微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22

(,)y

f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

∞

+--dx e x x

___________.

∞

+∞

--dx e x 2

3、函数

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.

5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________. 6 知dx

p ?∞

+- 0

)1(与

-e

p x x dx

1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).

(A)

1p > (B)

1p < (C) 12p <<

(D) 2p >

7 数

?=+≠++=0 ,0 0

,4),(222

222y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( b ).

(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8

、若

x y I +≤=

22212

x y I ≤+≤=

22324

x y I ≤+≤=

,则下列关系式成立的是( a).

(A) 123I I I >> (B)

213

I I I >> (C)

123

I I I <<

(D)

213

I I I <<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ).

(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

2n n

收敛，则∑∞

=-1

)

1(n n

a ( d ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、2(1)1x y y -+. 2

3、)

,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2

x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32

y x =的

函

数为

x y y =>。且

=x 时，

=y 。

于

是

)6()

3(分分2488

330

730

(4)16(80)33

128128(80)

775127

V y dy y dy

y ππππππππ=-=--??=-?=-?-????=??

12、求二重极限

1lim

222

-+++→→y x y

x y x .

解：原式

11)11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)

)11(lim 220

=+++=→→y x y x (6

分)

13、),(y x z z =由

xy e z z

=+确定，求y x z

???2. 解：设

(,,)z

F x y z z e xy =+-，则

x F y

=-，

y F x

=- ，

z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++， 11y z z z F z x x

y F e e ?-=-=-=?++ (3分)

2111(1)1(1)z z z z

z z z z e y e z y e xy y

x y y e e e e ?+-??

?????===- ????++++??

(6分)

14、用拉格朗日乘数法求

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得

12x =

,"40z =>,1

2x =

为极小值点. (3分) 故22

1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11

(,)22,极小值为32 (6分)

15、计算

?1 2

2dx

e dy y

x .

解：

123182x

y I dy e dx e e ==-?? (6分)

6、计算二重积分

22()D

x y dxdy +??，其中D 是由y 轴及圆周

1x y +=所围成的在第一象限内的区域.

解：22()D x y dxdy +??＝13200d r dr

θ??＝8π (6分)

17、解微分方程x y y +'

=''.

解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +='

,于是

)(1)1()1(C dx e x e p dx

dx +??=---?)

(1C dx e x e x x +=-?

])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-=

(3分)

?2121)1(21

])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==?? (6分) 18、判别级数)

11(

133∑∞

=--+n n n 的敛散性.

解：

(3分)

因为lim 1

1n n →∞== 19、将函数x -31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

解：由于

311

3131x x -?=-,已知 ∑∞

==-011n n

x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n

n n n x

x x ,33<<-x . (6分 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,

销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2121211028321415x x x x x x R ---++=，求

最

优

广

告

策

略

解

：

公

司

利

润

为

212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=

令?????=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即???=+=+,31208,13842121x x x x

得驻点)

25.1,75.0()45

,43(),(21==x x ,而 (3分)

0411<-=''=x x

L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,

064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：

电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

21、设1

ln()z x y =+，证明：13z z x

y x y ??+=

??. 证：

22331133

111

3333,x y z z x y

x y x y --??==??++ 22、若∑∞

2n n

与∑∞

2n n

都收敛,则∑∞

=+1

)(n n n

v u

收敛.

证：由于

)(22)(02

2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分) 并由题设知∑∞

n n

与∑∞

2n n

都收敛,则)

(221

2n n n v u

∑∞

=+收敛,

从而

∑∞

=+1

)(n n n

v u

收敛。

(6分)

1、设22

(,)y

f x y x y x -=-，则=),(y x f _____________. 2

、已1()2Γ=5

()

2Γ＝___________.

3、设函数

(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =

4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则='

)0,1(x f ________

5、以x

x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

__________________. 6、已知dx

p x

∞

+- 0

与

p x x dx

ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A)

0>p (B)

(D) 10<

7、对于函数22

(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).

