一次函数与几何图形综合专题讲座(学生版)
八年级数学同步拔高班第11讲《一次函数与几何综合》讲义
第十一讲 一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1．一次函数y=kx+b （k≠0），k 表示倾斜程度，k 是坡面地铅直高度与水平宽度地比(也叫坡度或坡比)，如图所示AM 即为_________，BM 即为________，则=AM k BM．2．设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1 l2； ②若k1·k2= ________，则直线l1 l2．3．“一次函数与几何综合”解题思路：⑤④③②①几何图形一次函数坐标①____________________________________________________②____________________________________________________③____________________________________________________④____________________________________________________⑤____________________________________________________二、精讲精练BA M1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为________．第1题图第2题图2.如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1 l2；若直线l1，l2地斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．3.如图，已知直线l：y=3x-x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA地表达式为_________．第3题图第4题图4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD地面积，已知A（4，2），则k= ．5.已知：直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成地面积为8，则m地值为____________．6.如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A ，B 地坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x-6上时，线段BC 扫过地面积为( )A ．4B ．8C ．16D．第6题图 第7题图7.如图，已知直线l1：y=2833x 与直线l2：y=-2x+16相交于点C ，直线l1，l2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 地顶点D ，E 分别在l1，l2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG ：S △ABC=_________．8.直线AB ：y=-x+b 分别与x 轴，y 轴交于A （6，0），B两点，过点B地直线交x轴负半轴于C，且OB:OC=3:1．(1)求直线BC地解读式．(2)直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样地直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k地值；若不存在，说明理由．(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
中考专题讲座——一次函数与反比例函数综合(64张ppt) (4) - 副本
截长补短通常会利用三角形全等的有关性质加以说明
已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC， 若∠C=2∠B,
证明：AB=AC+CD.
B
A
D
C
如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上 任意一点，
求证：AB－AC＞PB－PC
B
A
12
P
D
C
3.应知必会的几何模型
பைடு நூலகம் A
已知：如图 AD 是△ABC 的中线，求证： AB+AC>2AD
C
B
D
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC，
求证：EF∥AB.
B E
A F
D
C
截长补短被称作数学中求线段和差关系的克星 1、截长
在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 2、补短
的数量关系，并证明．
（2）如图2，连接AE， 则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAP=∠BAP=20°， ∴∠EAD=130°，
∴∠ADF= 25°；
=25°；
对称
2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E， 连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F． （1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数； （3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间
1 2
3
4.图形变换的解题思路
图形变换包括平移、对称、旋转三大部分，而中考试卷中多 数情况下考察旋转。
七年级数学上册 一次函数与几何综合(一)讲义 (新版)鲁教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题一次函数与几何综合（一）（讲义）课前预习1. 小明认为，在一次函数y=kx+b 中，x 每增加1，kx+b 就增加了k，y 也就增加了k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x 每增加1 个单位长度，y 增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x 从1 变到 2 时，y 的值由3 变到 5，即x 每增加 1 个单位长度，y 就增加 2 个单位长度，因此k 的值就是 2．再结合b 为函数图象与y 轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法．请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式．