2015-2016学年上海市静安区市西中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市静安区市西中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分，否则得零分1．（3分）全集U=R，集合A={x|x≥0}，则∁U A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若{1，a，}={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为．4．（3分）满足不等式的实数x的取值范围是．5．（3分）设集合A={（x，y）|y=x+1，x∈R，y∈R}，B={（x，y）|y=x2﹣1，x ∈R，y∈R}，则A∩B=．6．（3分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，则f（﹣1）=．7．（3分）若不等式x2﹣kx+k＞0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是．8．（3分）设函数，则f（x）的单调增区间是．9．（3分）设a＞1，b＞1，若a+b=4，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值为．10．（3分）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为．11．（3分）函数f（x）的定义域为D，若x1，x2∈D且当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数，给出下列命题：①反比例函数（x∈R，x≠0）是单值函数；②二次函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；③在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数．以上命题中的真命题有（写出所有真命题的编号）．12．（3分）已知集合M={1，2，3，4，5}，对于它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以（﹣1）k后再求和，称为A的“元素特征和”．比如：A={4}的“元素特征和”为（﹣1）k×4=4，A={1，2，5}的“元素特征和”为（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）5×5=﹣4，那么集合M的所有非空子集的“元素特征和”的总和等于．二、选择题（本大题16分）本大题共4道，每题有且只有一个正确答案．选对得4分，否则得零分．13．（4分）下列说法正确的是（）A．若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题B．若一个命题的逆命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题C．若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是假命题D．若一个命题的逆命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题14．（4分）设x∈R，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（4分）下列函数中既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y=﹣x+1 B．y=|x|C．D．16．（4分）一个高为H，容积为V的鱼缸的轴截面如图所示，向鱼缸里注水，若鱼缸里的水面高度为h时，鱼缸里的水的体积为V'，则函数V'=f（h）的大致图象可能是（）A．B．C． D．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题时必须写出必要的步骤．17．（8分）已知x∈R且x≠1，比较两式1+x与的值的大小．18．（8分）设集合A={x|1＜x＜3，x∈R}，B={x||x﹣a|＜4，x∈R}，若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．19．（10分）对于定义域分别为D f、D g的函数f（x）、g（x），规定：（1）设，写出h（x）的解析式．（2）求（1）中函数h（x）的值域．20．（10分）某环线地铁按内、外环线同时运动，内、外环线的长度均为35千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当14列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客候车时间不超过6分钟，求内环境列车的最小平均速度为多少千米/小时？（2）新调整的运行方案要求内环线列车平均速度为30千米/小时，外环线列车平均速度为35千米/小时．现内、外环线共有28列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客候车时间之差的绝对值不超过0.5分钟，试问：内、外环线应投入几列列车运行？21．（12分）已知集合M是同时满足下列条件的函数f（x）的全体：①f（x）的定义域为（0，+∞）；②对任意的正实数x，都有f（x）=f（）成立．（1）设函数f（x）=（x＞0），证明：f（x）属于集合M，且存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+）=f（x）成立；（2）对于集合M中的任意函数f（x），证明：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+）=f（x）成立．2015-2016学年上海市静安区市西中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分，否则得零分1．（3分）全集U=R，集合A={x|x≥0}，则∁U A={x|x＜0} ．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥0}，∴∁U A={x|x＜0}．故答案为：{x|x＜0}2．（3分）函数的定义域是{x|﹣2≤x≤2} ．【解答】解：由4﹣x2≥0，得x2≤4，即﹣2≤x≤2．∴函数的定义域是{x|﹣2≤x≤2}．故答案为：{x|﹣2≤x≤2}．3．（3分）若{1，a，}={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为﹣1．【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{1，a，}={0，a2，a+b}，∴分母a≠0，∴b=0，a2=1，且a2≠a+b，解得a=﹣1；∴a2015+b2015=﹣1．故答案为：﹣1．4．（3分）满足不等式的实数x的取值范围是﹣1＜x＜0．【解答】解：由题意，＜0，即x（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜0，故答案为﹣1＜x＜0．5．（3分）设集合A={（x，y）|y=x+1，x∈R，y∈R}，B={（x，y）|y=x2﹣1，x ∈R，y∈R}，则A∩B={（﹣1，0），（2，3）} ．【解答】解：∵A={（x，y）|y=x+1，x∈R，y∈R}，B={（x，y）|y=x2﹣1，x∈R，y∈R}，∴A∩B═{（x，y）|}={（x，y）|或}={（﹣1，0），（2，3）}，故答案为：{（﹣1，0），（2，3）}6．（3分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵y=g（x）=f（x）+x2是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+x2=﹣f（x）﹣x2，即f（﹣1）+1=﹣f（1）﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）﹣2，∵f（1）=1，∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．故答案为：﹣3．7．（3分）若不等式x2﹣kx+k＞0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（0，4）．【解答】解：因为不等式x2﹣kx+k＞0恒成立，则函数y=x2﹣kx+k的图象都在x 轴的上方，所以判别式△=k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4；故答案为：（0，4）8．（3分）设函数，则f（x）的单调增区间是[1，2）．【解答】解：由题意，x＜2，函数的单调增区间为[1，2），x≥2，函数单调递减．故答案为[1，2）．9．（3分）设a＞1，b＞1，若a+b=4，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值为1．