(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值

8、已知21()D I x y d σ=+??,32()D I x y d σ=+??,其中D 为22

(2)(1)1x y -+-≤,则( ). (A) 12

I I = (B)

I I > (C)

I I <

(D)

12I I =

9、方程x

xe y y y 265=+'-''具有特解( ).

(A) b ax y += (B) x

e b ax y 2)(+= (C) x e bx ax y 22)(+= (D)

x e bx ax y 223)(+=

10、级数∑∞

=-1

1(n n

a 收敛，则级数∑∞

n n

( ).

(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定

11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.

12、求二重极限)1

sin 1sin (lim 00x

y y x y x +→→.

13、设

xy y x z -+=1arctan

,求22x z ??. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.

15、计算

?10

d e d y

x x xy .

、计算二重积分

,其中D 是由y 轴及圆周

22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.

17、解微分方程0='+''y y x .

18、判别级数∑

∞

=??? ??12!n n

n n 的敛散性.

19、将函数

x x f 1)(=

展开成)3(-x 的幂级数. 20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产

品,生产y 单位乙产品的总费用为22

20300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两

种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.

21、设2

22ln z y x u ++=,证明 222222z u

y u x u ??+

??+??=2221x y z ++.

22、若∑∞

2n n

与∑∞

2n n

都收敛,则∑∞

n n

n b

a 收敛. （可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、设

)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。

（2222x xy y y -++）

2、计算广义积分

+∞

3x dx = 。（1

2）

3、设xy

e z =，则=)1,1(dz 。（)(dy dx e +）

4、微分方程x

xe y y y 265=+'-''具有形式的特解.（x

e bx ax 22)(+）

5、设

n u

∞

==∑，则1

2n n

n u ∞

=??-

???∑_________。（1）

二、选择题(每小题3分,共15分)

1、

222200

3sin()lim x y x y x y →→++的值为（ A ）

A.3

B.0

C.2

D.不存在 2、

),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的（ A ）

。

A.必要非充分的条件；

B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面

z x y =--422

和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是（D ）。

d d θπr r r

2-??；

4d r

θ??

；

、

d r

πθ?

； D.

4420

d d θπ

r r r

-??

4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x

e y =2，

e y 23=，则其通解为（C ）。

A.x

x e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；

C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；

)()(2221x e C e e C x

x x -+- 5、无穷级数∑∞

=--11

)1(n p

n n (p 为任意实数) （D ）

A 、收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、无法判断三、计算题(每小题6分,共60分)

、求下列极限：0

x y →→。

解

：

x y →→

x y →→=

…（3分）

1)112

x y →→==+= …（6分）

2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解

：

d x V x

π=?

…（4分）

7.5π

…（6分）

3、求由xyz e z

=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数

,z z x y ????。解：方程两边对x 求导得:

xy yz x z e z

??+=??,有

)1(-=

-=??z x z xy e yz x z z …（3分）

方程两边对y 求导得:

z xy xz y z e z

??+=??,有

)1(-=

-=??z y z xy e xz y z z …（6分）

4、求函数322

(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。解：322

(,)42f x y x x xy y =-+-，则

2(,)382x f x y x x y

=-+，

(,)22y f x y x y

=-，

(,)68

xx f x y x =-，

(,)2xy f x y =，

(,)2yy f x y =-，

求驻点，解方程组

23820220x x y x y ?-+=?

-=?，，

得

)

0,0(和

(2,2). …（2分）

对)0,0(有

(0,0)80

xx f =-<，

(0,0)2

xy f =，

(0,0)2

yy f =-，

于是

2120B AC -=-<，所以)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分）对(2,2)有

(2,2)4

xx f =，

(2,2)2

xy f =，

(2,2)2

yy f =-，

于是2

120B AC -=>， (2,2)不是函数的极值点。

6、计算积分??D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；

解

：

221x x D

y d dx dy

x x

σ=??

??.