知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比） 来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为 ，BM 即为 ，则k =AM ．BM②b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标．2. 设直线 l 1：y 1=k 1x +b 1，直线 l 2：y 2=k 2x +b 2，其中 k 1，k 2≠0．①若 k 1=k 2，且 b 1≠b 2，则直线 l 1 l 2；②若 k 1·k 2= ，则直线 l 1l 2．3. 一次函数与几何综合解题思路坐标一次函数几何图形①要求坐标， ； ②要求函数表达式， ； ③要研究几何图形，．ABM3 = 33 精讲精练 1.如图，点 B ，C 分别在直线 y =2x 和 y =kx 上，A ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是正方形，则 k 的值为 ．第 1 题图第 2 题图2. 如图，点 A ，B 分别在直线 y =kx 和 y =-4x 上，C ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是长方形，且 AB :AD =3:2，则 k 的值为 ．3.如图，已知直线 l ： y3x 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴3 交于点 B ，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 AC 的表达式为 ．第 3 题图第 4 题图4.已知点 A 的坐标为(5，0)，直线 y =x +b （b >0）与 y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则 b 的值为 ．335.如图，△OA B 是边长为2 的等边三角形，过点A 的直线y=-x+m 与x 轴交于点C，则点C 的坐标为．6.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为( ，0)，直线PQ 的斜率为，则将直线PQ 绕点P 逆时针旋转90°所得直线的表达式为．7.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，OA=m，OB=n，将△AOB 绕点O 逆时针旋转 90°得到△COD，CD 所在直线l2 与直线l1 交于点E，则l1l2；若直线l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则k1·k2= ．第7 题图第8 题图8.如图，直线y4x 8 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，线段3AB 的垂直平分线交x 轴于点C，交AB 于点D，则直线CD的表达式为．9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中放入一张长方形纸片 ABCO ， 点 D 在 AB边上，将纸片沿 CD 翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B ′处．若 OC =9， OC 3，则折痕 CD 所在直线的解CB 5析式为 ．第 9 题图第 10 题图10.如图，直线 y 3x2 3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B ，D 是 y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线 DA 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处，则直线 CD 的解析式为．11.如图，在平面直角坐标系中，函数 y =x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点 A 的坐标为(3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A' 的坐标为 ； 猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线 l 的对称点 P ′的坐标为 ；应用：若已知两点 B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线 l 上确定一点 Q ，使点 Q 到 B ，C 两点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为 ．12.如图，已知直线l1：y 2x8与直线l2：y=-2x+16 相交于点3 3C，直线l1，l2 与x 轴分别交于点A，B，长方形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，则S 长方形DEFG : S△ABC = ．33 【参考答案】课前预习1. 小明的说法正确，验证过程略y 3x 2 ，y 2x 2知识点睛1. 竖直高度，水平宽度2. ①∥；②-1，⊥3.①利用函数表达式或线段长转坐标 ②待定系数法或 k ，b 的几何意义 ③坐标转线段长或 k ，b 的几何意义精讲精练 1.2 3 2.4 5 3.y4. 3x 35. (1+ ，0)6.y3x +1 3 7. ⊥，-18. y 3 x74 49. y 1x 9310.y3x 2 3 11. (1，3)；(n ，m )；( 13 ， 13)5 512. 8:95 333。
新八年级数学PPT 一次函数与几何综合课件
一、面积问题
【例1】如图，直线l1的函数解析式为 y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D ， 直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C.
(1)求点D的坐标；
(2)求直线l2的函数解析式； (3)求△ADC的面积；
(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相
三、最小值问题
1 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，2)，P 为 x 轴
(2，0) ． 上一动点，则 PA＋PB 最小时点 P 的坐标为________
分析：先作出点 A 关于 x 轴对称的点 A′，再连接 A′B 交 x 轴于 点 P，则点 P 即为所求．由题中条件易求出直线 A′B 的解析式，再求出 直线 A′B 与 x 轴的交点坐标即可．
一、面积问题
【对应训练】 1．如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y 1 ＝－2x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE 和 S 四边形 AODE.
