复变函数论第三版钟玉泉第五章
3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
f (z) ei z(| z | 1), 其中α为一实常数.
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4. 极点的性质
定理5.4 如果f(z)以a为孤立奇点，则下列三条是等价
的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。
(1)
f(z)在a点的主要部分为
cm (z a)m
cn(z z0 )n
令 (z z0 )1
cn n
n1
若
n1
R1 时收敛, 收敛域为 z z0
1 r
R1
cn(z z0 )n的收敛半径为R, 收敛域为 z z0 R
n0
若 (1) r R : 两收敛域无公共部分,
(2) r R :两收敛域有公共部分H: r z z0 R.
因此 lim za
(2) (3).
f
z
因
c0
lim
f z
b
则
0,
za
0, z
:0
|
z
a
| ,有 |
f
(z) b
| ,
于是,有 | f (z) || b | ,即f (z)在a的去心邻域内有界。
(3)
(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
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则称为f(z)的孤立奇点.
如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在
点a的某一去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内能展
成洛朗级数。将函数展成洛朗级数的常用方法。
1. 直接展开法: 利用定理公式计算系数 cn
cn
1
2πi C (
f
(
z0
) )n1
d
(n
0, 1, 2,)
充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为
1 f (z)
的本性奇点.
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可去奇点
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孤立奇点 极点
（单值函数的）
本性奇点 奇点 非孤立奇点
支点
（多值函数的）
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6. Picard(皮卡)定理
定理5.8 如果a为f(z)的本性奇点,则对于
(1) f(z)在点a的主要部分为零; (2) lim f (z) b( ) (3) fz(za)在点a的某去心邻域内有界。
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证 (1) (2). 由(1)有
f z c0 c1z a c2z a2 0 z a R
(3)f(z)在 z 的某去心邻域N-{∞}内有界.
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定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z =∞为m
级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
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第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
第一节 解析函数的洛朗展式
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展式 3. 洛朗级数与泰勒级数的关系
4. 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 5. 典型例题
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1. 双边幂级数
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1. 孤立奇点的分类
如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域
K-{a}内可以展成罗朗级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n cn (z a)n .
n
n1
c(m1) (z a)m1
c1 za
(cm
0),
则称a为f(z)的m阶极点，一阶极点也称为简单极点；
(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)
的本性奇点.
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2.可去奇点的性质
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定理5.3 若a为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价 的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
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定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点)、 m级极点或本性奇点,则相应地称z=∞为f(z) 的可去奇点(解析点)、m级极点或本性奇点.
设在去心邻域 K {0}: 0 | z |1/ r 内将(z')
定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点 lim f (z) za
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5. 本性奇点的性质
定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点
lim
f
(
z)
b(有
限
数)，
即lim
f
(
z)广义不
存 在.
za
za
定理5.7 若z=a为f(z)的本性奇点,且在点a的
例2 求函数
f
z
sinh z2
z
在 0 z
内的洛朗级数。
例3 试问函数 f 洛朗级数？
z
tan
1 z
能否在
0 z R 内展成
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第二节 解析函数的有限孤立奇点
1. 孤立奇点的分类
2. 孤立奇点的性质 3. Picard定理 4 . Schwarz引理
zz
f z z z 1 1
2 z 3 z 12/ z 13/ z
2n
3n
3n 2n
z z n
n
n0
n0
zn
n1
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例2
求函数
f
z
sin z z2
在 0
z
内的洛朗级数。
c1 za
(cm
0);
(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表示成
f
(
z
)
(
(z)
z a)m
其中λ(z) 在点a的邻域内解析,且λ(a)≠0
(3)
g(z)
f
1 (z)
以点a为m阶零点。
注意 第(3)条表明：f(z)以点a为m阶极点的充要条件是
f 1(z)以点a为m阶零点。
在去心邻域:
K
z'
{0}：0 |z' Nhomakorabea1
(如r
0规定
1
)
r
r
内解析，则 z 0就为(z)的孤立奇点。
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注：(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
展成罗朗级数: (z') cn z'n n
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定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可
去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1)f(z)在 z 的主要部分为零;
(2) lim f (z) b( ); z
(r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边
幂级数 f (z) cn (z a)n
(2)
其中 1
cn 2 i
n
(
f ( )
a)n
1d
,(n
0,
1, 2, ),
(3)
为圆周| a | (r R),并且展式是
然后写出 f (z) cn(z z0 )n .
2. 间接展开法 n
根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可
用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .
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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数论_钟玉泉_第三版_高教_答案_清晰版
n 1
z z 0 nM n1 , 故对 0 ,
n
只需取
nM
n 1
,于是当 z z 0 时,就有 z n z 0 .