【解答】解：∵a＞1，b＞1，a+b=4，∴（a﹣1）+（b﹣1）=2．则（a﹣1）（b﹣1）≤=1，当且仅当a=b=2时取等号，∴（a﹣1）（b﹣1）的最大值为1．故答案为：1．10．（3分）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1] ．【解答】解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定义域都为R，把x换为﹣x得：1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，变形得：1≤﹣f（x）+g（x）＜3，即﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，则f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1]．故答案为：（﹣3，﹣1]11．（3分）函数f（x）的定义域为D，若x1，x2∈D且当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单值函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单值函数，给出下列命题：①反比例函数（x∈R，x≠0）是单值函数；②二次函数f（x）=x2（x∈R）是单值函数；③在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数．以上命题中的真命题有①③（写出所有真命题的编号）．【解答】解：在①中，（x∈R，x≠0），当f（x1）=f（x2）时，，∴x1=x2，故①是单值函数；在②中，f（x）=x2（x∈R），当f（x1）=f（x2）时，，∴x1=±x2，故②不是单值函数；在③中，由单值函数的定义知在定义域D上单调递增或递减的函数一定是单值函数，故③正确．故答案为：①③．12．（3分）已知集合M={1，2，3，4，5}，对于它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以（﹣1）k后再求和，称为A的“元素特征和”．比如：A={4}的“元素特征和”为（﹣1）k×4=4，A={1，2，5}的“元素特征和”为（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）5×5=﹣4，那么集合M的所有非空子集的“元素特征和”的总和等于﹣48．【解答】解：集合M={1，2，3，4，5}，对它的非空子集A共有25﹣1=63个，其中1，2，3，4，5都出现了24次依题意得：24[（﹣1）1•1+（﹣1）2•2+（﹣1）3•3+（﹣1）4•4+（﹣1）5•5]=﹣48故答案为：﹣48二、选择题（本大题16分）本大题共4道，每题有且只有一个正确答案．选对得4分，否则得零分．13．（4分）下列说法正确的是（）A．若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题B．若一个命题的逆命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题C．若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是假命题D．若一个命题的逆命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题【解答】解：一个命题的逆命题和它的否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同，所以若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．故选：A．14．（4分）设x∈R，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故选：A．15．（4分）下列函数中既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y=﹣x+1 B．y=|x|C．D．【解答】解：A．y=﹣x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=|x|是偶函数，当x＜0时，y=﹣x为减函数，满足条件．C.是奇函数，不满足条件．D.是偶函数，当x＜0时，x2+1为减函数，则为增函数，不满足条件．故选：B．16．（4分）一个高为H，容积为V的鱼缸的轴截面如图所示，向鱼缸里注水，若鱼缸里的水面高度为h时，鱼缸里的水的体积为V'，则函数V'=f（h）的大致图象可能是（）A．B．C． D．【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当h增加一个单位增量△h时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选：D．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题时必须写出必要的步骤．17．（8分）已知x∈R且x≠1，比较两式1+x与的值的大小．【解答】解：1+x﹣=，因此x＞1时，1+x＞，x＜1时，1+x＜．18．（8分）设集合A={x|1＜x＜3，x∈R}，B={x||x﹣a|＜4，x∈R}，若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：B={x||x﹣a|＜4，x∈R}=B={x|﹣4＜x﹣a＜4}={x|a﹣4＜x＜a+4}，若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，则，即，得﹣1≤a≤5，即实数a的取值范围是[﹣1，5]．19．（10分）对于定义域分别为D f、D g的函数f（x）、g（x），规定：（1）设，写出h（x）的解析式．（2）求（1）中函数h（x）的值域．【解答】（1）由于函数f（x）=，g（x）=4x2+1，根据题意得：当x≠0时，h（x）=f（x）g（x）=，当x=0时，h（x）=4x2+1．从而得出h（x）=；（2）当x≠0时，h（x）=4x+若x＞0⇒h（x）≥4其中等号当x=时成立，…（8分）若x＜0⇒h（x）≤﹣4其中等号当x=﹣时成立，…（10分）∴函数h（x）的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）∪{0}20．（10分）某环线地铁按内、外环线同时运动，内、外环线的长度均为35千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当14列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客候车时间不超过6分钟，求内环境列车的最小平均速度为多少千米/小时？（2）新调整的运行方案要求内环线列车平均速度为30千米/小时，外环线列车平均速度为35千米/小时．现内、外环线共有28列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客候车时间之差的绝对值不超过0.5分钟，试问：内、外环线应投入几列列车运行？【解答】解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，∴v≥25∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是25千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（28﹣x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，t1=，t2=∴|t1﹣t2|=||≤0.5，⇒x2+232x﹣3920≤0且x2﹣288x+3920≤0，∴，∴x=15∵x∈N+∴当内环线投入15列列车运行，外环线投入13列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过0.5分钟．21．（12分）已知集合M是同时满足下列条件的函数f（x）的全体：①f（x）的定义域为（0，+∞）；②对任意的正实数x，都有f（x）=f（）成立．（1）设函数f（x）=（x＞0），证明：f（x）属于集合M，且存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+）=f（x）成立；（2）对于集合M中的任意函数f（x），证明：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+）=f（x）成立．【解答】解：（1）函数f（x）=（x＞0），满足：①f（x）的定义域为（0，+∞）；又∵函数f（）===f（x）．故满足②对任意的正实数x，都有f（x）=f（）成立．∴f（x）属于集合M．（2）对任意的正实数x，f（x）====g（x+），⇒g（x）=，∵，即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+）=f（x）成立．。