解：易求 A(－3，0)，B(0，6)，C(2，0)，D(0，1)，∴BD＝5， y＝2x＋6， x＝－2， 解 得 1 y＝2， y＝－2x＋1， ∴E(－2，2)，∴S△BDE＝5，S 四边形 AODE＝S△AOB－S△BDE＝9－5＝4
等，请直接写出点P的坐标．
一、面积问题
分析：(1)令 y＝－3x＋3＝0，求出 x 可得点 D 的坐标；(2)设直线 l2 的解析式为 y＝kx＋b，把 A，B 的坐标代入求出 k，b 可得；(3)先求出点 C 的坐标，再求 S△ADC；(4)在 l2 上且到 x 轴的距离等于点 C 纵坐标的相反 数的点即为点 P. 解：(1)由 y＝－3x＋3，令 y＝0，得－3x＋3＝0，∴x＝1，∴D(1，0) y＝－3x＋3， x＝2， 3 (2)y＝2x－6 (3)由 3 解得 ∴C(2，－3)，∵AD＝3， y＝－3， y＝2x－6， 1 9 ∴S△ADC＝2×3×|－3|＝2 (4)P(6，3)
例讲初中数学一次函数与几何综合问题
(下转第 ５７ 页)
学习指导
２０２３ 年 １２ 月下半月
这些错误都是解题 教 学 的 宝 贵 资 源 ．
教师应指导学困
题能力 ．
生从思想 上 重 视 错 题,并 明 确 错 题 是 宝 贵 的 知 识 财
富;在解题教 学 中,聚 焦 错 题,引 领 学 生 分 析、反 思 错
误产生的原因,并找到正确的解题方法 ．
°,点 P 是
∠AOB 内 的 定 点 且 OP ＝ ３,若 M ,N 分 别 是 射 线
OA ,
OB 上 异 于 点 O 的 动 点,求 △PMN 周 长 的 最
小值 ．
(
１)平行四边形的 存 在 性 口 诀:平 行 四 边 存 在 性,
对边平行且相等,等量关系里面有 ．
常通过平行四 边 形
性质得到对边的位置关系与数量关系 ．
１)
借助表达式设出点的坐标,将 点 的 坐 标 转 化 为 横 平 竖
点O,
B 重合),作 CD 平 行 于y 轴 交 直 线l２ 于 点 D ,
究几何特征,考 虑 线 段 间 关 系,通 过 设 线 段 长 进 而 表
解:(
１)在 y＝－x＋２４ 中,令 x＝０,则 y＝２４,所
以 A(
０,
２４)．
以在解决一次函数与几何 综 合 问 题 时,可 以 从 如 下 解
故 S△ABO ＝
题技巧来破解:数形结 合 记 心 头,大 题 小 做 来 转 化,潜
在条件不能忘,化动为 静 多 画 图,分 类 讨 论 要 严 密,方
程函数是工具,计算 推 理 要 严 谨,创 新 品 质 得 提 高 ．
做
不出,找相似,有 相 似,用 相 似;构 造 定 理 所 需 的 图 形
部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案
专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。
MSDC初中数学一次函数与几何综合第07讲(B级)学生版
内容基本要求略高要求较高要求一次函数理解正比例函数，能结合具体情境了解一次函数的意义;会画一次函数的图像，理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数解析式;会根据一次函数解析式求其图像与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数图像求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、 一次函数的应用【例1】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）时间（分钟）路程（千米）单位家01283421A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟【例2】 如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长y 与腰长x 之间的函数图像为（ ）例题精讲中考要求一次函数与几何综合ABCD【例3】【例4】 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本(10)x x 本．⑴写出每种优惠办法实际的金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式；⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．【例5】一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）二、一次函数与几何综合【例6】求一次函数32=+的图象与两坐标轴围成的三角形面积．y x【例7】 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。
九年级数学一次函数专题讲座
一次函数思维基础知识是思维的基础，学好基础知识，在应用知识解决问题的过程中，促进思维发展.通过回答下列各问，复习掌握基础知识.1.正比例函数的定义、图象、性质y=kx（k≠0）是函数，其图象是经过两点（0，）和（1，）的一条直线.（1）当k>0时,y随x的增大而，图象经过第象限，其示意图是；（2）当k<0时,y随x的增大而，图象经过第象限，其示意图是 .2.一次函数的定义、图象、性质y=kx+b（k≠0）是函数，其图象是经过两点（0，）和（1，）一条直线.（1）当k>0时，y随x的增大而 .当k>0，且b>0时，图象经过第象限，其示意图是；当k>0且b<0时，图象经过第象限，其示意图是 .（2）当k<0时，y随x的增大而 .当k<0且b>0时，图象经过第象限，其示意图是；当k<0且b<0时，图象经过第象限，其示意图是 .3.两种函数的联系与区别联系：（1）两种函数都是一条；（2）当k>0或k<0时，两函数的增减性同；（3）当b=0时，一次函数y=kx+b转化为正比例函数，因此正比例函数可看作一次函数的特例；（4）两种函数的自变量x的指数均为1且k≠0.