…（4分）

213924

xdx =

…（6分）

7、已知连续函数)(x f 满足?+=x

x x xf dt t f 0)(2)(，且0)1(=f ，求

)(x f 。解：关系式两端关于x 求导得：

1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即

x x f x x f 21

)(21)(-=+

' …

（2分）

这是关于

f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：

)

)21(()(22?+?

-?=-

c e x e

x f x d x

d x

)(1

+-x

c c x x

…

（5分）

又0)1(=f ，即01=-c ，故1=c ，所以1

1)(-=

x f …（6

分）

8、求解微分方程2

y y y '-+

''=0 。解：令y p '=，则dp y p dy ''=，于是原方程可化为：220

1dp p p dy y +=- …（3分）

即201dp p dy y +=-，其通解为2

2111(1)dy y

p c e c y --?==- …

（5分）

21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12

)1(=-

故

原

方

程

通

解

为

：

211

1c x c y +-

= …（6

分）

、求级数

1n n ∞

=的收敛区间。解：令2t x =-,

幂级数变形为1

n n ∞

1lim 1

n t n n n a R a →∞+===. …（3分）

当1-=t 时,

级数为0

(1)n

n ∞

=-∑收敛；

当1=t 时,

级数为1

n ∞

故1

n n ∞

=)1,1[-=t I , …（5分）

那么

n n ∞

=的收敛区间为[1,3)

x I =. …（6分）

10、判定级数∑∞

=?1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解

：

因

为

sin(2)1!!

n x n n ?≤

…（2分）

由比值判别法知

n n ∞

=∑收敛

(

(1)!lim 01

!n n n →∞+=)， …（4分）

从而由比较判别法知1

sin(2)

n n x n ∞

=?∑

收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞

=?∑绝对收敛. …（6分）

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、设正项级数1n

n u

∞

=∑收敛,

证明级数1

n ∞

=也收敛。

证

：

)

11+++≤n n n n u u u u ，

…（3分）

而由已知∑++)(21

1n n u u 收敛，故由比较原则，∑+1

n n u u 也收敛。 …（5

分）

2、设

)(22y x f y z -=

,其中)(u f 为可导函数, 证明211y z

y z y x z x =

??+??.

证

明

：

因

为

2f f xy x z '-=??,

…（2分）

22f f y f y z '

+=??

…（4分）所

以

22212211y z yf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=??+??.

…（5分）

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2

z y =，则=z 。（22

22x xy x y -++）

2、计算广义积分

x +∞

= 。（1）

3、设)1ln(2

y x z ++=，则(1,2)

。（1233dx dy +）

4、微分方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有形式的特解.（

e bx ax 323)(+） 5、级数∑∞

=+1913n n

n 的和为。（5

8）

二、选择题(每小题3分,共15分)

1、

222200

3sin()

lim x y x y x y →→++的值为（ B ）

A 、0

B 、3

C 、2

D 、不存在

2、

),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的

（ B ）

A.必要非充分的条件；

B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面

z x y =--422

和z =0及柱面

224x y +=所围的体积是（ B ）

0d r

πθ??；

4d r

θ??；

、

d r

πθ?

；

4d r

θ??

4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，

e y 23=，则其通解为（D ）

A 、22212()()

x x x C e e C e x -+-； B 、

22123x x

C x C e C e ++； C 、 2212x x

x C e C e ++；

D 、

)()(22212x x x e x C e e C x -+-+

5、无穷级数1

21(1)n p

n n -∞

=-∑(p 为任意实数) （A ）

A 、无法判断

B 、绝对收敛

C 、收敛

D 、发散三、计算题(每小题6分,共60分)

、求下列极限：00

x y →→。

解：

0000

x x y y →→→→=

…（3分）

224x y →→-===-

+ …（6分）

2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线

2π

x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解

：

220

sin d x V x x

π=?