(2)由连续函数运算法则,两连续函数相除,在分母不为零时,仍连续.因此 f ( z ) 在
z 平面上除使分母为零点外都连续.
arg z, z 0 13.证明:令 f ( z ) arg z 0, z 0
2
2
z 3 z1 为实数. z 2 z1
10.解:(1)令 z x yi t (1 i) ,得 x y ,即曲线为一,三象限的角平分线. (2)令 z x yi a cos t ib sin t , 得 x a cos t , y b sin t ,则有
2
.
因而对任何自然数 p ,也有 z n p z 0
2
.
利用三角不等式及上面两不等式, 当 n N 时,有
z n p z n z n p z 0 z n z 0
充分性 :设对 0, N ( ) 0 ,当 n, n p N 时,有 z n p z 0 ,由定义 得
12.证明:(1)首先考虑函数 f ( z ) z n 在 z 平面上的连续性. 对复平面上任意一点 z 0 ,来证明 lim z n z 0
z z0 n
不妨在圆 z M z 0 1 内考虑. 因为 z n z 0 z z 0 ( z
n n 1
z
n2
z0 z0
3
2k
(k 0,1,2,)
1 i 2
复变函数论_钟玉泉_第三版_高教_答案_清晰版
z0
, 因此总可以选取 Argzn 的一个值 arg z n . 当
n N 时,有 arg z n 0 ( ) ,因 0 时, ( ) 0 .因而, 总可以选取 ,
使 ( ) 小于任何给定的 0 , 即总有 arg z arg z 0 . 因此 f ( z ) 在 z 0 连 续. 综上讨论得知, f ( z ) 除原点及负实轴上的点外处处连续. 14. 证 明 : 由 于 f ( z ) 的 表 达 式 都 是 x, y 的 有 理 式 , 所 以 除 去 分 母 为 零 的 点
y 0 y x 1 0 arg( z 1) 0 arctan (4)由 4 得 x 1 4 即 2 x3 2 x3 2 Re z 3
可知 z 点的轨迹是一梯形(不包括上,下边界);不是区域. (5) z 点的轨迹是以原点为圆心,2 为半径以及(3,0)为圆心,1 为半径得两闭圆的 外部.是区域. (6) z 点的轨迹的图形位于直线 Im z 1 的上方(不包括直线 Im z 1 )且在以原点 为圆心,2 为半径的圆内部分(不包括圆弧);是区域. (7) z 点的轨迹是 arg z
2
2
z1 z 2 z1 z 2
2
2
2( z1 z 2 )
2
2
几何意义:平行四边形两队角线的平方和等于各边平方和. 5.证明:由第 4 题知 z1 z 2 z1 z 2 由题目条件
2 2
2( z1 z 2 )
2
2
z1 z 2 z 3 0 知 z1 z 2 z 3
z 0 , f ( z ) 是连续的,因而只须讨论 f ( z ) 在 z 0 的情况.
复变函数论第5章第2节
并且只有当f ( z) eia z 时等号才成立.
4 极点
1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
m 负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) ,
1
即
f ( z ) cm ( z z0 )m c2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z a
z a
由函数极限的性质, f ( z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f ( z) M , z K {a} 考察f ( z)在点a的主要部分 c n ( z a) n n 1 1 f ( ) c n d , (n 1, 2,...) ( n ) 1 2 i ( a) 而为K内的圆周 a , 可以充分小, 于是由 f ( ) 1 1 M c n d 2 ( n ) 1 ( n ) 1 2 a 2
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z0 ) 0. (3) 利用极限 lim f ( z ) 判断(但不知道阶数) .
3) 如果f ( z )在点a主要部分为无穷多项,则称a为
f ( z ) 的本质奇点.
sin z z2 z4 z 2n n , 如： 1 (1) z 3! 5! (2n 1)!
0 点. z
2 n 2 sin z 1 1 z 2 z n ( 1) , 3 2 z z 3! 5! (2n 1)!
复变函数四五六七章总复习钟玉泉
若a为f (z)的孤立奇点,则在K {a}内可展成Laurent级数
f (z) cn (z a)n cn (z a)n
cn (z a)n
n
n1
n0
f (z)在a的主要部分 f (z)在a的正则部分
f (z)在点a的奇点性质体现在K内收敛于一解析函数
定义5.3 设a为f (z)孤立奇点
(1) fn (z)(n 1, 2,...)在区域D内解析;
(2) fn (z)在D内内闭一致收敛于函数f (z)
n1
f (z) fn(z).
n1
则 (1) 函数f (z)在区域D内解析;
(2) f ( p) (z)
f
( n
p)
(
z),
(
z
D,
p
1,
2,
).
n1
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 阿贝尔(Abel)定理
i z
1,
z 1. 2
f
(z)
(z
1 i)(z
2)
1 2
i
z
1
i
2
1
z
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
1ezຫໍສະໝຸດ n01 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n
复变函数答案 钟玉泉 第五章习题全解
(z 2 1)2 4(z i)2 n0
2i
1 4(z i)2
(1)n (n 1)( z i)n )n
n0
2i
(0
z i
2)
1
(2) z 2e z
1 z n2
1 1 (0 z )
n0 n!