区别：（1）正比例函数也是函数，但是一次函数是正比例函数；（2）正比例函数的图象一定经过点，且经过个象限，一次函数的图象一般不经过点，且经过个象限.4.求两种函数的解析式的方法是 .思维扩散扩散思维是创造思维的重要组成部分，所以通过学习知识，发展扩散思维是十分有益的，使对问题想得宽、想得远、想得细.图代13-2-2例： 如图代13-2-2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，已知AC=，BC=15cm.（1）求AB 边上的中线CM 的长；（2）在CM 上取一点P （点P 与点C 、点M 不重合），求出△APB 的面积y(cm)2与CP 的 长x （cm ）之间的函数关系式；（3）在直角坐标系中，画出这个函数图象.【思考】 1.请你叙述勾股定理.2.直角三角形斜边中线性质你知道吗？【思路分析】 从条件中不难发现，用勾股定理和直角三角形斜边上的中线定理，很 容求得CM 的长，凡有关直角三角形的计算常用勾股定理和锐角三角函数. 解：2562515202222==+=+=BC AC AB .==AB CM 2112.5（cm ） 本例的重点是求解（2），求解这一问方法很多，就求解这一问作如下提示.【扩散1】 求函数式首先要找到两个变量，本例的两个高精尖量各是什么？哪个量是自变量P 点为CM 上任一点（P 不与C ，M 重合），即为动点，S △APB 是随着P 点的变化而变化的，CP 的长短是变化的，所以它是什么变量，如何找到S △APB 与CP 的关系这是关键，从条件和图形应联想到，寻找三角形面积与特定线段的函数关系，即面积的比等于某些线段的比，则想到，“共底不等高的两个三角形面积的比等于高的比”，由此求求.【思路分析】 “共底三角形面积的比等于对应高的比”，那么，它们的高在哪里？在图中找不到，它就暗示必须作出两个三角形的高，这时出现相似三角形，抓住这个契机，便由此可以突破.解：作PN ⊥AB ，CD ⊥AB ，N ，D 是垂足，CDPN S S ACB APB =∆∆ PN ∥CD ⇒△PMN ∽△CMD 5.125.12x CM PM CD PN -==⇒150125.125.12152021+-=⇒-=⨯⨯=⇒∆∆x y x y S S ACBA APB ， 从事例的实际出发，CP 在0～12.5cm 之间变化，∴0<x <12.5.由于本例寻找的是三角形面积与特定线段之间函数关系，这种解法不止一个，其关键是联想到关定理，“看到图形就能想到它的有关性质”.图代13-2-3【扩散2】 依据定理“等高（或共高）两个三角形面积的比等于两底之比”，BCMBPM ACM APM S S CM PM S S ∆∆∆∆==S CMPM S S S S BCM ACM BPM APM =++⇒∆∆∆∆ 150152021,=⨯⨯===⇒∆∆∆∆ACB APB ACB APB S y S CMPM S S 5.125.12150x y -=⇒ ⇒y=-12x+150.【扩散3】 依据“三角形中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形”，∵ y S S APB BPM 2121==∆∆， 7521==∆∆ACB BCMS S ， ∴ 5.125.121507521x CM PM y y S S BCM BPM-====∆∆. ∴ y=-12x+150.【扩散4】 应用三角形面积公式，∵ AC BC CD AB S ABC ⋅=⋅=∆2121∴ 12252015=⨯=⋅=AB AC BC CD . ∵PN ⊥AB ，CD ⊥AB ，（见扩散1图代13-2-3）∴PN ∥CD ，∴CMPM CD PN =. ∴ 125.12)5.12(⨯-=⋅=x CM CD PM PN . ∵ 125.125.12252121⨯-⨯⨯=⋅=x PN AB y ， ∴ 15012+=x y .【扩散5】 依据“遇到中线常加倍”的方法，延长PM 到P ＇，且使P ＇M=PM ，则四边形APBP ＇为平行四边形，S △APP ＇=S △APB . ∴5.1222521,5.12225x S S x S S ACB APB ACM P AP -=-=∆∆∆'∆即， ∴ 5.12225152041x y-=⨯⨯， ∴ 15012+-=x y.图代13-2-4 图代13-2-5【扩散6】 遇到直角三角形，可利用锐角三角函数求解.设∠ACM=α，则∠BCM=90°-α， .542520)90sin(cos ,532515sin ===-︒====AB AC AB BC ααα.12541521532021)90sin(21sin 21x x x CB CP CP AC S S BCPACP =⨯⨯+⨯⨯=-︒⋅+⋅=+∆∆αα )(BCP ACP ABC ABP S S S S ∆∆∆∆+-= x 12152021-⨯⨯=. 即15012+-=x y .（3）画图象略.集中分析从上例我们可以发现三角形中，等高（或共高）不等底，等底（或共底）不等高特点.三角形这一独特性质是解决三角形面积问题的常用方法，扩散1～2借助它们，思路便疏通了，三角形中线把原三角形面积分成等积的两个三角形的这一性质，使扩散3获得十分简捷解法，对于类似问题都可仿效此法，扩散4借助小学学过的三角形面积公式，也找到了思路，由此可知，三角形面积公式在几何证题中有独到之功，切不可忽视它.今后再遇到类似难题，可以试一试“绝招”，尽管解得有些麻烦，但也可顺利达到目的.扩散5、扩散6的标题已展现出它们的“功劳”.因为，这两种解法很顺畅，尤其扩散6，又开辟证解几何问题的新航道——三角法.请同学们继续进行扩散，还有其他方法.本例是一道涉及一次函数与几何题的综合题，把数与形交融一体.因而既扬形之可见之长又能发挥数之计算之优，即借助几何原理建立起关系式，再代入数字与字母，应用代数进行化简计算，便可达到目的.只要熟练驾驭数形结合的方法，就能思维扩散自如，数学素养才能提高.。
第四章一次函数 一次函数与几何综合(一)讲义2021-2022学年八年级数学北师大版上册