…（4分）

214

π=

…（6分）

3、求由xy xyz z

=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ????。

解：（一）令

=),,(z y x F xy xyz z

--e 则 y yz x F --=??， x xz y F --=??， xy

z F z -=??e

利用公式，得

xy y yz xy y yz z

F x F

x z z

z -+=----=????-=??e e

…（3分）

xy x xz xy x xz z

F y F y z z

z -+=----=????-=??e e

…（6分）

（二）在方程两边同时对x 求导，得

y x z xy yz x z z

=??--??e

解出

yz x z z

-+=??e ，

…（3分）

同

理

解

出

x xz y z z

-+=??e

…（6分）

4、求函数3

812),(y xy x y x f +-=的极值。

解：3

3812),(y xy x y x f +-=，则

x y x f x 123),(2-=，

y y x f y 1224),(2-=，

x y x f xx 6),(=，12),(-=y x f xy ，，

y y x f yy 48),(=

求驻点，解方程组?????=-=-，，01224012322

x y y x 得

)0,0(和)1,2(. …（2分）

对

)0,0(有0)0,0(=xx f ，12)0,0(-=xy f ，0)0,0(=yy f ，

于是01442>=-AC B ，所以

)0,0(点不是函数的极值点. …（4

分）

对)1,2(有

12)1,2(=xx f ，12)1,2(-=xy f ，48)1,2(=yy f ，

于是

048121442=A ，所以函数在)1,2(点取得极小值

33(2,1)21221818f =-??+?=-

…（6分）

…（5分）

6、计算二重积分

??+D d y x σ

)2(,其中D 是由

x y x y 1

=及2=y 所围成的闭区域；

解

：

(2)(2)y

x y d dy x y dx

σ+=+????

…（4分）

221

119(21)6y dy y =--

=? …（6分）

7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0

=++?x

x x f dt t f ，求)(x f 。

解：关系式两端关于x 求导得：

1)(2)(=+'+x f x f 即

)(21)(-=+

'x f x f …（2分）

这是关于

f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：

)

)21(()(22

?+?

-?=-

c e e

x f d x

d x

1)(x x x ce c e e --+-=+-= …

（5分）

又0)0(=f ，即c +-=10，故1=c ，所以

1)(2

-=-

e x

f …（6

分）

8、求微分方程

02)1(2

='-''+y x y x 的通解。解这是一个不明显含有未知函数y 的方程

作变换令 dy p dx =，则22d y dp dx dx =，于是原方程降阶为2(1)20dp x px dx +-=

…（3分）

，分离变量2

21dp x dx p x

=+，积分得 21

ln ln(1)ln p x C =++

即

21(1)

p C x =+，从而

21(1)dy

C x dx =+ …（5分）

再积分一次得原方程的通解

y ＝

()3x C x C ++

…（6分）

9、求级数∑∞

=-1

)3(n n

n x 的收敛区间。解：令3-=x t ,幂级数变形为∑

∞

n n n t ,11lim 1

n t

n n n a n R a n →∞++===. …（3分）

当1-=t 时,级数为∑∞

=-0

)1(n n

n 收敛；

当1=t 时,级数为∑

∞

n n 发散.

故∑

∞

n n

n t 的收敛区间是

)1,1[-=t I , …（5分）

那么∑∞

=-1

)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I .

…（6分）

10、判定级数1cos()

!n n x n ∞

=?∑是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：

解：因为

cos()1

n x n n ?≤

…（2分）

由比值判别法知

n n ∞

=∑收敛

(

(1)!lim 01

!n n n →∞+=)， …（4分）

从而由比较判别法知1

cos()!n n x n ∞

=?∑

收敛，所以级数1cos()

!n n x n ∞

=?∑绝对收敛. …（6分）

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、设级数2

n a

∞

=∑收敛，证明1(0)n

n n a a n ∞

=>∑也收敛。

证

：

由

于

(21||

22n

a n a n n +≤，

…（3分）

而∑2

a ,∑21

n 都收敛，故

∑+)1(2122n a n 收敛，由比较原则知 n

a n

∑收敛.。…（5分）

2、设)

2(cos 22

x z -=,证明:02222=???+??t x z t z 。

证明：因为

)2sin()2

()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-?--?-=??,

…（2分）

)2cos(22t x t z --=??, 22222)2cos(2t z

t x x

t z t x z ??-=-=???=???, …（4分）

所以

02222=???+??t

x z t z

…（5分）

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院：专业：行政班：姓名：学号：座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。

