题，q ⌝是真命题，
∴p q ∧是假命题，故A 错误；p q ∨是假命题，故B 错误；p q ⌝∧是假命题，故C 错误；
p q ⌝∧⌝是真命题，故D 正确.故选：D.
3．（2020·全国高三其他（理））已知命题p ：函数()22x
x
f x -=-在R 上单调递增，命题q ：函数
()sin 24g x x π⎡⎤
⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦为奇函数，则下列命题中是真命题的为（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨
【答案】B
【解析】易知函数()22x
x
f x -=-在R 上单调递增，故命题p 为真命题.
函数()sin 2cos 24g x x x π⎡⎤
⎛⎫=+
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
为偶函数，故命题q 为假命题. 所以p q ∧为假命题，()p q ∧⌝为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：B .
考点三 全称、特称命题
1．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（ ）
A ．0(0,1),x ∃∉2
000x x -≥ B ．0(0,1),x ∃∈2
000x x -≥ C ．0(0,1),x ∀∉2
000x x -<
D ．0(0,1),x ∀∈2
000x x -≥
【答案】B 【解析】
“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2
000x x -≥，故选：B .
2．（2020·山东省泰安英雄山中学高二期中）已知函数()2331
x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任
意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥
⎝⎦ C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛
⎤⎡⎫
-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【答案】C
【解析】依题意()()2
2211
3311
x x x x x f x x x ++++++==
++121x x =+++，
则()()
2
1
11f x x '=-
+，
当[]
1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,
24f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,
1,124m m ⎡⎤
⊆-+⎢⎥⎣⎦
， 故712
21
14m m ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 故选：C.
3．（2020·南昌市新建一中高三其他（文））若“122x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，
使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ） A
．(
-∞
B
．⎡⎤⎣
⎦
C
．⎡⎤-⎣
⎦
D ．3λ=
【答案】A
【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2
x ∀∈，
使得2
210x x λ-+≥恒成立成立”，即221
x x
λ+≤对于1[,2]2x ∀∈
恒成立，而
22112x x x x +=+≥=12x x =
，即2
x =时取等号）
，即λ≤ A.。