一次函数与几何综合（一）（讲义）➢ 课前预习1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2. 如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________．第2题图 第3题图3. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4. 如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x于点B ．（1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．➢ 知识点睛1. 一次函数与几何综合的处理思路：从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2. 函数与几何综合问题中常见转化方式：（1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程；（2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程．➢ 精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______．第1题图 第2题图2. 如图，直线l 1：364y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y轴相交于点M ，若△PMN 的面积为18，则直线l 2的表达式为______________．3. 如图，一次函数123y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________．第3题图 第4题图4. 如图，点A ，B 的坐标分别为(-8，0)，(0，4)，点C (a ，0)为x 轴上一个动点，过点C 作x轴的垂线，交直线AB 于点D ，若CD =5，则a 的值为_________．5. 如图，直线y =kx +6与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(6，0)，点C 的坐标为(4，0)．若点P 是直线y =kx +6上的一个动点，当点P 的坐标为______________时，△OPC 的面积为4．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +1与334y x =-+相交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AB 上的一个动点．当△BDC 的面积是△ABC 面积的2倍时，点D 的坐标为______________．第8题图7. 如图，直线12y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线y =x 交于点M ，点M 的横坐标为2，点C 为线段AM 上一点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线y =x 于点E ．若ED =4CD ，则点E 的坐标为________．8. 如图，直线AB ：y =-x +20与y 轴交于点A ，与直线OB ：13y x =交于点B ．点C 为线段OB上一点，过点C 作y 轴的平行线交直线AB 于点D ，向y 轴作垂线，垂足为点E ．若DC =2CE ，则点C 的坐标为__________．y9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 和B ，D 分别在直线132y x =+和x 轴上，若△OAB ，△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB =∠BCD=90°，则点C 的坐标为___________．第9题图 第10题图10. 如图，P ，Q 是直线122y x =+上的两点，OP =OQ ，OP ⊥OQ ，则点Q 的坐标为__________．11. 如图，直线l 1：y =2x +1与直线l 2：y =mx +4相交于点P (1，b )，垂直于x 轴的直线x =a 与直线l 1，l 2分别交于点A ，B ，若线段AB 的长为2，则a 的值为__________．12. 如图，直线l 1：34y x =与直线l 2：y =-x +7相交于点A ．点P 在x 轴正半轴上，过点P 作x 轴的垂线，与直线l 1，l 2分别交于点B ，C ．设点P 的横坐标为t ．（1）当t =1时，求线段BC 的长； （2）用含t 的式子表达BC 的长；（3）若三个点B ，C ，P 中恰有一点是其他两点所连线段的中点，则称B ，C ，P 三点为“共谐点”．请直接写出使得B ，C ，P 三点成为“共谐点”的t 的值．一次函数与几何综合（一）（随堂测试）1. 如图，直线l 1：y =2x +3与y 轴交于点A ，直线l 2：y =kx -1与y 轴交于点B ，两直线相交于点C ，若AC =BC ，则直线l 2的表达式为_____________．第1题图 第2题图2. 如图，已知直线l 1：443y x =-+与直线l 2：y kx =交于点A ，点A 的横坐标为2，点B 为线段OA 上一点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，交直线l 1于点D ．若BD =2BC ，则点B 的坐标为________．一次函数与几何综合（一）（习题）1. 如图，直线l 1：y =-x +2与x 轴交于点B ，直线l 2经过点D (0，5)，与直线l 1交于点C (-1，m )，且与x 轴交于点A ．则△ABC 的面积为___________．