微积分期末测试题及复习资料

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

大一上学期微积分期末试卷及答案

1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o)

5、若则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3

2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、、判断题无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0

微积分下册期末试卷附答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷评分阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分) 评分评分评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22 (,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数 ?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( b ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若2 211 x y I +≤= ?? ,2 2 212x y I ≤+≤= ?? , 2 2 324x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( d ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2(1)1x y y -+. 2 3、) 32 ,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解： 32 y x =的函数为

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)

厦大14-15学年第二学期微积分I期末试卷

一、计算下列各题：（每小题5分，共20分） (1) 设函数222(,,)u x y z x y y z z x =++，求u grad 、div()u grad 和()u rot grad . (2) 计算L s ?，其中L 为上半圆周224,0x y y +=≥与x 轴围成的闭曲线. (3) 计算d L xy x ?，L 为曲线2y x =上由(1,1)A -到(1,1)B 的一段弧. (4) 讨论正项级数1sin 2n n n n ∞ =∑的敛散性. 厦门大学《微积分I-2》课程期末试卷试卷类型：（理工类卷）考试日期 2015.6.17

二、(8分)计算()d x z S ∑ +??，其中∑是平面1z x =+被圆柱面221x y +=所截的部分. 三、（10分）计算22d d L y x x y x y -+? ，其中 L 为圆周22(1)2x y -+=，取逆时针方向.

四、(1)（2分）证明：在整个xOy 平面内，2(1)d (3)d x y x x y y +++-+为某个二元函数(,)u x y 的全微分； (2)（5分）求解全微分方程2(1)d (3)d 0x y x x y y +++-+=； (3)（3分）求2(1)d (3)d L x y x x y y +++-+?，其中曲线L ：22(1)4,0x y y -+=≥，L 的方向为逆时针方向.

五、(10分)求向量场{},0,0x 经过曲面∑指定侧的通量，其中∑为圆柱面221x y +=位于0z =上方及平面z y =的下方部分，取外侧. 六、(1)（8分）讨论级数21(1)4 n n n n ∞=-+∑的收敛性； (2)（2 分）判别级数21[(1)4n n n n ∞=-++∑的敛散性.

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =??=?，t ：0→π2

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

微积分期末试卷选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求

5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求四、证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）五、应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、设函数(1)y z xy =+，则dz = 2、曲面2222223x y y z z x ++=在点(1,1,1)--处的切平面方程为____ 3、2 1122 2 0()x x I dx x y dy - =+??= . 4、曲面积分()()22 2x y z dydz y dzdx z z dxdy ∑ -++++?? ò= ，其中，∑ 为z 与()0z h h =>所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧. 5、幂级数()102n n n x ∞ -=-∑的收敛域为 . 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、函数22z x y =+在（1,1）点沿()1,1l =--v 方向的方向导数为（）. (A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D) 最大 2、函数24242 42,00,0x y x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)处（）. (A)不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在 (C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在 3、计算22()()L x y dx x y dy x y +--+??=（），其中L 为222x y a +=（按逆时针方向绕行）． (A)0 (B)2π- (C) 2π (D) π 4、设(,)f x y 连续,且(,)(,)D f x y xy f u v dudv =+??,其中D 由 20,,1y y x x ===所围成,则(,)f x y =（）. (A) xy (B) 2xy (C) 1xy + (D) 18 xy + 5、设级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和为S ，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于（）. （A ）1S a + （B ）2S a + （C ）12S a a +- （D ）21S a a +- 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分) 1、设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，计算z x ??，z y ??. 2、计算22 ()L x y ds +?，其中，L 为曲线(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-， (0,02)a t π>≤≤．

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

高等数学(下)期末复习题(附答案)

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线（C ）圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为（）（A ）发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面（B ）柱面（C ）圆锥面（D ）椭球面

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续，则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?