n2(n 2)! z n
e e e (3) 令 1 ，则 z
1
1z
1
2
(1 ...) 2
f (z) w0 解 析 , 即 为整函数 . 又 因 f (z) 非 常 数 , 所 以 g(z) 非常 数 , 其值全 含于一圆
g(z) 1 之内,与刘维尔定理矛盾. 0
11.证明:由题意, f (z) 在 z0 的去心邻域内的洛朗展开式可设为
f (z)
c1 z z0
cn (z z0 )n
(a)
0
6.证明：令 g(z) (z a)k f (z) 。由题设， g(z) 在 k {a}: 0 | z a | R 内有界。由
定理 5.3（3），a 为 g(z) 的可去奇点，则 a 为 g(z) 的解析点。又由定理 5.4（2），
若
a
为
f
(z) 的
m
级极点，则在点
a
的某去心邻域内能表成
正好是以 1 为中心的无穷远点的去心领域。所以根据题中的洛朗展式，只能判
定 z 是 f (z) 的可去奇点。
3.证明：由孤立奇点的定义，又有 f (z) 在点 a 解析，故知 a 为 g(z) 的孤立奇点，
且 lim g(z) lim f (z) f (a) f (a) g(a) ，故 a 为 g(z) 的可去奇点。故在 a 业
（充分性） 若
《复变函数论》课程教学标准
《复变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。
复变函数（主要是单复变函数）是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。
在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。
现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。
并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。
教学时间应安排在第四学期。
作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由四川大学钟玉泉编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，19982、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，20013、余家荣，复变函数，高等教育出版社（第二版），19924、郑建华，复分析，清华大学出版社，20005、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章复数与复变函数本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的衔接和发展。
首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念；最后还要引入复球面与无穷远点的概念。
通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算；对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握；充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。
复变函数论第三版钟玉泉第五章
(3)
(1).
因主要部分的系数
cn
1
2i
f
a n1
d
其中 : a , 可任意小，故
cn
1
2
f
a n1
d
1
2
M
n1
2
M n
cn 0 n 1，2,
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2020/7/9
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3. 施瓦茨(Schwarz)引理
Schwarz引理 如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析, 并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，则在单位圆 |z|<1内恒有|f(z)|≤|z|,且有 | f (0) |1. 如果上式等号成立,或在圆|z|<1内一点z0≠0 处前一式等号成立,则(当且仅当)
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证 (1) (2). 由(1)有
f z c0 c1z a c2z a2 0 z a R
因此 lim za
(2) (3).
f
z
因
c0
lim
f z
b
则
0,
za
0, z
:0
|
z
a
| ,有 |
f
(z) b |
,
于是,有 | f (z) || b | ,即f (z)在a的去心邻域内有界。
ez z3
展开成洛朗级数.
例2 求函数
f
z
sinh z2
z
在 0 z
内的洛朗级数。
例3 试问函数 f 洛朗级数？
z
tan
《复变函数论》教学大纲
通过本章的学习，使学生掌握复变函数的积分的定义，复积分的性质与计算方法，柯西 积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，不定积分特别是由变上限积分确定 的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分，柯西积分公式与高阶导数公式， 解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，柯西不等式、刘维尔定 理、摩勒拉定理调和函数与共轭调和函数的概念，由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或 实部）的两种方法。
4.教学内容 第一节 复级数的基本性质
1. 复数项级数 2. 一致收敛的复数项级数 3. 解析函数项级数
第二节 幂级数
1. 幂级数的敛散性 2. 收敛半径的求法，柯西-阿达马公式 3. 幂级数和的解析性
第三节 解析函数的泰勒展式
1. 泰勒定理 2. 幂级数的和函数在其收敛圆上的状况 3. 一些初等函数的泰勒展式
第三章 复变函数的积分
1.教学基本要求
理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。掌握柯西积分定理及其等
价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析 函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌 握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘 维尔定理、摩勒拉定理。掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的 关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。
掌握儒歇定理及其应用。
2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理
通过本章的学习，使学生掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留求法。掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函
[VIP专享]复变函数论第三版课后习题答案[1]46
第一章习题解答（一）1．设，求及。
z z Arcz 解：由于3z e π-==所以，。
1z =2,0,1,3Arcz k kππ=-+=± 2．设，试用指数形式表示及。
121z z ==12z z 12z z 解：由于6412,2i i z e z i e ππ-====所以()64641212222i i iiz z e eeeπππππ--===。
54()146122611222ii i i z e ee z e πππππ+-===3．解二项方程。
440,(0)z a a +=>解：。
12444(),0,1,2,3k i za e aek πππ+====4．证明，并说明其几何意义。
2221212122()z z z z z z ++-=+证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++ 2221212122Re()z z z z z z -=+- 所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z ，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又 )())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z 故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。