第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx +4与x 轴交于点A ，与直线y =3x 交于点B ，点B的纵坐标为3，点C 是线段AB 上一点，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，连接BD ，若BD =BC ，则点C 的坐标为___________．3. 如图，直线l 1：y =kx -3与x 轴交于点A ，交直线l 2：y =x 于点B ，且点B 的横坐标为-2．若P 为直线l 1上一动点，当P 的坐标为_________________时，△AOP 的面积为9．第3题图 第4题图4. 如图，已知正比例函数43y x =与一次函数y =-2x +10的图象交于点A ，点P (a ，0)是x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），与43y x =和y =-2x +10的图象分别交于点B ，C ．若BC =2AO ，则a 的值为___________．5. 如图，直线与直线y =-x +14相交于点A ，点B 为线段OA 上一点，过点B 作BC ∥y轴交直线y =-x +14于点C ，过点B 向y 轴作垂线，垂足为点D ，若B D =B C ，则点B 的坐标为____________．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线OM 经过点A (6，6)，过A 作正方形ABCD ，在直线OA上有一点E ，过E 作正方形EFGH ．已知正方形的边长与坐标轴平行，直线OC 经过点G，且正方形ABCD 的边长为2，正方形EFGH 的边长为3，则点F 的坐标为__________．13y x =7. 如图，直线l 1：y =x +4与直线l 2：y =-2x 交于点A ，点B 是直线l 1上一点，过点B 作BC ∥y轴，交直线l 2于点C ．若BC =5，则点B 的坐标是____________________．第7题图第8题图8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在直线y =2x +5上，连接OA ，过点O 作OA 的垂线，交直线y =-x +3于点B ，若OA =OB ，则点B 的坐标是________．9. 如图，在平面直角坐标系中，过点A (-6，0)的直线AB 与直线OB 相交于点B (-4，2)，与y 轴相交于点C ．动点M 在线段OB 和射线BC 上运动，当点M 的坐标为_______________时，△OMC 的面积是△OBC 的面积的14．一次函数与几何综合（一）【讲义】➢课前预习1.25y x=-2.2y x=+3.122y x=-4.（1）(t，3t)，(t，t)，2t（2）(2，6)➢精讲精练1.62.332y x=--3.1 3 -4.2或-185.(4，2)或(8，-2)6.(237，307)或(377-，307-)7.(4，4)8.(6，2)9.(30，18)10.(45，125)11.53或1312.（1）214 BC=；（2）77(04)477(4)4t tBCt t⎧-+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩≤；（3）当t的值为145，5611或28时，B，C，P三点成为“共谐点”【随堂练习】1.21y x=--2.(65，45)【习题】1.2742.(2，2)3.(-12，3)或(0，-3)4.65.(6，2)6.(9，6)7.(13，133)或(-3，1)8.(1，2)9.(-1，12)，(-1，5)，(1，7)。
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一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响．①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；"当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．·（2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：;1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1)求AC的解析式；(2)。
(3)在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。
(4)在（2）的前提下，作PM⊥AC于M,BP交AC于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM的值不变；②(MQ－AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2．(本题满分12分)如图①所示，直线L：5y mx m=+与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。
(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；xyoBACPQxyoBACP|M[(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。
(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
)第2题图③&3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E ,过点C ，作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF,（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
（6分）"4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为－1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．'5.如图，直线AB：y=－x－b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。
（1）求直线BC的解析式：（2）直线EF：y=kx－k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD若存在，求出k的值；若不存在，说明理由（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。
·6. 如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C（－2，－2）。
（1）求m 的值；（2）直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F ,若OD =OE ，求AEBF的值； （3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA =PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化若不变，求其值；若变化，说明理由。
（7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图像过点B （－1，），与x 轴交于点A （4,0），与y 轴交于点C ，与直线y=kx 交于点P ，且PO=PA）（1）求a+b 的值；（2）求k的值；（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标.8.在直角坐标系中，B、A分别在x，y轴上，B的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC平分∠OAB交x轴于C；（1）求C的坐标；（2）若D为AB中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC（3）若D为AB上一点，以D作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°，连BE，试问∠EBC的度数是否发生变化；若不变，请求值。
$9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足4 a + |4－b |=0 （1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.10、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)， ∠BAO =30°．（1）求AB 的长度；>（2）以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：BD =OE ．D E B O xy F A（3）在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．11.如图，直线y =31x +1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC =OB . （1）求直线AC 的解析式；（2）在x 轴上取一点D （－1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于点G ，求F 点的坐标；（3）过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y =kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、I ，试求ABBI AH 的值。
)12.如图，直线AB：y=－x－b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1.（1）求直线BC的解析式；（2）…（3）直线EF：y=kx－k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD若存在，求出k的值；若不存在，说明理由（4）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。
|实战练习：1.已知，如图，直线AB：y=－x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D.（1）求直线BD的解析式；（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；：（3）若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AF⊥FG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠CFE的度数是否发生变化若不变，请求出∠CFE的度数；若变化，请求出其变化范围.2.直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C为AB的中点.（1）求C的坐标；{（2）如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求∠NCM的度数；（3）P为过B点的直线上一点，PD⊥x轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BF－BE的值的情况.3.如图，一次函数y=ax－b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，－4）且OA=AB，△OAB的面积为6.（1）求两函数的解析式；（2）若M（2，0），直线BM与AO交于P，求P点的坐标；（3）在x轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。